Übung QM 1 EINFÜHRUNG 1. 1 Einführung. ohne Übungsaufgaben

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1 Übung QM 1 EINFÜHRUNG 1 1 Einführung ohne Übungsaufgaben

2 Übung QM 2 LINEARE OPTIMIERUNG 2 2 Lineare Optimierung Aufgabe 2.1 LP-Modellierung und Begriffe Wild West GmbH produziert Cowboyhüte. Momentan werden zwei Modelle produziert, wobei die Herstellung von Typ 1 doppelt so viel Arbeitsaufwand wie die Herstellung von Typ 2 erfordert. Wird die gesamte Arbeitszeit des Betriebes auf die Herstellung von Typ 2 verwendet, so können 400 Typ 2 Hüte produziert werden. Marktprognosen deuten darauf hin, dass Wild West maximal 150 Hüte von Typ 1 bzw. 200 Hüte von Typ 2 verkaufen kann. Der Stückgewinn beträgt 8 EU für Typ 1 und 5 EU für Typ 2. Stellen Sie das lineare Planungsmodell auf, mit dem der Gewinn des Unternehmens maximiert werden kann. Grenzen Sie dabei folgende Begriffe voneinander ab: Parameter Variable Zielfunktion Zielfunktionswert Nebenbedingung Schlupfvariable Strukturvariable Basisvariable Nichtbasisvariable zulässige Basislösung unzulässige Basislösung untere Schranke obere Schranke Aufgabe 2.2 Graphische Lösung von LP Gegeben ist folgendes Optimierungsproblem: max F = 100x x 2 2x 1 + 1x x 2 10 x 1, x Lösen Sie das Problem graphisch.

3 Übung QM 2 LINEARE OPTIMIERUNG 3 2. Überführen Sie das Problem in ein Gleichungssystem. 3. Geben Sie eine zulässige Startlösung (=Basislösung) an. 4. Lösen Sie das Gleichungssystem nach F, x 1 und x 2 auf. 5. Wie häufig wurde die 1. und 2. Nebenbedingung auf die Zielfunktion addiert bzw. subtrahiert? 6. Angenommen, es existiert eine zusätzliche Alternative, x 3, mit Zielfunktionskoeffizient c 3 = 200 und den Restriktionskoeffizienten a 13 = 3 (1. Nebenbedingung) und a 23 = 1 (2. Nebenbedingung). (a) Handelt es sich hierbei um eine lohnende Alternative? (b) Welchen Wert müsste c 3 mindestens annehmen, damit es sich um eine lohnende Alternative handelt? 7. Stellen Sie das Starttableau des primalen Simplexalgorithmus auf! 8. Stellen Sie das zum Teilergebnis 4 korrespondierende (End-)tableau des primalen Simplexalgorithmus auf! Aufgabe 2.3 Iteratives Lösen von Gleichungssystemen Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem: max F = 90x x x x 4 2x 1 1x 2 + 1x 3 + 2x 4 + y 1 = 30 1x 1 + 2x 2 + 3x 3 1x 4 + y 2 = 24 3x 1 + 2x 2 1x 3 + 2x 4 + y 3 = 36 x 1, x 2, x 3, x 4, y 1, y 2, y Angenommen, die Schlupfvariablen y 1, y 2, y 3 sind Basisvariablen. Geben Sie die zugehörigen Werte der Multiplikatoren π 1, π 2 und π 3 an. 2. Angenommen, x 1, y 1, y 2 sind Basisvariablen. Bestimmen Sie die zugehörigen Werte der Multiplikatoren π 1, π 2 und π Angenommen, x 1, x 3, y 1 sind Basisvariablen. Bestimmen Sie die zugehörigen Werte der Multiplikatoren π 1, π 2 und π Angenommen, x 2, x 3, x 4 sind Basisvariablen. Bestimmen Sie die zugehörigen Werte der Multiplikatoren π 1, π 2 und π Angenommen, die Alternative x 5 mit c 5 = 80, a 15 = 2, a 25 = 2 und a 35 = 2 wäre ebenfalls zu berücksichtigen gewesen. Bestimmen Sie für jede der obigen Basislösungen den zugehörigen modifizierten Zielfunktionskoeffizienten c Bestimmen Sie für die Problemstellung durch iteratives Lösen von Gleichungssystemen eine optimale Lösung. Aufgabe 2.4 Primaler Simplexalgorithmus

