Stochastik I - Formelsammlung

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1 Stochastik I - Formelsammlung Ereignis Ergebnisraum: Ω von Julian Merkert, Wintersemester 2005/06, Prof. Bäuerle Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Ereignis: A Ω Elementarereignis: {ω}, ω Ω A B := AB := {ω Ω ω A und ω B} A B := {ω Ω ω A oder ω B} (Für disjunkte Mengen: A + B) A\B = {ω Ω ω A, ω / B} A C = Ω\B Kartesisches Produkt: Ω Ω 2... Ω n = {(a,..., a n ) a i Ω i, i =...n} Potenzmenge: P(Ω) (Menge aller Teilmengen von Ω) DeMorgansche Regeln: (A B) C = A C B C (A B) C = A C B C σ-algebra über Ω: A P(Ω) mit.... Ω A 2. A A A C A 3. A, A 2,... A i= A i A Messraum: (Ω, A) Folge von Ereignissen: {A n } Limes superior: lim n A n = lim sup A n = k= n=k A n (unendlich viele der A n s treten ein) Limes inferior: lim n A n = lim inf A n = k= n=k A n (alle bis auf endlich viele der A n s treten ein) Falls {A n } wachsend (A A 2... = A n ) lim n A n = lim n A n = n= A n Falls {A n } fallend (A A 2... = A n ) lim n A n = lim n A n = n= A n Wahrscheinlichkeitsmaÿ auf A: P : A [0, ] im Messraum (Ω, A) mit.... Normiertheit: P (Ω) = 2. σ-additivität: P ( n= A n) = n= P (A n) für alle paarweise disjunkten A, A 2,... A Wahrscheinlichkeitsraum: (Ω, A, P ) P (A C ) = P (A) P ( ) = 0 A B P (A) P (B) A B P (B\A) = P (B) P (A) P (B\A) = P (B\(B A)) = P (B) P (B A)

2 Endliche Additivität: P ( n i= A i) = n i= P (A i) für alle paarweise disjunkten A,..., A n Boolsche Ungleichung: P ( n i= A i) n i= P (A i) Siebformel: P ( n k=2 A k) = n k= ( )k i <i 2<...<i k n P (A i... A ik ) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A A 2 A 3 ) = P (A ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) P (A A 2 ) P (A A 3 ) P (A 2 A 3 ) + P (A A 2 A 3 ) Laplace'scher Wahrscheinlichkeitsraum: (Ω, A, P ) mit A = P(Ω) und P (A) = A Ω A Ω jedes Elementarereignis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit P (ω) = Ω Permutationen Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Objekten ist n! = n Die Anzahl der Permutationen von n Objekten mit jeweils n, n 2,..., n k gleichen Elementen ist n! n! n 2!... n k! Kombinatorik # der Möglichkeiten bei Ziehung vom Umfang k aus {...n} mit Zurücklegen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge n k n! (n k)! ohne Reihenfolge ( n+k ) ( n ) k k = n! k!(n k)! ( ) n+k k kann auch als die Anzahl der Möglichkeiten, k (nicht unterscheidbare) Objekte auf n (unterscheidbare) Fächer aufzuteilen, angesehen werden (mit Mehrfachbelegungen). Bedingte Wahrscheinlichkeit: P (A B) = P (AB) P (B) Multiplikationssatz: P (A... A n ) = Π n k= P (A k A... A k ) mit A 0 := Ω P (AB) = P (A B) P (B) Ereignispartition von Ω: B, B 2,... A mit.... B i B j = für i j 2. i= B i = Ω 3. P (B i ) > 0 i N Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: A A : P (A) = j= P (B j) P (A B j ) Formel von Bayes: P (B k A) = P P (B k) P (A B k ) j= P (Bj) P (A Bj) Unabhängigkeit zweier Ereignisse: P (AB) = P (A) P (B) Unabhängigkeit der Ereignisse A,..., A n A: für alle k =...n und für alle k-tupel i < i 2 <... < i k n : P ( k A ij ) = Π k j=p (A ij ) j= 2

