Unterrichtsplanung zur Einführung des Binomialkoeffizienten und der Binomialverteilung

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1 Unterrichtsplanung zur Einführung des Binomialkoeffizienten und der Binomialverteilung Einleitung: Im Folgenden soll ein Unterrichtskonzept zur Einführung der Begriffe Binomialkoeffizient und Binomialverteilung vorgestellt werden. Diese beiden in unmittelbarer Verbindung stehenden Themengebiete haben wir verstärkt herausgearbeitet, weil sie einerseits einen der zentralen Punkte der Wahrscheinlichkeitstheorie in der 7. Klasse laut Lehrplan darstellen (dort wird das Arbeiten mit diskreten Verteilungen, insbesondere der Binomialverteilung, explizit verlangt) und auch im Hinblick auf die zentrale Reifeprüfung von großer Bedeutung sind. Andererseits stellt die Binomialverteilung auch ein konkretes Beispiel einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung dar, die in den vorhergegangenen Stunden eingeführten Begriffe der Zufallsvariable und der Wahrscheinlichkeitsverteilung können damit angewendet werden. Unterrichtsplanung 1) Einführung des Binomialkoeffizienten Als Einstieg in diesen neuen Themenpunkt dient ein eventuell bereits aus Grobplanungspunkt 1 bekanntes Vorführexperiment, das Galtonbrett. (Falls kein reales Galtonbrett vorhanden ist, kann der Einstieg auch nur anhand einer Skizze vollzogen werden).

2 Das Galtonbrett besteht aus Reihen von Nägeln (in dieser Skizze grün eingezeichnet), die ein Dreieck bilden. Die rote Kugel wird auf den obersten Nagel fallen gelassen und hat bei jedem der Nägel die Möglichkeit, links oder rechts vom Nagel weiter hinunterzufallen. Unter der letzten Nagelreihe befinden sich Auffangbehälter für die rote Kugel. Wir wollen nun herausfinden, auf wie viele Arten die Kugel ihren jeweiligen Weg in jeden der Behälter finden kann. Dies kann gemeinsam mit der Klasse erarbeitet werden, wenn die Skizze beispielsweise an die Tafel gezeichnet oder über einen Beamer abgebildet wird. Die Skizze soll zur späteren Ergebnissicherung auch von den SchülerInnen ins Heft gezeichnet werden. (Alternativ bietet sich hier auch ein Arbeitsblatt an, das dann unter Mithilfe und Anweisung der Lehrperson ausgearbeitet wird). Unter jeden der Auffangbehälter schreiben wir nun die Anzahl der möglichen hinführenden Wege. Man beginnt beim ersten Auffangbehälter von links: Um dorthin zu gelangen, muss die rote Kugel bei jedem Nagel den Weg links vom Nagel wählen. Anders formuliert: Von fünf Möglichkeiten, nach rechts oder links zu fallen, fällt die Kugel null Mal nach rechts. Wir notieren das in dieser Form: ( 5 0). Da die Kugel bei jedem Nagel nach links muss, gibt es nur insgesamt einen möglichen Weg, von oben in den ersten Auffangbehälter zu gelangen. Weiterführen für andere Behälter führt nun zu der Erkenntnis, dass es immer schwieriger wird, die Anzahl der möglichen Wege zu bestimmen, je weiter der Behälter in die Mitte rückt.

3 Wir brauchen also ein mathematisches Hilfsmittel, um diese Weganzahl zu berechnen. (Tafel:) Begriff des Binomialkoeffizienten: Die Anzahl der möglichen Wege, durch das Galtonbrett zu gelangen, wenn n Entscheidungsmöglichkeiten vorliegen und die Kugel auf ihrem Weg k mal auf eine bestimmte Seite fallen muss, wird durch den so genannten Binomialkoeffizienten ( n k) berechnet. Die Formel für die Berechnung des Binomialkoeffizienten lautet: ( n k) = n! n (n 1) (n 2)... (n k+ 1) = (n k)! k! k (k 1) (k 2)... 1 Zum Einüben dieser ungewohnten Schreibweise sollten einige Beispiele gerechnet werden, z.b. gleich ( 5 2) Beispiel. für die Anzahl der möglichen Wege in den dritten Behälter im Galtonbrett- Die Einführung des Binomialkoeffizienten erfolgt also am konkreten Beispiel des Galtonbretts als Zahl der möglichen Wege, in einen der Behälter zu gelangen. (Anm.: Hier kann man Parallelen zur kombinatorischen Annäherung an diesen Begriff ziehen: Dort bezeichnet der Binomialkoeffizient ( n k) die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. Betrachten wir z.b. den dritten Behälter von links in unserem Galtonbrett-Beispiel: Um dort hineinzufallen, muss die rote Kugel von 5 Möglichkeiten insgesamt genau 2 Mal nach rechts fallen. Es gibt aber unterschiedliche Möglichkeiten, bei welcher Nagelreihe sich die Kugel für rechts entscheidet. Die Gesamtanzahl der möglichen Wege, in den dritten Behälter zu gelangen, ist die Anzahl der 2-elementigen Rechts -Teilmengen der 5-elementigen Menge der Möglichkeiten Links oder Rechts, also ( 5 2). Um diesen Zugang jedoch von Grund auf verstehen zu können, müsste zuvor schon ein sicheres Grundverständnis der Kombinatorik bei den SchülerInnen gegeben sein, wofür leider die Unterrichtszeit kaum ausreicht.)

