Formeln und Aufgaben zur Rentenrechnung

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1 Foreln und ufgaben zur Rentenrechnung Detrch Baugarten «16. prl 014

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3 Inhaltsverzechns 1 Rentenrechnung Zusaenfassung Bespele rthetsche Folgen und Rehen Geoetrsche Folgen und Rehen Renten ufgaben Lösungen

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5 1 Rentenrechnung 1.1 Zusaenfassung 1. Be ener arthetschen Folge st de Derenz d zweer aufenander folgenden Gleder konstant. Es glt also: b k = b k 1 + d, b k = b 1 + k 1) d, b k = b + k )d. 1.1) De Sue ener arthetschen Folge t n Gledern st das arthetsche Mttel des ersten und des letzten Eleents ultplzert t der nzahl der Folgengleder. n k=1 n k=1 b k = b 1 + b + + b n = n b 1 + b n, 1.) b k = b 1 + b + + b n = n b 1 + n 1) d. 1.3). Be ener geoetrschen Folge st der Quotent q zweer aufenander folgenden Gleder konstant. Es glt also: b k = qb k 1, b k = b 1 q k 1, b k = b q k. 1.4) De Sue ener goeetrschen Folge t n Gledern st n k=1 b k = b 1 + b + + b n = b 1 q n 1 q ) 3. Konstante Renten snd n regeläÿge Zahlungen n glecher Höhe und gleche bstand. De konstante Höhe wrd nnutät genannt. Der bstand zweer Zahlungen heÿt Rentenperode, de Laufzet beträgt t = n. Erfolgen de Zahlungen jewels a Ende der Rentenperoden, heÿt de Rente nachschüssg, wrd er berets a nfang bezahlt, vorschüssg. Es wrd er vorausgesetzt, dass sch der Znssatz während der Laufzet ncht ändert. lle Foreln hängen davon ab, ob de Rente nach- oder vorschüssg st und n welche Verhältns de Rentenperode zur Znsperode steht. 1

6 1 Rentenrechnung 4. Sten de Renten- und de Znsperode überen und gbt es Znsperoden Jahr, so gelten für den nachschüssgen Rentenendwert R EN und den nachschüssgen Rentenbarwert R EN = 1 + ) n 1 R N = ) n = s n, t s n = 1 + ) n 1 = a n, t a n = ) n 1.6). 1.7) De nnutät wrd t Faktoren s n und a n ultplzert, de nachschüssger Rentenendwert- und nachschüssger Rentenbarwertfaktor genannt werden. 0 1 k n 1 n t bbldung 1.1: Nachschüssge Rente, Zns- und Rentenperode glech lang. Unter denselben Voraussetzungen glt für vorschüssge Renten R EV = 1 + ) 1 + R V = 1 + ) n 1 ) ) n, 1.8). 1.9) 0 1 k 1 n 1 n t bbldung 1.: Zetstrahl ener vorschüssgen Rente. 5. Der nachschüssge Rentenbarwert sowe der vorschüssge Rentenendwert und der vorschüssge Rentenbarwertlassen sch aus de nachschüssgen Rentenendwert berechnen R N = q n R EN, R EV = qr EN, R V = qr N, q = 1 + ).