3 Zufallsvariablen und Verteilungen Von E erzeugte σ-algebra: σ(e) := A E,A ist σ-algebra A E P(Ω) heiÿt Erzeugendensystem Borelsche σ-algebra: B := σ(e) mit E = {(a, b], < a < b < } Dynkin-System: D P(Ω) mit... Ω D 2. A D A C D 3. A, A 2,... D, A i A j = für i j i= A i D Durchschnittsstabiles ( -stabiles) Mengensystem E : A, B E A B E Zufallsvariable: X : Ω R : X ist (A, B)-messbar : X (B) = {ω X(ω) B} A B B : X ((, a]) = {ω X(ω) a} A a R : X stetig oder (schwach) monoton wachsend oder fallend für (R, B) Verkettung zweier Zufallsvariablen X : Ω R und Y : R R Y X : Ω R ist wieder ZV Verteilung: P X : B [0, ] mit P X (B) = P ({ω Ω X(ω) B}) B B Die Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsmaÿ auf dem Messraum (R, B) Verteilungsfunktion: F X : R [0, ] mit F X (x) = P (X x) = P ({ω Ω X(ω) x}) = P X ((, x]) lim x F X (x) = 0, lim x + F X (x) = F X ist (schwach) monoton wachsend F X ist rechtsseitig stetig Quantilfunktion: F : [0, ] R mit F (y) := inf {x R F (x) y} für eine Verteilungsfunktion F : R [0, ] F stetig und streng monoton wachsend F übliche Umkehrfunktion Diskrete Verteilung X : Ω R heiÿt diskret, falls es eine endliche oder abzählbare Menge C R gibt, so dass P (X C) = p X (C) = ist. OBdA: Sei C = {x, x 2,...} Zähldichte von X: p X (k) = P (X = x k ) p X (k) 0 k N k= p X(k) = Stetige Verteilung X : Ω R heiÿt absolutstetig, falls die Verteilungsfunktion F X von x folgende Darstellung besitzt: F X (x) = x f X(y) dy x R Dichte von X: f X : R [0, ) f X(y) dy = 3

4 Diskrete Verteilungen: Binomialverteilung: p X (k) = P (X = k) = ( ) n k pk ( p) n k (n N, p [0, ]) Hypergeometrische Verteilung: P (X = k) = k)( m k) (r n r ( m) n Geometrische Verteilung: P (X = k) = ( p) p k (p [0, ]) Poisson-Verteilung: λ λk P (X = k) = e k! (λ > 0) Diskrete Gleichverteilung auf {x,..., x m } R: P (X = x i ) = m für i =...m Stetige Verteilungen: Gleichverteilung: Schreibweise: X U(a, b) f(x) = { b a F X (x) = x a Exponentialverteilung: a < x < b 0 sonst Schreibweise: X exp(λ) { λe λx x 0 f(x) = 0 sonst x a b a dy = b a für a < x < b F X (x) = x 0 λe λy dy = e λx für x 0 Normalverteilung: Schreibweise: X N(µ, σ 2 ) ( ) f(x) = ϕ µ,σ 2(x) = 2πσ exp (x µ) 2 2 σ 2 Standardnormalverteilung (µ = 0, σ 2 = ): F X (x) = Φ(x) = x 2π exp ( 2 y2) dy Elementare Zufallsvariable: X(ω) = m i= α i Ai (ω) A i A, α i R +, m N Menge aller elementaren Zufallsvariablen im Messraum: M E Erwartungswert von X: EX = X dp = m i= α ip (A i ) Erwartungswert existiert EX < Linearität: E(aX + by ) = aex + bey Monotonie: X Y (d.h. X(ω) Y (ω) ω Ω) EX EY Mit g : R R messbar gilt für diskreten und absolutstetigen Fall: Eg(x) existiert k=0 g(x k) p X (k) < Eg(x) = k=0 g(x k) p X (k) EX = x R:P (X=x)>0 x P (X = x) Eg(x) existiert g(x) f X(x) dx < Eg(x) = g(x) f X(x) dx EX = x f X(x) dx k-tes Moment von X: EX k k-tes zentriertes Moment von X: E(X EX) k Varianz (2-tes zentriertes Moment): Var (X) = E(X EX) 2 Var (X) = EX 2 (EX) 2 Var (ax + b) = a 2 Var (X) a, b R Var (X) 0 und Var (X) = 0 P (X = c) = für ein c R Tschebysche-Ungleichung: P ( X EX ε) ε 2 Var (X) 4

