8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "8. Elemente der linearen Algebra 8.5 Quadratische Matrizen und Determinanten"

Transkript

1 Einheitsmatrix Die quadratische Einheitsmatrix I n M n,n ist definiert durch I n = (Auf der Hauptdiagonalen stehen Einsen, außerhalb Nullen Durch Ausmultiplizieren sieht man I n A = A = A I n für alle A M n,n Inverse Matrix: Definition Definition 824 A M n,n heißt invertierbar (oder regulär, wenn es eine Matrix B M n,n gibt mit A B = I n = B A In diesem Fall heißt B Inverse von A und wird mit A 1 bezeichnet Um die Inverse von A M n,n zu bestimmen, reicht es aus, eine Matrix B M n,n mit A B = I n zu finden Dann folgt automatisch die Gleichung B A = I n

2 Inverse Matrix: Beispiele Beispiele 825 ( ( A = = B = ( A = ist nicht invertierbar 0 0 Invertierbarkeit und LGSe Ist A eine invertierbare Matrix und ist A 1 bekannt, so ist das lineare Gleichungssysteme A x = b sofort lösbar: Ax = b (A 1 Ax = A 1 b I n x = A 1 b x = A 1 b Beispiel 826 3x 1 2x 2 = 4 x 1 + x 2 = 2

3 Die Determinante für A M 2,2 ( a11 a Es sei A = 12 M a 21 a 2,2 Dann ist A invertierbar genau 22 dann, wenn a 11 a 22 a 12 a 21 0 ist Außerdem gilt dann (nachrechnen! ( A 1 1 a22 a = 12 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11 Wir definieren die Determinante det(a von A durch det(a = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Die Determinante für A M 3,3 Für A M 3,3 ist det(a = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Dies lässt sich gut mit der Regel von Sarrus merken (wird an der Tafel erklärt Vorsicht! Die Regel von Sarrus gilt nur für 3 3-Matrizen!

4 Der Laplace sche Entwicklungssatz Satz 827 Sei A = (a ij M n,n Dann gilt: det(a = = n ( 1 i+j a ij det S ij (Entwicklung nach der i-ten Zeile j=1 n ( 1 i+j a ij det S ij (Entwicklung nach der j-ten Spalte i=1 Dabei ist S ij diejenige Matrix, die aus A durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht Anwendung auf 4 4-Matrizen Beispiel

5 Invertierbarkeitskriterien Satz 829 Sei A M n,n Dann sind äquivalent: 1 A ist invertierbar, 2 Rang(A = n, 3 Kern(A = {0}, 4 Bild(A = R n 5 det A 0 6 Ax = b ist für jedes b R n eindeutig lösbar 7 Ax = 0 nur die Lösung x = 0 Kriterium für lineare Unabhängigkeit Satz 830 Seien a 1,, a n R n Dann sind äquivalent: 1 a 1,, a n sind linear unabhängig 2 det A 0, wenn A die Spaltenvektoren a 1,, a n hat Beispiele 831 ( ( , ( ( , ( 2, 6 1, ( 2 4 1

6 Cramer-Regel Satz 832 Sei A = (α ij M n,n mit det A 0 und sei b R n Dann ist die eindeutige Lösung von Ax = b durch x i = 1 det A det(c i i = 1,, n gegeben, wobei α 11 α 1,i 1 b 1 α 1,i+1 α 1,n C i = α n1 α n,i 1 b n α n,i+1 α n,n dh die i te Spalte von A wird durch b ersetzt Rechenregeln für Determinanten Für A, B M n,n gelten: 1 det(a B = det A det B 2 det A 1 = 1, falls A invertierbar ist det A 3 det A T = det A 4 Sind zwei Spalten (oder Zeilen von A gleich, so ist det A = 0

7 Determinanten und elementare Zeilenoperationen Bei der Anwendung von elementaren Zeilenoperationen auf eine Matrix A ist zu beachten: 1 Multipliziert man eine Zeile von A mit λ R, so hat die neue Matrix Determinante λ det(a 2 Beim Austausch zweier Zeilen von A wechselt det(a das Vorzeichen 3 Addition des λ-fachen einer Zeile von A zu einer anderen Zeile von A ändert det(a nicht

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung

Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Artur Trzewik sw562@uni-essen.de v1., 26.3.1998 korrigiert 16. Februar 2 Zusammenfassung Warnung: für die Richtigkeit der Definitionnen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme KAPITEL 2 Lineare Gleichungssysteme Lernziele dieses Abschnitts sind: Begrie: Matrix, Vektor spezielle Matrix, transponierte Matrix, inverse Matrix nur fur quadratische Matrizen erklart, Determinante,