4 Übung QM 2 LINEARE OPTIMIERUNG 4 Lösen Sie folgendes Problem mit dem primalen Simplex-Algorithmus: max F = x 1 + 9x 2 + x 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 9 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 15 x 1, x 2, x 3 0 Aufgabe 2.5 Dualer Simplexalgorithmus Lösen Sie folgendes Problem mit dem dualen Simplex-Algorithmus: min F = 2x 1 + x 2 + 3x 3 x 1 2x 2 + x 3 4 2x 1 + x 2 + x 3 8 x 1 x 3 0 x 1, x 2, x 3 0 Aufgabe 2.6 Big-M Methode, Zweiphasenmethode Lösen Sie folgendes Problem mit dem primalen Simplex-Algorithmus (M = 1000) und der Zweiphasenmethode: min F = 80x x 2 0.2x x x 1 + x 2 = 1 x 1, x 2 0 Aufgabe 2.7 Zweiphasenmethode Lösen Sie folgendes Problem mit der Zweiphasenmethode: max F = 2x 1 + 3x 2 x 1 + 2x 2 2 6x 1 + 4x 2 24

5 Übung QM 2 LINEARE OPTIMIERUNG 5 x 1, x 2 0 Aufgabe 2.8 Dualisierung, primaler und dualer Simplexalgorithmus Gegeben sei das folgende lineare Optimierungsproblem: max F = 2x 1 + x 2 x 1 + 5x 2 10 x 1 + 3x 2 6 2x 1 + 2x 2 8 x 1, x Dualisieren Sie das Problem. 2. Bestimmen Sie die Optimaltableaus für die primale und die duale Formulierung. 3. Zeigen Sie (für das Beispiel), dass die duale Lösung aus dem Optimaltableau des primalen Problems abgelesen werden kann und umgekehrt. Aufgabe 2.9 Dualisierung und M-Methode Dualisieren Sie folgendes Problem (M hinreichend große Zahl): min F = 3x 1 + x 2 + Mx 5 + Mx 6 x 1 + x 2 x 3 + x 5 = 7 2x 1 + 3x 2 x 4 + x 6 = 8 Vereinfachen Sie gegebenenfalls die duale Formulierung. x 1,..., x 6 0 Aufgabe 2.10 Reduzierte Kosten, Optimalität Wie lautet die Optimalitätsbedingung eines linearen Optimierungsproblems {F = j J c j x j j J a ij x j = b i ; i I} unter Verwendung der reduzierten Kosten c j 1. bei Minimierung von F? 2. bei Maximierung von F?

6 Übung QM 3 GRAPHENTHEORIE 6 3 Graphentheorie Aufgabe 3.1 Kompakte Speicherung, Kürzeste-Wege-Problem Gegeben ist folgender Graph: Geben Sie hierzu die kompakte Speicherung an. 2. Bestimmen Sie mit dem FIFO-Algorithmus die kürzesten Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten. 3. Bestimmen Sie mit dem FIFO-LIFO-Algorithmus die kürzesten Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten. 4. Stellen Sie graphisch das Ergebnis als Baum dar. 5. Überprüfen Sie Ihre Lösungen mit GAMS. Beispiel 3.1 Gegeben ist folgendes relevantes Teilnetz eines Streckennetzes für Linienbusse Aufgabe 3.2 Kürzeste-Wege-Problem, Fifo-Lifo Wir betrachten erneut das Beispiel 3.1 aus dem Skript. Bestimmen Sie die kürzesten Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten mit dem FIFO-LIFO-Algorithmus. Aufgabe 3.3 Fifo-Lifo

