10.4 Matrizeninversion

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1 Matrizeninversion In diesem Abschnitt behandeln wir eine Matrizenoperation, die der Kehrwertbildung a 1 := 1/a bei reellen Zahlen entspricht Nun ist eine Division durch eine Matrix nicht sinnvoll, so dass man andere Zusammenhänge für die Übertragung des Kehrwertbegriffes verwendet: Bei reellen Zahlen gilt a 1 a = a a 1 = 1 Da nun der Zahl 1 die Einheitsmatrix I entspricht, entspricht a 1 der inversen Matrix in der folgenden Definition 107 Es sei A eine n, n Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine n, n Matrix, die man mit A 1 bezeichnet, gibt, so dass gilt: A 1 A = A A 1 = I n A 1 heißt die Inverse von A Beispiel 1016 a A := Kontrolle: = ist invertierbar mit A 1 = 0 1, = 0 1 b Nicht invertierbare Matrizen: B := 0 0, C :=, D := 2 4 Bei den Matrizen B und C ist dies leicht durch Überprüfung an der Definition der inversen Matrix festzustellen: Für die Inversen B 1 und C 1 müsste gelten: B 1 B = I und C 1 C = I Es gilt aber offensichtlich 0 0 F1,1 + F 1,2 0 F B = I und F C = I 0 0 F 2,1 + F 2,2 0 für jede 2, 2 Matrix F Für die Matrix D wird dies in Beispiel 1018 behandelt

2 187 Bei der Berechnung von A 1 vergl u ist eine Kontrolle immer zu empfehlen Es genügt aber, nur eines der beiden Produkte auszuführen, was später begründet wird Regel 104 Es sei A eine invertierbare n, n Matrix, und x,y seien zwei n Spaltenvektoren Dann gilt: y = A x x = A 1 y Beweis: y = Ax A 1 y = A 1 Ax = I x = x,x = A 1 y Ax = A A 1 y = I y = y Regel 105 Es seien A, B zwei invertierbare n, n Matrizen Dann gilt: a A B 1 = B 1 A 1, b A 1 = A 1 Beweis: a B 1 A 1 A B = B 1 A 1 A B = B 1 I B = B 1 B = I, analog gilt: A B B 1 A 1 = I b Nach Regel 102c gilt: A 1 A = A A 1 = I = I, analog gilt: A A 1 = I Bemerkung 103 A B oder gar a ist nicht sinnvoll Sinnvoll sind höchstens die Produkte b A B 1 und B 1 A, falls A, B n, n Matrizen sind und B invertierbar ist Für das Berechnungsverfahren A 1 gehen wir von der Beziehung A A 1 = I n aus Bezeichnen wir vorübergehend die Spalten der zunächst unbekannten Inversen mit x 1,x 2,,x n, so erhalten wir A A 1 =: A x 1,x 2,,x n = A x 1, A x 2,,A x n =! I n = e 1,e 2,,e n,

3 188 und damit A x 1 = e 1, A x 2 = e 2,,A x n = e n, wobei e 1,e 2,,e n die in 101 erneut eingeführten Einheitsvektoren sind Wir haben also n LGS zu lösen, und dies kann simultan geschehen: 0! = A x + s 1 e 1 + s 2 e s n e n, 109 wobei bei der Auswertung eins der s j := 1 und die übrigen := 0 gesetzt werden Wenn wir zb s 2 := 1 und s j := 0 für j 2 setzen, so erhalten wir 0! = A x + 0 e e e e n also A x = e 2 Zur Inversion behandeln wir zwei Beispiele: Beispiel 1017 A := Zur Bestimmung der Inversen behandeln wir das LGS 109 mit dem AT Verfahren: x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s x x x

