Mathematik 2, SS 2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung. Permutationen, Inversionen. Explizite Formel für die Determinante einer n n-

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1 I. Lineare Algebra Mathematik 2, SS 2015 Prof. F. Brock Zusammenfassung 1. Determinanten (siehe Fischer/Kaul I, S ) Matrix. Determinanten von 2 2- und 3 3-Matrizen. Alternierende Multilinearformen und Determinantenform. Eigenschaften der Determinante: Laplacescher Entwicklungssatz. Permutationen, Inversionen. Explizite Formel für die Determinante einer n n- Determinante der Inversen und der Transponierten einer Matrix. Determinante des Produktes von Matrizen. Determinante ähnlicher Matrizen. Adjunkte einer Matrix. Formel für die Inverse. Cramersche Regel. 2. Eigenwerte und Eigenvektoren (siehe Fischer/Kaul I, S ) Motivation: lineares Differentialgleichungssystem für 2 gekoppelte Pendel. Diagonalisierbarkeit und Eigenwertproblem für quadratische Matrizen. Diagonalisierbarkeit und Eigenwertproblem bei linearen Operatoren. Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum. Beispiele: identische Abbildung, Null-Abbildung. Drehung im R 2. Ableitungsoperator T = (d 2 /dx 2 ). Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren. Charakteristisches Polynom einer Matrix. Charakteristisches Polynom eines linearen Operators. Algebraische und geometrische Vielfachheit. Summe und Produkt von Eigenwerten. Diagonalisierbarkeit von linearen Operatoren. Beispiele: Eigenwerte und Eigenräume einer 3x3-Matrix. 3. Skalarprodukte und Orthonormalsysteme (siehe Fischer/Kaul I, S ) Skalarprodukte. Eigenschaften. Beispiel: Folgenraum l 2. Natürliche Norm. Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Dreiecks-Ungleichung. Orthogonalität. Orthogonales Komplement. Orthonormalsysteme. Beispiele: R n. C([ π, π]), bzgl. des Skalarproduktes u, v := π uv dx. π {v n : n = 0, 1,...} mit v 0 (x) = (2π) 1/2, v 2k 1 (x) = (π) 1/2 sin(kx), v 2k (x) = (π) 1/2 cos(kx), bilden ein Orthonormalsystem.

2 Darstellung bzgl. einer Orthonormalbasis. Orthogonale Projektion. Besselsche Ungleichung. Parsevalsche Gleichung. Beste Approximation im quadratischen Mittel. Beispiel. Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt. Beispiel: Legendresche Polynome. Unitäre Abbildungen und Isometrien, Parallelogrammgleichung, Polarisierungsgleichung, adjungierte Matrix, orthogonale Matrix. Basiswechsel zwischen ONBen. Beispiel: Unitäre Abbildungen im R 2 und R 3. Matrix- und Transformationsgruppen, lineare Gruppe, unitäre Gruppe U n, orthogonale Gruppe O n, spezielle orthogonale Gruppe SO n, Kreisgruppe, Translationsgruppe, längentreue Abbildungen. 4. Symmetrische Operatoren und quadratische Formen (siehe Fischer/Kaul I, S ) quadratische Form, Beispiele. Polarisierungsgleichung. Matrizen quadratischer Formen, Koeffizientenmatrix einer quadratischen Form bzgl. einer Basis. Transformationsmatrix des Basiswechsels. Symmetrische Operatoren, Eigenschaften, zugehörige quadratische Form und symmetrische Matrix. Diagonalisierbarkeit symmetrischer Operatoren, Eigenschaften der Eigenwerte und Eigenvektoren. Hauptachsentransformation, Kurven und Flächen zweiter Ordnung. Positive und positiv definite symmetrische Operatoren und quadratische Formen. II. Analysis mehrerer Veränderlicher 1. Normierte Räume (siehe Fischer/Kaul I, S ) Norm und Abstand. Offene Kugel B ε (x). Beispiele: R n : p, (1 p + ). C[a, b]: Supremumsnorm. Konvergenz. Eigenschaften konvergenter Folgen. Äquivalente Normen. Offene und abgeschlossene Mengen. Eigenschaften. Inneres, Äusseres, Abschluss und Rand von Mengen. Häufungspunkte.

