4.7 Lineare Systeme 1. Ordnung

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1 3. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet damit yx = y hom x + y inh x = c x + c 2 x + 8 x + 4 xlnx2 4 xlnx = C x + C 2 x + 4 xlnx2 4 xlnx. Wir haben c zu C 2 zusammengefasst. 4.7 Lineare Systeme. Ordnung Definition 3: Ein lineares System von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Ordnung hat die Gestalt y y 2. y n = a xy + a 2 xy a n xy n + b x = a 2 xy + a 22 xy a 2n xy n + b 2 x... = a n xy + a n2 xy a nn xy n + b n x y x = Ax y+ bx, x a, b, mit dem Lösungsvektor y = y, y 2,..., y n T der gesuchten Funktione y i x, i =, 2,..., n, einer gegebenen n n-matrix Ax = a ij x, deren Elemente Funktionen von x sind und einer gegebenen rechten Seite bx = b x, b 2 x,..., b n x T und einem gegeben Intervall a, b R. Ein System mit konstanten Koeffizienten hat die Gestalt y x = A y + bx, x a, b, wobei A = a ij eine n n-matrix mit konstanten Elementen ist. Bemerkung 6: In vielen Fällen, wo die abhängige Variable die Zeit darstellt, schreibt anstelle von yx eine Funktion xt und anstelle von y x schreibt man dann ẋ. Beispiel 55: Die beiden linearen Differentialgleichungen ẋt = xt + yt + 2t, ẏt = 4xt + yt + 2e t, t R, 2

2 bilden das lineare System. Ordnung ẋ x = = ẏ xt 2t + 4 yt 2e t Ein weiteres typisches Beispiel für ein System. Ordnung ergibt sich aus der linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung. Beispiel 56: Die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung hat die Gestalt y n x + a n xy n x + a n 2 xy n 2 x a xy x + a xyx = fx. Auf die folgende Weise wird die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung in ein System. Ordnung überführt. Wir setzen: y x = yx, y 2 x = y x = y x, y 3 x = y 2x = y x, y 4 x = y 3x = y 3 x,... y n x = y n 2x = y n 2 x, y n x = y n x = y n x, Weiterhin haben wir für die Ableitung von y nx = y n die Differentialgleichung zur Verfügung: y nx = a n xy n x a n 2 xy n 2 x... a xy x a xyx + fx. Das schreiben wir nun in als System: y x... y 2 x... y 3 x... =.... y n x... y nx a x a x a 2 x... a n 2 x a n x y y 2 y 3. y n y n +. fx y = Ax y + bx. 2

3 4.7. Homogenes lineares System mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten das System y x = A yx mit der konstanten n n-matrix A. Zur Lösung machen wir den folgenden Ansatz: yx = v e rx mit einem noch zu bestimmenden konstanten Vektor v R n und der unbekannten Zahl r R. Dann ist y x = r v e rx eingesetzt in das Differentialgleichungssystem und nach Umformung gemäß den Regeln der Matrizenmultiplikation folgt: y x = r v e rx = A v e rx = re rx A v A v = r v. R Lösungen des homogenen linearen Differentialgleichungssystem. Ordnung der Form yx = ve rx, v R n, r R, ergeben sich aus den Lösungen des Eigenwertproblems A v = r v mit der Matrix A des Systems. Ordnung. Die reellen Zahlen r sind die Eigenwerte und die Vektoren v sind die zu den Eigenwerten gehörigen Eigenvektoren. Beispiel 57: Auf diese Weise ermitteln wir für das System ẋ xt = ẏ 4 yt das Eigenwertproblem v = λ v, 4 22