5 Erwartungswert und Varianz diskreter Verteilungen Verteilung Zähldichte P (X = k) Erwartungsw. Varianz Anschauliche Interpretation Binomialverteilung X B(n, p) ( n ) k pk ( p) n k n p n p ( p) Münze wird n-mal geworfen, P(i-ter Wurf=Kopf)=p. Die Anzahl X der Kopfwürfe ist binomialverteilt. Hypergeometrische Verteilung X H(r, n, m) ( r k)( n r m k) ( n m) r m n r ( m n n r n ( ) m ) n Urne mit r roten und s schwarzen Kugeln, r + s = n. Zieht man m Kugeln ohne Zurücklegen, ist die Anzahl X der gezogenen roten Kugeln hypergeometrisch verteilt. Geometrische Verteilung p ( p) k p p p 2 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis zum Erfolg führt, sei p. Die Anzahl X der Versuche, die notwendig sind um einen ersten Erfolg zu haben, ist geometrisch verteilt. Poisson-Verteilung e λ λk k! λ λ Die Poisson-Verteilung ist eine Approximation der Binomialverteilung für groÿe n und kleinem p. Diskrete Gleichverteilung auf {x,..., x m } m m m i= x i berechnen! Ein Würfel wird einmal geworfen. Der geworfene Wert X ist gleichverteilt und hat die möglichen Ausprägungen x =, x 2 = 2,..., x 6 = 6. Erwartungswert und Varianz stetiger Verteilungen Verteilung Dichte f(x) Erwartungsw. Varianz Verteilungsfunktion F X (x) Gleichverteilung X U(a, b) { b a a < x < b 0 sonst b+a 2 (b a) 2 2 x a x a b a dy = b a für a < x < b Exponentialverteilung X exp(λ) { λe λx x 0 0 sonst λ λ 2 x 0 λe λy dy = e λx für x 0 Normalverteilung X N(µ, σ 2 ) ϕ µ,σ 2(x) = 2πσ exp ( ) µ σ2 Integral nicht lösbar (x µ) 2 2 σ 2 Standard- Normalverteilung µ = 0, σ 2 = 0 x 2π exp ( 2 y2) dy = Φ(x) [Tabelle] 5

6 Zufallsvektoren Produkt-σ-Algebra: A = A... A n = σ ({A... A n A i A, i = i...n}) Randverteilung: Q i (A i ) = P (Ω... Ω i A i Ω i+... Ω n ) Zufallsvektor: X = (X,..., X n ) : Ω R n Verteilung: P X : B(R n ) [0, ] mit P X (B) = P ({ω Ω X(ω) B}), B B(R n ) Verteilungsfunkton: F X (x,..., x n ) = P (X x,..., X n x n ) X heiÿt diskret, falls es eine endliche oder abzählbar unendliche Menge C = {x, x 2,...} R n gibt, so dass P (X C) = X heiÿt absolutstetig, falls es eine integrierbare Funktion f X : R n [0, ) gibt mit F X (x,..., x n ) = x... x n f X(y,..., y n )dy...dy n Zähldichte: p X (k) = P (X = x k ) Dichte: f X : R n [0, ) Randzähldichte: P (X i = y i ) = P ({ω X(ω) C, X i (ω) = y i }) = x C,x i=y i P (X = x) Randdichte: f Xi (x) =... f X (y,..., y i, x i, y i+,..., y n ) }{{} n mal dy...dy i dy i+ dy n Verteilung: P X (B) = B f X(y) dy B B(R n ) Multinomialverteilung: Experiment mit r möglichen Ausgängen E,..., E r mit jeweiligen Wahrscheinlichkeiten p,..., p r (p +...+p r = ) Der Versuch wird n-mal unabhängig wiederholt X i (ω) sei die Anzahl der E i -Ausgänge P (X = k,..., X r = k r ) = p k... pkr r n! k!... k r! Unabhängigkeit der Zufallsvariablen X,..., X n : Ω R : F X,...,X n (x,..., x n ) = Π n i= F X i (x i ) P (X x,..., X n x n ) = Π n i= P (X i x i ) (x,..., x n ) R n P (X B,..., X n B n ) = Π n i= P (X i B i ) B,..., B n B P (B... B n ) = Π n i= P X i (B i ) B,..., B n B Produkt-Maÿ: P (A... A n ) = P (A )... P n (A n ) i-te Projektion: X i (ω) = X i ((ω,..., ω n ) = ω i, i =...n X,..., X n unabhängig P (X = x,..., X n = x n ) = Π n i= P (X i = x i ) (x,..., x n ) R n X,..., X n unabhängig f X (x,..., x n ) = Π n i= f X i (x i ) (x,..., x n ) R n \B (B vom Lebesguemaÿ 0) Addition zweier absolutstetiger Zufallsvariablen (X = (X, X 2 ) : Ω R 2 ) mit gemeinsamer Dichte f X : X + X 2 absolutstetig mit Dichte f X+X 2 (x) = f X(y, x y) dy x R 6