3 Eigenschaften. Beispiele. Dichte Teilmengen. Beispiel: Q is dicht in R. Vollständige normierte Räume. Beispiele: R n, C[a, b]. Kompaktheit. Kompakte Mengen eines normierten Raumes sind abgeschlossen und beschränkt. Satz von Bolzano-Weierstrass. Im R n sind beschränkte, abgeschlossene Mengen kompakt. Satz von Heine-Borel. 2. Stetige Funktionen (siehe Fischer/Kaul I, S ) Definition stetiger Funktionen auf normierten Räumen. Beispiele: lineare Abbildungen, Skalarprodukte. Komposition stetiger Abbildungen. Urbilder abgeschlossener und und offener Mengen bei stetigen Funktionen. Stetige Funktionen auf kompakten Mengen. Satz vom Maximum und vom Minimum. Gleichmässige Stetigkeit auf kompakten Mengen. Zusammenhängende Mengen, Wege. Gebiete im R n. 3. Differentialrechnung im R n (siehe Fischer/Kaul I, S ) Definition der Differenzierbarkeit und Ableitung. Beispiele: Ableitung affiner Abbildungen und quadratischer Formen. Stetigkeit differenzierbarer Funktionen. Partielle Ableitungen. Ableitung und Jacobi-Matrix. Hauptkriterium für Differenzierbarkeit. Rechenregeln für differenzierbare Funktionen. Kettenregel. Beispiele. Die Räume C r (Ω, R m ). Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen. Gradient und Richtungsableitung. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung im R n. Satz von Taylor im R n. Beispiel. Lokale Extrema. Beispiele. Graph von Funktionen auf dem R 2. Tangentenvektoren, Tangentialebene. Diffeomorphismen. Umkehrsatz. Beispiele. Auflösung nichtlinearer Gleichungen. Satz über implizite Funktionen. Beispiele. 4. Gleichungsdefinierte Mannigfaltigkeiten (siehe auch Skript zur Vorlesung) Mannigfaltigkeiten. Tangential- und Normalvektoren. Tangential- und Normalraum. Tangentialebene. Beispiele.

4 Lokale Extrema mit Nebenbedingungen. Notwendige Bedingungen für Extrema, Lagrangesche Multiplikatoren. Beispiele: Youngsche Ungleichung. Matrix. Hinreichende Bedingen für Extrema. Eigenwerte einer reellen symmetrischen 5. Gleichmässige Konvergenz von Funktionenfolgen (siehe Fischer/Kaul I, S ) Gleichmässige Konvergenz von Funktionenfolgen und Reihen. Beispiele. Majorantenkriterium zur gleichmässigen Konvergenz. Eine Potenzreihe ist in jeder koimpakten Teilmenge ihres Konvergenzkreises gleichmässig konvergent. Der Limes einer gleichmässig konvergenten Folge von stetigen Funktionen ist stetig. Vertauschbarkeit von Grenzübergang mit Differentiation bzw. Integration. Beispiel: ln(1 + x) = x n n=1 n ( 1)n 1. IV. Gewöhnliche Differentialgleichungen (siehe Skript zur Vorlesung; W. Walter: Gewöhnliche DGLen, 1991; H. Heuser: Gewöhnliche DGLen, 1991) 1. Terminologie DGL n-ter Ordnung, implizite und explizite DGL, Integral einer DGL, allgemeine Lösung, Linienelement, Richtungsfeld, Anfangswertproblem (AWP), Existenzintervall. 2. Elementar integrierbare DGLen erster Ordnung DGlen des Typs y = f(x) und y = g(y). DGL mit getrennten Variablen: y = h(x)g(y). Nichteindeutigkeit gewisser AWPe. Beispiel: y = y, y(0) = ( 0. DGLen der Typen y = f(ax + by + c), y = f(y/x) und y = f ax+by+c αx+βy+γ Lineare DGL erster Ordnung. Homogene und inhomogene Gleichung. Superpositionsprinzip. Bernoullische DGL. Riccatische DGL. 3. Exakte DGLen und integrierende Faktoren DGLen für Kurvenscharen, symmetrische Form von DGLen erster Ordnung. Exakte DGLen, vollständiges Differential, Stammfunktion, Integrabilitätsbedingungen. Beispiel. ).

5 Integrierende Faktoren. Beispiel. 4. Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von AWPen Sätze von Picard Lindelöf und Peano. Beispiele. 5. Lineare DGL n-ter Ordnung Lösungsstruktur im homogenen und inhomogenen Fall, Fundamentalssystem, Wronski Determinante, Superpositionsprinzip. Beispiel. Reduktionsmethode von d Alembert. Der Fall n = 2. Beispiel. Lineare homogene DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, charakteristisches Polynom, reelles Fundamentalsystem. Beispiel. Variation der Konstanten. Der Fall n = 2. Beispiel. Methode der unbestimmten Koeffizienten. Beispiele.