3.5 Einzelwerte (Datenreihen) Häufigkeitsverteilungen Häufigkeitsklassen

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1 Thema 3 Häufget Statst - Neff INHALT 3.5 Ezelwerte (Daterehe) Häufgetsverteluge Häufgetslasse Etsprechede Formel für x ud s - : Gewchtug mt h Klassemtte x* Hstogramme mt de Dchte f = Rechtechöhe: f = h / Åx Futosgraphe für emprsche Vertelugsfutoe F : stetger Polygozug 3.9 Wahrschelchet aus der statstsche Kovergez: W( A) = lm h ( A) Wr schleße vo der relatve Häufget h(a) auf de Wahrschelchet W(A). Wr etwcel aaloge Formel für Dchte: Etsprechede Formel für µ ud ¾ : Gewchtug mt f

2 Thema 3 Häufget Statst - Neff 3. LORENZKURVE E Mart für e bestmmtes Produt umfasst de gesamte Absatzmege M. Der Mart werde vo Uterehme =,,, mt de Absatzmege M belefert. M Der Martatel des Uterehmes ergbt sch aus m = M De Uterehme see der Größe ach geordet, m m m. Wr spreche da vo de leste Uterehme. Statt "leste" sprcht ma auch vo de "umsatzschwächste", "ärmste", "atelsschwächste" Mermalsträger. Wr suche e Maß für de Kozetrato K des Martes. Bespel 3. E Mart werde vo =5 Uterehme belefert. Jedes Uterehme repräsetert /5 = 0% der Azahl der Uterehme, allgeme h = /. We jedes Uterehme ee Martatel vo 0% hätte, wäre de Kozetrato K = 0. Aber de 3 leste Uterehme bestze jewels 0% Martatel; de restlche bede bestze ee Martatel vo 0% bzw. 50%. Also de 3 leste Uterehme zusamme, das sd 60% der Azahl der Uterehme bestze 0% + 0% + 0% = 30% der Martatele, De aufsummerte (umulerte) Atele lasse sch eer Wertetabelle zusammefasse: Dem Wertepaar (x y ) = (60% 30%) etsprcht der Put (60 30), æ ö æ ö allgeme ( x y) = ç m = ç h m è ø è ø Isgesamt ergbt sch e Polygozug; ma et h LORENZ-Kurve. [LORENZ, Max Otto, Wscos, USA, 905] Be eer vollomme glechmäßge Vertelug der umulerte Häufgete erhält ma de Pute (0 0), (0 0),, (00 00). Das ergbt de "Welhalberede" y = x. Fügt ma dese Gerade hzu ud ergäzt de Kurvezug der LORENZ-Kurve durch de Put (0 0), da erhält ma e Schaubld, das de Kozetrato m Mart eree lässt. Je stärer de Uglechhet, desto stärer "hägt de LORENZ-Kurve durch". Ma sprcht ma vo "Kozetrato", we es um de Atele y a eer Mermalssumme Bezug auf de Atele x der Mermalsträger geht. Auf der x-achse sd de umulerte Atele der Mermalsträger (Persoe, Uterehme usw.) aufgetrage, auf der y-achse de umulerte Atele a der gesamte Summe.