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenwerte und Eigenvektoren Ergänzung Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Definitionen Beispiele im IR 2 Beispiele im IR 3 Eigenwerte und Eigenvektoren Motivation Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen) Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst

Mehr

7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme

7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme 7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme 7 Lineare Abbildungen 7 Abbildungen: Eine Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs Bemerkung:

Mehr

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis

Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Lernzettel Mathe Inhaltsverzeichnis Aufgabe 1 - Vollständige Induktion 2 Aufgabe 2 - Grenzwertbestimmung 2 Aufgabe 3 - Lin/Log 2 Aufgabe 4 - Barwert/Endwert 3 Aufgabe 5 - Maximalstellen, steigend/fallend

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Skript zur Vorlesung Höhere Mathematik für Bachelorstudiengänge. Prof. Dr. R. Herzog. gehalten im SS2013 Technische Universität Chemnitz

Skript zur Vorlesung Höhere Mathematik für Bachelorstudiengänge. Prof. Dr. R. Herzog. gehalten im SS2013 Technische Universität Chemnitz Skript zur Vorlesung Höhere Mathematik für Bachelorstudiengänge Prof. Dr. R. Herzog gehalten im SS2013 Technische Universität Chemnitz Auszug aus den Studienordnungen zu den Ausbildungszielen der mit dieser

Mehr

Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ).

Aufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ). Aufgabe Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(3A E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A 3E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Bild(A

Mehr

Statistische Methoden

Statistische Methoden Statistische Methoden Dr CJ Luchsinger 6 Repetition: Rechnen mit Matrizen für die Statistik Matrizen sind aus zwei Gründen für die Statistik sehr wichtig: Sie ermöglichen uns einerseits eine sehr elegante

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

y x x y ( 2x 3y + z x + z

y x x y ( 2x 3y + z x + z Matrizen Aufgabe Sei f R R 3 definiert durch ( ) x 3y x f = x + y y x Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f Aufgabe Eine lineare Funktion f hat die Matrix Darstellung A = 0 4 0 0 0 0 0 Berechnen Sie

Mehr

Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen Vektoren und Matrizen Einführung: Wie wir gesehen haben, trägt der R 2, also die Menge aller Zahlenpaare, eine Körperstruktur mit der Multiplikation (a + bi(c + di ac bd + (ad + bci Man kann jedoch zeigen,

Mehr

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung 4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung In vielen Anwendungen treten lineare Gleichungssysteme auf, die eine unterschiedliche Anzahl von Gleichungen und Unbekannten besitzen: Ax

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Algorithmus zur Berechnung der Jordannormalform

Algorithmus zur Berechnung der Jordannormalform Algorithmus zur Berechnung der Jordannormalform Olivier Sète 19. Januar 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 1 2 Algorithmus Wie und warum funktioniert das? 2 2.1 Zutat 1 Für einen Jordanblock.........................

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Übersicht Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen 1 Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Beispiele 2 Fakultät Grundlagen Folie: 2 Beispiel I Lineare

Mehr

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 8. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS / 6..-.. Aufgabe G (Matrixinversion mit Gauß-Algorithmus

Mehr

8 Lineare Abbildungen

8 Lineare Abbildungen 80 8 Lineare Abbildungen In diesem Kapitel untersuchen wir lineare Abbildungen von R n nach R m wie zum Beispiel Spiegelungen, Drehungen, Streckungen und Orthogonalprojektionen in R 2 und R 3 Man nennt

Mehr

Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme I

Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme I Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungssysteme I 3 1.1 Mengen und Abbildungen....................................... 3 1.1.1 Mengen und ihre Operationen.............................. 3 1.1.2 Summen- und

Mehr

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten:

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: 1. Additions- und Subtraktionsverfahren 3x = 7y 55 + 5x 3x = 7y 55 7y 5x + 2y = 4 3 5 werden, dass die Variablen links und die Zahl rechts vom

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung Mathematik Klausuraufgaben zur Mathematik - von Wolfgang Langguth Aufgabenstellungen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Kapitel III. Lineare Abbildungen

Kapitel III. Lineare Abbildungen Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,

Mehr

Mathematik III für Ingenieure

Mathematik III für Ingenieure Mathematik III für Ingenieure im Bachelor-Studiengang Maschinenbau Vorlesung Wintersemester 21/211 B. Schuster aktualisert am 27. Januar 211 Inhalt I. Eigenwerte und Eigenvektoren 1 1. Komplexe Matrizen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein

Mehr

Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 15 0 6 1. 15 12 x + 3 y 3 z = 15 12 3 3. 15 2 x 3 y = 4 2 3 0.

Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 15 0 6 1. 15 12 x + 3 y 3 z = 15 12 3 3. 15 2 x 3 y = 4 2 3 0. Beispiel zur Lösung eines Gleichungssystems : 6 y + z = 5 0 6 5 2 x + 3 y 3 z = 5 2 3 3 5 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 z2 /3 z : 3 2 x 3 y = 4 2 3 0 4 4 x + y z = 5 4 5 6 y + z = 5 0 6 5 z2 + 2 z 2 x 3 y = 4 2

Mehr

Numerisches Programmieren

Numerisches Programmieren Technische Universität München SS 2012 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Inf Christoph Riesinger Dipl-Math Alexander Breuer Dipl-Math Dipl-Inf Jürgen Bräckle Dr-Ing Markus Kowarschik Numerisches

Mehr

Das QZ-Verfahren. vorgelegt von Janina Gnutzmann. Erstgutachter: Prof. Dr. Steffen Börm Zweitgutachter: Dipl.-Math.

Das QZ-Verfahren. vorgelegt von Janina Gnutzmann. Erstgutachter: Prof. Dr. Steffen Börm Zweitgutachter: Dipl.-Math. Das QZ-Verfahren Bachelor-Arbeit im 1-Fach Bachelorstudiengang Mathematik der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel vorgelegt von Janina Gnutzmann Erstgutachter:

Mehr

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu

(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die

Mehr

Lineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus

Lineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus Zurück Letzter Update 7... Lineare Gleichungssysteme und Gauß'scher Algorithmus In der Mathematik bezeichnet man mit Matrix ein rechteckiges Schema, in dem Zahlen oder Funktionen angeordnet werden. Hier

Mehr

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01

Komplexe Zahlen. Kapitel 1. 1.1 Definitionen 18.4.01 Kapitel Komplexe Zahlen Motivation: die Gleichung x = hat offensichtlich keine reellen Lösungen, da x 0 für jedes reelle x gilt Um auch diese Gleichung lösen zu können, muß man neue Zahlen einführen: die

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)

Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00

Mehr

Beispiel vor dem Beweis:

Beispiel vor dem Beweis: Beispiel vor dem Beweis: Beispiel vor dem Beweis: A = ¼3 6 2 3 11 2½ Beispiel vor dem Beweis: 2½ 2½ ¼3 6 A = 2 3 11 311 E 12 A = 3 6 Beispiel vor dem Beweis: 2½ 2½ ¼3 6 A = 2 3 11 311 E 12 A = 3 6 3 11

Mehr

Lineare Abbildungen. Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls. d.h.

Lineare Abbildungen. Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls. d.h. Lineare Abbildungen Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls (1) u, v V : f( u + v) = f( u) + f( v). (2) v V α K : f(α v) = αf( v).

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Formelsammlung Mathematische Grundlagen für die Informatik

Formelsammlung Mathematische Grundlagen für die Informatik Formelsammlung Mathematische Grundlagen für die Informatik Wolfgang Führer wolfgang.fuehrer@web.de August 2007 Inhaltsverzeichnis Lineare Algebra. Vektorräume.................................... Abelsche

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Matrixalgebra. mit einer Einführung in lineare Modelle. Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@stat.uni-muenchen.

Matrixalgebra. mit einer Einführung in lineare Modelle. Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@stat.uni-muenchen. Matrixalgebra mit einer Einführung in lineare Modelle Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@statuni-muenchende 25 August 24 Vielen Dank an Christiane Belitz, Manuela Hummel und

Mehr

Das Kryptosystem von McEliece. auf der Basis von linearen Codes

Das Kryptosystem von McEliece. auf der Basis von linearen Codes Das Kryptosystem von McEliece auf der Basis von linearen Codes Anforderungen Public-Key Kryptosysteme E e (m) = c Verschlüsselung D d (c) = m Entschlüsselung mit Schl. effizient effizient 2/25 Anforderungen

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

Kapitel 5 Netzwerkanalyse

Kapitel 5 Netzwerkanalyse 1/19 Kapitel 5 Netzwerkanalyse 5.1 Einleitung Ein elektrisches lineares Netzwerk besteht aus elementaren Bauelementen wie lineare, passive Zweipole (z.b. ohmsche Widerstände) und ideale aktive Zweipole

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Matrizen. Abbildungsmatrizen und Übergangsmatrizen. Version: 20. Oktober 2011. Roland Stewen. stewen.rvk@gmx.de

Matrizen. Abbildungsmatrizen und Übergangsmatrizen. Version: 20. Oktober 2011. Roland Stewen. stewen.rvk@gmx.de Matrizen Abbildungsmatrizen und Übergangsmatrizen Version:. Oktober Roland Stewen stewen.rvk@gmx.de Inhaltsverzeichnis Einführung. Begriffe.................................. Variable............................