4 mit den Eigenwerten λ det A λe = 4 λ = λ2 4 = λ 2 2λ 3 =, λ = 3 und λ 2 = mit dem Eigenvektor v zum Eigenwert λ = 3 : , v = 2, und dem Eigenvektor v 2 zum Eigenwert λ 2 = : 2 2, v 2 = 4 2 2, woraus sich die folgende Lösung ergibt xt = c v e 3t + c 2 v 2 e t = c yt 2 e 3t + c 2 2 e t bzw. xt = c e 3t + c 2 e t und yt = 2c e 3t 2c 2 e t. Wie man leicht nachrechnet ist mit diesen Funktionen xt und yt das Differentialgleichungssystem erfüllt. Wie auch schon bei den Differentialgleichungen stellt sich die Frage, ob das alle Lösungen sind. RFundamentalsystem. Jedes homogene lineare Differentialgleichungssystem. Ordnung auch mit veränderlichen Koeffizienten mit der n n-matrix At : x = At x besitzt genau n linear unabhängige Lösungen. 23

5 RLineare Unabhängigkeit und Wronski-Determinante. n Lösungsvektoren x t, x 2 t,... x n t des homogenen linearen Differentialgleichungssystems x = At x sind genau dann linear unabhängig, wenn die Wronski-Determinante W x, x 2,... x n t := det x x 2... x n t ist für mindestens ein t a, b. In diesem Fall bilden die Lösungsvektoren x t, x 2 t,... x n t ein Fundamentalsystem von Lösungen und die Matrix X = x t, x 2 t,... x n t heißt Fundamentalmatrix. Die allgemeine Lösung des homogenen lineare Systems. Ordnung ist dann xt = c x t + c 2 x 2 t c n x n t = Y c mit einem beliebigen Vektor c = c, c 2,..., c n T R n. Beispiel 58: Wie man mit Hilfe der Wronski-Determinante leicht nachrechnet sind für x = x 4 die Lösungsvektoren e 3t e t x t = 2 e 3t = 2e 3t und x 2 t = 2 e t = 2e t ein Fundamentalsystem, da W x, x 2 t = e 3t 2e 3t e t 2e t = 2e2t 2e 2t = 4e 2t. 24

6 R Wie auch bei linearen Differentialgleichungen gilt für lineare Systeme x = At x + b das Superpositionsprinzip und die Lösungsdarstellung: x allg t = x hom t + x inh t allgemeine Lösung = allgemeine Lösung des + eine spezielle Lösung der inhomogenen Syst. des homogenen Syst. des inhomogenen Syst. das Anfangswertproblem Cauchy-Problem x = Ax x + b, mit xt = x, ist eindeutig lösbar. ohne Beweis Homogene lineare Systeme. Ordnung mit konst. Koeff. für n = 2 Die Lösung des Systems ẋ x x = ẏ = A y hängt ganz entscheidend vom Fundamentalsystem und damit den Eigenwerten und xt Eigenvektoren der Matrix A ab. Da die Lösung xt = die Parametrisierung einer Kurve im R 2 ist, kann man sich die Lösungen graphisch als die Menge aller yt Lösungskurven veranschaulichen. Die Menge aller Lösungskurven wird auch als Phasenportrait bezeichnet. Beispiel 59: Die Lösungkurven des linearen Differentialgleichungssystems x = 4 x 25

7 lauten xt = c x t + c 2 x 2 t = c 2 e 3t + c 2 2 e t, c, c 2 R. Betrachtet man nun zunächst die Lösungen in Richtung der Eigenvektoren, so hat man zunächst die sogenannten Synchronlösungen organge Geraden c 2 e 3t und c 2 2 e t, wobei sich die erste Lösung für t gegen Unendlich strebt und die zweite Lösung gegen Null, wie man an den eingetragenen Richtungselementen im Bild ersehen kann. Alle weiteren Lösungskurven sind nun Überlagerungen Summen von Synchronlösungen, für t gegen Unendlich wird die erste Synchronlösung dominant c. Die roten Kurven sind spezielle Lösungskurven, die durch die Anfangsbedingung x x = gemäß den eingezeichneten Punkten grau x, y bestimmt y y sind. 26