3 Thema 3 Häufget Statst - Neff 3. KONZENTRATIONSMAßE Zum Messe der Kozetrato K wurde Maße etwcelt, de ugefähr zwsche 0 (ee Kozetrato) ud (totale Kozetrato) lege: 0 K. Dazu beutzt ma selbstverstädlch Dezmalbrüche statt Prozetzahle. gexcel/kozetrato Typ I Atele der Mermalsträger ostat: h = glecher Atel für alle. Der HERFINDAHL-Koeffzet schöpft de gesamte Iformato der gegebee Vertelug aus ud st lecht berechebar: K Herfdal = m [HERFINDAHL, Orrs, New Yor, 950] Er wrd m Kartellrecht ud der Martforschug verwedet. K H = 0, + 0, + 0, + 0, + 0,5 = 0,3 Der GINI-Koeffzet utzt de Fläche uterhalb ud oberhalb der LORENZ-Kurve: De gesamte Dreecsfläche hat de Ihalt 0,5. De Fläche zwsche LORENZ-Kurve ud x-achse habe de Ihalt A ute. GINI-Koeffzet: Verhälts der Ihalte Zwschefläche 0,5-A : Gesamtfläche 0,5. 0,5-A KG = = (0,5 - A) = - Aute [G, Corrado, Caglar, Itale, 90] 0,5 De Fläche A besteht aus Trapeze glecher Brete h = / ud de Läge y, außerdem glt y 0 = 0 ud y = æ y 0 + y y+ y y-+ y ö æ 0 ute... y y ö æ ö A = ç = y y ç - - = - 0 ç è ø è ø è ø æ ö KG = - Aute = - y ç - gexcel/kozetrato è ø Typ II Atele der Mermalsträger verschede: h gegebe Der HERFINDAHL-Koeffzet fdet her ee Awedug. Bem GINI-Koeffzet muss ma de Ihalte der Trapeze ezel bereche ud summere: y0 + y y+ y y-+ y Aute = h+ h h = ( y- + y) h K G = A ute Bespel 3. Über de Vertelug der Vermöge Deutschlad 995 gbt es folgede Date: % der Bevölerug besaß 3% des Vermöges, % der Persoe besaße,5 % des Vermöges, ärmste => P (0,5 0,05), (50,5) 40 % der Persoe besaße 47,5 % des Vermöges,. 9 % der Persoe besaße 7 % des Vermöges. 3. Es soll de LORENZ-Kurve dargestellt ud der GINI-Koeffzet berechet werde.. Zuächst müsse de Atele ach de "ärmste" Persoe geordet werde. 0,05 0,475 0,7 0,3 = 0, 05. =,88. = 3. = 3. 0,50 0, 40 0, 09 0, 0. Ma erstellt ee Arbetstabelle, mdestes de Wertetabelle (x y ). 3. Mt der Wertetabelle zechet ma das LORENZ-Polygo ud de "Welhalberede". 4. Da bestmmt ma de Ihalt der Fläche A ud K G = A ute gexcel/kozetrato

4 Thema 3 Häufget Statst - Neff 3.3 HERFINDAHL ud GINI De Koeffzete vo HERFINDAHL ud GINI sd de beateste Kozetratosmaße. Se wurde zu omplexe Istrumete weteretwcelt, um hre Aussageraft zu verbesser. Vo Struturutersuchuge Gemede bs h zu Weltba ud UNO werde städg solche Koeffzete errechet ud mteader ud m hrer zetlche Etwclug verglche. Jährlch werde für pratsch alle Staate der Erde mdestes de Koeffzete für de Eommes- ud Vermögesvertelug veröffetlcht. Aufgabe Kozetrato I h ostat gegebe: Azahl der Mermalsträger, ezele Atele a der Mermalssumme m. oder de MegeM, für zwe verschedee Märte gesucht / Schrtte: De Märte solle hschtlch Kozetratosmaße verglche werde. Dagramm mt "Welhalberede" ud bede LORENZ-Kurve. ach de atelsschwächste Mermalsträger orde Prozetagabe Dezmalbrüche verwadel. h = /, m = M / SM, Wertetabelle erstelle: x ud y Wertepaare als Pute etrage, de LORENZ-Polygoe zeche. Leal! "Welhalberede".. HERFINDAHL-Koeffzete 3. etspreched der Formel GINI-Koeffzete etspreched der Formel 4. Ergebs terpretere de Ergebsse mteader vergleche, de Kozetrato be Szearo... st höher, wel G > G Bemerug, falls e Wderspruch zwsche H Herfdahl ud K G auftrtt Aufgabe Kozetrato II h varabel gegebe: h ud m (e Mart) gesucht / Schrtte:. Dagramm mt "Welhalberede" ud de LORENZ-Kurve. Gegebee Atelswerte terpretere, Prozetzahle Dezmalzahle umwadel, ach de atelsschwächste Mermalsträger orde Wertetabelle erstelle: x ud y Wertepaare als Pute etrage, das LORENZ-Polygo zeche. Leal! "Welhalberede".. GINI-Koeffzet Aute = ( y- + y) h da K G = A ute Demostrato ud Übug:

5 Thema 3 Häufget Statst - Neff 3.4 HÄUFIGKEITSTABELLE De efachste Art, Häufgete darzustelle, st de Strchlste. De Strchlste fasst de Ergebsse glechartge Ergebsse zusamme. Bespel 3.3 ach Bleymüller S.7 Der Ihaber ees Zetugsoss otert a = 00 Tage de Azahl x der a desem Tag veraufte Exemplare der Zetschrft "MOT". Das utersuchte Mermal (de Zufallsvarable) X st de Azahl der a eem Tag veraufte "MOT". De Azahl der Strche sd de absolute Häufgete für de Azahl x. z.b. 4 = (X=4) = 4 [Tage] (X ) = + 46 = 67 [Tage] Statt mt absolute Häufgete rechet ma mestes mt relatve Häufgete Es st: h = = h = 0 h h 00 [%] prozetuale Häufget De Futo h = h(x )=h(x=x ) et ma Häufgetsfuto, se ordet jedem Eregs de relatve Häufget h zu. Der Futosgraph besteht aus ezele Pute, ma erwetert h zu eem Stabdagramm (Stabhöhe e h ) oder besser zu eem Hstogramm (Rechtec-Flächehalte = h, geau!). g Excel / Häufget Mt geegete Maßstab a der y-achse cm e 0, ( x-achse cm e) erhält ma ee Gesamtfläche-Ihalt vo = 00% = 0 cm. De mttlere Ergebsse x omme am häufgste vor, Tage mt besoders weg Veräufe ud solche mt besoders vele Veräufe sd selte, das empfde wr als ormal. Zetraler Grezwertsatz, Thema 4 Normalvertelug, Thema 5 We ma de relatve Häufgete aufsummert (aufaddert, umulert) erhält ma de aufsummerte Häufgete F = h(x < x ). F st de emprsche Vertelugsfuto, se lefert de Häufget dafür, dass de Zufalls varable X höchstes das Ergebs (de Ausprägug, de Wert, das Eregs, de Zustad) x ammt. Futosgraphe, Stabdagramme ud Hstogramme zu Vertelugsfutoe F zege ee charaterstsche -förmge, mooto stegede Verlauf mt dem Hochput (x max ), wel ma ormalerwese zuächst lee h, da große h, da weder lee h aufsummert.

6 Thema 3 Häufget Statst - Neff 3.5 MITTLERE WERTE Beobachtugswerte x lasse sch Häufgetsverteluge überschtlch zusammefasse. Mt geegete Maßzahle a ma solche Häufgetsverteluge och apper charatersere. Ma charatersert ee Daterehe durch de Mttelwert ud der Streuug um dese Mttelwert.. Mttelwert x = x =. Dese Formel glt für Ezelwerte Daterehe (Thema ud ). Be Häufgetsverteluge gewchtet ma mt de Häufgete oder h : Ma erhält de gewogee Mttelwert: x = x = x = x h Se aufe 3 Sorte Äpfel e Mege x x h h x h g,80 /g 3,60 0 % 0, 0,36 3 g,0 /g 3,60 30 % 0,3 0,36 5 g,00 /g 5,00 50 % 0,5 0,50 0 g,0 00 %,0, /g Gewogeer (gewchteter) Mttelwert x, 0 x = = =, /g 0. Zetralwert (Meda) x z Das Mermal X wese =3 Werte auf: 3; 8; 0; 5; ; 8; 9; ; 5 ud 4 Ergebsse lege uter 5 Pute. Zuächst sortert ma de Ergebsse: <5 <5 <5 < F = /3 /3 3/3 4/3 5/3 6/3 7/3 8/3 46,% 53,8% Der Zetralwert x z = x 7 = 9 steht der Mtte der geordete Beobachtugsrehe. Allgeme: x z = x mt = 0,5 + 0,5 I eer Häufgetsvertelug st der Zetralwert x z = x, wobe F = h(x x ) = 0,5. Bem Ergebs x wrd gerade 50% der aufsummerte relatve Häufget errecht. Das Mermal Y wese = Werte auf: 3; 8; 0; 5; ; 8; 9; ; 5 ud 3 Ergebsse lege uter 5 Pute. Zuächst sortert ma de Ergebsse: <5 <5 < Der Zetralwert y z legt zwsche y 6 = 9 ud y 7 = 0 oder auch y z = 9,5. Be große Stchprobe sd de bede zetrale Werte y / ud y / + mestes glech groß. Egeschafte des Zetralwerts (Medas) () Normalerwese ergbt sch als Zetralwert e tatsächlch exstereder Wert. () Der Zetralwert st uempfdlch gegeüber "Ausreßer". (3) Der Zetralwert lässt sch auch auf offee Radlasse (Afag oder Ede) verwede. (4) Be dsrete Zufallsvarable st der Zetralwert x z svoller als der Mttelwert x. Werte, de ee Metr m physalsche Se habe. x z = Zetschrfte bzw. x =,5 Zetschrfte