7 1. Bespele 1. Bespele 1..1 rthetsche Folgen und Rehen Bespel 1.1. De Folge < 1, 3, 5, 7,, 3 > st arthetsch t b 1 = 1 und b 1 = 3 sowe d =. Weter glt = )/ = 144. Bespel 1.. Nun se de Sue aller durch sechs telbaren Zahlen zwschen 1 und zu berechnen. Man rechnet lecht nach, dass 996 de gröÿte ganze Zahl klener als st. Telt an 996 durch 6, ergbt sch n = 166 und dat s 166 = = Bespel 1.3. En rbetneher hat n sene Berufsleben jedes Jahr Euro ehr als Vorjahr verdent. Sen nfangsgehalt war Euro, sen Gesatverdenst Euro. Wevel Jahre hat er gearbetet? S n = = n n 1)10.000)/ 5.50 = n30 + n 1)5), 5n + 5n 5.50 = 0, n + 5n = 0, n = 30. Bespel 1.4. Nun en nanzatheatsches Bespel. Jeand legt Ende März bs Ende Dezeber enschleÿlch 00 Euro auf en Sparkonto en. We hoch st der Endbetrag a be ene Znssatz von 4 Prozent. De Znsethode se 30E/360, der enzge Znstern a Jahresende. Her legen zehn Zahlungen vor. De Märzzahlung verznst sch bs zu Jahresende be enfacher Verznsung von 00 Euro auf b 1 = , 04 9/1) = 06 Euro, de prlzahlung auf b = , 04 8/1) usw. De letzte Zahlung b 10 = 00 a Jahresende blebt unverznst. De Zahlungsfolge st arthetsch t d = 0, 04/1. Der Endbetrag st de folgende arthetsche Sue: b 1 + b + + b 10 = 10 b 1 + b 10 = ) =.030 Euro 1.. Geoetrsche Folgen und Rehen Se üssen also be ener geoetrschen Rehe b 1, q und n ertteln und dann nur noch n de Forel 1.5) ensetzen. Bespel 1.5. De Folge < 4, 8,, 1.04 > st geoetrsch t b 1 = 4, q = und n = 9, also st = 4 9 1)/ 1) =.044. Bespel 1.6. Welchen Wert hat de Sue w = 1/4++1/64? Her snd b 1 = 1/4 = 0, 5 und q = 1/ = 0, 5 sowe n = 5 und dat w = 0, 5 0, 5)5 1 0, 5 1 = 0,

8 1 Rentenrechnung Bespel 1.7. Welchen Wert hat de Sue s = ? Her snd b 1 = 1 und q = und n = 9, also folgt s = 9 1)/ 1) = 5, Manchal uss an de Grundforel nach n uforen: Bespel 1.8. En rbetneher hat n sene Berufsleben jedes Jahr 5 Prozent ehr als Vorjahr verdent. Sen nfangsgehalt war Euro, sen Gesatverdenst ,6 Euro. Wevel Jahre hat er gearbetet? S n = , 6 = , 05 n 1)/1, 05 1) , 6 0, 05/ = 1, 05 n Oder de Grundforel uss nach b 1 aufgelöst werden: n = ln , 6 0, 05/ )/ ln1, 05) = 0. Bespel 1.9. Ene Schauspelern konnte acht Jahre lang hre Gagen genüber de Vorjahr u 15 Prozent stegern und ka auf ene Sue von ,38 Euro. We hoch war de Gage ersten Jahr? , 38 = b 1 1, )/1, 15 1) = b 1 13, , b 1 = schwergsten st de uösung nach q. Bespel Der Mann der Schauspelern konnte nnerhalb der acht Jahre sene Gage ebenfalls u enen festen Prozentsatz stegern. Sene erste Gage betrug Euro, nsgesat ka er auf ,85 Euro. We hoch war de jährlche Stegerungsrate? Her glt also , 85 = q 8 1)/q 1). Dese Glechung lässt sch nur durch Proberen lösen. Man schrebt n de Zelle 1 ene erste Verutung, sagen wr al 1,1 und gbt n de Zelle daneben de Forel = )/1 1). Excel lefert dann den Wert ,881. De Schätzung von 1,1 war also zu vorschtg und wrd auf 1,3 erhöht, was zu zu groÿen Wert ,907 führt, sot uss an de Schätzung weder verrngern, etwa auf 1, und volà ergbt sch der gesuchte Wert von ,85. Se können sch t der Zelwertsuche von Excel de Ratere ersparen. Bespel bschleÿend wrd jetzt der Zetpunkt gesucht, an de der Mann erstalg genausovel oder ehr als de werte Gattn verdent. Das führt zu , n = , 15 n, 1, /1, 15) n =, n = ln)/ ln1, 04348) = 16, 865. Sot wrd erstalg 17- Jahr der Mann ehr als sene Frau vedenen, aber bs dahn snd se längst gescheden. Tant ps. 4