7 Übung QM 3 GRAPHENTHEORIE 7 Beschreiben Sie programmiersprachenähnlich den FIFO-LIFO-Algorithmus. Aufgabe 3.4 Fifo-Fifo Motivieren und skizzieren sie einen FIFO-FIFO-Algorithmus zur Bestimmung kürzester Wege. Aufgabe 3.5 Dynamische Programmierung Wir betrachten erneut den Graphen aus Aufgabe 3.1. Außer dem Startknoten bedeutet jeder Knoten zugleich einen Umsteigevorgang. Sie wollen nur maximal zweimal umsteigen. 1. Modifizieren Sie das Netzwerkflussproblem geeignet. Dabei soll nur ein Weg vom Startknoten q = 1 zu einem Zielknoten s = 9 bestimmt werden. 2. Überprüfen Sie Ihren Ansatz mit GAMS. 3. Lösen Sie die Problemstellung mit Hilfe der folgenden Vorgehensweise, die auch als dynamische Optimierung bezeichnet wird. Die Knoten sind dabei gemäß des FIFO-Verfahrens abzuarbeiten. Zustände an den einzelnen Knoten ergeben sich aus dem Zielfunktionswert und der Anzahl der Umsteigevorgänge. Ein Zustand ist unzulässig, wenn die Anzahl der Umsteigevorgänge größer als zwei ist. Ein Zustand wird dominiert, wenn es einen anderen Zustand mit geringerem Zielfunktionwert und nichthöherer Anzahl an Umsteigevorgängen gibt. Besitzen mehrere Zustände eines Knotens den gleichen Zielfunktionswert und eine ungleiche Anzahl an Umsteigevorgängen, so ist davon nur der mit der geringeren Anzahl an Umsteigevorgängen weiter zu betrachten, d.h. die anderen können als dominiert angesehen werden. Am Startknoten q gibt es nur einen Startzustand (0,0), wobei der erste Eintrag den Zielfunktionswert und der zweite die Anzahl der Umsteigevorgänge widerspiegelt. Aufgabe 3.6 Kürzeste-Wege-Problem in GAMS Für die Linien U1, U2 und U3 in Hamburg ist ein gerichteter Graph zu erstellen. Zur Vereinfachung sind nur die Startund Endstationen sowie Haltestellen, an denen ein Umstieg von einer Linie zu einer anderen Linie erfolgen kann, zu betrachten. Zusätzlich sind die Haltestellen Sierichstr. und Billstedt aufzunehmen. Die hierzu erforderlichen Daten sind zu recherchieren (HVV). Die Pfeile, die zwei unterschiedliche Haltestellen verbinden, sind mit den Fahrzeiten zu bewerten. Pfeile, die eine Umsteigemöglichkeit repräsentieren (identische Haltestellen), sind mit einer erwarteten Umsteigezeit zu bewerten. Bestimmen Sie mit GAMS den kürzesten Weg von der Haltestelle Billstedt zur Haltestelle Sierichstr. bei einer erwarteten Umsteigezeit von 1. drei Minuten und 2. sechs Minuten. Beispiel 3.5 Gegeben sei folgender Graph:

8 Übung QM 3 GRAPHENTHEORIE Aufgabe 3.7 Minimaler 1-Baum Wir betrachten den minimalen 1-Baum des Beispieles 3.5 aus dem Skript. In einer Rundreise besitzt jeder Knoten einen Knotengrad von zwei, d.h. jeder Knoten ist genau mit zwei anderen Knoten verbunden. Der Knotengrad vom Knoten i = 4 ist 3 und der von Knoten i = 5 ist 1. Erhöhen Sie die Bewertungen sämtlicher mit Knoten i = 4 verbundenen Kanten um 2 LE und reduzieren Sie die Bewertungen sämtlicher mit Knoten i = 5 verbundenen Kanten um 2 LE. Unter Beachtung der modifizierten Kantenbewertungen ist ein minimaler 1-Baum zu bestimmen.

9 Übung QM 4 TRANSPORTPLANUNG 9 4 Transportplanung Aufgabe 4.1 Vogel sche Approximationsmethode Bestimmen Sie mit der Vogel schen Approximationsmethode für das Beispiel Nachfrager Anbieter N1 N2 N3 Angebot A A Nachfrage eine Startlösung. Aufgabe 4.2 Modi-Methode Überprüfen Sie mit der Modi-Methode, ob die in Aufgabe 4.1 berechnete Lösung optimal ist. Aufgabe 4.3 Lösung von TP Ein Unternehmen betreibt 3 Kraftwerke zur Stromversorgung von 4 Städten. Bestimmen Sie die kostenminimale Stromversorgung unter Verwendung folgender Daten: von/nach Stadt 1 Stadt 2 Stadt 3 Stadt 4 Angebot Kraftwerk Kraftwerk Kraftwerk Nachfrage Stellen Sie die optimale Lösung graphisch dar. Aufgabe 4.4 Lösung von TP Gegeben sei folgendes Transportproblem: Nachfrager Anbieter N1 N2 N3 N4 Angebot A A A Nachfrage Bestimmen Sie mit der Vogel schen Approximationsmethode eine Startlösung. 2. Überprüfen Sie, ob die Lösung optimal ist. 3. Veranschaulichen Sie die Lösung graphisch.