7 Thema 3 Häufget Statst - Neff 3.6 STREUUNG Ma charatersert ee Daterehe durch de Mttelwert ud der Streuug um dese Mttelwert. De Varaz st der Mttelwert der Summe der Abwechugsquadrate.. Varaz für de Grudgesamthet ud für große Stchprobe be Ezelwerte: N N ( ) s = x - x =s s = x N - x N N N Gewchtet mt N bzw. h : s = ( x - x) N = ( x - x) = ( x - x) h N N Dasselbe mt der Formel : N N s = x N - x = x h - x Þ Varaz für de Grudgesamthet ud für große Stchprobe be Häufgetsvertelug: s = x - x h ( ) s = x h - x. Varaz für lee Stchprobe be Ezelwerte: ( 00), - Frehetsgrade ( ) s = æ ö x - x =s- s = x x - ç - - è ø gewchtet mt ergbt sch : s = ( x- x). = h hat her ee S. - Þ Varaz für lee Stchprobe be Häufgetsvertelug s = ( x- x) æ ö s = x x - ç - - è ø 3. De Stadardabwechug s =+ s 4. Der Varatosoeffzet Be zahlemäßg große Mermale sd auch de Abwechugsquadrate größer. de Streuug der eem Moat beobachtete Tagesumsätze ees Supermartes st vel größer als be eem lee Fachgeschäft. De Größeordug der Mermale wrd am eheste durch de Mttelwert x repräsetert. De Stadardabwechuge verschedeer Zufallsvarable werde verglechbarer, we ma se s Verhälts zum Mttelwert setzt. s So ommt ma zur Maßzahl Varatosoeffzet v =. x cv (coeffcet of varace) g Excel / Häufget

8 Thema 3 Häufget Statst - Neff 3.7 MERKMALSKLASSEN Be stetge ud quas-stetge Mermale x fasst ma de x zu Mermalslasse zusamme. Mermale mt vele uterschedlche Auspräguge ee wr quas-stetge Mermale. De Mermalslasse werde als Itervalle formulert: x Î] x ute ; x obe ]. Es gbt Klassemtte x * (der Mttelwert) ud Klassebrete Dx = x obe x ute. Bespel 3.4 Be der Utersuchug der moatlche Bruttoverdeste vo = 50 Beschäftgte ees Betrebes werde = 0 Klasse gebldet. De Tabelle ethält de Bruttoverdeste x. De Klasse sd glech bret Dx = 300. Ee solche Klasseetelug et ma äqudstat. De Rechtecfläche des Hstogramms habe da de Brete 300 ud de Höhe h. Ma beutzt deselbe Formel we für Häufgetsvertelug ohe Klasseetelug. a) Für de Mermalsauspräguge x beutzt ma de jewelge Klassemtte x *. g Excel / Häufget b) De Bestruture erhalb der Klasse sd ubeat. De relatve Häufgete bezehe sch auf gaze Mermalslasse, ma sprcht deshalb vo Häufgetsdchte f. Mt "Dchte" met ma, de Häufget h se glechmäßg über das Itervall vertelt. We der Phys wrd bem Begrff Dchte (r = m/v) de Bestrutur cht betrachtet. c) Ee Dchtefuto f ordet jedem Itervall vo Mermale ee Häufgetsdchte zu. d) De Itervallgreze müsse mt de Rechtecgreze überestmme. e) We de Klasse glech bret sd, da sd h ud f zahlemäßg glech. Ma beutzt möglchst glech-brete Klasse z.b. Dx =[cm], äqudstate Klasseetelug. f) X st ee (quas-)stetge Zufallsvarable, de Vertelugsfuto F st stetg. Achtug: der Futosgraph vo F st e Polygozug, ee Rechtece! Bespel 3.5 E Lager für Gebrauchtwage umfasst 70 PKW. Be der Ivetur ergabe sch de Werte x. Be cht-äqudstate Verteluge müsse de Rechtechöhe ezel berechet werde: Für de Rechtecfläche ees Hstogramms glt: h = Dx Rechtechöhe f. h Damt glt für de Rechtechöhe = Dchte f = g Excel / Häufget D x

