6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

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1 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 $Id: quadrat.tex,v. 9/6/9 4:6:48 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6. Symmetrische Matrizen Eine n n Matrix heißt symmetrisch wenn sie gleich ihrer Transponierten ist, wenn also A t = A gilt. Symmetrische Matrizen sind eine besonders häufig auftretende spezielle Sorte von Matrizen, die zugleich einige besonders günstige Eigenschaften haben. Ist A symmetrisch, so haben wir für alle Vektoren x, y R n stets (Ax y = x (A t y = x (Ay. Diese simple Beobachtung ergibt die folgende wichtige Tatsache: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix stehen senkrecht aufeinander. Seien nämlich A eine symmetrische n n Matrix, λ, µ zwei verschiedene Eigenwerte von A und v E λ (A, w E µ (A zugehörige Eigenvektoren. Dann folgt λv w = (λv w = (Av w = v (Aw = v (µw = µv w = (λ µv w =, also v w = wegen λ µ. Tatsächlich gilt noch viel mehr: Satz 6. (Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen Sei A eine symmetrische n n Matrix. Dann gibt es eine aus Eigenvektoren von A bestehende Orthonormalbasis des R n. Insbesondere ist A diagonalisierbar, alle Eigenwerte von A sind reell und die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten von A stehen senkrecht aufeinander. Weiter existiert eine orthogonale Matrix S mit S t AS = λ... λ n, wobei λ,..., λ n die mit Vielfachheit aufgezählten Eigenwerte von A sind. Beweis: Dass A diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten ist wollen wir hier glauben. Die Aussage über die Orthogonalität der Eigenräume haben wir oben eingesehen. Ist nun u,..., u n eine aus Eigenvektoren von A bestehende Orthonormalbasis des R n, so haben wir S AS = λ... λ n, 9-

2 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 wobei S die Transformationsmatrix von der Basis u,..., u n zur kanonischen Basis des R n ist. Nach Satz ist S eine orthogonale Matrix und somit gilt S = S t. Es gibt nicht nur eine aus Eigenvektoren bestehende Orthonormalbasis des R n, wir können auch eine berechnen. Die Berechnung einer solchen Orthonormalbasis des R n ist mit uns schon bekannten Rechenverfahren einfach möglich. Die Rechnung läuft in den folgenden Schritten ab: Gegeben: Eine symmetrische n n Matrix A. Gesucht: Eine aus Eigenvektoren von A bestehende Orthonormalbasis des R n, beziehungsweise eine orthogonale Matrix S so, dass S t AS eine Diagonalmatrix ist. Diese beiden Aufgaben sind gleichwertig, die Spalten der Matrix S bilden die gesuchte Orthonormalbasis und umgekehrt. Verfahren: Die Rechnung läuft in den folgenden Schritten ab:. Berechne die Eigenwerte λ,..., λ s von A. Diese sind alle reell.. Für jeden Eigenwert λ = λ i ( i s löse das homogene lineare Gleichungssystem (λ Ax = und bestimme eine Basis v i,..., v ini seines Lösungsraums. Anders gesagt soll eine Basis des Eigenraums E λ (A berechnet werden. Dies kann man beispielsweise wie üblich durch Gauß Elimination tun.. Wende auf jede der in Schritt ( gefundenen Basen v i,..., v ini ( i n der jeweiligen Eigenräume das Gram Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an, und erhalte eine Orthonormalbasis u i,..., u ini des Eigenraums E λi (A. 4. Setze die in Schritt ( für λ = λ i, i =,..., s gefundenen Basen zu einer Orthonormalbasis u,..., u n,..., u s,..., u srs des R n zusammen. Dies ist die gesuchte Orthonormalbasis u,..., u n. Die Matrix S deren Spalten die Vektoren u,..., u n sind ist orthogonal und S t AS ist eine Diagonalmatrix. Da dieses Verfahren sich nur aus uns schon bekannten Einzelschritten zusammensetzt, wollen wir hier nur ein Beispiel rechnen, nämlich die symmetrische Matrix A =

3 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 Wir suchen eine aus Eigenvektoren von A bestehende Orthonormalbasis des R 4. Zur Bestimmung der Eigenwerte berechnen wir das charakteristische Polynom x 9 χ A (x = x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 8 x 8 = x 8 x 8 x 8 x 8 = x 8 x 8 x 8 x 8 x 9 x 9 x 9 x 8 x 8 x 9 x 8 x 8 5 x = (x 8 = (x 8 x 9 x 9 = (x 8 (x 9 x 9 + x 8 x 8 5 x = (x 8 ((x 9 x 8 5 x = (x 8 ((x x = (x 8 (x x + 96 = (x 8 (x. Wir haben also zwei Eigenwerte λ = 8 und λ =. Beginnen wir mit λ =. Die Gauß Elimination läuft dann als Die Lösungsmenge ist also gegeben durch und somit u = v, y = v, x = y + u + v = v E (A = Zur Orthonormalisierung muss dieser Basisvektor nur normiert werden, also u 4 :=. 9-

