8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten

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1 Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A = A I n für alle A M n,n Inverse Matrix: Definition Definition 824 A M n,n heißt invertierbar (oder regulär, wenn es eine Matrix B M n,n gibt mit A B = I n = B A In diesem Fall heißt B Inverse von A und wird mit A 1 bezeichnet Um die Inverse von A M n,n zu bestimmen, reicht es aus, eine Matrix B M n,n mit A B = I n zu finden Dann folgt automatisch die Gleichung B A = I n

2 Inverse Matrix: Beispiele Beispiele 825 ( ( A = = B = ( A = ist nicht invertierbar 0 0 Invertierbarkeit und LGSe Ist A eine invertierbare Matrix und ist A 1 bekannt, so ist das lineare Gleichungssysteme A x = b sofort lösbar: Ax = b (A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b Beispiel 826 3x 1 2x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2

3 Die Determinante für A M 2,2 ( a11 a Es sei A = 12 M a 21 a 2,2 Dann ist A invertierbar genau 22 dann, wenn a 11 a 22 a 12 a 21 0 ist Außerdem gilt dann (nachrechnen! ( A 1 1 a22 a = 12 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11 Wir definieren die Determinante det(a von A durch det(a = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Die Determinante für A M 3,3 Für A M 3,3 ist det(a = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Dies lässt sich gut mit der Regel von Sarrus merken (wird an der Tafel erklärt Vorsicht! Die Regel von Sarrus gilt nur für 3 3-Matrizen!

4 Der Laplace sche Entwicklungssatz Satz 827 Sei A = (a ij M n,n Dann gilt: det(a = = n ( 1 i+j a ij det S ij (Entwicklung nach der i-ten Zeile j=1 n ( 1 i+j a ij det S ij (Entwicklung nach der j-ten Spalte i=1 Dabei ist S ij diejenige Matrix, die aus A durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht Anwendung auf 4 4-Matrizen Beispiel

5 Invertierbarkeitskriterien Satz 829 Sei A M n,n Dann sind äquivalent: 1 A ist invertierbar, 2 Rang(A = n, 3 Kern(A = {0}, 4 Bild(A = R n 5 det A 0 6 Ax = b ist für jedes b R n eindeutig lösbar 7 Ax = 0 nur die Lösung x = 0 Kriterium für lineare Unabhängigkeit Satz 830 Seien a 1,, a n R n Dann sind äquivalent: 1 a 1,, a n sind linear unabhängig 2 det A 0, wenn A die Spaltenvektoren a 1,, a n hat Beispiele 831 ( ( , ( ( , ( 2, 6 1, ( 2 4 1

6 Cramer-Regel Satz 832 Sei A = (α ij M n,n mit det A 0 und sei b R n Dann ist die eindeutige Lösung von Ax = b durch x i = 1 det A det(c i i = 1,, n gegeben, wobei α 11 α 1,i 1 b 1 α 1,i+1 α 1,n C i = α n1 α n,i 1 b n α n,i+1 α n,n dh die i te Spalte von A wird durch b ersetzt Rechenregeln für Determinanten Für A, B M n,n gelten: 1 det(a B = det A det B 2 det A 1 = 1, falls A invertierbar ist det A 3 det A T = det A 4 Sind zwei Spalten (oder Zeilen von A gleich, so ist det A = 0

7 Determinanten und elementare Zeilenoperationen Bei der Anwendung von elementaren Zeilenoperationen auf eine Matrix A ist zu beachten: 1 Multipliziert man eine Zeile von A mit λ R, so hat die neue Matrix Determinante λ det(a 2 Beim Austausch zweier Zeilen von A wechselt det(a das Vorzeichen 3 Addition des λ-fachen einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A ändert det(a nicht