Invertierbarkeit von Matrizen

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1 Invertierbarkeit von Matrizen Lineare Algebra I Kapitel April 2013

2 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 417, Sprechstunden Freitag Webseite: holtz Assistent: Agnieszka Miedlar, MA 462, Sprechstunden Dienstag Tutoren: Clauß, Große, Reinke, Sieg Anmeldung: über MOSES Fragen? Studentische Studienfachberatung, MA 847 Telefon: (030) Vorlesungen: VL am Dienstag, Mittwoch im MA004 (ausnahmsweise am im HE 101) Zulassung zur Klausur: mit 50% Punkten für Hausaufgaben in jeder Semesterhälfte Klausur: Mitte Juli

3 Invertierbarkeit von Matrizen Definition Eine Matrix A R n,n heißt invertierbar, wenn es ein à R n,n gibt mit ÃA(= AÃ) = I n. Man schreibt dann à = A 1, und nennt à die inverse Matrix zu A.

4 Invertierbarkeit von Matrizen Definition Eine Matrix A R n,n heißt invertierbar, wenn es ein à R n,n gibt mit ÃA(= AÃ) = I n. Man schreibt dann à = A 1, und nennt à die inverse Matrix zu A. Beachte, obwohl die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist vertauscht eine invertierbare Matrix A R n,n mit ihrer Inversen!

5 Invertierbarkeit von Matrizen Definition Eine Matrix A R n,n heißt invertierbar, wenn es ein à R n,n gibt mit ÃA(= AÃ) = I n. Man schreibt dann à = A 1, und nennt à die inverse Matrix zu A. Beachte, obwohl die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist vertauscht eine invertierbare Matrix A R n,n mit ihrer Inversen! Lemma Seien A, B R n,n invertierbar. Dann ist AB invertierbar und es gilt (AB) 1 = B 1 A 1.

6 Invertierbarkeit von Matrizen Definition Eine Matrix A R n,n heißt invertierbar, wenn es ein à R n,n gibt mit ÃA(= AÃ) = I n. Man schreibt dann à = A 1, und nennt à die inverse Matrix zu A. Beachte, obwohl die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist vertauscht eine invertierbare Matrix A R n,n mit ihrer Inversen! Lemma Seien A, B R n,n invertierbar. Dann ist AB invertierbar und es gilt (AB) 1 = B 1 A 1. Beweis: Es gilt (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n, (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 I n B = B 1 B = I n und damit folgt die Behauptung.

7 Die Gruppe GL n Frage: ist jede quadratische Matrix invertierbar?

8 Die Gruppe GL n Frage: ist jede quadratische Matrix invertierbar? Gar nicht. Beispiele: [ ] [ ] [ ] ,,

9 Die Gruppe GL n Frage: ist jede quadratische Matrix invertierbar? Gar nicht. Beispiele: [ ] [ ] [ ] ,, Theorem Die Menge der invertierbaren Matrizen in R n,n ist bezüglich der Matrizenmultiplikation eine (nicht kommutative) Gruppe. Wir bezeichnen diese Menge mit GL n (R) (General Linear group). Beweis: Die Assoziativität und die Abgeschlossenheit dieser Menge (unter Multiplikation) haben wir bereits gezeigt. Das Einselement ist durch die Einheitsmatrix I n gegeben und die Existenz von multiplikativen Inversen gilt per Definition.

10 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T.

11 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1.

12 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist.

13 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist.

14 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist. e) A heißt Permutationsmatrix, falls in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0 sind.

15 Spezielle Klassen von quadratischen Matrizen Sei A R n,n. a) A heißt symmetrisch, falls A = A T. b) A heißt obere Dreiecksmatrix, falls a ij = 0 für alle i = 2,..., n, j = 1,..., i 1. c) A heißt untere Dreiecksmatrix, falls A T obere Dreiecksmatrix ist. d) A heißt Diagonalmatrix, falls A obere und untere Dreiecksmatrix ist. e) A heißt Permutationsmatrix, falls in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag 1 ist und alle anderen Einträge 0 sind. Beispiele: [ ], [ ], [ ].

16 Invertierung von Permutationsmatrizen Theorem Die Menge der Permutationsmatrizen in R n,n bildet eine multiplikative Gruppe. Ist A R n,n eine Permutationsmatrix, so gilt A 1 = A T.

17 Invertierung von Permutationsmatrizen Theorem Die Menge der Permutationsmatrizen in R n,n bildet eine multiplikative Gruppe. Ist A R n,n eine Permutationsmatrix, so gilt A 1 = A T. Beweis: Seien A = [a ij ], B = [b ij ] R n,n Permutationsmatrizen, C = A B = [c ij ] mit b n 1j c ij = a ik b kj = [a i1,..., a in ].. k=1 b nj

18 Invertierung von Permutationsmatrizen Theorem Die Menge der Permutationsmatrizen in R n,n bildet eine multiplikative Gruppe. Ist A R n,n eine Permutationsmatrix, so gilt A 1 = A T. Beweis: Seien A = [a ij ], B = [b ij ] R n,n Permutationsmatrizen, C = A B = [c ij ] mit b n 1j c ij = a ik b kj = [a i1,..., a in ].. k=1 b nj Da es nur genau ein Element a ik gibt, welches von 0 verschieden (nämlich = 1) ist, und genau ein Element b kj, welches von 0 verschieden (= 1) ist, so gibt es in jeder Zeile und in jeder Spalte von C genau ein von Null verschiedenes Element (= 1), nämlich dort, wo a ik = b kj = 1 ist. Sei A A T = C = [c ij ]. Dann gilt: c ij = n a ik a jk = δ ij. k=1

19 Invertierung von Diagonalmatrizen Theorem Die Menge der invertierbaren Diagonalmatrizen bildet eine kommutative multiplikative Gruppe.

20 Invertierung von Diagonalmatrizen Theorem Die Menge der invertierbaren Diagonalmatrizen bildet eine kommutative multiplikative Gruppe. Beweis: Die Abgeschlossenheit des Produktes, und die Gesetze (Ass ) und (Eins) sind klar. Seien A = [a ij ], B = [b ij ] Diagonalmatrizen. C = A 1 existiert nach Voraussetzung. Aus der Formel für die Inverse folgt c ij = δ ij a 1 ii, i, j = 1,..., n. Also ist C Diagonalmatrix. Weiterhin gilt A B = diag(a 11 b 11,..., a nn b nn ) = diag(b 11 a 11,..., b nn a nn ) = B A.

21 Invertierung von Dreiecksmatrizen I Theorem Die Menge der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen in R n,n ist bezüglich der Matrixmultiplikation eine (nicht kommutative) Gruppe. (Analoges gilt für invertierbare untere Dreiecksmatrizen.)

22 Invertierung von Dreiecksmatrizen I Theorem Die Menge der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen in R n,n ist bezüglich der Matrixmultiplikation eine (nicht kommutative) Gruppe. (Analoges gilt für invertierbare untere Dreiecksmatrizen.) Beweis: Es seien A = [a ij ], B = [b ij ] invertierbare obere Dreiecksmatrizen in R n,n. Wir müssen für die Abgeschlossenheit der Menge (unter Multiplikation) zunächst beweisen, dass A B wieder eine obere Dreiecksmatrix ist. Sei C = A B = [c ij ]. Für i > j gilt c ij = n a ik b kj k=1 = j a ik b kj (da b kj = 0 für k > j) k=1 = 0. (da a ik = 0 für i > k)