Inhaltsverzeichnis Vorwort Grundlagen

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1 Inhaltsverzeichnis Vorwort... 1 Grundlagen Mengenlehre Mengenbegriff Mengenoperationen Abbildungen Logik Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweise ReelleZahlen NatürlicheundganzeZahlen RationaleZahlen ReelleZahlen RechnenmitreellenZahlen PotenzenundWurzeln SummenundProdukte,BinomischerLehrsatz BeträgeundUngleichungen Über das Lösen vongleichungenundungleichungen ReelleFunktionen NotationreellerFunktionen Eigenschaftenvon reellenfunktionen Umkehrfunktion VerkettungvonFunktionen Signum-undBetragsfunktion Polynomeundgebrochen-rationaleFunktionen Potenz-undWurzelfunktionen Exponentialfunktionen und Logarithmen TrigonometrischeFunktionen Hyperbel-undAreafunktionen KomplexeZahlen Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginäreeinheit KomplexeArithmetik DieGauß schezahlenebene Euler schegleichungundpolarformkomplexerzahlen Komplexe Wechselstromrechnung Fundamentalsatz der Algebra LineareGleichungssystemeundMatrizen v

2 viii Inhaltsverzeichnis LineareGleichungssysteme Matrizen,Zeilen-undSpaltenvektoren LösenlinearerGleichungssysteme InverseMatrixundtransponierteMatrix Symmetrische und orthogonale Matrizen Dreiecksmatrizen, Bandmatrizen und LR-Zerlegung Determinanten DefinitionundelementareEigenschaftenvonDeterminanten DeterminantenundlineareGleichungssysteme Aufgaben Differenzial- und Integralrechnung Folgen Definition und Grundbegriffe von Folgen KonvergenzundDivergenzvonFolgen RechnenmitkonvergentenFolgen Konvergenzkriterien Die Euler sche Zahl e alsgrenzwertvon Folgen ApproximationreellerPotenzen BestimmteDivergenz Häufungspunkte einer Folge Folgenkompaktheit und Cauchy-Folgen Zahlen-Reihen DefinitionundKonvergenzeinerReihe RechnenmitkonvergentenReihen AlternativenzurDefinitionderReihenkonvergenz AbsoluteKonvergenz Konvergenzkriterien fürreihen GrenzwertevonFunktionenundStetigkeit Umgebungen und Überdeckungen Grenzwertevon Funktionen Stetigkeit EigenschaftenstetigerFunktionen Unstetigkeitsstellen DifferenzierbarkeitundAbleitungen AbleitungalsGrenzwertdesDifferenzenquotienten Ableitungsregeln Newton-Verfahren DasDifferenzial HöhereAbleitungen Zentrale SätzederDifferenzialrechnung

3 Inhaltsverzeichnis ix Satz von Fermat: notwendige Bedingung fürlokale Extrema MittelwertsätzederDifferenzialrechnung RegelnvonL Hospital Integralrechnung DefinitiondesIntegrals EigenschaftendesIntegrals HauptsatzderDifferenzial-undIntegralrechnung RechenregelnzurIntegration NumerischeIntegration UneigentlicheIntegrale Volumen und Flächen SatzvonTaylor, KurvendiskussionundExtremalprobleme Taylor-Summen KurvendiskussionundExtremalprobleme Potenzreihen UnendlicheTaylor-Summen undpotenzreihen Einschub: Funktionenfolgen KonvergenzvonPotenzreihen DifferenziationundIntegrationvonPotenzreihen DerZusammenhangzwischenPotenzreihenundTaylor-Reihen DiekomplexeExponentialfunktion Aufgaben Lineare Algebra VektoreninderEbeneundimRaum Vektoren: Grundbegriffe und elementare Rechenregeln Skalarprodukt und Orthogonalität VektorproduktundSpatprodukt Anwendungen des Skalar-, Vektor- und Spatprodukts AnalytischeGeometrie GeradeninderEbeneundimRaum EbenenimRaum Vektorräume DefinitiondesVektorraums Lineare Unabhängigkeit,Basis unddimension SkalarproduktundNorm Orthogonalität, Orthogonal- und Orthonormalsysteme Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen Summe, skalares Vielfaches und Verkettung linearer Abbildungen Kern und Bild einer linearen Abbildung, Dimensionssatz