7 Faltungsformel (Addition zweier unabhängiger absolutstetiger ZV): f X+X 2 (x) = f X (y)f X2 (x y) dy x R Faltung: P X P Y = P X+Y für X,Y unabhängig Erwartungswert zweier unabhängiger Zufallsvariablen: EX Y = EX EY sonst: EX Y = x y f X,Y (x, y) d(x, y) Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: (EXY ) 2 EX 2 EY 2 Kovarianz: Cov (X, Y ) := E [(X EX)(Y EY )] Cov (X, Y ) = EXY EX EY Cov (X, X) = Var (X) Cov (X, Y ) = Cov (Y, X) X und Y unkorreliert Cov (X, Y ) = 0 X,Y unabhängig X,Y unkorreliert Korrelationskoezient: ϱ(x, Y ) = Cov (X,Y ) Var (X) Var (Y ) Ist ϱ(x, Y ) deniert, so gilt: ϱ(x, Y ) Der Korrelationskoezient ist ein Maÿ für die lineare Abhängigkeit der Zufallsvariable Berechnung der Varianz: Var (X X n ) = n i= Var (X i) + 2 i<j n Cov (X i, X j ) Für unkorrellierte X i : Var (X X n ) = n i= Var (X i) Erwartungsvektor: EX = (EX,..., EX n ) Kovarianzmatrix: Cov (X) = (Cov (X i, X j )) i,j n Erzeugende Funktion: g X (s) = k=0 p X(k) s k = Es k Nur für X diskret g X : [, ] R ist wohldeniert für s Zähldichte: p X (k) = g(k) X (0) k! Erwartungswert: EX = g X ( ) = lim s g X (s) Varianz: Var (X) = g X ( ) + g X ( ) (g X ( ))2 Eindeutigkeit: p X (k) = p Y (k) k N g X (s) = g Y (s) s [, ] Addition von X, Y unabhängig: g X+Y (s) = g X (s) g Y (s) s [, ] X,..., X n unabhängig g P n i= Xi = Πn i= g X i 7