4 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 Dass wir nur einen Eigenvektor zu normieren haben, ist glücklicherweise der Normalfall, wir bereits mehrfach erwähnt hat eine zufällig gewählte Matrix in der Regel lauter verschiedene Eigenwerte, die damit alle einen eindimensionalen Eigenraum haben. Für λ = 8 ergibt sich für den Eigenraum dagegen = x = y + u v. Eine Basis des Eigenraums E 8 (A ist gegeben durch v =, v =, v = Hier sind wir also im untypischen Fall und müssen noch etwas weiter rechnen. Auf die Vektoren v, v, v müssen wir nun die Gram Schmidt Orthonormalisierung anwenden. Diesmal suchen wir dabei keine Orthonormalbasis des gesamten R 4 sondern nur eine Orthormalbasis des von v, v, v aufgespannten Teilraums. Wir rechnen w := v =, w w =, w = v w = w = v + w + w =., w w =,, w w = 4 und normieren u =, u = w = 6 6 6, u = w =. Damit haben wir die gesuchte Orthonormalbasis des R 4 berechnet. Mit der orthogonalen Matrix 6 8 S = 6 6 ist also St AS =

5 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation Wie schon angekündigt wollen wir die bisher vorgestellte Theorie nun zur Untersuchung quadratischer Funktionen in mehreren Variablen nutzen, also Funktionen wie beispielsweise f(x, y = x + y xy x y +. Allgemein ist eine quadratische Funktion in n Variablen eine Funktion der Form f : R n R; x n a ij x i x j + b i x i + c i,j n i= mit Konstanten a ij, b i, c R ( i, j n. Für n = sieht die allgemeine quadratische Funktionen also ausgeschrieben wie folgt aus a x + a xy + a yx + a y + b x + b y + c x y Für unsere obige Beispielfunktion könnten wir etwa a = a = c =, a = b = b = und a = setzen. Da die definierende Summenformel etwas unhandlich ist, geht man nun zu einer Matrixbeschreibung der quadratischen Funktion f über. Hierzu setzt man A := und hat für jedes x R n i,j n a ij x i x j = a a n..... a n a nn und b := ( n n a ij x i x j = j= i= b. b n n (A t x j x j = (A t x y und n i= b ix i = b x. Die quadratische Funktion f in n Variablen können wir damit in der kompakten Form f(x = (A t x x + b x + c schreiben. Für i, j n mit i j taucht das Produkt x i x j zweimal auf, einmal als a ij x i x j und ein anderes Mal als a ji x j x i = a ji x i x j. Diese beiden Summanden können wir zusammenfassen und als j= a ij x i x j + a ji x j x i = (a ij + a ji x i x j = a ij + a ji 9-5 x i x j + a ij + a ji x j x i 4

6 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 schreiben. Diese neuen Koeffizienten (a ij + a ji / sind ssymmetrisch in i und j. Damit können wir immer erreichen, dass die Matrix A symmetrisch ist. In unserer Beispielfunktion werden ( ( A = und b =. Die offizielle Definition einer quadratischen Funktion wird jetzt zu: Definition 6.: Sei n N. Eine quadratische Funktion in n Variablen ist eine Funktion der Form f : R n R; x (Ax x + b x + c wobei A eine symmetrische n n Matrix ist, b R n ein Vektor ist und c R eine reelle Zahl ist. Ist dabei b = und c =, so nennt man f auch eine quadratische Form. Zum besseren Verständnis von f ist es hilfreich sich die Niveaumengen M t := {x R n f(x = t} für verschiedene Werte von t anzuschauen. Für unsere Beispielfunktion f(x, y = x + y xy x y + haben diese Mengen die Form.5 y.5.5 y x.5.5 x Niveaumengen Die Niveaumenge f(x, y = Wie Sie sehen sind die Niveaumengen hier allesamt Ellipsen. Für die Niveaumenge M haben wir auch die beiden Hauptachsen der Ellipse eingezeichnet, d.h. die Achsen auf denen die Ellipse minimalen oder maximalen Abstand von ihrem Schwerpunkt hat. Als Hauptachsentransformation bezeichnet man jetzt die Koordinatentransformation bei der der Nullpunkt des Koordinatensystems in den Schwerpunkt der Ellipse gelegt wird und die beiden Hauptachsen der Ellipse als Koordinatenachsen verwendet werden. Bezüglich eines Koordinatensystem mit Schwerpunkt im Mittelpunkt bei dem die 9-6