8 Kehren wir nun zum System zurück. x = A x, A eine n n-matrix, x = x t. x n t Wie sehen Fundamentalsysteme im Allgemeinen aus? Wie kann man sie bestimmen? Der einfachste Fall liegt vor, wenn die Systemmatrix A eine reelle symmetrische Matrix ist. In diesem Fall sind alle Eigenwerte λ, λ 2,..., λ n reell sie müssen aber nicht alle voneinander verschieden sein und es gibt eine Basis aus n orthogonalen Eigenvektoren v, v 2,..., v n. Dann sind, x t = v e λ t, x 2 t = v 2 e λ 2t,..., x n t = v n e λnt ein Fundamentalsystem von Lösungen, da W x x 2... x n t = det v e λt v 2 e λ2t... v n e λnt = e λ t+λ 2 t+...+λ nt v v 2... v n, da die Exponentialfunktion nie Null wird und die Determinante ist ungleich Null da die Eigenvektoren eine Basis bilden und damit linear unabhängig sind. Wir geben auch hierzu ein Beispiel an. Beispiel 6: Man bestimme die allgemeine Lösung des homogenen linearen Systems. Ordnung 3 2 x = x. 2 2 Die Systemmatrix A ist reell und symmetrisch. Die Eigenwerte ergeben sich aus 3 λ 2 = 3 + λ2 + λ 2 = λ 2 + 5λ + 4 = 2 2 λ zu λ = und λ 2 = 4. Die zugehörigen Eigenvektoren sind für λ =

9 der Vektor v = der Vektor v 2 = 2 und für den Eigenwert λ 2 = 4 2 x t = Die allgemeine Lösung ist damit. Damit erhalten wir die linear unabhängigen Teillösungen 2 2 e t und x 2 t = xt = c x t + c 2 x 2 t = c 2 e t + c 2 2 = e t 2e 4t 2e t e 4t c c 2 e 4t. e 4t = X c, mit der Fundamentalmatrix X. Die Menge aller Lösungskurven = Phasenportrait sieht analog wie im vorigen Beispiel wie folgt aus: Für t streben alle Lösungen gegen den Ursprung. 28

10 Was kann passieren, wenn die Systemmatrix reell, aber nicht symmetrisch ist?. Fall: Alle Eigenwerte sind reell und verschieden voneinander. Da die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts und damit die Dimension des Eigenunterraums immer größer gleich und kleiner gleich der algebraischen Vielfachheit des Eigenwerts ist, ist die geometrische Vielfachheit aller Eigenwerte gleich und es gibt eine Basis aus Eigenvektoren. Alles andere ist identisch zum Fall einer reellen und symmetrischen Matrix A. 2. Fall: Einige Eigenwerte sind Paare konjugiert komplexer Zahlen. Wir erläutern das Vorgehen an einem Beispiel. Beispiel 6: x = 2 2 Wir bestimmen zunächst wieder die Eigenwerte. Diese ergeben sich aus 2 λ 2 λ = λ = λ 2 + λ = zu λ /2 = 2 ±i einem Paar konjugiert komplexer Zahlen. Da die Eigenwerte komplex sind, müssen wir nun auch komplexe Eigenvektoren bestimmen. Der Eigenvektor zu x. λ = 2 + i ergibt sich aus i i i zu v =, analog erhalten wir aus i i i i den Vektor v 2 =. Damit haben wir die komplexwertigen Lösungen i [ ] x t = e 2 t+it = + i e 2 t cos t + isint i [ ] = e 2 t cos t e 2 t sint + i e 2 t sint + e 2 t cos t 29