8 Konvergenz von Zufallsvariablen p-fast-sichere Konvergenz: P ({ω Ω lim n X n (ω) X(ω)}) = f.s. X P (lim n X n = X) = Konvergenz in Wahrscheinlichkeit: lim n P ({ω Ω X n (ω) X(ω) ε}) = 0 ε > 0 p X limn P ( X n X ε) = 0 ε > 0 Konvergenz in Verteilung: lim n F Xn (x) = F X (x) x R an denen F X (x) stetig ist d X limn F Xn (x) = F X (x) Stetigkeitsstellen x von X Zusammenhang der Konvergenzen: f.s. X X n p X p X Xn d X d c, c R Xn p c Charakteristische Funktion: ϕ X (t) := Ee itx = E cos(tx) + ie sin(tx) ϕ X : R C existiert immer t R X diskret ϕ X (t) = g X (e it ) X absolutstetig ϕ X (t) = eitx f X (x) dx = cos(tx) f X(x) dx + i sin(tx) f X(x) dx Eigenschaften: ϕ X (0) = ϕ X (t) t R ϕ ax+b (t) = e ibt ϕ X (at) Eindeutigkeit: P X = P Y ϕ X = ϕ Y X,..., X n unabhängig ϕ P n i= Xi(t) = Πn i= ϕ X i (t) n-tes Moment: ϕ (n) X (0) = in EX n Stetigkeitssatz: X n d X ϕxn (t) n ϕ(t) t R und ϕ ist stetig in 0 Schwaches Gesetz der groÿen Zahlen: X+...+Xn n p µ nur für X, X 2,... u.i.v. (unabhängig und identisch verteilt) µ = EX i Starkes Gesetz der groÿen Zahlen: X+...+Xn n f.s. µ nur für X, X 2,... u.i.v. (unabhängig und identisch verteilt) µ = EX i Zentraler Grenzwertsatz: für X, X 2,... u.i.v. mit EX i = µ und 0 < Var (X i ) = σ 2 < gilt: X+...+Xn nµ nσ d X N(0, ) P P ( X+...+X n nµ nσ ) n x Φ(x) x R ( ) α X+...+Xn nµ n nσ β Φ(β) Φ(α) 8

9 Parameterschätzung Familie von Verteilungen: {P θ θ Θ} mit Θ R m Stichprobenraum: X Zufallsstichprobe von u.i.v. Zufallsvariablen X,..., X n mit Verteilung P: (X,..., X n ) Stichprobe: Realisierung (x,..., x n ) einer Zufallsstichprobe Schätzer von θ: messbare Abbildung T : X n Θ, Θ Θ Stichprobenmittel: T : R n R mit T (x) = x = n n i= x i Stichprobenvarianz: S 2 : R n R mit S 2 (x) = n Maximum-Likelihood-Methode n i= (x i x) 2 Likelihood-Funktion der Stichprobe x = (x,..., x n ) X n : L x (θ) = p(x, θ)... p(x n, θ) = P θ (X = x )... P θ (X n = x n ) = P θ (X = x) L x (θ) = f(x, θ)... f(x n, θ) Maximum-Likelihood-Schätzer (MLS): ˆθ ML (x) mit L x (ˆθ ML (x)) = sup θ Θ L x (θ) Ggf. kann der MLS durch Nullsetzen der Ableitung der Log-Likelihoodfunktion bestimmt werden: θ log (L x(θ)) = 0 Momentenmethode k-tes theoretisches Moment von X P θ : µ k = µ k (θ) = E θ X k, k =, 2,... k-tes empirisches Moment einer Stichprobe x = (x,..., x n ): x k = n n i= xk i Vorgehensweise: Setze theoretische und empirische Momente gleich µ k (θ) = x k, k =,..., m Aufgelöst nach θ ergibt sich dann der Momentenschätzer ˆθ MM (x) Θ Erwartungstreuheit eines Schätzers T: θ Θ : E θ T (X,..., X n ) = θ Verzerrung eines Schätzers T: b T (θ) = E θ T (X,..., X n ) θ Erwartungstreue Schätzer sind unverzerrt Mittlerer quadratischer Fehler: MSE(T ) = E θ [(T (X,..., X n ) θ) 2] = Var θ (T ) + b T (θ) 2 Für erwartungstreue Schätzer gilt: MSE(T ) = Var θ (T (X)) Ungleichung von Cramér-Rao: Var θ (T (X)) (+ θ b T (θ)) 2 h E θ ( θ log Lx(θ))2i [ ( Fisher-Information: I(θ) = E θ θ log L x(θ) ) ] 2 Für erwartungstreue Schätzer gilt: Var θ (T (X)) I(θ) ( α)-kondenzintervall: [L(x), U(X)] mit.... L, U : X n Θ R messbare Funktionen 2. L(x) U(x) x X n 3. P θ (L(X) θ U(X)) = α Eigenschaften: Sowohl Lage als auch Länge des Kondenzintervalls hängen von der konkreten Stichprobe ab Ist z.b. α = 0, 05, dann enthält das Kondenzintervall den wahren Parameter in 95% der Fälle 9

