1. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017

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1 Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Theoretische Iformatik Prof. Dr. Peter Saders Dr. Christia Schulz, Dr. Simo Gog Michael Atma. Übugsblatt zu Algorithme II im WS 06/07 WS6.php Aufgabe (Aalyse: Kleiaufgabe) Musterlösuge a) Gebe Sie die wesetliche Uterschiede laut Vorlesug zwische eier (ormale) Priority Queue ud eier adressierbare Priority Queue a. b) Vergleiche Sie die Laufzeit eier merge-operatio für Pairig Heaps ud Biary Heaps. Musterlösug: a) Im Gegesatz zur ormale Priority Queue erlaubt die adressierbare Priority Queue de direkte Zugriff auf beliebige Elemete über ei Hadle h. Dieses wird vo der isert-operatio als Rückgabewert geliefert. Außerdem ermöglicht sie eiige zusätzliche Operatioe: remove(h), decreasekey(h,k). Die merge-operatio ka prizipiell auch vo ormale Priority Queues uterstützt werde, allerdigs weiger effiziet. b) I eiem Pairig Heap wird eie Mege vo Bäume gehalte. Eie merge-operatio ist also i kostater Zeit möglich, idem die jeweilige Liste vereit werde ud der auf das Miimum beider Wälder gesetzt wird. Im Biary Heap fuktioiert dieses Vorgehe icht. I der weit verbreitete Arrayimplemetierug gibt es mehrere mögliche Vorgehesweise. We die Azahl der Elemete gegebe ist durch bzw., <, ergebe sich folgede Laufzeite: (a) Eifüge der kleiere Mege a Elemete: O( log( + )) (b) Kompletter Neuaufbau: O( + ) Je ach Verteilug der Elemete köe beide Möglichkeite sivoll sei. Aufgabe (Aalyse: Laufzeitverhalte) a) Beweise Sie allgemei für adressierbare Priority Queues die utere Laufzeitschrake vo Ω(log ) für deletemi uter der Voraussetzug, dass isert kostate Laufzeit beötigt. b) Warum muss diese utere Laufzeitschrake icht gelte, we isert mehr Zeit beötige darf? Musterlösug: a) Mit eier Laufzeit vo O(f()) für deletemi ließe sich i Zeit O(f()) + O() vergleichsbasiert sortiere, idem ma zuerst alle Elemete eifügt ud da eies ach dem adere i aufsteigeder Reihefolge etimmt. Für deletemi i sublogarithmischer Zeit wäre das ei Widerspruch zur bekate utere Schrake für vergleichsbasiertes Sortiere vo Ω( log ). b) isert köte ach jedem Aufruf eie aufsteiged sortierte Liste aller Elemete hiterlasse, mit dere Hilfe sich alle folgede mi- ud deletemi-operatioe i kostater Zeit beatworte ließe.

2 Aufgabe (Aalyse: best-case Verhalte) a) Gebe Sie eie Zustad eies Fiboacci Heaps a, für de die ächste deletemi-operatioe jeweils kostate Laufzeit beötige (icht amortisiert). Begrüde Sie Ihre Atwort. Gehe Sie davo aus, dass zwische de deletemi-operatioe keie adere Operatioe ausgeführt werde. b) Gebe Sie eie Algorithmus a, welcher de vo Ihe agegebee Zustad für beliebige erzeugt. Beweise Sie die Korrektheit des Algorithmus.