11 und = [ ] x 2 t = e 2 t it = + i e 2 t cos t isint i [ ] e 2 t cos t e 2 t sint + i e 2 t sint e 2 t cos t Wie auch im Fall der gewöhnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung, erhält man aus der komplexen Lösung 2 reelle linear unabhängige Lösungen u t = Re x t = e 2 t cos t e 2 t sint, u 2 t = Im x t = e 2 t sint + e 2 t cos t. Außerdem erkennt man, dass sich der Real- und Imaginärteil von x 2 von denen von x höchstens um das Vorzeichen unterscheiden, d.h. der Real- und Imaginärteil von x 2 ergibt keine weiteren linear unabhängigen Lösungen. Die lineare Unabhängigkeit von u und u 2 erhält man mit der Wronski-Determinante, es gilt e 2 t cos t e 2 sint W u, u 2 t = e 2 t sint e 2 t cos t = e t cos 2 t + e t sin 2 t = e t. Die allgemeine Lösung des homogenen Systems ist damit xt = c u t + c 2 u 2 t = e 2 [ c cos t sint + c 2 sint cos t Folglich genügt es einen komplexen Eigenwert λ = α + iµ des Paars konjugiert komplexer Eigenwerte λ /2 = α ± iµ zu betrachten, den dazugehörigen Eigenvektor v zu bestimmen und die beiden linear unabhängigen reellwertigen Lösungen sind dann u = Re Das Phasenportait sieht wie folgt aus: ve λ t und u 2 = Im ve λ t. ]. 3

12 Für t streben alle Lösungen gegen den Ursprung. Beispiel 62: Ein Beispiel von diesem Typ ist das ungedämpfte mathematische Pendel. Es genügt der nichtlinearen Differentialgleichung 2. Ordnung ẍ + g l sinx =. Für kleine Auslenkungen x ist sin x x und wir erhalten die lineare Differentialgleichung ẍ + g l x =, dabei ist x die Auslenkung und g die Erdbeschleunigung sowie l die Länge des Pendels. Wir überführen die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung in ein äquivalentes System. Ordnung: x = x, y = ẋ, ẏ = ẍ = g l, also das System x = g l x. 3

13 Wir erhalten die Eigenwerte aus λ λ g l = λ2 + g l = zu λ /2 = ±i g l und schreiben dafür λ /2 = ±iµ, µ >. Wir müssen nun nur einen komplexen Eigenvektor berechnen. Wir berechnen den Eigenvektor zum Eigenwert λ = iµ. iµ iµ µ 2 iµ und erhalten den komplexen Eigenvektor v =. Daraus ergeben sich die beiden iµ linear unabhängigen reellwertigen Lösungen: x t = Re ve iµ cosµt =, x 2 t = Im ve iµ sinµt =. µ sinµt µcosµt Für µ = 2 ergibt sich das Phasenportrait Die Lösungskurven sind geschlossene Kurven, was dem periodischen Verhalten der Lösungen entspricht. 3. Fall: Mehrfache Eigenwerte. Es gibt immer eine Basis aus Hauptvektoren werden nicht behandelt, sind verallge- 32

14 meinerte Eigenvektoren. Wie man darauf kommt sei an einem Beispiel erläutert. Beispiel 63: Man berechne die allgemeine Lösung des homogenen linearen Systems. Ordnung x = x. 3 Wie üblich bestimmen wir zunächst die Eigenwerte. Es gilt λ 3 λ = λ3 λ + = λ2 4λ + 4 = λ 2 2 =, und damit gibt es nur einen Eigenwert λ = 2. Das ist an sich nicht schlimm, wenn es denn wenigstens zwei linear unabhängige Eigenvektoren gäbe, aber das ist hier nicht der Fall. Es gibt nur einen Eigenvektor, nämlich aus folgt v = Damit ergibt sich aber auch nur eine Lösung x t = e 2t. Da es aber immer n, in unserem Fall n = 2 linear unabhängige Lösungen gibt, muss man eine weitere linear unabhängige Lösung finden. Wie kann man diese finden? Inspiriert vom Vorgehen bei linearen Gleichungen 2. Art, könnte man versucht sein x 2 t = t ve 2t als weitere Lösung zu vermuten, das ist aber keine Lösung, wie man leicht nachvollzieht. Es ist x 2 = ve 2t + 2t ve 2t 2t ve 2t = te 2t A v = A x 2 t.. Wir müssen deshalb einen anderen Ansatz finden. Aus der obigen Gleichung sieht man, dass unserer bisheriger Ansatz nur die Hälfte der Gleichung erfüllt, es bleibt aber Vektor mal Exponentialfunktion übrig. Ein besserer Ansatz sieht deshalb wie folgt aus: x 2 t = u + t ve λt, dabei ist λ der Eigenwert den wir schon berechnet haben, also in unserem Fall λ = 2 und v der dazugehörige Eigenvektor, der Vektor u ist unbekannt und dadurch zu bestimmen, dass x 2 t Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems sein soll. 33