10 Testtheorie Sei θ 0 Θ Einseitiges Testproblem: H 0 : θ θ 0 vs. H : θ > θ 0 Zweiseitiges Testproblem: H 0 : θ = θ 0 vs. H : θ θ 0 Kritischer Bereich: R R n = X n, so dass H 0 verworfen wird für x R 0 = H 0 wird nicht verworfen = H 0 wird verworfen Test / Testverfahren: ϕ : X n {0, } R = {x X n ϕ(x) = } Gütefunktion: β(θ) = P θ (X R) = P θ (ϕ(x) = ) β : Θ [0, ] Für θ Θ heiÿt β(θ) die Macht des Tests Niveau / Signikanzniveau α eines Tests: β(θ) α Wahrscheinlichkeit für einen Fehler. Art ist gleich α wahr Entscheidung H 0 H H 0 ok Fehler. Art H Fehler 2. Art ok Gleichmäÿig bester Test ϕ D α : β (θ) = P θ (ϕ (x) = ) = max ϕ Dα P θ (ϕ(x) = ) D α Menge von Test zum Niveau α Wahl der Nullhypothese: Möchte man sich für θ < θ 0 entscheiden, sollte man H 0 : θ θ 0 wählen X 0, X,..., X r u.i.v. mit X i N(0, ), r N: χ 2 -Verteilung mit r Freiheitsgraden: r i= X2 i X t-verteilung mit r Freiheitsgraden: 0 P r r i= X2 i Für Zufallsstichprobe X = (X,..., X n ) zur N(µ, σ 2 )-Verteilung gilt: X = n n i= X i, X N(µ, σ2 n ) S 2 (X) = n n i= (X i X) 2, n X µ S(X) t n (n ) S 2 (X) σ 2 χ 2 n Randomisierter Test: ϕ : X n [0, ] Gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ϕ(x) H 0 abgelehnt wird Gütefunktion: β(θ) = E θ ϕ(x) 0

11 0 falls L x (θ ) < c L x (θ 0 ) Neyman-Pearson-Test: randomisierter Test ϕ : X n [0, ] mit ϕ (x) = γ(x) falls L x (θ ) = c L x (θ 0 ) falls L x (θ ) > c L x (θ 0 ) c [0, ) konstant γ : X n [0, ] eine Funktion Lemma von Neyman-Pearson: Ist ϕ ein NPT mit α = β ϕ (θ 0 ), dann ist ϕ gleichmässig bester Test unter allen Tests zum selben Niveau α Für jedes α (0, ) existiert ein NPT ϕ zum Niveau α. Dabei kann γ(x) γ gewählt werden. Familie von (Zähl-)Dichten mit monotonem Dichtequotienten: {f(x, θ) θ Θ} bzw. {p(x, θ) θ Θ} mit.... messbare Funktion T : X n R so dass q(x) = Lx(θ) L x(θ 0) = q (T (x,..., x n )) 2. q monoton in T (x,..., x n ) = T (x) für alle θ 0 < θ Bei exp-verteilungen: T (x) = x erfüllt die Bedingung X X n Stichprobe zu einer Verteilung mit nicht monoton fallenden Dichtequotienten in T (x). 0 falls T (x) > t 0 Jeder Test der Form γ falls T (x) = t 0 ist gleichmässig bester Test für das Testproblem falls T (x) < t 0 H 0 : θ θ 0 vs. H : θ > θ 0 zum Niveau α = E θ0 ϕ(x) = sup θ θ0 E θ ϕ(x) Likelihood-Quotient: q(x) = sup θ Θ 0 L x(θ) sup θ Θ L x(θ) 0 falls q(x) > c 0 Likelihood-Quotiententest: γ falls q(x) = c 0 (nur im diskreten Fall) falls q(x) < c 0

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