3 a) Gegebe sei ei Fiboacci Heap der Größe, bestehed aus eiem eizele Baum. Dieser Baum speichere Kote i Form eier verkettete Liste. Die achfolgede deletemi-operatioe führe da jeweils eie Cut-Operatio auf de direkte Nachfolger des jeweilige Wurzelkotes aus. Da der Wurzelkote ur eie Nachfolger hat, wird pro deletemi-operatio ur eie Cut-Operatio ausgeführt. Diese Cut-Operatioe beötige jeweils ur kostate Laufzeit. Da der Fiboacci Heap vor jeder deletemi-operatio ur aus eiem Baum besteht, führt die deletemi-operatio keie uio-operatio aus. Eie potetiell folgede uio-operatio auf dem eue Baum ka durch das Toke des alte Wurzelkotes bezahlt werde. Es müsse also auch keie eue Toke für folgede Operatioe bezahlt werde. b) Behauptug : Die Operatio CreateFiboacciList erzeugt eie Fiboacci Heap F der Größe, bestehed aus eiem eizele Baum, repräsetiert durch eie verkettete Liste. : fuctio CreateFiboacciList( N + ) : F empty fiboacci heap : for i dow to do : F.isert(i) : F.isert(i+) 6: F.isert(i) 7: F.deleteMi : F.decreaseKey(, 0) 9: F.deleteMi 0: ed for : retur F : ed fuctio Beweis: Die Behauptug gilt für = 0, i diesem Fall gibt die Operatio CreateFiboacciList eie leere Fiboacci Heap zurück. Ivariate : Sei > 0 beliebig aber fest. Nach 0 < Schleifedurchläufe der Zeile -9 besteht F aus eiem eizele Baum i Form eier verkettete Liste +,...,. Nehme wir a, dass Ivariate für beliebige aber feste > 0 gilt. Uter dieser Voraussetzug besteht F ach = Ausführuge der Zeile -9 aus eiem eizele Baum i Form eier verkettete Liste,..., ud Behauptug gilt somit für N + 0. Wir beweise u Ivariate durch Iduktio über die Schleifedurchläufe {0,..., }. Sei hierzu > 0 beliebig aber fest. Iduktiosafag: = : Nach Ausführug der Zeile -6 ethält F die Elemete, + ud. Die Zeile 7-0 etfere die Elemete ud +. Somit ethält F ach dem erste Schleifedurchlauf das Elemet ud die Ivariate gilt für =. Iduktiosschritt ( + ): Nach Iduktiosvoraussetzug besteht F aus eiem Baum, repräsetiert durch eie verkettete Liste, der Form +,...,. Die Abbilduge auf der ächste Seite führe u die Codezeile -9 aus ud zeige de Zustad vo F ach + Iteratioe. F besteht u aus eiem Baum, repräsetiert durch eie verkettete Liste, der Form,...,. Somit gilt die Ivariate auch ach + Iteratioe ud der Iduktiosschritt + ist abgeschlosse. Iduktiosschluss: Die Ivariate gilt ach jedem Schleifedurchlauf.

4 Iduktiosvoraussetzug: F.isert( ),=F.isert( + ),F.isert( ): F.deleteMi (Zwischeschritt): F.deleteMi: F.decreaseKey(,0): F.deleteMi:

5 Aufgabe (Reche: Fiboacci Heaps) Gegebe sei ei Fiboacci Heap mit ute eigezeichetem Zustad (a). a) Gebe Sie eie möglichst kurze Folge vo Operatioe a, die diese Zustad erzeugt. b) Führe Sie aschließed die Operatioe deletemi() auf dem Heap aus. Zeiche Sie de Zustad des Heaps ach jedem Eifüge eies Baum i ei leeres Bucket ud ach jeder Uio- Operatio. c) Gebe Sie eie möglichst kurze Folge vo Operatioe a, die de ute eigezeichete Zustad (b) erzeugt. Tipp: der eigezeichete Zustad lässt sich aus dem Heap i Abbildug (a) ach der deletemi-operatio durch weitere Operatioe erzeuge (a) (b) Musterlösug: a) Die Folge isert(0), isert(), isert(), isert(), isert(), isert(), isert(6), isert(7), isert() erzeugt de gegebee Zustad. Beachte Sie, dass die Defiitio des Fiboacci Heaps keie Aussage darüber macht, i welcher Reihefolge Wurzelkote gespeichert sid. Für diese Lösug ud die der ächste Teilaufgabe ehme wir eie ach der Reihefolge der Eifügugeoperatioe sortierte Liste vo Wurzel a. Werde Teilbäume abgeschitte, so werde diese a das Ede der Liste agehägt.

6 b) h (keie Kollisio): Uio(h, h ): h (keie Kollisio): Uio(h, h ): Uio(h, h ): h (keie Kollisio): Uio(h, h 6 ): h 7 (keie Kollisio):

7 Uio(h 7, h ): Uio(h 7, h ): Uio(h, h ): 6 7 c) Die Folge deletemi(), isert(), deckey(, ) erzeugt de gegebee Zustad. Aufgabe (Etwurf: Datestrukture) a) Erweiter Sie die Datestruktur Pairig Heap um die Operatio icreasekey(h: Hadle, k: Key). Ihre Operatio sollte amortisiert O(log ) Laufzeit beötige. Gebe Sie Pseudocode a. Wie würde Sie bei eiem Biary Heap vorgehe? b) Etwerfe Sie eie Datestruktur welche die Operatioe isert i O(log ), Media bestimme i O() ud Media etfere i O(log ) uterstützt. Eie Beschreibug i Worte ist ausreiched. 7

