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1 1 Lösungsvorschläge zu den Aufgaben 28, 29, 30 b), 31, 32, 33, 35, 36 i) und 37 a) von Blatt 4: 28) a) fx) := x 3 10! = 0 Wir bestimmen eine Näherungslösung mit dem Newtonverfahren: Als Startwert wählen wir x 0 := = 8 < 10, 3 3 = 27 > 10). Iteration: x k+1 = x k fx k) f x k ) = x k x3 k 10 = 3x3 k x3 k + 10 = 2x3 k x 2 k 3x 2 k 3x 2 k x 1 = 2x x 2 0 x 2 = 2x x 2 1 x 3 = 2x x 2 2 = = = = fx 3 ) = > 0, fx ) = f2.1496) = 0.07 < 0 Damit ist 3 10 = 2.15 als wegen der strengen Monotonie einzige) Nullstelle von f auf 2 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau berechnet. b) gx) := sin x x/2 =! 0. Bevor wir Näherungslösungen dieser Gleichung bestimmen, klären wir erst einmal, wo überhaupt Nullstellen von g zu finden sind. Zunächst können wir uns auf das Intervall [0, ) beschränken, weil g eine ungerade Funktion ist. Da auf dem Intervall [0, π] g x) = sin x < 0 gilt, ist dort g konkav, und natürlich auch auf dem Teilintervall [0, π/2]. Da nun g0) = 0 und gπ/2) = 1 π/4 = 0.21 > 0 ist, gibt es im Intervall [0, π/2] außer x = 0 keine weitere Nullstelle, wie man sich leicht anschaulich klar macht. Auf dem Intervall [π, ) gilt gx) = sin x x/2 1 π/2 = 0.57 < 0, und damit gibt es dort keine Nullstelle.

2 2 Auf dem Intervall [π/2, π] gilt g x) = cosx 1/2 0 1/2 < 0, und damit ist g dort streng monoton. Es gibt also auf dem Intervall [π/2, π] höchstens eine Nullstelle. Da aber g dort stetig ist und gπ/2) > 0 und gπ) < 0 vergl. o.) gelten, besitzt g dort genau eine Nullstelle. Diese können wir, da die Bedingungen in Folgerung 5.1 a) mit a := π/2 und b := π erfüllt sind, mit dem Newtonverfahren näherungsweise berechnen: Als Startwert wählen wir x 0 := b := π. Iteration: x 1 = x 0 sin x 0 x 0 /2 cosx 0 1/2 x k+1 = x k gx k) g x k ) = x k sin x k x k /2 cosx k 1/2 = π sin π π/2 cosπ 1/2 = π 0 π/2 1 1/2 = 2π/3 x 2 = x 1 sin x 1 x 1 /2 cosx 1 1/2 = x 3 = x 2 sin x 2 x 2 /2 cosx 2 1/2 = gx 3 ) = < 0, gx ) = f1.8907) = < 0 Damit ist die geforderte Genauigkeit erreicht. Die Frage ist nun aber, ob bei der Rundung der korrekten Wertes auf zwei Stellen nach dem Dezimalpunkt 1.89 von her) oder 1.90 von her) herauskäme. Dies prüfen wir mit der Rundungsgrenzzahl Für die gilt g1.895) = > 0. Also liegt die exakte Nullstelle im Intevall , ). Damit ist die Nullstelle mit 1.90 auf 2 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau angegeben. Dies ist auch die einzige Nullstelle im Intervall 0, ). Da g eine ungerade Funktion ist, erhalten wir so als Endergebnis: 0, 1.90 und 1.90) sind die auf 2 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau bestimmten Lösungen der Gleichung sinx = x/2. Bemerkung: Ich habe nicht begründet, warum ich den Genauigkeitstest in beiden Fällen bei x 3 und nicht schon früher oder später durchführe. In einem Computer Programm könnte man die Abfrage bei jedem Rechenschritt machen. Hier habe

3 3 ich Informationen von außen verwendet. 29) a) N = 2 15 = 30 Halbjahre). Zinssatz für ein Halbjahr: 9/2 = 4.5%). T = = 0 Restschuld Tilgung Zinsen Zahlung I: II: I II I I II b) Summe der Zinsen: S p N + 1 = = = = = = b) 31) n = 5, K 0 = K n q n = = Kn q = n = 7 = ) 1/7 = p = 8.0%) K ) p = 9, K 0 = S = 00, m = 4. Die Schuld nach 5.5 Jahren, also nach n = = 22 Quartalen, ist dann gegeben durch: K 22 = K 0 ) q4 22 = S = p 4 ) ) 22 =