7 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 beiden Hauptachsen die Koordinatenachsen sind, hat eine Ellipse mit den Halbradiien a, b > die Form b a x a + y b =. Wir suchen also ein Koordinatensystem in dem unsere Niveaumenge M diese Form annimmt. Insbesondere können wir dann auch die beiden Halbradien unserer Ellipse berechnen. Es stellt sich heraus, dass man dann auch für allgemeinere quadratische Funktionen eine Hauptachsentransformation durchführen kann, dass das ganze also im Allgemeinen mit Ellipsen eigentlich nichts zu tun hat. Kommen wir allzu zur Situation f(x = (Ax x + b x + c in n Variablen zurück. Als erstes Ziel wollen wir den Nullpunkt unserer angestrebten Hauptachsentransformation finden. Wir untersuchen dazu erst einmal wie sich das Verschieben des Nullpunkts auf die quadratische Funktion auswirkt. Nehmen wir einmal an wir legen den Nullpunkt in den Punkt u R n. Sei x R n. Denken wir uns x bezüglich des neuen Koordinatenursprungs u, so sind die Koordinaten von x bezüglich des alten Nullpunkts gleich x + u. Setzen wir dies in die quadratische Funktion ein, so wird f(x + u = (A(x + u (x + u + b (x + u + c = (Ax + Au (x + u + b (x + u + c Setzen wir also = (Ax x + (Ax u + (Au x + (Au u + b x + b u + c = (Ax x + (Au + b x + c + (Au u + b u. b := Au + b und c := c + (Au u + b u = f(u, so wird f(x := f(x + u = (Ax x + b x + c. Wie müssen wir u wählen damit f möglichst einfach wird? Hier gibt es zwei mögliche Fälle, die wir gleich durchgehen werden. Fall. Es ist b Bild A. Dann können wir ein u R n mit Au = b = b = Au + b = 9-7

8 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 9.6 wählen und haben den linearen Anteil eliminiert. Fall. Es ist b / Bild A. Dann zerlegen wir den Vektor b in eine Summe b = b + b mit einem Teil b Bild(A und einem Vektor b der senkrecht auf dem Bild von A steht. Dann wählen wir u R n mit Au = b = b = Au + b = b, und wir haben den linearen Anteil senkrecht zum Bild von A gemacht. Weiter vereinfachen können wir in diesem Fall leider nicht, zumindest nicht durch Wahl des Koordinatenursprungs. Untersuchen wir einmal die Situation in unserem Beispiel f(x, y = x + y xy x y +. Hier ist die Matrix A invertierbar mit A = ( und für den Nullpunkt u erhalten wir u = A b = = A = 4 ( ( ( = Der Vektor u ist also tatsählich genau der Mittelpunkt unserer Ellipse, wie man im obigen Bild der Niveaumenge M tatsächlich sehen kann.. Wegen f(u = wird damit (. f(x = (Ax x beziehungsweise f(x, y = x + y xy. Bei der Transformation auf die Hauptachsen der Ellipse als Koordinatenachsen bleibt der Nullpunkt unverändert. Da der konstante Term keine Rolle spielt, müssen wir also nur noch eine quadratische Form f(x = (Ax x mit einer symmetrischen n n Matrix A betrachten. Nach Satz existiert eine orthogonale n n Matrix S mit λ S t AS =... =: D wobei λ,..., λ n die Eigenwerte von A sind. Diese Matrix existiert nicht nur, sondern wir hatten auch gesehen wie man sie ausrechnen kann. Die Matrix S ist die Transformationsmatrix von einer aus Eigenvektoren von A bestehenden Orthonormalbasis u,..., u n zur kanonischen Basis. In diesen transformierten Koordinaten wird die quadratische Form zu f(x := f(sx = (ASx (Sx = (S t ASx x = (Dx x = λ x + + λ n x n. An dieser Formel sehen wir insbesondere das die geometrische Form der quadratischen Funktion von den Vorzeichen der Eigenwerte der Matrix A bestimmt wird. Nehmen wir einmal das zweidimensionale Beispiel f(x, y = λ x + λ y. λ n 9-8

9 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag x 6 8 y x λ, λ > λ λ < y Sind beide Eigenwerte λ, λ positiv, so haben wir bis auf Skalierungen der x- und y- Achse das Rotationparaboloid f(x, y = x +y. Sind λ, λ beide negativ, so liegt analog ein nach unten geöffnetes Rotationsparaboloid vor. Haben λ und λ verschiedene Vorzeichnen, also λ λ <, so hat unsere Funktion nach Umskalieren und eventuellen Spiegeln an der Diagonalen die Form von f(x, y = x y, ist also eine Sattelfläche. 9-9