Maßzahlen zur Beschreibung von Verteilungen

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1 Programmcode: Lagemaße Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge > c(0,,5,6,3,0,-) > mea() [] > meda() [] > table() kee drekte Modusfukto 0 zwemal Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 0

2 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge > Übuge Schef oder cht schef? Versuche Se her Arthmetsches Mttel, Meda ud Modus zu orde. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge

3 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bevölkerug ach Altersgruppe Gegestad der Nachwesug Ehet Deutschlad ach Altersgruppe vo... bs uter... Jahre uter , , 4 346, , , , , , 9 689, , 4 088, , ,8 44,9 49, 65 ud mehr , , , Isgesamt , , ,0 Klassevorgabe güstg? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge

4 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge d ~ ~ ( 0.5 F ( c ) 0.5 F ( c ) ( ) ~ 0.5 c + ~ c + ~ f f / d Arbetstabelle: Lagemaße ( c, c] m ~ ~ d f F~ ( ) (0, 6] ,* (6, 5] ,7* (5, 5] ,6* (5, 45] ,4* (45, 65] 0 49,* (65, 05] ,* Isgesamt 8 438,0* * Taused Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 3

5 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 4

6 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Durchschttlches Wachstum Arthmetsches Mttel cht svoll! Bespel: E Uterehme stegerte see Umsatz m Jahr 004 um 0%. Im Jahr 005 gg dagege der Umsatz um 0% zurück. Im Jahr 006 kote das Uterehme see Umsatz um 30% steger.. We lautete das durchschttlche Umsatzwachstum der Jahre 004 ud 005?. We lautete das durchschttlche Umsatzwachstum de Jahre 004 bs 006? 3. Um we vel Prozet st der Umsatz sgesamt gestege (gefalle) m Verglech zum Jahr 003? Bespel: Jahr Umsatz Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 5

7 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Ausgehed vo eem Afagswert B se B, B,, B ee Zetrehe vo 0 0 K Beobachtugswerte de Perode 0,, K,. Da st für, K, B B der -te Wachstumsfaktor ud B B r B de -te Wachstumsrate. Damt glt B B K. 0 Das geometrsche Mttel zu de Wachstumsfaktore,, st durch gegebe. / ( ) geom K K Damt glt B B. K B ( ). 0 geom mal geom geom 0 geom Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 6

8 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Be der Berechug vo durchschttlche Wachstumsrate wrd also m Allgemee zuächst das geometrsche Mttel der Wachstumsfaktore beberechet. De (svolle) durchschttlche Wachstumsrate, de wr mt r bezeche ergbt sch da aus r geom Sd de Werte B ud B bekat, so glt 0 bzw. r ( ) 00 % geom geom B B 0 /. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 7

9 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bespel 8: Volkswrtschaftlche Gesamtrechug für Deutschlad: Verwedug des Bruttoladsprodukts ( Mrd. Euro) Jahr BIP C S I E Im ,70 347,3 46,07 45, 034,3 90, ,00 3,06 49,64 384,9 9,7 796, ,0 30,94 45,06 378,3 844, 733, ,50 8,76 47,3 376,99 770,74 685, 00 43,8 63,46 4,80 370,0 765,70 667, ,6 58,57 400,3 4,85 735,60 693, ,50 4,6 39,9 449,8 688,39 68,4 Y... Bruttoladsprodukt C... Prvater Kosum I... Bruttovesttoe S... Staatskosum E... Eporte Im... Importe Quelle: Statstsches Budesamt Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 8

10 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bespel 8: Zetrehedarstellug Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 9

11 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Aufgabe 0 Gegebe see de Date der volkswrtschaftlche Gesamtrechug gemäß Tabelle S. 8. R F Das durchschttlche Wrtschaftswachstum (BIP) de Jahre 000 bs 006 betrug gerudet.85%. Das durchschttlche Wachstum des prvate Kosums vo 000 bs 006 betrug gerudet.90% Falls Bruttoladsprodukt (BIP) ud prvater Kosum eem Jahr de gleche Wachstumsrate verzeche, so blebt auch der Atel des prvate Kosums am BIP kostat. Der durchschttlche Atel des prvate Kosums am BIP betrug vo 000 bs 006 gerudet 59.0%. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 0

12 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Aufgabe Folgede Tabelle zegt für Deutschlad de Veräderuge % vo Eporte ud Importe m Verglech zum Vorahr. Jahr Eporte Importe 00 6,9, ,4 8, ,0 7, ,0 6,8 997,7, ,5 3,7 Quelle: Statstsches Budesamt R F Das Durchschttswachstum der Eporte vo 995 bs 00 betrug gerudet 8.83% Das Durchschttswachstum der Importe vo 995 bs 00 betrug gerudet 8.7% Gemäß de Agabe der Tabelle vo Bespel st m Jahr 00 der Atel der Eporte am BIP m Verglech zum Vorahr gesuke. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge

13 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge > Übuge Für das geometrsche Mttel folgt durch Logarthmere l l ud daraus geom. geom Weshalb? Gbt es Stuatoe, dee Glechhet glt? Mache Se sch gegebeefalls mt de Egehete der Logarthmusfukto (atürlcher Logarthmus) vertraut. Im Falle vo Fazzetrehe werde astelle prozetualer Redte häufg logarthmsche Redte verwedet (vgl. Bespel 7, S. 83), de folgedermaße defert sd: W t R l t l ( W t ) l ( W t ), W t W t wobe bspw. de Kurswert ees Wertpapers zum Zetpukt t bezechet. Mache Se sch a Bespele klar, dass für klee Kursveräderuge de logarthmsche Redte mt de prozetuale Redte gut überestmme. We würde ma de Durchschttsredte korrekterwese bereche? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge

14 Quatle ud Boplot Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bespel : Urlste für 6 Nettomete 77.3, 04.4, 3.4, 58.9, 63.7, 66.48, 70.04, 8.98, 83.09, 00.84, 0.55, 7.9, 43.44, 55.75, 6.98, 63., 69.84, 76.60, 8., 3.87, , 359.7, 36.60, 36.00, , geordet! We hoch st de Mete, de vo 5% aller Wohuge uterschrtte wrd? We hoch st de Mete, de vo 75% aller Wohuge uterschrtte wrd? Allgemee Frage: We hoch st de Mete, be der % der Wohuge druter ud (00-)% der Wohuge drüber legt? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 3

15 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bespel : Nettomete (klassert) ~ f ~ f / d ? We hoch st de Mete, de vo 5% aller Wohuge uterschrtte wrd? / Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 4

16 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 0.75 Was bedeutet egetlch ~ ~ F ( ) ( )? F Was bedeutet egetlch ~ F 44.5? ( ) Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 5

17 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Quatle (Urlste ud klasserter Fall) Gegebe see de Beobachtugswerte,, (md. ordal skalert). K Da st für das α-quatl der Urlste gegebe durch ~α [ ] α (0,) ( + ), [ α ] ( ), + α + ( α ) ( ) für für α IN α IN, wobe α de zu α ächste kleere gaze Zahl bezechet. Lege de Beobachtugswerte metrsch skalert ud klassert k Größeklasse c, c ], K,( c k, c ] vor, so glt appromatv d ( 0 k, ~ ~ ( α F ( c ) α F ( c ) ( ), ~ α c + ~ c + ~ f f / d ( c, c] de Efallsklasse des α-quatls st. wobe Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 6

18 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Übug: Quatl für Urlste Bespel : Urlste für Nettomete We hoch st de Mete, de vo eem Vertel aller Wohuge uterschrtte wrd? We lautet das 0.5-Quatl, falls der Wert 600 hzugeomme wrd? We lautet das 0.5-Quatl, falls der Wert zwemal 600 hzugeomme wrd? Gefragt: 0.5-Quatl. Schrtt: α IN oder α IN?. Schrtt: Berechug des Quatls 600 dazu: mal 600 dazu: Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 7

19 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Aufgabe Gegebe see de Date vo Bespel klassert 6 Klasse gemäß S. 45. R F Das 0.35-Quatl legt zwsche 00 ud 300. Etwa 3.% aller Mete lege zwsche 00 ud 500 Euro. De Stegug der emprsche Vertelugsfukto st zwsche 00 ud 300 größer als zwsche 00 ud 00. De. Abletug der emprsche Vertelugsfukto a eer bestmmte Stelle (außer Kckstelle ) ergbt gerade de Wert der Häufgketsdchtefukto a der Stelle, also de Höhe der korrespoderede Hstogrammsäule. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 8

20 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Whskers Boplot (m Vorlesugsstadard) Iterquartlsabstad ~ ~ d Q oberer Araer Ausreßer uterer Araer ~ ~ ~ Quartl 3. Quartl Meda c ~.5d Q.5d L d Q Q c ~ U d Q Lower outler cutoff Upper outler cutoff Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 9

21 Bespel : Nettomete Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bedeutug? Iformatosgehalt bezüglch der Vertelug? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 30

22 Programmcode: Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge > ettometec(77.3,04.4,3.4,...,533.9) > boplot(m,horzotalt,ma"boplot der Nettomete", lab"nettomete Euro") Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 3

23 Was sd egetlch Ausreßer? 3

24 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bespel 3: Metprese 3 Mücher Bezrke (vgl. S. 79) Bedeutug? Besser als Hstogrammdarstellug? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 33

25 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge... zum Verglech Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 34

26 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bespel 7: Redte (vgl. S. 83) Bedeutug? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 35

27 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge... zum Verglech Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 36

28 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Aufgabe 3 Gegebe see de Boplots vo Sete 33. Daraus erket ma, dass R F mdestes de Hälfte aller Beobachtugswerte für Bezrk 5 kleer st als 0, mdestes de Hälfte aller Beobachtugswerte aller dre Bezrke zwsche 5 ud 0 legt, alle Beobachtugswerte vo Bezrk 8 zwsche 3 ud lege, mdestes e Vertel aller Beobachtugswerte vo Bezrk zwsche 5 ud 8 legt. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 37