4 4 1 + p! 4 = ) 4 = Der effektive Jahreszinssatz beträgt also p 4 = 9.3%). 33) a) p = 12%), Kapital nach n Jahren, n N: K n = K In diese Formel dürfen wir nicht n = 3.75 einsetzen, weil sie nur für ganzzahlige n gültig ist. Wir berechnen zunächst das Kapital am Jahresende vor dem n = 3.75 entsprechenden Stichtag : K 3 = K Innerhalb des vierten Jahres wird linear verzinst nach der aus der elementaren Zinsrechnung bekannten Formel Zinsen nach t Jahren = Kapital Zeit in Jahren) Zinssatz /. Wenn nach 3.75 Jahren das Sparguthaben abgehoben wird erhält man also: K 3.75 = K 3 + K ) = K = K b) Population nach t Stunden, t R: Pt) = P0) 1 + p /) t = P0) 1.12 t. P3.75) = P0) = P0) Bemerkung: Es gibt auch in dem Rechenergebnis einen Unterschied zwischen der Kapitalentwicklung bei jährlicher Zinsgutschrift mit dem nominellen Zinssatz p = 12 der dann auch der effektive Zinssatz ist) und einer Populationsentwicklung bei stetiger Zinsgutschrift mit dem effektiven Zinssatz p = 12. Dieser Unterschied ist allerdings sehr klein. Der prinzipielle Unterschied soll noch einmal an der folgenden Skizze verdeutlicht werden, bei der wir aber p = 40%) bzw. p = 40%) verwenden. Die glatte Kurve beschreibt Pt) mit P0) = 1 bei stetiger Zinsgutschrift und der darüberliegende Streckenzug die Kapitalentwicklung Kt) mit K0) = 1 bei jährlicher Zinsgutschrift, wobei Kt) das Kapital ist, dass man erhält, wenn man genau zum Zeitpunkt t in Jahren) sein Sparguthaben abhebt. ) n

5 t 35) Bei dieser Aufgabe erfolgen alle Einzahlungen Auszahlungen = negative Einzahlungen) vorschüssig am Anfang jeder Zinsgutschriftsperiode, und zwar jährlich, d.h. m = 1. a)k 0 = 0, R = 3000, p = 5, q = Die Anwendung der Formel 6.9), also ergibt: K n = K 0 q n + R q qn 1 q 1 K 30 = = b) Nach dem Ende des 30. Jahres beginnt die Rentenzahlung mit der Auszahlungsrate von Euro, die jeweils am Jahresanfang gezahlt wird, über 20 Jahre. Wir rechnen also mir der Rate R = Nach 20 Jahren soll das angesparte Vermögen aufgebraucht sein. Der Barwert der Rente ist genau gleich dem angesparten Vermögen, also K 0 = K 30.

6 6 c) p und damit q sind zunächst unbekannt und müssten aus den bisherigen Daten bestimmt werden. Nach Formel 6.18) für den Barwert gilt: K 30 = = K 0 = q m n+1 R) qn 1 q 1 = q q20 1 q 1 Um q zu bestimmen müssten wir ein Polynom 20-ten Grades auflösen, was in der Regel nicht explizit möglich ist. Es ist aber gar nicht verlangt, q zu bestimmen, sondern es nur gefragt, ob p über 5% liegt, d.h. ob q über dem Wert 1.05 liegt. Wenn nun q = 1.05 wäre, würden wir den Barwert K 0 = = erhalten. Für die Rentenzahlung ist aber nach Teil b) ein höherer Barwert erforderlich. Also ist der tatsächlich gewährte Zinssatz für den Anleger ungünstiger, also kleiner als 5%. Diese für die Lösung des Aufgabenteils ausreichende) verballogische Argumentation lässt sich zusätzlich mathematisch absichern: Wir untersuchen K 0 in Abhängigkeit von q, oder besser von := q 1, und benutzen dazu die Formel über die endliche geometrische Reihe auf S.46 : K 0 = R) q n+1 qn 1 q 1 n 1 n+1 = R) q q k = R) n 1 q k n+1 = R) n 1 n k 1 Da R) hier > 0, der letzte Summand konstant, n k 1 n n 2) 1 = 1 > 0 und n k 2 n n 2) 2 = 0 ist, gilt d d K 0 ) = R) n 2 n k 1) n k 2 > 0, d.h. K 0 ) ist streng monoton wachsend auf 0, ). Wird der Zinssatz größer und damit ρ kleiner, so wird der Barwert kleiner. p = 5% ergibt K 0 = = < K 30

7 7 Der wahre Zinssatz, bei dem K 0 = K 30 ist, ist also kleiner als 5%. 36 i) Bei monatlicher Zinsgutschrift kann man vollständig mit Monaten wobei die Monate von 2009 mit eingeschlossen sind) statt mit Jahren als Zeitabschnitte rechnen: Zinsfaktor: q 12 := ) = 1.005, Zahl der Monate: = Es wird am Anfang des Monats eingezahlt, also vorschüssige Zahlung. Endkapital: R q 12 q120 1 q 12 1 = S = 5000, 5%, q = 1.05 a) Feste Tilgungsrate: = Restschuld Tilgung Zinsen Zahlung = = = = =

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