4 x Inhaltsverzeichnis Umkehrabbildung und inverse Matrix Koordinaten- und Basistransformationen LösungstheorielinearerGleichungssysteme LösungsraumeineslinearenGleichungssystems Berechnung von linearen elektrischen Netzwerken EigenwerteundEigenvektoren EigenwerteundEigenvektoren Diagonalisierung von Matrizen Aufgaben Funktionen mit mehreren Variablen GrenzwerteundStetigkeit AbleitungenvonreellwertigenFunktionenmitmehrerenVariablen Ableitungsbegriffe HöhereAbleitungen Fehlerrechnung Extremwertrechnung Lokale undglobaleextrema Extrema unter Nebenbedingungen IntegralrechnungmitmehrerenVariablen Integration übermehrdimensionaleintervalle Integration übernormalbereiche Substitutionsregel Polar-,Zylinder-undKugelkoordinaten Vektoranalysis Vektorfelder Kurven Quellen,SenkenundWirbelinVektorfeldern Kurvenintegrale Satz von Green Flächenintegrale Die Sätze von Gauß und Stokes Aufgaben Gewöhnliche Differenzialgleichungen Einführung Beispiele fürdifferenzialgleichungenaus PhysikundTechnik Grundbegriffe Konstruktion einer Lösung,ExistenzundEindeutigkeit Iterationsverfahren von Picard und Lindelöf Lösungsmethoden fürdifferenzialgleichungenersterordnung LineareDifferenzialgleichungenersterOrdnung

5 Inhaltsverzeichnis xi Nicht-lineareDifferenzialgleichungenersterOrdnung LineareDifferenzialgleichungssysteme Motivation: Eine Schaltung mit Induktivitäten Grundbegriffe Homogene Lösungen Partikuläre Lösungen Komplexe und mehrfache Eigenwerte Lineare Differenzialgleichungen höhererordnung Lösung übereinlinearesdifferenzialgleichungssystem LösungmiteinemAnsatzvomTypderrechtenSeite Schwingungsgleichung EineschwingendeSaite Aufgaben Fourier-Reihen und Integraltransformationen Fourier-Reihen Fourier-KoeffizientenundDefinitionderFourier-Reihe Sinus-undKosinus-FormderFourier-Reihe KomplexwertigeFunktionenundFourier-Koeffizienten Faltung Konvergenz von Fourier-Reihen Gibbs-Phänomen Entwicklung2p-periodischerFunktionen Fourier-Transformation Fourier-Integral Fourier-Umkehrtransformation Fourier-KoeffizientenundFourier-Transformation EigenschaftenderFourier-Transformation Faltung Laplace-Transformation VonderFourier-zurLaplace-Transformation RechnenmitderLaplace-Transformation Laplace-Transformation in der Systemtheorie DiskreteFourier-Transformation Ausgangspunkt: Koeffizienten einer Fourier-Reihe DiskreteFourier-Transformation Diskrete Faltung FFT-Algorithmus NumerischeBerechnungvonFourier-Koeffizienten Abtastsatz fürtrigonometrischepolynome Leck-Effekt (Leakage)

6 xii Inhaltsverzeichnis NumerischeBerechnungderFourier-Transformation AbtastsatzderFourier-Transformation Leck-Effekt und Fensterfunktionen Zusammenfassung Aufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik BeschreibendeStatistik Grundbegriffe EmpirischeVerteilungsfunktionen Lageparameter Streuungsparameter Zweidimensionale HäufigkeitsverteilungenundKorrelation LineareRegressionsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung ZufallsexperimenteundEreignisse WahrscheinlichkeitundSatzvonLaplace Kombinatorik UnabhängigeEreignisseundbedingteWahrscheinlichkeiten Zufallsvariablen Lage- und Streuungsparameter von Zufallsvariablen GesetzdergroßenZahlen ZentralerGrenzwertsatz SchließendeStatistik Punktschätzungen Begriffe der Fehlerrechnung Intervallschätzungen Hypothesentests Aufgaben Literaturverzeichnis Index

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