Mehr

KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten:

KAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten: KAPITEL 4 Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 41 Das Ohmsche Gesetz: Eine Meßreihe von Daten: U = RI (U i, I i ) (Spannung, Stromstärke), i = 1,, m Aufgabe: man bestimme aus diesen Meßdaten den Widerstand

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.

Matrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist. Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme

1 Lineare Gleichungssysteme MLAN1 1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 1 Literatur: K Nipp/D Stoffer, Lineare Algebra, Eine Einführung für Ingenieure, VDF der ETHZ, 4 Auflage, 1998, oder neuer 1 Lineare Gleichungssysteme Zu den grundlegenden

Mehr

8 Lineare Gleichungssysteme

8 Lineare Gleichungssysteme 8 Lineare Gleichungssysteme 8.1 Begriffe Allgemeine Form eines Gleichungssystems bestehend aus drei Gleichungen und drei Unbekannten: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3

Mehr

6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme 6 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme Jörn Loviscach Versionsstand:. März 04, :07 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.jl7h.de/videos.html

Mehr

6 Lösung linearer Gleichungssysteme I: LR-Zerlegung und Verwandte

6 Lösung linearer Gleichungssysteme I: LR-Zerlegung und Verwandte Numerik I Version: 240608 40 6 Lösung linearer Gleichungssysteme I: LR-Zerlegung und Verwandte Die zwei wichtigsten Aufgaben der linearen Algebra: Lösung linearer Gleichungssysteme: Ax = b, wobei die n

Mehr

Einführung in die Kodierungstheorie

Einführung in die Kodierungstheorie Einführung in die Kodierungstheorie Einführung Vorgehen Beispiele Definitionen (Code, Codewort, Alphabet, Länge) Hamming-Distanz Definitionen (Äquivalenz, Coderate, ) Singleton-Schranke Lineare Codes Hamming-Gewicht

Mehr

Numerisches Programmieren

Numerisches Programmieren Technische Universität München SoSe 213 Institut für Informatik Prof. Dr. Thomas Huckle Dipl.-Inf. Christoph Riesinger Dipl.-Math. Jürgen Bräckle Numerisches Programmieren 2. Programmieraufgabe: Lineare

Mehr

Schnelle Lösung großer Gleichungssysteme

Schnelle Lösung großer Gleichungssysteme Schnelle Lösung großer Gleichungssysteme Anton Schüller 1 Ulrich Trottenberg 1,2 Roman Wienands 2 1 Fraunhofer-Institut Algorithmen und Wissenschaftliches Rechnen SCAI 2 Mathematisches Institut der Universität

Mehr

KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren

KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren Beispiel 3.2. Gesucht u(x), das eine Differentialgleichung vom Typ u (x) + λ(x)u(x) = f(x), x [0,], mit den Randbedingungen u(0) = u() = 0

Mehr

Lineare Algebra Übungen mit Lösungen

Lineare Algebra Übungen mit Lösungen Dr Andreas Maurischat Aachen September Lineare Algebra Übungen mit Lösungen Vorkurs Mathematik RWTH Aachen Aufgaben um Kapitel (Matrixbegriff Grundlagen der Matrixrechnung Aufgabe Geben Sie die folgenden

Mehr

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf

Kochen mit Jordan. Vorbereitungen. Schnellzubereitung. JNF für Genießer wenn s noch etwas mehr sein darf Kochen mit Jordan Vorbereitungen Man nehme eine Matrix A R n n und bestimme ihr charakteristisches Polynom p(λ) = (λ c ) r (λ c j ) rj C[X] Dabei gilt: algebraische Vielfachheit r j ˆ= Länge des Jordanblocks

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Anhang B. Matrixalgebra. B.1 Matrizen. B.2 Spezielle Matrizen

Anhang B. Matrixalgebra. B.1 Matrizen. B.2 Spezielle Matrizen Anhang B Matrixalgebra In der Ökonometrie wie in vielen anderen Wissenschaften spielen lineare Gleichungssysteme eine wichtige Rolle Diese lassen sich mit Hilfe von Matrizen und Vektoren sehr viel einfach

Mehr

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64

Vektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64 1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Dünn besetzte Matrizen. Unterschiede in Speicherbedarf und Rechenzeit im Vergleich zu voll besetzten Matrizen. Besetzungsmuster mit spy.