4 189 Die Dezimalzahlen wurden mit 2 Stellen Genauigkeit eingetragen, aber die Rechnung erfolgte unter der Ausnutzung von Speichern auf dem Taschenrechner mit höherer Genauigkeit Die drei Auswertungszeilen liefern die Zeilenvektoren x 1 015, 0028, 0019 x 2 x , 017, , 016, 023 Damit erhalten für die Inverse: A = Transponierte der Matrix links unten im Tableau Zur Kontrolle überprüfen wir, ob A 1 A tatsächlich die Einheitsmatrix ist: A 1 A = Wir haben Näherungen verwendet, und deshalb ist nicht zu erwarten, dass wir die Einheitsmatrix exakt erhalten Da aber die Matrix auf der rechten Seite nur wenig von der Einheitsmatrix abweicht, können wir davon ausgehen, dass wir die Elemente von A 1 näherungsweise bestimmt haben Mit dem AT Verfahren kann man auch prüfen, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht: Beispiel 1018 Ist die Matrix A := invertierbar? Die Durchführung des AT Verfahrens ergibt: x 1 x 2 s 1 s x

5 190 Das Resttableau liefert für s 1 = 1 und s 2 = 0 und auch für s 2 = 1 und s 1 = 0 einen!! Widerspruch, und somit ist keines der beiden LGS A x 1 = e 1 und A x 2 = e 2 lösbar Die Matrix ist also nicht invertierbar In diesem Beispiel ist ausführlich begründet, warum die Matrix nicht invertierbar ist Künftig verwenden wir das Kriterium: Regel 106 Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn bei dem oben beschriebenen AT Verfahren zur simultanen Lösung der LGS A x 1 = e 1, A x 2 = e 2,,A x n = e n, alle Variablen x 1, x 2, x n ausgetauscht wurden Diese Aussage ist eine direkte Folgerung aus Regel 1012

6 191 Es bleibt noch zu klären, weshalb es bei der Kontrollrechnung für die Inverse genügt, nur eine von den beiden Bedingungen A 1 A = I und A A 1 = I zu überprüfen was aber nur der Vollständigkeit halber in das Skriptum aufgenommen wurde und daher übergangen werden kann: Bei dem Berechnungsverfahren gingen wir von der zweiten Bedingung A A 1 = I aus Gibt es nun zwei Matrizen B 1 und B 2 mit B 1 A = I und A B 2 = I, so gilt B 1 = B 1 I = B 1 A B 2 = B 1 A B 2 = I B 2 = B 2 Damit ist A invertierbar, und es gilt A 1 = B 1 = B 2 Die Frage ist nur, ob aus der Existenz bzw Nicht Existenz einer Matrix B 2 mit A B 2 = I, die mit dem oben beschriebenen Verfahren gezeigt wird, auch die Existenz bzw Nicht Existenz einer Matrix B 1 mit B 1 A = I folgt Nun ist B 1 A = I nach Regel 102 äquivalent zu A B1! = I = I, und die Existenz einer passenden Matrix B1 lässt sich durch Anwendung des obigen Verfahrens auf A klären Für A und A kann man aber durch geeignete Auswahl der Pivotelemente erreichen, dass die Folgetableaus bei A die Transponierten der Folgetableaus bei A sind Die Kellerzeilen stimmen in der Regel nicht überein Damit gilt: Zu einer n, n Matrix A gibt genau dann eine Matrix B 1 mit B 1 A = I n, wenn es eine Matrix B 2 mit A B 2 = I n gibt Dies gilt aber nur für quadratische Matrizen, auf die wir uns in diesem Unterabschnitt ohnehin generell beschränkt haben