4 Die Einführung des Binomialkoeffizienten am konkreten Galtonbrettbeispiel hat den Nachteil, dass dabei nicht genau ergründet wird, warum man genau die Rechenvorschrift n über k verwendet, um die Anzahl der möglichen Wege zu berechnen. Eine solche Begründung würde, wie oben erwähnt, einige Stunden benötigen, in denen man sich mit den kombinatorischen Grundlagen für diese Berechnung vertraut macht. Eigenschaften des Binomialkoeffizienten: Für die spätere Berechnung bei der Binomialverteilung ist es nützlich, zumindest ein paar Eigenschaften des Binomialkoeffizienten zu kennen. Die wesentlichsten davon können auch zuerst anhand von Beispielen entdeckt werden. Dabei wird der Umgang mit der Berechnung von Binomialkoeffizienten weiter geübt. (Tafel:) ( n 0) =1 und ( n n) =1 ( n k) = ( n n k) Anm.: Der an dieser Stelle häufig eingeführte Binomiallehrsatz wird in dieser Unterrichtsplanung bewusst ausgelassen, weil auch ohne diesen zum nächsten Thema, der Binomialverteilung, problemlos übergeleitet werden kann. Man würde den Binomiallehrsatz höchstens dann brauchen, wenn man begründen will, dass die Binomialverteilung tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, also die Summe der Wahrscheinlichkeitsvektoren 1 beträgt. Darauf wird allerdings in unserer Planung auch schon bei der Einführung des Verteilungsbegriffs verzichtet. (Ein Problem, das dabei auftauchen könnte: Warum heißen diese Ausdrücke dann eigentlich Binomialkoeffizienten? Das kann man den SchülerInnen bei Interesse eventuell noch zusätzlich erklären, ohne es schriftlich festzuhalten.) Ein Vorteil der Einführung am Galtonbrett-Beispiel ist, dass bei diesem Zugang die Überleitung zum eigentlichen Ziel, der Einführung in die Binomialverteilung, ebenfalls anhand des Galtonbretts anschaulich untermauert werden kann.

5 2) Einführung in die Binomialverteilung Die Binomialverteilung soll als diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung eingeführt werden, die Anwendung findet, wenn man Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten mit genau zwei möglichen Ausgängen berechnen will. Ausgehend vom Galtonbrett kann man nun zur Binomialverteilung überleiten: Jeder Nagel im Galtonbrett entspricht einem Zufallsexperiment, bei dem die Kugel entweder den Weg links oder den Weg rechts nehmen kann. Sind beide Möglichkeiten gleichwahrscheinlich, so ist die Verteilung der Wahrscheinlichkeiten symmetrisch. Um dies zu veranschaulichen, kann man auf eine ähnliche Methode zurückgreifen wie jene, mit der schon beim Grobplanungspunkt Zufallsexperimente der Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung motiviert wurde: Ausgehend von der Anzahl der möglichen Wege, welche die Kugel im Galtonbrett in die Behälter nehmen kann, wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung erstellt, indem man für jeden Behälter die Wahrscheinlichkeit ausrechnet, dass die Kugel hineinfällt. Dabei geht man genauso vor wie beim Übertragen der Tabelle mit den Ergebnissen der zwei Würfelwürfe in den Graphen mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Hat man ein reales Galtonbrett zur Verfügung, kann man nun auch noch einmal das Gesetz der großen Zahlen veranschaulichen. Dazu braucht man eine hohe Anzahl an Kugeln, die man durch das Galtonbrett fallen lässt. Mit höher werdender Kugelanzahl sollte die Verteilung der Kugeln in den Auffangbehältern der Wahrscheinlichkeitsverteilung immer ähnlicher werden. (Vor dem Beginn des Versuchs die SchülerInnen fragen: Was erwartet ihr, wenn ich eine einzelne Kugel durch das Galtonbrett fallen lasse? Was erwartet ihr, wenn ich hundert Kugeln durch das Galtonbrett fallen lasse?) Prinzipiell enthält das Galtonbrett-Beispiel schon einen großen Teil der Information, die man für die Definition der Binomialverteilung braucht. An dieser Stelle ist nun wichtig, zu verdeutlichen, wie man dieses Beispiel für allgemeine Zufallsexperimente mit zwei möglichen Ausgängen verallgemeinern kann. Die allgemeine Definition kann nun anhand eines Baumdiagrammes erschlossen werden, wobei man auch immer Vergleiche mit dem Galtonbrett-Beispiel ziehen kann.