15 Wir berechnen: A x 2 t = A u + t ve λt = A ue λt + te λt A v = A ue λt + tλe λt v = x 2 t = λ u + ve λt + tλe λt v A u λ u = A λe u = v. Dieses Gleichungssystem A λe u = v ist unserem Fall gerade, das die Lösung u = + k = + k v hat. Das Vielfache des Eigenvektors v in der Lösung auftreten ist nicht verwunderlich, da der Eigenvektor v gerade Lösung des homogenen Systems A λe v = ist. Deshalb wählen wir u =. Dies ein sogenannter Hauptvektor der Stufe 2, da er die Gleichung A λe 2 u = erfüllt, aber A λe u gilt und somit u kein Eigenvektor ist. Man hätte anstelle von u = auch jede andere Lösung von A u = v nehmen können. Mit diesem u ergibt sich nun x 2 t = + t Die Lösungen x t und x 2 t sind linear unabhängig, da für die Wronski-Determinante gilt e 2t te 2t W x, x 2 t = e 2t e 2t te 2t = e4t te 4t + te 4t = e 4t. Damit haben wir als allgemeine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems. Ordnung erhalten xt = c e 2t + c 2 + t e 2t. Es gibt nur einen Eigenvektor und deshalb ist im Phasenportrait auch nur eine orange Linie sehen. e 2t. 34

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17 R Homogenes lineares System von Differentialgleichungen. Ordnung, n=2. a a 2 x = A x, mit A = a 2 a 22 xt einer reellwertigen konstanten Matrix und dem Lösungsvektor xt =. yt. Bestimmung der Eigenwerte λ, λ 2 der Matrix A : a λ a 2 a 22 λ = a λa 22 λ a 2 a 2 =. a 2 2. Berechnung der zugehörigen Eigenvektoren v, v 2. a λ a 2 A λe v = a 2 a 22 λ 3. Dann ergibt sich eine Lösungsbasis x, x 2 wie folgt: reelle Eigenwerte λ λ 2 In diesem Fall gibt es 2 linear unabhängige Eigenvektoren v zum Eigenwert λ und x 2 zum Eigenwert λ 2. Dann ist eine Lösungsbasis x t = v e λ t und x 2 t = v 2 e λ 2t reeller Eigenwert λ mit 2 linear unabhängen Eigenvektoren v, v 2. Dann ist eine Lösungsbasis x t = v e λt und x 2 t = v 2 e λt Die Eigenwerte sind ein Paar konjugiert komplexer Zahlen λ /2 = α±iµ, µ. Es genügt zu einem der Eigenwerte, z.b. λ = α + iµ, zu betrachten und den dazugehörigen komplexen Eigenvektor v zu bestimmen. Dann ist eine Lösungsbasis x t = Re ve λ t = e αt [Re v cosµt Im v sinµt], x 2 t = Im ve λ t = e αt [Re v sinµt + Im v cosµt] Es gibt nur einen reellen Eigenwert λ und auch nur einen dazugehörigen Eigenvektor v. Dann ist x t = ve λt, eine Lösung. Eine zweite linear unabhängige Lösung ergibt sich dann mit Hilfe des Hauptvektors nicht behandelt. Die allgemeine Lösung des homogenen Systems ist dann x hom t = c x t + c 2 x 2 t = x t x 2 t c = X c. 36