9 1. Bespele 1..3 Renten Bespel 1.1. Jeand zahlt fünf Jahre lang jewels zu Quartalsende 400 Euro n enen Bausparvertrag en. De Znsperode se en Verteljahr, der jährlche Nonalznssatz Prozent. Welchen Endwert hat der Sparvertrag? Welcher Betrag üsste enalg a nfang gelestet werden, u de beschrebene Rente abheben zu können? Da de Rentenzahlungen tatsächlch er a Ende ener Znsperode erfolgen, handelt es sch u ene nachschüssge Rente. Gesucht snd also der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert. Her snd = 4 und sot q = 1 + 0,0 = 1, In den fünf Jahren erfolgen n = 4 5 = 0 Zahlungen. Der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert werden we folgt berechnet R EN = 400 1, = 8.391, 65 Euro, 0, 005 R N = q n R EN = 1, , 65 = 7.594, 97 Euro, Bespel Jeand zahlt zehn Jahre lang jewels n der Mtte und a Ende des Jahres =.000 Euro n enen Sparvertrag en. De Znsperode se en halbes Jahr, der Nonalznssatz 4 Prozent. Welchen Endwert hat der Sparvertrag? Welcher Betrag üsste enalg a nfang gelestet werden, u de beschrebene Rente abheben zu können? uch her legt ene nachschüssge Rente t = und sot q = 1 + 0,04 = 1, 0 vor. Gesucht snd also der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert. In den zehn Jahren legen n = 10 = 0 Zahlungen vor. Der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert werden we folgt berechnet R EN =.000 1, 00 1 = , 74 Euro, 0, 0 R N = q n R EN = 1, , 74 = 3.707, 87 Euro, oder 1 1, 0 0 R N =.000 0, 0 = 3.707, 87 Euro. Bespel Jeand zahlt fünf Jahre lang jewels zu Quartalsanfang 400 Euro n enen Bausparvertrag en. De Znsperode se en Verteljahr, der jährlche Nonalznssatz Prozent. Welchen Endwert hat der Sparvertrag? Welcher Betrag üsste enalg a nfang gelestet werden, u de beschrebene Rente abheben zu können? Fast alles stt t de Bespel 1.1 überen, nur erfolgen de Zahlungen berets zu nfang der Znsperoden. lles verschebt sch dadurch u en Verteljahr nach vorne, d.h. der Endbetrag des Bespels 1.1 st berets a nfang des letzten Quartals errecht und wrd sch noch en weteres Verteljahr t q = 1 + 0,0 = 1, 005 verznsen. Das ergbt den vorschüssgen Rentenendwert von 8.433, 60 = 1, , 65 4 Euro. Wrd deser Betrag t q 0 abgeznst ergbt sch der vorschüssge Rentenbarwert R V = 1, , 65 = 7.63, 94. Dese Ergebnsse stellen sch auch über de 5

10 1 Rentenrechnung Foreln 1.8) und 1.9) für den vorschüssgen Rentenendwert und Rentenbarwert en: R EV = 1 + ) 1 + R V = 1 + ) 0 1 ) ) 0 = 400 1, 005 1, , , = 400 1, 005 0, 005 = 8.433, 60 Euro, = 7.63, 94 Euro. Bespel Jeand zahlt zehn Jahre lang jewels a nfang und n der Mtte des Jahres.000 Euro n enen Sparvertrag en. De Znsperode se en halbes Jahr, der jährlche Nonalznssatz 4 Prozent. Welcher Betrag üsste enalg a nfang gelestet werden, u de beschrebene Rente abheben zu können? Fast alles stt t de Bespel 1.13 überen, nur erfolgen de Zahlungen berets zu nfang der Znsperoden. lles verschebt sch dadurch u en halbes Jahr nach vorne, d.h. der Endbetrag des Bespels 1.13 st berets a nfang des letzten halben Jahrs errecht und wrd sch noch en weteres Halbjahr t q = 1 + 0,04 = 1, 0 verznsen. Das ergbt den vorschüssgen Rentenendwert von R EV = 1, , 74 = , 63 Euro. Durch bznsen t 1, 0 0 ergbt sch der vorschüssge Rentenbarwert R V = 1, , 63 = , 9 Euro. Dese Ergebnsse stellen sch auch über de Foreln 1.8) und 1.9) für den vorschüssgen Rentenendwert und Rentenbarwert en: 1.3 ufgaben R EV =.000 1, 0 1, 00 1 = , 63 Euro, 0, 0 1 1, 00 R V =.000 1, 0 = , 9 Euro. 0, 0 ufgabe 1. Berechnen Se de ersten fünf Gleder der arthetschen Folgen: a) b 1 = 3, d = b) b 1 = 3, d =. ufgabe. Von den beden arthetschen Folgen snd jewels zwe Eleente bekannt. Besten Se b 1 und d. a) b 3 = 7, b 7 = 3 b) b 5 = 9, b 9 = 17. ufgabe 3. De Folgen seen arthetsch. Besten Se de fehlenden Gröÿen. b 1 b n n d b 1 S n n d a) e) b) f) c) g) d) h)