10 Übung QM 4 TRANSPORTPLANUNG 10 Aufgabe 4.5 Transportproblem mit Umschlagsknoten Gegeben sei nachfolgendes Distributionsnetz eines Unternehmens aus der Konsumgüterindustrie. Die Knoten u 1, u 2 und u 3 sind reine Umschlagsknoten. Bezüglich der Transportmengen gibt es keine Kapazitätsbeschränkungen. 1 b 1 = 35 a 1 = u b 2 = a 2 = b 3 = u a 3 = b 4 = u b 5 = 40 a 4 = b 6 = 30 Bestimmen Sie eine transportkostenminimale Lösung. (Lösungshinweis: Transformation in ein einstufiges Transportnetz mit den jeweils kostenminimalen Verknüpfungen.)

11 Übung QM 5 GANZZAHLIGE OPTIMIERUNG 11 5 Ganzzahlige Optimierung Aufgabe 5.1 Reoptimierung Lösen Sie die Teilprobleme des aus der Vorlesung bekannten Beispiels mit Hilfe des Simplextableaus. Nutzen Sie die Techniken der Reoptimierung. Beispiel (vgl. Vorlesungsskript) Gegeben sei folgendes ganzzahliges Optimierungsproblem max F = x 1 + 2x 2 x 1 + 3x 2 7 3x 1 + 2x 2 10 x 1, x 2 0 und ganzzahlig Aufgabe 5.2 Branching Die LP-Relaxation der Problemstellung max F = 200x x x x 4 2x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 1x 4 8 1x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 6 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 + 2x 4 6 x 1, x 2, x 3, x 4 {0, 1} liefert folgende optimale Lösung: F = 587.5, x 1 = 1, x 2 = 0.875, x 3 = 0.5, x 4 = 0 1. Formulieren Sie die Teilprobleme, wenn nach x 2 verzweigt wird. 2. Formulieren Sie das Teilproblem, wenn nach x 2 = 1 und x 3 = 0 verzweigt wird. Aufgabe 5.3 B&B-Verfahren Gegeben sei folgendes Optimierungsproblem max F = 5x 1 + 8x 2 1x 1 + 1x 2 6 5x 1 + 9x 2 45 x 1, x 2 0 und ganzzahlig

12 Übung QM 5 GANZZAHLIGE OPTIMIERUNG Stellen Sie das Problem graphisch dar. 2. Bestimmen Sie die optimale ganzzahlige Lösung graphisch. 3. Lösen Sie das Problem mit Hilfe von Branch-and-Bound unter Verwendung folgender Regeln: (a) Betrachtet wird die LP-Relaxation. (b) reine Tiefensuche (c) Verzweige die Variable mit dem geringsten Abstand zur nächstgelegenen ganzen Zahl. (d) Ist die Auswahl der nächsten Variable nicht eindeutig, so wähle die Variable mit dem größten Index aus. (e) Verzweige die ausgewählte Variable zunächst in Richtung der nächstgelegenen ganzen Zahl. 4. Stellen Sie die Lösungsräume der einzelnen Teilprobleme graphisch dar. 5. Lösen Sie das Problem erneut unter Anwendung der Tiefensuche mit vollständiger Verzweigung, wobei bei der Auswahl eines der bei der Verzweigung entstehenden zwei Teilprobleme die MUB-Regel anzuwenden ist. Aufgabe 5.4 B&B-Suchverfahren Gegeben ist folgender Branch-and-Bound-Baum: P x 1 2 x 1 1 P P x 3 7 x 3 6 x 3 7 x 3 6 P P P P x 5 3 x 5 4 P P 11 unzul. x 2 0 x 2 1 P P x 4 0 x 4 1 x 1 2 x 1 3 P P P P Die Knotennumerierung spiegelt die Reihenfolge wider, in der die einzelnen Teilprobleme ohne Anwendung von Bounding betrachtet wurden. Die Endknoten repräsentieren ganzzahlige Lösungen. Lediglich P 11 hat keine zulässige Lösung. Welche Teilprobleme werden unter Anwendung von Bounding betrachtet?