18 4.7.3 Inhomogenes System. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Variation der Konstanten x = A x + b. Wie bei der Gleichung erster Ordnung geht man von der allgemeinen Lösung des homogenen Systems x hom t = X c, mit der Fundamentalmatrix X = x t x 2 t und dem Vektor c = macht den Ansatz x = X ct. Differenzieren gemäß der Produktregel ergibt nun x = Ẋ ct + X ct, c c 2 aus. Man wobei Ẋ bedeutet, dass jede Komponente der Fundamentalmatrix X nach t differenziert wird. Setzt man dies in das homogene System ein, so ergibt sich A x + b = AX ct + b = x = Ẋ c + X c. Da X ct Lösung des homogenen Systems ist, ergibt sich X c = b c = X b. Die Fundamentalmatrix X ist invertierbar, da ihre Determinante gerade die Wronski- Determinante ist, welche ungleich Null ist, da es sich um ein Fundamentalsystem handelt. Die Vektorfunktion ct erhält man nun durch komponentenweise Integration. Dann ist eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems x inh t = X ct und die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems ist Wir erläutern das an einem Beispiel. xt = x hom t + x inh t = X c + X ct. Beispiel 64: Man bestimme die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems. Ordnung 2 x = x + e t. 4. Die allgemeine Lösung des homogenen Systems haben wir bereits vorher berechnet, 37

19 die Basislösungen sind x t = e 3t, und x 2 t = e t. 2 2 Damit lautet die Fundamentalmatrix e 3t e t X =. 2e 3t 2e t 2. Variation der Konstanten. Bestimmung von X : e 3t e t e 4t e 3t 2e 3t 2e t 4e t 2 Damit haben wir e 4t e 3t 2 et 4 et X = 2 e 3t 4 e 3t 2 et 4 et 2 e 3t 4 e 3t 2 et 4 et erhalten und eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems ist somit c = X b = 2 e 3t 4 e 3t 2 et 4 et 2e t = e t Durch komponentenweise Integration erhalten wir nun ct = 3 8 e2t 5 8 e2t 3 4 e2t 5 4 e2t Die Integrationskonstanten können wir weglassen, da wir nur in einer speziellen Lösung interessiert sind. Somit erhalten wir als eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems x inh t = X ct = e 3t e t 2e 3t 2e t 3 8 e2t 5 8 e2t = 4 et. 2e t 38

20 und die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems ist xt = c x t+c 2 x 2 t+ x inh t = c e 3t +c 2 e t + e t, c, c 2 R Ausblick: Autonome Systeme Autonome Systeme sind Systeme. Ordnung, in denen die abhängige Veräderliche t nicht explizit auftaucht. Wir beschränken uns wieder auf den Fall n = 2. In diesem Fall haben wir zwei nichtlineare Gleichungen in x und y: Beispiele für autonome Systeme sind ẋ = fx, y, ẏ = gx, y. Beispiel 65: Das lineare System. Ordnung mit konstanten Koeffizienten x = A x. aber auch Beispiel 66: Die nichtlineare Gleichung 2. Ordnung, die die Bewegung eines gedämpften Pendels beschreibt ist: ẍ + c mlẋ + g sin x =, l dabei ist g die Erdbeschleunigung, l die Länge des Pendels, m die Masse und c die Dämpfungskonstante. Wir formen zunächst die Gleichung 2. Ordnung in ein System. Ordnung um, indem wir x = x, y = ẋ, ẏ = c mlẋ g l sinx { ẋ = y, ẏ = c mlẋ g l sinx Was bei autonomen Systemen insbesondere von Interesse ist, sind die Gleichgewichtslagen x, y R 2, auch kritische Punkte oder stationäre Punkte genannt, für diese gilt ẋ = fx, y =, ẏ = gx, y =. 39