7 Determinanten Vorbemerkung: Der erste Teil dieses Abschnittes 105 soll die Einführung des Determininantenbegriffes anschaulich motivieren Aus Zeitknappheit werde ich diesen ersten Teil in der Vorlesung nur summarisch angesprechen, so dass erst der Teil dieses Abschnittes nach Formel 1018 relevant ist Die Sarrus Regel 1027, die Beweise zu den Regeln 107, 108, 109 und die Herleitung des Berechnungsverfahrens für Determinanten S 197 nach Formel 1023 S 198, Zeile 1, und S sind nur der Vollständigkeit halber ins Skriptum aufgenommen und können daher übergangen werden In dem Abschnitt 85 wurden Formeln zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms und des Volumens eines Spats angegeben Diese beiden Formeln waren unterschiedlich aufgebaut Mit Hilfe des in diesem Abschnitt eingeführten Determinantenbegriffs kann man nun für beide Berechnungen eine einheitliche Formel angeben, die darüber hinaus auf Volumenberechnung in beliebigen Dimensionen anwendbar ist: a 1,a 2,,a n, seien beliebige Spaltenvektoren im R n und die Punktmenge { n } Pa 1,a 2,,a n := α j a j 0 α j 1 für alle j j=1 sei der von diesen Vektoren erzeugte Parallelotop P ist für n = 2 ein Parallelogramm und für n = 3 ein Spat Die Volumenberechnung soll nun über die Determinante deta 1,a 2,,a n det A! R erfolgen, wobei A := a 1,a 2,,a n die Matrix mit den Spalten a 1,a 2,,a n ist Wie die Determinante zu berechnen ist, ergibt sich im Wesentlichen daraus, dass gelten soll: V Pa 1,a 2,,a n := Volumen von Pa 1,a 2,,a n = deta 1,a 2,,a n 1010 Bei der Herleitung von Rechenregeln für die Determinante beschränken wir uns auf den zweidimensionalen Fall und damit auf Parallelogramme Zunächst gilt offensichtlich für α R : V Pαa 1,a 2 = α V Pa 1,a 2

8 193 a 2 a 1 15a 1 Damit erscheint es sinnvoll, detαa 1,a 2 = α deta 1,a 2 und deta 1, αa 2 = α deta 1,a zu fordern, und zwar auch für negative α und auch für α = 0 Insbesondere soll also gelten det a 1,a 2 = deta 1,a 2 und deta 1, a 2 = deta 1,a 2 det0,a 2 = det0a 1,a 2 = 0 deta 1,a 2 = 0 und deta 1,0 = Im Falle a 2 = a 1 entartet das Parallelogramm Pa 1,a 2 zu einer Strecke, und damit ist sein Flächeninhalt = 0 Daraus ergibt sich die Forderung: deta 1,a 1 = Für den Einfluss der Addition betrachten wir den Zusammenhang zwischen drei Parallelogrammen: a 2 + b 2 b 2 a 2 a 1 Es gilt hier offenbar V Pa 1,a 2 Fläche des 1 Parallelogramms +V Pa 1,b 2 Fläche des 2 Parallelogramms = V Pa 1,a 2 + b 2 Fläche des 3 Parallelogramms a 1

9 194 + Fläche des rechten Dreiecks Fläche des linken Dreiecks = V Pa 1,a 2 + b 2 Fläche des 3 Parallelogramms, also V Pa 1,a 2 + b 2 = V Pa 1,a 2 + V Pa 1,b 2 Ist die Lage der Vektoren zueinander so, wie sie in der obigen Skizze gegeben ist, so erhält man als sinnvolle Forderung an die Determinante: deta 1,a 2 + b 2 = deta 1,a 2 + deta 1,b Betrachten wir nun dagegen folgende Situation: a 2 b 2 a 2 + b 2 a 1 Jetzt gilt nicht mehr V Pa 1,a 2 + b 2 = V Pa 1,a 2 + V Pa 1,b 2 Aber die Vektoren a 1, a 2 + b 2, b 2 und a 2 b 2 a 2 + b 2 a 1 a 2 + b 2 + b 2 = a haben im Wesentlichen die gleiche Lage zueinander wie in der vorherigen Skizze a 1, a 2, b 2 und a 2 + b 2 zueinander Damit folgt aus 1015, 1014 und 1012 : deta 1,a 2 = deta 1,a 2 + b 2 + deta 1, b 2 = deta 1,a 2 + b 2 deta 1,b 2 und somit wieder deta 1,a 2 + b 2 = deta 1,a 2 + deta 1,b 2 Ein sinnvolle Forderung an die Determinante ist also generell: deta 1,a 2 + b 2 = deta 1,a 2 + deta 1,b 2 und deta 1 + b 1,a 2 = deta 1,a 2 + detb 1,a