13 Übung QM 5 GANZZAHLIGE OPTIMIERUNG 13 Aufgabe 5.5 B&B-Modellierung Ein Binnenschiffer hat die Möglichkeit, in Hamburg Schüttgut zu laden. Die einzelnen Produkte unterscheiden sich hinsichtlich des Volumens, des Gewichts und der maximal zu transportierenden Menge in t. Insgesamt besteht die Möglichkeit, Ladung bis zu 200 m 3 (Volumen) und bis zu 200 t (Gewicht) aufzunehmen. Produktbezeichnung A B C D E Volumen in m 3 pro t max. Ladung in t Erlös in Euro pro t Aufgrund technischer Rahmenbedingungen können maximal drei Aufträge angenommen werden. Formulieren Sie hierzu ein Entscheidungsmodell. Aufgabe 5.6 B&B-Modellierung (2) Ein Binnenschiffer hat die Möglichkeit, in Hamburg folgende Aufträge anzunehmen: Aufträge A B C D E Volumen in m Erlös in Euro Ein Auftrag kann nur vollständig übernommen werden. Insgesamt verfügt das Schiff über 4 freie Ladeluken. Jede Ladeluke hat ein Volumen von 20 m 3. Es muss sichergestellt werden, dass die Aufträge separat eingelagert werden, d.h. es dürfen in einer Ladeluke nicht Materialien verschiedener Aufträge gemeinsam eingelagert werden. Modellieren Sie ein Entscheidungsmodell zur Maximierung der Erlöse.

14 Übung QM 6 OPTIMIERUNG BEI MEHRFACHER ZIELSETZUNG 14 6 Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung Aufgabe 6.1 Goal Programming Wir betrachten erneut das Beispiel 6.1aus dem Skript. Modellieren Sie das Problem als Goal-Programming-Ansatz unter der Prämisse, dass die maximale absolute relative Abweichung minimiert werden soll. Aufgabe 6.2 Goal Programming Wir betrachten erneut das Beispiel 6.1aus dem Skript. Modellieren Sie das Problem als Goal-Programming-Ansatz unter der Prämisse, dass die Summe der absoluten relativen Abweichungen (Umsatz, Deckungsbeitrag) minimiert werden soll. Aufgabe 6.3 Goal Programming Das Gleichungssystem des Goal-Programming Ansatzes ist wie folgt gegeben: 20x 1 30x 2 +1y 1 1Z 2 = x 1 15x 2 +1y 2 1Z 2 = 75 +1x 1 +1x 2 +1y 3 = 5 +1x 1 +3x 2 +1y 4 = 9 +1Z 2 +1F = 0 Lösen Sie das Optimierungsproblem mit dem dualen Simplexalgorithmus.

15 Übung QM 7 DISKRETE AUSWAHLENTSCHEIDUNGEN VON INDIVIDUEN 15 7 Diskrete Auswahlentscheidungen von Individuen Aufgabe 7.1 Wir betrachten erneut das Beispiel 7.2 aus dem Skript. Eine Studentin benötigt für die Fahrt zur Universität mit dem Fahrrad 15 Minuten und mit dem ÖPNV 13 Minuten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht die Studentin zu Fuss zur Universität? Aufgabe 7.2 Wir betrachten erneut das Beispiel 7.2 aus dem Skript. Angenommen, wir hätten eine Stichprobe mit n = 200 Studierenden und BIOGOME hätte folgendes ausgewiesen: Final log-likelihood: -80 Welchen Wert hätten wir für das ρ 2 (Rho-square) erhalten?

16 Übung QM 8 MEHRSTUFGE ENTSCHEIDUNGEN BEI DISKRETEN UMWELTZUSTÄNDEN 16 8 Mehrstufge Entscheidungen bei diskreten Umweltzuständen Aufgabe 8.1 Gegeben seien die beiden möglichen Ausprägungen x 1 = 1200 und x 2 = 0 sowie deren Eintrittswahrscheinlichkeiten p 1 = bzw. p 2 = Dann erhalten wir den zugehörigen Erwartungswert µ, die Varianz σ 2 und die Standardabweichung σ wie folgt: µ = = σ 2 = (x 1 µ) 2 p 1 + (x 2 µ) 2 p 2 = ( ) ( ) = σ = = Wir betrachten erneut das Beispiel 8.2 aus dem Skript, wobei wir jetzt von einem risikoaversen Entscheidungsträger ausgehen wollen. Seine Risikofunktion lautet s = µ 0.5σ, wobei s das Risikoäquivalent darstellt. Bestimmen Sie die optimale Strategie des Entscheidungsträgers.