11 1.3 ufgaben ufgabe 4. Berechne de Sue aller durch sechs telbaren Zahlen zwschen 1 und ufgabe 5. Berechnen Se de Sue aller drezrgen natürlchen Zahlen, de durch 3 dvdert den Rest 1 bzw. den Rest haben. ufgabe 6. Jeand legt a 1.1, a 1.3, a 1.5 usw. bs zu 1.11 enschleÿlch Euro auf en Sparkonto en. We hoch st der Endbetrag a 31.1 be ene Znssatz von 4 Prozent. De Znsethode se 30E/360, der enzge Znstern a Jahresende. ufgabe 7. Berechnen Se de ersten fünf Gleder der geoetrschen Folgen: a) b 1 = 3, q = 1,. b) b 1 = 1, q = 0, 8 ufgabe 8. De Folgen seen geoetrsch. Besten Se de fehlenden Gröÿen. b 1 b n n q b 1 S n n q a) e) b) f) c) g) d) h) ufgabe 9. En Betrag von ÖS 4.840,- soll so auf 5 Personen aufgetelt werden, dass de erste enen Tel und jede folgende dreal so vel erhält we de vorhergehende. Wevel bekot jede Person? Ncht von r) ufgabe 10. Von ener geoetrschen Rehe kennt an b 1 = 9 und q =. Berechnen Se für de zugehörge geoetrsche Rehe de Suen der ersten 10 bzw. der ersten 100 Gleder. ufgabe 11. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Jahresende Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent, de Znsperode st en Jahr. Welche Rentenendund Rentenbarwerte ergeben sch? ufgabe 1. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Jahresanfang Euro auf en Konto. Der Znssatz beträgt 4 Prozent, de Znsperode st en Jahr. Welche Rentenendund Rentenbarwerte ergeben sch? ufgabe 13. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Ende enes Quartals Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent p.a, de Znsperode se en Verteljahr. Welche Rentenbar- und Rentenendwerte ergeben sch? ufgabe 14. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a nfang enes Quartals Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent p.a, de Znsperode se en Verteljahr. Welche Rentenbar- und Rentenendwerte ergeben sch? 7