9 Thema 3 Häufget Statst - Neff 3.8 HÄUFIGKEITSVERTEILUNG Aufgabe Häufget gegebe: Tabelle mt Mermalslasse ud Häufgete, Tele der Arbetstabelle, evetuell auch Dummyspalte Gesucht / Schrtte: a) Hstogramm zur Häufgetsvertelug Klassebrete D x ud Klassemtte x* bestmme x-achse mt de Klassegreze, Dchte (Rechtechöhe) bereche: h /Dx. x-achse bezeche, y-achse ohe Ehet b) Futosgraph der emprsche Vertelugsfuto. x-achse mt de Klassegreze, F = 0 a der utere Greze des.itervalles, F -Werte passed zu de obere Klassegreze etrage, Pute mt Geradestüce (Leal!) verbde. Stetg! c) Meda, Zetralwert das st de Klasse oder Klassemtte, be der F 0,5 = 50% überschretet d) Mttelwert Spalte x h blde, x st de Spaltesumme e) Varaz ud Stadardabwechug we 00 æ ö s = x -x - ç we > 00 s = x h - x, è ø demetspreched beötgt ma ee Spalte x h oder ee Spalte x. Stadardabwechug s= s ud Ehet (Beeug) hzufüge f) Varatosoeffzet s v = [], ee Ehet agebe x

10 Thema 3 Häufget Statst - Neff 3.9 STATISTISCHE KONVERGENZ a) Der Ihaber des Zetugsoss (3.3) fragt sch, we groß de Wahrschelchet se wrd, dass er am ächste Tag 3 Zetschrfte "MOT" veraufe wrd. Der beste Schätzwert st de gemessee relatve Häufget: W(X=3) = h(x=3) = 0, = 0%. b) Aus dem Lager für Gebrauchtwage (3.5) wrd e Auto zufällg ausgewählt. We groß st de Wahrschelchet, dass der Wert deses Wages m Berech 5000 bs 7000 legt? Der beste Schätzwert für de Wahrschelchet W st de relatve Häufget: W(5000 < X 7000) = h(5000 < X 7000) = 0,43 = 4,3%. Bespel 3.6 I eem Zufallsversuch werde mehrmals je 40 glechartge Reßägel geworfe. Es gbt zwe Elemetareregsse, "legt auf dem Rüce" r, "Sptzelage" s. De Zufallsvarable X se de Azahl der Treffer, d.h. der Reßägel "Sptzelage" s. p st de ubeate Treffer-Wahrschelchet. Excel / Häufget De relatve Häufgete h stablsere sch mt zuehmedem. De beste Schätzug für de Treffer-Wahrschelchet p st für = 600: h 600 = 0,393. h = h 600 legt eem belebg lee Berech [p e ; p + e]. Mt zuehmedem wrd es mmer wahrschelcher, dass h erhalb deses Berechs blebt. ( ) lmw lm( h - p) = 0 = urz: "h overgert statstsch zur Wahrschelchet p" c) Mt dese Überleguge öe wr gegeüberstelle: emprsch beobachtete Werte relatve Häufget h (X = x ) Häufgetsfuto h(x) aufsummerte relatve Häufget h (X x ) emprsche Vertelugsfuto F = h theoretsch erwartete Werte Wahrschelchet W (X = x ) = f = f(x ) Dchtefuto f(x) aufsummerte Wahrschelchet W (X x ) Vertelugsfuto dsret: F = f z stetg: F( z) = ò f ( x) dx Mttelwert x = x h Erwartugswert m= x f Varaz s = s = x - x h ( ) x h -x Gewchtug mt relatve Häufgete h erwartete Varaz - ( x ) s = -m f x f s = -m Gewchtug mt Wahrschelchete f d) We ma mt Wahrschelche f gewchtet, sprcht ma vo erwartete Werte. Für de Erwartugswert der Zufallsvarable X schrebt ma µ, µ X oder E(X) oder EX. Für de erwartete Varaz der Zufallsvarable X schrebt ma s, s X oder V(X), VX.