Sepp und Helmut, zwei alte selbsternannte Fußball-Experten unterhalten sich am Stammtisch.

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1 Knobelaufgabe Mathematik Sommersemester 6 Sepp und Helmut, zwei alte selbsternannte Fußball-Eperten unterhalten sich am Stammtisch. Sepp: Es geht nichts über die 4er-Abwehrkette! 4 in der Abwehr, 4 im Mittelfeld und im Sturm. So spielt man Fußball. Helmut: Bleib mir weg mit dem alten Quatsch! Die ist doch viel zu defensiv. Wenn alle hinten rum stehen, kannste vorne keine Tore machen. Glaub mir das! Sepp: Mensch, Du hast ja keine Ahnung! Wer hinten sauber bleibt, kann vorne befreit aufspielen! Das weiß doch wirklich jedes Kind. Helmut: Und warum sind dann die Offensiv-Mannschaften in Turnieren immer so erfolgreich, hä? in der Abwehr, 5 im Mittelfeld und im Sturm, das ist die optimale Aufstellung! Die Beiden werden wohl ewig so weiter streiten. Grund genug, die Sache mathematisch anzugehen, um endlich und ein für alle Mal zu klären, welche Aufstellung denn nun die vielversprechendste ist. Jürgen, der Dritte im Bunde, der an der FHTE vor über Jahren Mathe und gehört hat, fühlt sich herausgefordert und hält schon Papier und Bleistift bereit, um ein geeignetes Regelwerk zu erstellen: Er hält folgende Regeln fest: Regel : Das Spielfeld ist in 5 Zonen eingeteilt: Zone A: Tor links Zone B: Abwehr links Zone C: Mittelfeld Zone D: Abwehr rechts Zone E: Tor rechts Regel : Eine Halbzeit wird durch die Zeitpunkte,,,., dargestellt. Zum Zeitpunkt Null wird die Halbzeit angepfiffen, zum Zeitpunkt erfolgt der Schlusspfiff der Halbzeit. Das heißt, jeder Zeitpunkt entspricht einem Zeitraum von,5 Minuten. Zum Zeitpunkt Null befindet sich der Ball natürlich in Zone C (Anstoß). Regel : Befindet sich der Ball zum Zeitpunkt t (t<) in einer der Zonen B, C oder D, so befindet sich der Ball zum nächsten Zeitpunkt, also t+, mit der Wahrscheinlichkeit von 5% in der gleichen Zone. Ansonsten bewegt sich der Ball um eine Zone nach rechts oder um eine Zone nach links; die Wahrscheinlichkeit dafür ist proportional zur Anzahl der Spieler, die sich in der Zone befinden.

2 Sepp und Helmut verstehen nur Bahnhof. Daher macht Jürgen ein Beispiel: Nehmen wir mal an, die Mannschaft links spiele mit Verteidigern, 4 Mittelfeldspielern und Stürmern. Die Mannschaft rechts hingegen mit 4 Verteidigern, 4 Mittelfeldspielern und Stürmern. Dann sieht es ja so aus: Zone A B C D E Spieler Mannschaft links 4 Spieler Mannschaft rechts 4 4 Befindet sich der Ball zum Zeitpunkt t= in der Zone B, so befindet er sich zum Zeitpunkt t=4 mit der Wahrscheinlichkeit,5 in der Zone B. mit der Wahrscheinlichkeit, 5 =, in der Zone C. 5 mit der Wahrscheinlichkeit, 5 =, in der Zone A, d.h. Mannschaft rechts 5 erzielt in diesem Fall ein Tor. (Die Wahrscheinlichkeiten für die Zonen C und A verhalten sich also wie :, entsprechend den Spielerzahlen in der Ballzone B) Regel 4: Landet der Ball zu einem Zeitpunkt in einem der beiden Tore (Zone A oder Zone E), so befindet er sich im darauf folgenden Zeitpunkt in Zone C (neuer Anstoß). Helmut: OK, kapiert hab ich das. Aber wenn Du schon so ein schlaues Kerlchen bist, dann kannst Du uns ja jetzt sagen, welches das bessere Spielsystem ist, das vom Sepp: Torwart, 4 Verteidiger, 4 Mittelfeldspieler, Stürmer oder das von mir: Helmut: Torwart, Verteidiger, 5 Mittelfeldspieler, Stürmer? Frage: Welche der beiden Mannschaften wird eher gewinnen, wenn man die Regeln berücksichtigt? Zusatzfrage: Wenn man mal davon ausgeht, dass eine Fußballmannschaft aus genau einem Torwart, mindestens Verteidigern, mindestens Mittelfeldspielern und mindestens Stürmer, besteht, gibt es dann ein bestes Spielsystem? Wenn ja, welches? Weitere schwierige Zusatzfrage: Bei welcher Paarung (Spielsystem X gegen Spielsystem Y) sind die meisten Tore zu erwarten? Und wie viele Tore sind es? (nach einer Idee von Peter Plappert)