12 1 Rentenrechnung ufgabe 15. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Monatsende Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent p.a, de Znsperode se onatlch. Welche Rentenbar- und Rentenendwerte ergeben sch? ufgabe 16. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Monatsanfang Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent p.a, de Znsperode se onatlch. Welche Rentenbar- und Rentenendwerte ergeben sch? 1.4 Lösungen ufgabe 1. Berechnen Se de ersten fünf Gleder der arthetschen Folgen: a) b 1 = 3, d = : <3, 5, 7, 9, 11> b) b 1 = 3, d = :< 3, 5, 7, 9, 11 >. ufgabe. Von den beden arthetschen Folgen snd jewels zwe Eleente bekannt. Besten Se b 1 und d. a) b 3 = 7, b 7 = 3 Her glt b 7 = 3 = b )d = 7 + 4d, also st d = 1. Wegen b 3 = 7 = b )d = b 1 st b 1 = 9. b) b 5 = 9, b 9 = 17. Her glt b 9 = 17 = b )d = 9 + 4d, also st d =. Wegen b 5 = 9 = b )d = b st b 1 = 1. ufgabe 3. De Folgen seen arthetsch. Besten Se de fehlenden Gröÿen. b 1 b n n d b 1 S n n d a) e) b) f) c) g) d) h) Zu a) b 1 = b n + d1 n) = ) = 67. Zu b) b 9 = b 1 + 8d = 10 8 ) = 6. Zu c) b n = b 1 + n 1)d, n 1 = b n b 1 )/d = 34/, n = 18. Zu d) b n = b 1 + n 1)d, n 1)d = b n b 1, d = b n b 1 )/d = 40/0 =. Zu e) S n = nb 1 + n 1)d)/, S n /n = b 1 + n 1)d), b 1 = S n /n n 1)d/ = 1. Zu f) S n = nb 1 + n 1)d)/ = 90 16)/ = 18. Zu g) S n = nb 1 + n 1)d)/, 54 = n8 + n 1))/, 54 = 3n + n, n = 6. Zu h) S n = nb 1 + n 1)d)/, 63 = d)/, d =. ufgabe 4. Berechne de Sue aller durch sechs telbaren Zahlen zwschen 1 und Man rechnet lecht nach, dass 996 de gröÿte ganze Zahl klener als st. Telt an 996 durch 6, ergbt sch n = 166 und dat )/ =

13 1.4 Lösungen ufgabe 5. Berechnen Se de Sue aller drezrgen natürlchen Zahlen, de durch 3 dvdert den Rest 1 bzw. den Rest haben. De erste drezrge Zahl t Rest 1 be Telung durch 3 st 100, de letzte 997. De Zahlenfolge st arthetsch t d = 3 und b 1 = 100 sowe b n = 997. Der Index n ergbt sch aus 997 = n 1)3, also n = 300. Dat st de gesuchte Sue )/ = De erste drezrge Zahl t Rest be Telung durch 3 st 101, de letzte 998. uch das snd 300 Folgengleder, deren Werte alle u 1 höher snd als de Werte der Folge von 100 bs 997. lso st de Sue u 300 gröÿer, hat sot den Wert ufgabe 6. Jeand legt a 1.1, a 1.3, a 1.5 usw. bs zu 1.11 enschleÿlch Euro auf en Sparkonto en. We hoch st der Endbetrag a 31.1 be ene Znssatz von 4 Prozent. De Znsethode se 30E/360, der enzge Znstern a Jahresende. Her legen sechs Zahlungen vor. De Januarzahlung verznst sch bs zu Jahresende be enfacher Verznsung von Euro auf b 1 = , 04 1/1) = Euro, de Märzzahlung auf b = , 04 10/1) = usw. De letzte Zahlung b 6 = 00 a 1.11 verznst sch auf b 6 = , 04 /1) = De Zahlungsfolge st arthetsch t d = 0, 04 /1. Nach Forel 1.) st der Endbetrag de folgende arthetsche Sue: b 1 + b + + b 6 = 6 b 1 + b 6 = , 67) = Euro ufgabe 7. Berechnen Se de ersten fünf Gleder der geoetrschen Folgen: a) b 1 = 3, q = 1,. b = 3, 6, b 3 = 4, 3, b 4 = 5, 184 und b 5 = 6, 08. b) b 1 = 1, q = 0, 8. b = 0, 8, b 3 = 0, 64, b 4 = 0, 51 und b 5 = 0, ufgabe 8. De Folgen seen geoetrsch. Besten Se de fehlenden Gröÿen. b 1 b n n q b 1 S n n q a) e) b) f) c) g) d) h) Zu a) b 1 = b n q 1 n = = 14. Zu b) b 9 = b 1 q 8 = 10 ) 8 =.560. Zu c) b n = b 1 q n, 30 = 5 n 1, 64 = n 1, n = 1 + ln64)/ln) = 7. Zu d) b 8 = b 1 q 7, 384 = 3 q 7, q = 18 1/7 =. Zu e) S n = b 1 q n 1)/q 1), b 1 = S n q 1)/q n 1) = )/4 5 1) =. Zu f) S n = b 1 q n 1)/q 1) = 3 6 1)/3 1) = 78. Zu g) S n = b 1 q n 1)/q 1), 1.00 = 4 n 1)), 55 = n 1)), also n = 8. Zu h) S n = b 1 q n 1)/q 1), 1.03 = 3q 5 1)/q 1), 341 = q 5 1)/q 1). De Lösung q = 4 uss an raten oder von der Zelwertsuche von Excel besten lassen. 9