Dünn besetzte Matrizen. Unterschiede in Speicherbedarf und Rechenzeit im Vergleich zu voll besetzten Matrizen. Besetzungsmuster mit spy. 170 005 Übungen zu Numerische Methoden I Fünfte Übungseinheit 21. März, 22. und 23. April 2013 Inhalt der fünften Übungseinheit: Dünn besetzte Matrizen. Unterschiede in Speicherbedarf und Rechenzeit im

Mehr

Ausgleichungsrechnung I

Ausgleichungsrechnung I Ausgleichungsrechnung I oder Die Anwendung statistischer Methoden in Vermessungswesen und GIS Gerhard Navratil mit Beiträgen von Martin Staudinger Institute for Geoinformation Technical University Vienna

Mehr

Die Top 10 der Algorithmen Der QR-Algorithmus

Die Top 10 der Algorithmen Der QR-Algorithmus Die Top 10 der Algorithmen Der QR-Algorithmus Hans Hansen TU Chemnitz WS 04/05 17. Januar 2005 1 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 3 2 Die Grundidee 3 3 Ähnlichkeitstransformationen

Mehr

Die Lineare Algebra-Methode. Mahir Kilic

Die Lineare Algebra-Methode. Mahir Kilic Die Lineare Algebra-Methode Mahir Kilic 23. Juni 2004 1 Einführung 1.1 Überblick Im Allgemein benutzt man die Lineare Algebra-Methode in der Kombinatorik wie folgt: Für die Bestimmung einer Obergrenze

Mehr

Fakultät für Mathematik und Informatik. Seminar über angewandte Analysis. Sommersemester 2007. Der Kreissatz von Gerschgorin

Fakultät für Mathematik und Informatik. Seminar über angewandte Analysis. Sommersemester 2007. Der Kreissatz von Gerschgorin Fakultät für Mathematik und Informatik Lehrgebiet angewandte Mathematik Prof. Dr. H. Linden Dipl.-Math. H.-J. Schäfer Seminar über angewandte Analysis Sommersemester 2007 Der Kreissatz von Gerschgorin

Mehr

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Einführung in MATLAB

Einführung in MATLAB Kapitel 4 Einführung in MATLAB 41 Allgemeines MATLAB ist eine kommerzielle mathematische Software zur Lösung mathematischer Probleme und zur graphischen Darstellung der Ergebnisse Die Verfahren in MATLAB

Mehr

Einführung in die Tensorrechnung

Einführung in die Tensorrechnung 1. Definition eines Tensors Tensoren sind Grössen, mit deren Hilfe man Skalare, Vektoren und weitere Grössen analoger Struktur in ein einheitliches Schema zur Beschreibung mathematischer und physikalischer

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG. Skripten der Mathematischen Institute. Wolfgang Marten. Lineare Algebra

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG. Skripten der Mathematischen Institute. Wolfgang Marten. Lineare Algebra TECHNISCHE UNIVERSITÄT BRAUNSCHWEIG Skripten der Mathematischen Institute Wolfgang Marten Lineare Algebra für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik Wintersemester 24/25 Neunte, überarbeitete

Mehr

3. Grundlagen der Linearen Programmierung

3. Grundlagen der Linearen Programmierung 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations

Mehr

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth

Klausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes University of Applied Sciences Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung

Mehr

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14.

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14. Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200 Instabilitäten

Mehr

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt

Lineare Algebra II 5. Übungsblatt Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross / Mai Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Algebraisch abgeschlossener Körper) Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen,

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 11 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 20. Januar. http://www.math.uni-bielefeld.

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 11 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 20. Januar. http://www.math.uni-bielefeld. Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 11 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 20. Januar http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung:

Mehr

Eine zweidimensionale Stichprobe

Eine zweidimensionale Stichprobe Eine zweidimensionale Stichprobe liegt vor, wenn zwei qualitative Merkmale gleichzeitig betrachtet werden. Eine Urliste besteht dann aus Wertepaaren (x i, y i ) R 2 und hat die Form (x 1, y 1 ), (x 2,

Mehr