21 Das lineare System mit konstanten Koeffizienten hat nur eine Gleichgewichtslage, nämlich den Ursprung,. Dieser ist eine stabile Gleichgewichtslage, wenn für t alle Lösungen gegen streben. Gibt es auch nur eine Lösung, die für t gegen Unendlich strebt, so ist die Gleichgewichtslage instabil. Das bedeutet, dass der kritische Punkt x = des linearen Systems mit konstanten Koeffizienten x = A x asymptotisch stabil, wenn die beiden Eigenwerte λ, λ 2 reell und negativ sind oder beide Eigenwerte einen negativen Realteil besitzen. stabil, jedoch nicht asymptotisch stabil, wenn beide Eigenwerte rein imaginär sind. instabil, wenn einer der Eigenwerte bzw. ein Realteil eines Eigenwerts positiv ist. Man vergleiche die dazugehörigen Phasenportraits für die verschiedenen Fälle. Diese Stabilitätseigenschaften lassen sich auf bestimmte nichtlineare, sogenannte fast lineare Systeme ausdehnen. Fastlineare Systeme Es seien f, g zweimal stetig partiell differenzierbare Funktionen, dann heißt das System ẋ = fx, y, ẏ = gx, y, fast linear. Wir entwickeln zunächst f und g in eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt in der Gleichgewichtslage x, y, wir erhalten fx, y = fx, y + f x x, y x x + f y x, y y y + r x, y, gx, y = gx, y + g x x, y x x + g y x, y y y + r 2 x, y, wobei r x, y und r 2 x, y für x, y x, y. Da x und y feste Werte sind, hängen sie auch nicht von der Zeit t ab und d dt x = d dt y =, weiterhin gilt fx, y = gx, y =. ẋ d dt = x x fx, y fx, y d ẏ dt y y = gx, y gx, y fx x, y f y x, y x x r x, y = + g x x, y g y x, y y y r 2 x, y 4

22 Hieraus ersieht man, dass die lokalen Stabilitätseigenschaften des fast linearen Systems in der Gleichgewichtslage x, y der des linearen Systems mit der Systemmatrix fx x, y f y x, y g x x, y g y x, y entsprechen, d.h. man muss die Eigenwerte dieser Matrix untersuchen, um die Stabilität der Gleichgewichtslage zu bestimmen. Beispiel 67: Das gedämpfte mathematische Pendel genügt der Differentialgleichung ẍ + c mlẋ + g l sin x =, die äquivalent zum nichtlinearen System. Ordnung ẋ = y, ẏ = c mlẋ g l sinx ist. Zunächst müssen wir die Gleichgewichtslagen aus ẋ = y =, ẏ = mlẋ c g l sinx =, bestimmen. Aus der ersten Gleichung ergibt sich y = und dies in die zweite Gleichung ergibt, dass sin x = sein muss. Damit erhalten wir die Gleichgewichtslagen kπ,, k Z. Die Art der Gleichgewichtslage asymptotisch stabil, stabil oder instabil ergibt sich nun aus den Eigenwerten der Matrix fx x, y f y x, y g x x, y g y x, y = g l cos x c ml. x=kπ Damit gibt es 2 Fälle: Falls k eine gerade Zahl ist, ist cos x = coskπ = und wir müssen die Eigenwerte der Matrix g l c ml bestimmen. Also λ g l c ml λ = λ c ml λ + g l =, λ /2 = c c 2ml ± 2 4ml g l 4

23 Falls c2 4ml g l ist, so sind beide Eigenwerte kleiner Null und die Gleichgewichtslage ist asymptotisch stabil. Gilt dagegen c2 4ml g l <, so sind die Realteile der Eigenwerte kleiner als Null und deshalb ist die Gleichgewichtslage auch in diesem Fall asymptotisch stabil. Wird das ungedämpfte Pendel betrachtet, d.h. es gilt c =, so sind die Eigenwerte komplex konjugiert und rein imaginär, die Gleichgewichtslage ist in diesem Fall stabil, aber nicht asymptotisch stabil. 42

24 Ist k dagegen eine ungerade Zahl, so ist coskπ = und wir müssen die Eigenwerte der Matrix g l c ml bestimmen. Also λ g l c ml λ = λ c ml λ g l =, λ /2 = c c 2ml ± 2 4ml + g l Da mindestens ein Eigenwert immer größer als Null ist, ist die Gleichgewichtslage instabil. 43