10 195 Aus den bisherigen Forderungen an die Determinanten ergeben sich nun weitere wichtige Eigenschaften: deta 1,a 2 + αa 1 = deta 1,a 2 + deta 1, αa 1 = deta 1,a 2 + α deta 1,a 1 = deta 1,a = deta 1,a 2 und deta 1 + αa 2,a 2 = deta 1,a Diese Eigenschaft ist auch geometrisch direkt zu erklären: Das Parallelogramm Pa 1,a 2 +αa 1 hat die gleiche Höhe senkrecht zu a 1 wie das Parallelogramm Pa 1,a 2 und damit den gleichen Flächeninhalt deta 1,a 2 + deta 2,a 1 = deta 1,a 2 + a 1 + deta 2,a 1 + a 2 = deta 1 + a 2,a 2 + a 1 = 0 deta 1,a 2 = deta 2,a Für Vektoren im R n sammeln wir dann folgende Forderungen an die Determinante und daraus sich ergebende Eigenschaften: deta 1,a 2,,a j 1, αa j + βb j,a j+1,a n = α deta 1,a 2,,a j 1,a j,a j+1,,a n β deta 1,a 2,,a j 1,b j,a j+1,,a n Diese Eigenschaft nennt man Multilinearität Sie entspricht den Eigenschaften 1011 und 1014 im Spezialfall n = 2 Beispiel: 1 4α + 2β det 2 0α + 3β 3 det 2, α 0 + β 3, 3 5 1α + 4β = α det 2, 0, 3 + β det 2, 3,

11 α det β det Nur bei einer Spalte hier bei der zweiten wird die Linearkombination gebildet Es ist also iallg detαa + βb α det A + β det B deta 1,a 2,,a j 1,0,a j+1,,a n = 0, deta 1,a 2,,a j 1,a j,a j+1,,a k 1,a j,a k+1,,a n = Wenn eine Spalte der Nullvektor ist oder wenn zwei Spalten gleich sind, ist die Determinante = 0 vergl 1012 und 1013 Beispiel: det = Die Vertauschung von zwei Spalten bewirkt einen Vorzeichenwechsel vergl 1018: deta 1,a 2,,a j 1,a k,a j+1,,a k 1,a j,a k+1,,a n = deta 1,a 2,,a j 1,a j,a j+1,,a k 1,a k,a k+1,,a n 1021 Beispiel: det = det Die Addition des Vielfachen von einer Spalte zu einer anderen lässt die Determinante unverändert vergl 1017: deta 1,a 2,,a j 1,a j + αa k,a j+1,,a k 1,a k,a k+1,,a n = deta 1,a 2,,a j 1,a j,a j+1,,a k 1,a k,a k+1,,a n 1022

12 197 Beispiel: det α α α = det Die Regeln ermöglichen unter Hinzunahme der Forderung det I n = dete 1,e 2,,e n := V Pe 1,e 2,,e n := Volumen des Einheitsparallelotops Pe 1,e 2,,e n! = die Herleitung einer Berechnungsformel für die Determinante deta 1,a 2,,a n =: det a 1,1 a 2,1 a n,1 n = det a i1,1e i1, = n i 1 =1 i 1,i 2,i n=1, a 1,2 a 2,2 a n,2,, n a i2,2e i2,, i 2 =1 a 1,n a 2,n a n,n n a in,ne in i n=1 a i1,1 a i2,2 a in,n dete i1,e i2,,e in = π S n dete π1,e π2,,e πn n a πj,j 1024 Dabei bezeichnet S n die Menge aller Permutationen von N := {1, 2,, n}, dh die Menge aller bijektiven Abbildungen von N auf sich ZB ist durch π1 := 3, π2 := 2 und π3 := 1 eine Permutation von {1, 2, 3} auf sich gegeben: π1, π2, π3 = 3, 2, 1 ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt analog zu n j=1 α j := α 1 + α α n n α j := α 1 α 2 α n 1025 j=1 für die Summe Die letzte Identität in 1024 beruht darauf, dass nach 1020 dete i1,e i2,,e in = 0 ist, wenn mindestens zwei der Spalten e i1,e i2,,e in gleich sind, also j=1