6 (Tafel:) Zu folgender Erklärung wird nun ein Baumdiagramm an der Tafel gezeichnet, das von den SchülerInnen auch ins Heft übertragen wird. Wir betrachten ein Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ausgänge hat: Entweder tritt ein Ereignis E ein oder nicht. Das Ereignis E tritt mit der Wahrscheinlichkeit p ein (im Galtonbrettbeispiel war E das Ereignis Kugel fällt nach rechts und die Wahrscheinlichkeit dafür p = ½). Jeder Ausgang des Zufallsexperiments entspricht einem Weg im Baumdiagramm. Der Weg Ereignis tritt ein hat die Wahrscheinlichkeit p, der Weg Ereignis tritt nicht ein hat die Wahrscheinlichkeit (1-p). Führt man den Versuch n-mal durch, dann entspricht das n aneinandergesetzten Wegen im Baumdiagramm. Will man jetzt den Versuchsausgang (nach n durchgeführten Versuchen) betrachten, bei dem genau k-mal das Ereignis E eingetreten ist, dann entspricht das einem Weg im Baumdiagramm, in dem E genau k-mal und das Ereignis nicht E genau (n-k)-mal vorkommt. Wir rechnen uns die Wahrscheinlichkeit entlang eines Weges im Baumdiagramm für so einen Versuchsausgang aus: Wir erhalten k Wege mit Wahrscheinlichkeit p und (n-k) Wege mit Wahrscheinlichkeit (1-p). Die Wahrscheinlichkeit für den Versuchsausgang beträgt also p k (1 p) n k. Wie viele solche Wege führen jetzt aber zu einem Versuchsausgang, bei dem k mal das Ereignis E eingetreten ist? Hier verwenden wir wieder unser bereits bekanntes Hilfsmittel für die Berechnung der Anzahl der Wege, wie sie uns vom Galtonbrett bekannt ist: den Binomialkoeffizienten ( n k). Insgesamt erhalten wir also für die Wahrscheinlichkeit, nach n Versuchen genau k-mal das Ereignis E beobachtet zu haben: P= ( n k) pk (1 p) n k. (Tafel:) Bei einem Zufallsversuch tritt das Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Der Versuch wird n-mal durchgeführt. Wenn H die Anzahl der Versuche ist, bei denen das Ereignis E eintritt, dann gilt: P (H =k)= ( n k) pk (1 p) n k Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die jedem Wert k diese Wahrscheinlichkeit P(H=k) zuordnet, heißt Binomialverteilung.

7 Dieser zentrale Satz beinhaltet sehr viel mathematischen Formalismus und sollte daher einerseits möglichst genau erarbeitet und andererseits auch mit genügend Beispielen zur Anwendung unterstützt werden. Daher folgen an diesem Punkt konkrete Rechenbeispiele zur Binomialverteilung. Jetzt: konkrete, einführende Beispiele 1) Beim Galtonbrett: Die rote Kugel wird auf ein Galtonbrett fallen gelassen, das 7 Reihen hat. Die Kugel hat also bei 7 Nägeln die Möglichkeit, nach links oder nach rechts zu fallen. Dabei ist bei jedem Nagel die Wahrscheinlichkeit, dass sie nach links fällt, genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie nach rechts fällt. Unter der letzten Nagelreihe sind, wie in unserem Beispiel, Auffangbehälter für die Kugel aufgestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die rote Kugel a) in den ganz linken Auffangbehälter b) in den zweiten Auffangbehälter von links c) in den dritten Auffangbehälter von links d) in den vierten Auffangbehälter von links fällt? (hier könnte auch eine Skizze helfen) 2) Ein Würfel wird fünfmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl 6 a) genau einmal b) genau zweimal c) genau dreimal geworfen wird? 3) Emily geht zum zweiten Mal in ihrem Leben ins Casino und setzt dort 8 Runden hintereinander immer auf rot. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Emily a) niemals b) genau viermal c) genau sechsmal gewinnt?

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