8 a) Lösche das Elemet aus der Datestruktur (O(log )) ud füge es mit dem geäderte Schlüssel wieder ei (O()): : fuctio icreasekey(h : Hadle, k : Key) : remove(h) : key(h) := k : isert(h) : ed fuctio Bei eiem Biary Heap würde ma zuerst de Schlüssel apasse ud aschließed eie siftdow-operatio ausführe. b) Aufbau des Datetyps: Speicherug des aktuelle Media i v. Verwedug eier Maimum Priority Queue (MaPQ) für Elemete kleier als v ud eier Miimum Priority Queue (MiPQ) für Elemete größer als v. Bestimmug des Media: Frage v direkt ab: O(). Lösche des Medias: Ersetze de aktuelle Media v durch das oberste Elemet der größere Priority Queue (bei Gleichheit verwede MiPQ): deletemi i O(log ), z.b. mit Fiboacci Heap. Eifüge eies Elemets: Füge das eue Elemet i Abhägigkeit vo v i eie der Priority Queues ei: isert i O(). Füge v i die kleiere ei (bei Gleichstad verwede MaPQ): isert i O(). Ersetze v durch das oberste Elemet der größere Priority Queue (bei Gleichstad verwede MiPQ): deletemi i O(log ), z.b. mit Fiboacci Heap. Aufgabe 6 (Etwurf: Awedug) Für ei großes ud wir meie ei wirklich großes Fest sid Sie für die Bar zustädig. Für diese Aufgabe habe Sie Ihre eigee Barroboter etworfe, der automatisch wuderbare Cocktails mische ka. Die Zutate dafür werde i große Kaister bereitgestellt. Doch geau hier ist das Problem: I all der Hektik des Abeds müsse Sie darauf achte, dass kei Kaister leerläuft. Sie wolle de Abed allerdigs auch so gut wie möglich geieße ud icht adauerd die Kaister überprüfe. Um dieses Problem zu umgehe, gibt es ur eie Lösug: Eie Nachfüllazeige muss her! Leider gab es ur och Azeige, die es erlaube eie eizele Zeile darzustelle. Es ist klar, dass auf der Azeige die am drigeste beötigte Zutat agezeigt werde sollte. Ziel ist es also eie Algorithmus zu etwerfe, der die Azeige immer aktuell hält. a) Überlege Sie sich, welche Datestruktur Sie als Grudlage für Ihre Algorithmus verwede wolle, um ih effiziet implemetiere zu köe. Sie köe davo ausgehe, dass die für eie Cocktail beötigte uterschiedliche Zutate wesetlich weiger sid als die Gesamtmege a vorhadee uterschiedliche Zutate. b) Etwerfe Sie eie Fuktio MiDrik( recipe ), die auf Ihrer Datestruktur operiert. Gebe Sie Pseudocode a. Sie müsse dabei ur Ihre Datestruktur aktualisiere. Sostige Fuktioe des Roboters müsse Sie icht berücksichtige. c) We ei Kaister gewechselt wird, muss ihre Datebasis atürlich auch aktualisiert werde. Beschreibe Sie, welche Auswirkuge das Wechsel auf Ihre Datestruktur hat.

9 a) Die Zutat, die auf dem Display agezeigt werde soll, ist die, die de gerigste Restvorrat vorweist. Zusätzlich solle die Mege aller Zutate im laufede Betrieb aktualisiert werde köe. Dabei werde Zutate i ihrer Mege immer reduziert. Die klassische Datestruktur hierfür ist ei adressierbarer Heap. b) Die Fuktio MiDrik, wie gefordert, hat ur die Aufgabe die vorhadee Zutatemege aktuell zu halte. : fuctio MiDrik(r : Recipe, q : Queue, d : Display) : for igrediet i r do : q.decreasekey(i, amout(i)) : ed for : d.show(q.mi(), amout(q.mi())) 6: ed fuctio c) Beim Wechsel eies Kaisters muss das Elemet aus dem Heap etfert werde ud mit vollem Kaisterwert wieder eigefügt werde. Dabei ist allerdigs zu beachte, dass icht zwiged das aktuell miimale Elemet gewechselt wird. Daher sollte eie Folge vo Operatioe durchgefürt werde. Als erstes sollte der Schlüssel der betroffee Zutat auf gesetzt werde. Daach ka ei deletemi gefolgt vo eiem isert ausgeführt werde. Aufgabe 7 (Implemetierug: Dijkstra s Algorithmus) Implemetiere Sie Dijkstra s Algorithmus i C++ mit eier adressierbare Prioritätsliste Ihrer Wahl ( ud der Graph-Datestruktur aus dem KaHIP Framework. Lade Sie das Archiv vo userer Website mit 6 Straßeetzwerke heruter. Das Archiv beihaltet das komplette Straßeetzwerk der USA, aber auch kleiere gewichtete Teiletzwerke wie das Straßeetzwerk vo Colorado ud Florida. Die Netzwerke sid im Metis Format gespeichert. Nutze Sie die Methode aus dem KaHIP Framework um die Netzwerke eizulese