13 198 πj := i j keine Permutation von N definiert Die Berechnungsformel lässt sich einfach auswerten, wenn n 3 ist: n = 1 : deta 1,1 = a 1,1 1 = a 1,1 Im Falle n = 2 erhalten wir, wobei wir gleichzeitig eine zweite oft verwendete Schreibweise für die Determinanten einführen: a 1,1 a 1,2 a1,1 a 1,2 := det = a 2,1 a 2,2 a 2,1 a 2,2 n a i1,1 a i2,2 dete i1,e i2 i 1,i 2 =1 = a 1,1 a 1,2 dete 1,e 1 + a 1,1 a 2,2 dete 1,e 2 + a 2,1 a 1,2 dete 2,e 1 + a 2,1 a 2,2 dete 2,e 2 = a 1,1 a 1,2 0 + a 1,1 a 2,2 1 + a 2,1 a 1,2 1 + a 2,1 a 2,2 0 = a 1,1 a 2,2 a 2,1 a 1,2 Diese Regel kann auch ohne Verwendung der Permutationen hergeleitet werden Nach den Formeln 1019 Multilinearität, 1020, 1021 Vertauschungsregel und 1023, wobei alle Formeln nach Regel 107 auch für Zeilen gelten, erhalten wir: a 1,1 a 1,2 a1,1 a 1,2 a1,1 a 1,2 0 a1,2 := det = det + det a 2,1 a 2,2 a 2,1 a 2,2 0 a 2,2 a 2,1 a 2,2 a1,1 a 1,2 a1, a1,2 = det + det + det + det a 2,2 a 2,1 a 2,2 a 2, 0 1 = 0 + a 1,1 a 2,2 det a 1,2 a 2,1 det 0 1 = a 1,1 a 2,2 1 + a 1,2 a 2,1 1 det = a 1,1 a 2,2 a 2,1 a 1, Dies liefert die Merkregel: Die Determinante einer 2, 2 Matrix ist gleich Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen Produkt der Elemente der Nebendiagonalen: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 1,1 a 2,2 a 2,1 a 1,2

14 199 Beispiel: det = = 10 Im Falle n = 3 beschränken wir uns bei der Summation gleich auf die Permutationen Nach 1021 und 1023 gilt dann: a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 := det a 2,1 a 2,2 a 2,3 = 3 dete π1,e π2,e π3 π S a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,1 a 3,2 a 3 j=1 3,3 a πj,j = a 1,1 a 2,2 a 3,3 dete 1,e 2,e 3 + a 1,1 a 3,2 a 2,3 dete 1,e 3,e 2 + a 2,1 a 1,2 a 3,3 dete 2,e 1,e 3 +a 2,1 a 3,2 a 1,3 dete 2,e 3,e 1 + a 3,1 a 1,2 a 2,3 dete 3,e 1,e 2 + a 3,1 a 2,2 a 1,3 dete 3,e 2,e 1 = a 1,1 a 2,2 a 3,3 1 + a 1,1 a 3,2 a 2,3 1 + a 2,1 a 1,2 a 3,3 1 +a 2,1 a 3,2 a 1,3 1 + a 3,1 a 1,2 a 2,3 1 + a 3,1 a 2,2 a 1,3 1 = a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 2,1 a 3,2 a 1,3 + a 3,1 a 1,2 a 2,3 a 3,1 a 2,2 a 1,3 a 2,1 a 1,2 a 3,3 a 1,1 a 3,2 a 2, Auch hierfür gibt es eine unter dem Namen Sarrussche Regel bekannte Merkregel: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 = a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 a 3,1 a 2,2 a 1,3 a 3,2 a 2,3 a 1,1 a 3,3 a 2,1 a 1,2 Die Produktbildungen erfolgen also längs der durchgezogenen Linien mit positivem und längs der gepunkteten Linien mit negativem Vorzeichen