3 Lösung der Knobelaufgabe: Wir betrachten die Mannschaften von Sepp und Helmut samt Aufstellung: Zone A B C D E Mannschaft Sepp (von links) 4 4 Mannschaft Helmut (von rechts) 5 Nach den genannten Regeln berechnen sich die Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Zeitpunkt zum nächsten also wie folgt: 4 P (B C) = 4 P (B A) = 4 4 P (C D) = 8 5 P (C B) = 8 P (D E) = 8 P (D C) = 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass Sepps Mannschaft direkt nach dem Anpfiff in genau 4 Zeitintervallen ein Tor schießt, beträgt also P (C D) P(D E) = = =, Die Wahrscheinlichkeit, dass Helmuts Mannschaft in Zeitintervallen ein Tor schießt, beträgt 5 5 hingegen P (C B) P(B A) = = =, Somit ist es wahrscheinlicher, dass Helmuts Mannschaft auf direktestem Wege vom Anspiel ein Tor erzielt als Sepps Mannschaft. Daran ändert aber auch nichts, wenn dieses Tor nicht auf direktem Wege erzielt wird. Die Wahrscheinlichkeiten von ½, mit denen der Ball in der gleichen Zone bleibt, halten das Spiel nur auf, ändern aber nichts am wahrscheinlich erzielten Tor. Somit ist Helmuts Aufstellung die bessere. Lösung der Zusatzfrage: Um das beste Spielsystem zu ermitteln muss man sich die Mühe machen, alle möglichen Paarungen gegeneinander spielen zu lassen. Die möglichen Aufstellungen sind nach den genannten Vorgaben: 7--, 6--, 6--, 5--, 5--, 5-4-, 4--4, 4--, 4-4-, 4-5-, --5, --4, -4-, -5-, -6-, --6, --5, -4-4, -5-, -6-, -7- Jeweils ist das Produkt der beiden Quotienten (wie oben am Beispiel erläutert) von beiden Mannschaften zu berechnen und zu vergleichen. Allgemein sieht die Rechnung also wie folgt aus:

4 Die allgemeinen Spielsysteme lauten: Zone A B C D E Mannschaft X Mannschaft Y y y y Der Inde weist also auf einen Verteidiger hin, der Inde auf einen Mittelfeldspieler und der Inde auf einen Stürmer. Die Übergangswahrscheinlichkeiten von einem Zeitpunkt zum nächsten lauten nun: P(B C) = + y y P(B A) = + y P(C D) = + y y P(C B) = + y P(D E) = + y y P(D C) = + y Man hat also nun nur die beiden Terme P(C D) P(D E) und P(C B) P(B A) von sämtlichen Paarungen miteinander zu vergleichen. Als bestes Spielsystem ergeben sich gleich zwei, nämlich -5- und -5-. Lösung der weiteren schwierigen Zusatzfrage: Während bisher nur Grundkenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung nötig waren, benötigen wir nun einen Begriff aus der Theorie der stochastischen Prozesse, nämlich die so genannte Markov-Kette (nachzulesen zum Beispiel unter Stellen wir uns vor, es spielen die beiden Systeme --6 und --6 gegeneinander. Dieses Beispiel ist nicht zufällig gewählt. Es wird sich nämlich zeigen, dass genau mit dieser Paarung die meisten Tore erzielt werden. Die Matri der Übergangswahrscheinlichkeiten dieser Paarung lautet wie folgt: M = 6/6 / /6 / 4 / / 4 /6 / 6/6 Hierbei bedeutet M ij die Übergangswahrscheinlichkeit von Zone j nach Zone i.

5 6 Der Eintrag M = bedeutet also beispielsweise, dass mit der Wahrscheinlichkeit 6/6 der 6 Ball von Zone (seither B) nach Zone (seither A) gelangt. Ist der Ball im Tor, so wird er mit Sicherheit im nächsten Zeitpunkt in Zone (seither C) liegen; daher ist = M. M 5 = Die Voraussetzung für die Markovketten-Theorie ist, dass die Wahrscheinlichkeit, den Ball zum Zeitpunkt t in einer bestimmten Zone anzutreffen, ausschließlich vom Ort des Balls zum Zeitpunkt t- abhängt und nicht etwa von der Vorgeschichte. Da dies in unserer Aufgabe ja der Fall ist, können wir die zugehörige Theorie anwenden. Sie besagt, dass sich die Wahrscheinlichkeit, den Ball in Zone i zum Zeitpunkt n anzutreffen, gleich n P(X n = i) = M r μ (i) ist. Hierbei ist r μ der Anfangsvektor. Das Spiel beginnt in Zone C. Somit lautet unser Anfangsvektor r μ =. Wir haben also nur die Matri M zu potenzieren und anschließend mit dem Anfangsvektor zu multiplizieren und die erste bzw. fünfte Komponente des Ergebnisses zu nehmen, um herauszufinden, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Ball im linken bzw. rechten Tor nach n Zeitpunkten ist. Die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten für die ersten Zeitpunkte (n= ) und Zone A (i=) liefert die Zahl der in einer Halbzeit im linken Tor gefallenen Tore. Die Summe dürfen wir im Übrigen nehmen, weil die Ereignisse disjunkt sind. Multiplizieren wir die Summe mit, so erhalten wir die durchschnittliche Toranzahl im linken Tor. Und hier der einfach zu verstehende zugehörige MATLAB-Quellcode: % Übergangsmatri bei //6 gegen //6 A=[ 6/6 / /4 /6 / /6 /4 / 6/6 ]; % Anfangsvektor mu = [; ; ; ; ]; suma=; sume=; for n=: b=a^n * mu; p = b(); p5 = b(5) suma=suma+p; sume=sume+p; end %Geschossene Tore im linken Tor *suma %Geschossene Tore im rechten Tor *sume

6 Es zeigt sich, dass die Paarung --6 gegen --6 die torreichste ist. In dieser Partie fallen im Schnitt,499 Tore auf beiden Seiten; insgesamt also etwas über 6 Tore. Gewinner Da die Aufgabe etwas schwer (und tetreich) war, habe ich in diesem Semester auf eine Auslosung verzichtet. Alle Mitspieler gaben die richtige Antwort und erhielten dafür einen Buchpreis und eine Urkunde: David Engelmann, Jan Genger, René Haussmann und Karlheinz Schnizler Sonderpreise für besonders schöne Lösungen gingen an: Andreas Kruspel und Jörg Schenkel Allen Gewinnern herzlichen Glückwunsch!

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