14 1 Rentenrechnung ufgabe 9. Von ener geoetrschen Rehe kennt an b 1 = 9 und q =. Berechnen Se für de zugehörge geoetrsche Rehe de Suen der ersten 10 bzw. der ersten 100 Gleder.. s 10 = )/ 1) = 9.07, s 100 = )/ 1) = 1, ufgabe 10. En Betrag von ÖS 4.840,- soll so auf 5 Personen aufgetelt werden, dass de erste enen Tel und jede folgende dreal so vel erhält we de vorhergehende. Wevel bekot jede Person? S 5 = b = 11, b 1 = 4.840, b 1 = 40 De erste Person erhält 40 ÖS, de anderen ver 10, 360, und 3.40 ÖS. ufgabe 11. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Jahresende Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent, de Znsperode st en Jahr. Welche Rentenendund Rentenbarwerte ergeben sch? Her legt ene nachschüssge Rente t = 1, q = 1, 04 und n = 10 vor. Der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert werden we folgt berechnet R EN = , = , 9 Euro, 0, 04 R N = q n R EN = 1, , 9 = , 75 Euro, oder 1 1, R N = , 04 = , 75 Euro. ufgabe 1. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Jahresanfang Euro auf en Konto. Der Znssatz beträgt 4 Prozent, de Znsperode st en Jahr. Welche Rentenendund Rentenbarwerte ergeben sch? Her handelt es sch u ene vorschüssge Rente t den sonst glechen Kennzechen we de nachschüssge Rente der ufgabe zuvor. Daher üssen de Werte nur t q = 1, 04 ultplzert werden. Es ergeben sch R EV = , und R V = 101.3, 98. ufgabe 13. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Ende enes Quartals Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent p.a, de Znsperode se en Verteljahr. Welche Rentenbar- und Rentenendwerte ergeben sch? Her legt ene nachschüssge Rente t = 4, q = 1, 01 und n = 40 vor. Der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert werden we folgt berechnet R EN = , = , 1 Euro, 0, 01 R N = q n R EN = 1, , 9 = , 06 Euro. 10

15 1.4 Lösungen ufgabe 14. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a nfang enes Quartals Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent p.a, de Znsperode se en Verteljahr. Welche Rentenbar- und Rentenendwerte ergeben sch? Her handelt es sch u ene vorschüssge Rente t den sonst glechen Kennzechen we de nachschüssge Rente der ufgabe zuvor. Daher üssen de Werte nur t q = 1, 01 ultplzert werden. Es ergeben sch R EV = , 71 und R V = , ufgabe 15. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Monatsende Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent p.a, de Znsperode se onatlch. Welche Rentenbar- und Rentenendwerte ergeben sch? Her legt ene nachschüssge Rente t = 1, q = 1 + 0, 04/1 und n = 10 vor. Der nachschüssge Rentenendwert und der nachschüssge Rentenbarwert werden we folgt berechnet R EN = , 04/1)10 1 = , 80 Euro, 0, 04/1 R N = q n R EN = 1 + 0, 04/1) , 80 = , 17 Euro. ufgabe 16. Jeand zahlt zehn Jahre lang er a Monatsanfang Euro auf en Konto. Der Znssatz betrage 4 Prozent p.a, de Znsperode se onatlch. Welche Rentenbar- und Rentenendwerte ergeben sch? Her handelt es sch u ene vorschüssge Rente t den sonst glechen Kennzechen we de nachschüssge Rente der ufgabe zuvor. Daher üssen de Werte nur t q = 1 + 0, 04/1 = 1, ultplzert werden. Es ergeben sch R EV = , 64 und R V = ,