15 200 Beispiel: det = = 13 Für die Berechnung von Determinanten von n, n Matrizen kann man für n 4 auf keinen Fall die Sarrussche Regel anwenden, sondern man muss andere Berechnungsverfahren anwenden Es gibt verschiedene Berechnungmethoden Wir wollen hier eine Berechnungmethode anwenden, die auf dem Austauschverfahren beruht Dazu bedarf es aber noch weiterer allgemeiner Vorbereitungen Aus den bisher genannten Regeln für die Determinante kann man zwei weitere wichtige allgemeine Eigenschaften gewinnen: Regel 107 Es gilt für alle n, n Matrizen A: det A = det A Damit gelten alle bisherigen, auf Spalten bezogene Regeln auch für Zeilen, zb dass die Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen die Determinante nicht verändert Beweis Nach 1024 gilt: det A = dete π1,e π2,,e πn π S n = π S n dete π1,e π2,,e πn n i=1 n j=1 a πj,j a i,π 1 i, da für jedes i N := {1, 2,, n} für genau ein j N gilt: i = πj Da nun die Permutation π 1 genauso viele Vertauschungen von Spalten nach sich zieht wie die Permutation π kann man weiter folgern: det A = π S n dete π 1 1,e π 1 2,,e π 1 n = π S n dete π1,e π2,,e πn n i=1 a i,π 1 i n A πi,i = det A i=1

16 201 Beispiel: det = det so = Es gilt zwar iallg detαa + βb α det A + β det B, aber für das Produkt von Matrizen gilt der Determinanten Multiplikationssatz: Regel 108 Für zwei n, n Matrizen A und B gilt deta B = det A det B Beweis Nach 1019 gilt: deta B = deta 1,a 2,,a n B n n n = det B j1,1a j1, B j2,2a j2,, B jn,na jn = j 1 =1 n j 1,j 2,j n=1 j 2 =1 j n=1 detb j1,1a j1, B j2,2a j2,,b jn,na jn = π S n deta π1,a π2,,a πn = π S n dete π1,e π2,,e πn det A n i=1 B πi,i n B πi,i, da dete π1,e π2,,e πn aus dete 1,e 2,,e n = 1 durch genauso viele Spaltenvertauschungen hervorgeht wie deta π1,a π2,,a πn aus det A = deta 1,a 2,,a n Damit erhalten wir nach 1024: deta B = det A n dete π1,e π2,,e πn B πi,i = det A det B π S n Beispiel: det = det det i=1 i=1 so = = 169

17 202 Als eine Folgerung aus dem Determinantenmultiplikationssatz ergibt sich die Cramersche Regel zur Auflösung von LGS: Regel 109 Es sei A eine n, n Matrix mit det A 0 Dann gilt für das LGS die Auflösungformel: Ax = b x j = det A j det A, wobei die Matrix A j aus der Matrix A dadurch entsteht, dass die j te Spalte a j durch b ersetzt wird Beweis Es gilt n dete 1,,e j 1,x,e j+1,,e n = det e 1,,e j 1, x i e i,e j+1,,e n n = det e 1,,e j 1, x i e i n i=1 i=1 k=1,k j x k e k,e j+1,,e n = dete 1,,e j 1, x j e j,e j+1,,e n = x j dete 1,,e n = x j und damit nach Regel 108 x j det A = det A dete 1,,e j 1,x,e j+1,,e n = det Ae 1,,e j 1,x,e j+1,,e n = detae 1,,Ae j 1, Ax, Ae j+1,,ae n = deta 1,,a j 1,b,a j+1,,a n =: det A j Die Cramersche Regel liefert eine allgemeine Auflösungsformel für LGS, allerdings nur für eine eingeschränkte Klasse von LGS Für die zahlenmäßige Auflösung von LGS ist sie aber im Falle von mehr als zwei Unbekannten zu aufwendig Andere Verfahren wie das AT-Verfahren sind viel effektiver Darüberhinaus wird in diesem Abschnitt ein Determinantenberechnungsverfahren eingeführt, das auf dem AT-Verfahren für die Lösung von LGS basiert: Zur Berechnung einer Determinante einer n, n Matrix wählen wir ein Element c ij 0 aus und subtrahieren von der k ten Zeile mit k j das c kj /c ij fache der i ten Zeile Dies verändert nach 1022 und Regel 107 die Determinante nicht:

18 203 det c 11 c 1j c 1n c i1 c ij c in c n1 c nj c nn = det c 11 c 1,j c 1,j+1 c 1n c i 1,1 c i 1,j c i 1,j+1 c i 1,n c i1 c i,j 1 c ij c i,j+1 c in c i+1,1 c i+1,j c i+1,j+1 c i+1,n c n1 c n,j c n,j+1 c nn = det = 1 n j det c 11 c 1,j c 1,j+1 c 1n c i 1,1 c i 1,j c i 1,j+1 c i 1,n 0 0 c ij 0 0 c i+1,1 c i+1,j c i+1,j+1 c i+1,n c n1 c n,j c n,j+1 c nn c 11 c 1,j 1 c 1,j+1 c 1n 0 c i 1,1 c i 1,j 1 c i 1,j+1 c i 1,n c ij c i+1,1 c i+1,j 1 c i+1,j+1 c i+1,n 0 c n1 c n,j 1 c n,j+1 c nn 0

19 204 c 11 c 1,j 1 c 1,j+1 c 1n 0 c i 1,1 c i 1,j 1 c i 1,j+1 c i 1,n 0 = 1 n j 1 n i det c i+1,1 c i+1,j 1 c i+1,j+1 c i+1,n 0 c n1 c n,j 1 c n,j+1 c nn c ij d 11 d 1,n =: 1 i+j det d n 1,1 d n 1,n 0 0 c ij 1028 Bei der ersten Umformung og Zeilenoperation erhält man die Elemente der zweiten Matrix c kj c kj c ij = 0 für l = j, k i, c kl := c ij c kl c kj 1029 c il für l j, k i c ij Bei der zweiten Umformung multiplizieren subtrahieren wir von l ten Spalte, l j, das c il /c ij fache der j ten Spalte Dies lässt alle Zeilen außer der i ten Zeile unverändert, und für die i ten Zeile der dritten Matrix erhalten wir die Elemente c il c il c ij c ij = 0, l j Zu der vierten Matrix kommen wir dadurch, dass wir bei der dritten Matrix die j te Spalte sukzessive mit den Spalten j + 1, j + 2,, n vertauschen Bei jeder dieser Vertauschungen bleibt nach 1021 die Determinante erhalten bis auf einen Faktor 1 Da wir n j Vertauschungen vornehmen, erhalten wir schließlich, dass die Determinanten der dritten und vierten Matrix bis auf einen Faktor 1 n j gleich sind Zu der fünften Matrix kommen wir dadurch, dass wir bei der vierten Matrix die i te Zeile sukzessive mit den Zeilen i + 1, i + 2,, n vertauschen Bei jeder dieser Vertauschungen bleibt nach 1021 und Regel 107 die Determinante erhalten bis auf einen Faktor 1 Da wir n i Vertauschungen vornehmen, erhalten wir schließlich, dass die Determinanten der vierten und fünften Matrix bis auf einen Faktor 1 n i gleich sind Der resultierende Vorfaktor lässt sich nun noch weiter umrechnen:

20 205 1 n j 1 n i = 1 2n i+j = 1 2n 1 i+j = 1 1 i+j 1 2i+j = 1 i+j 1 2 i+j = 1 i+j 1 i+j = 1 i+j Beim Übergang von der fünften zur sechsten Matrix werden also lediglich die Elemente umbenannt Formel 1028 ergibt nun eine Rekursionsformel zur Determinantenberechnung: det c 11 c 1j c 1n d 11 d 1,n c i1 c ij c in = 1 i+j det d n 1,1 d n 1,n 0 0 c ij c n1 c nj c nn n 1 n 1 n 1 = 1 i+j det d i1,1e i1, d i2,2e i2,, d in 1,n 1e in 1, c ij e n i 1 =1 i 2 =1 n 1 = 1 i+j c ij i 1,i 2,,i n 1 =1 n 1 d ij,j j=1 i n 1 =1 det e i1,e i2,,e in 1,e n d 11 d 1,n 1 = 1 i+j c ij det d n 1,1 d n 1,n 1 c 11 c 1,j 1 c 1,j+1 c 1n = 1 i+j c ij det c i 1,1 c i 1,j 1 c i 1,j+1 c i 1,n c i+1,1 c i+1,j 1 c i+1,j+1 c i+1,n c n1 c n,j 1 c n,j+1 c nn 1030 Da nun die Berechnung der Elemente c k,l = c k,l c k,j c i,l /c i,j = c k,l + c k,j c i,l nach 1029 für l j, k i genauso erfolgt wie beim Austauschverfahren vergl 103 und 104, erhält man die reduzierte Matrix mit einem

21 206 Austauschschritt Wir erhalten damit die folgende Rekusionsformel zur Determinantenberechnung: Determinante = 1 i+j c ij Determinante der Matrix im nächsten Tableau, 1031 wobei c ij das ausgewählte Pivotelement ist Die Zeilennummer i und die Spaltennummer j beziehen sich dabei immer auf das aktuelle Tableau und nicht auf das Anfangstableau Somit kann das Austauschverfahren zur Determinantenberechnung verwendet werden Die abgespaltenen Faktoren 1 i+j c ij sollten dabei in einer gesonderten Spalte registriert werden Bei Matrizen mit ausschließlich ganzzahligen Elementen ist die Determinante ebenfalls eine ganze Zahl Brüche oder gerundete Dezimalzahlen sollten daher in den Tableaus mit Ausnahme der Kellerzeilen vermieden werden Dazu multiplizieren wir einzelne Zeilen mit geeigneten ganzzahligen Faktoren Da diese aber den Wert der Determinante nach 1022 und Regel 107 verändern muss dies ausgeglichen werden, und zwar durch den den Kehrwert des Faktors Diesen Kehrwert schreiben wir als Ausgleichsfaktor in die letzte Spalte Keine Eintragung in die beiden letzten Faktorenspalten ist gleichwertig mit der Eintragung des neutralen Faktors 1 Beispiel 1019 A := , det A =?

22 207 abgespaltener Faktor Ausgleichsfaktor = = / /3 11/ = 8 9/ = 1 Damit erhalten wir: det A = 1 3 1/3 8 1 = 8 Statt des letzten AT Schrittes kann man auch die Determinante der Matrix des vorletzten Tableaus verwenden: det A = 1 3 1/3 det = = Statt der Angabe der Potenzen von 1 in den obigen Tableaus kann man auch die abgespaltenen Faktoren mit Hilfe der folgenden Vorzeichenregel bestimmen:

23 Als abgespaltener Faktor ist also ±Pivotelement einzutragen, abhängig von dem Vorzeichen an der Stelle des Pivotelementes in dem obigen Schema also nicht von dem Vorzeichen des Pivotelementes Bei Determinanten mit Parametern, wie sie zb bei der Bestimmung von Eigenwerten von Matrizen auftreten, kann man, wenn kein Element ohne Parameter als Pivotelement mehr zur Verfügung steht, auf folgende Art versuchen, sich Elemente ohne Parameter zu beschaffen: Man addiert in einem Zwischentableau das geeignete Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile dies geht auch bei der Lösung von LGS oder das Vielfache einer Spalte zu einer anderen dies geht bei der Lösung von LGS nicht Bei den in diesem Kurs behandelten Beispielen wird das nicht nötig sein Es ist weiterhin zweckmäßig, wie im Beispiel 1019 erläutert, eine 2,2 Determinante zu verwenden