29 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Streuugsmaße Zel: E repräsetatver Wert für de Streuug der Werte (um...) Bespel: Gegebe see de Zahle 0,, 5, 6, 3, 0, Modus Meda Arthmetsches Mttel Bezugspukt? Bezugspukt otwedg? Welche svolle Kezahle würde Ihe spota efalle? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 38

30 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge. Efachste Idee: Ergebs her: Probleme? Robust?. Efachste Idee dfferezert: Bespel: Ergebs her: Probleme? Robust? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 39

31 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 3. Natürlchste Idee: Probleme? Robust? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 40

32 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 4. Natürlchste Idee varert: Probleme? Robust? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 4

33 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 5. Natürlchste Idee zwefach varert: Probleme? Robust? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 4

34 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 6. Seltsame Idee: Probleme? Robust? Iterpretato? 7. Noch seltsamer: Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 43

35 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Spawete ud Quatlsabstäde Gegebe see de metrsch skalerte Beobachtugswerte,,. Da st durch R ( ) ( ). de Spawete ud durch Q ~, α α ~ α α ( 0, 0.5) der α-quatlsabstad gegebe. Isbesodere heßt Q ~ ~ K Iterquartlsabstad oder efach Quartlsabstad. Lege de Date klassert k Größeklasse c, c ], K,( c k, c ] vor, so glt appromatv R 0.5 c k 0.75 c ( 0 k Zur Berechug des α-quatlsabstads werde de Quatle gemäß der vorlegede Klasseetelug appromatv berechet. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 44

36 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Mttlere absolute Abwechug vom Meda Gegebe see de metrsch skalerte Beobachtugswerte,,. Da st durch d ~ 0.5 K de mttlere absolute Abwechug vom Meda gegebe. Lege de Date klassert k Größeklasse c, c ], K,( c k, c ] vor, ( 0 k so glt appromatv k k ~ ~ ~ d ~ m 0.5 f m 0.5, ~ wobe 0.5 appromatv etspreched der vorlegede Klasseetelug berechet wrd. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 45

37 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge MAD (Meda Absolute Devato) Gegebe see de metrsch skalerte Beobachtugswerte,,. Da st durch meda, K, ~ 0.5 K der MAD gegebe. Des st der Meda der absolute Abwechuge aller Beobachtugswerte vom Meda. Für Klasserug weger svoll Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 46

38 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Varaz ud Stadardabwechug Gegebe see de metrsch skalerte Beobachtugswerte,,. Da st durch s ( ) de Varaz ud durch s s de Stadardabwechug gegebe. K Lege de Date klassert k Größeklasse c, c ], K,( c k, c ] vor, so glt appromatv s k ~ k ~ ( m ) f ( m ), ( 0 k wobe appromatv etspreched der vorlegede Klasseetelug berechet wrd. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 47

39 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bespel 3: Metprese 3 Mücher Bezrke (vgl. S. 79) Bezrk 8 ( 6) R 8. Q d.9 MAD.78 s Bezrk ( 70) Iterpretato? Bezrk 5 ( 43) R 9.9 R 6. 4 Q Q d.99 d. 37 MAD.8 MAD. 4.5 s.48 s. 68 Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 48

40 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bespel 6: Metprese Müche gesamt Füf-Pukte-Zusammefassug M. st Qu. Meda Mea 3rd Qu. Ma R 8.6 Q 0.5 d.97 MAD s.47 (Berechuge ahad Urlste) Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 49

41 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Bespel 7: Redte (vgl. S ) Maß*000 DAX BMW VW BASF R Q Q Q d MAD s ~ 0.0 ~ 0.05 ~ 0.5 ~ 0.5 ~ 0.75 ~ 0.95 ~

42 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Durchschttswachstum: geom B B 0 / Akte geom DAX BMW VW BASF Weshalb glt her 000 ( )? geom (vgl. Tabelle zuvor) Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 5

43 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Aufgabe 4 Gegebe se de Urlste der Date aus Bespel (vgl. S. 33). Da glt: R F ~ , Q Q MAD , d.346. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 5

44 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Aufgabe 5 Gegebe see de Date aus Bespel (vgl. Sete 8). Da glt: R F s 0.98, s.0. Aufgabe 6 Gegebe see de Date aus Bespel klassert gemäß S. 46. Da glt: R F d 0.3, Q Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 53

45 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Egeschafte der Streuugsmaße Überscht möglcher Aspekte - Rechersche Besoderhete (Zerlegugsformel) - Robusthet - Mmumegeschafte mt Lagemaße - Trasformatosegeschafte Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 54

46 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Verschebugssatz (Berechug der Varaz) ( ) ( ) ( ). c c + Für edes glt: c IR Spezell für folgt: 0 c. s Bewes:! 55 Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), c c c c c c c da ( ). 0

47 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Streuugszerlegugsformel für de Varaz (be grupperte Date) Gegebe see de metrsch skalerte Beobachtugswerte,,. Lege dese gruppert k Gruppe G,, mt ewelge Gruppeumfäge wobe f ( g ) ( g ),, K G k K k bzw. Gruppeatele ( g ) ( g ) /,, K, k, Gesamter Datesatz Gruppemttelwerte, K, ud Gruppevaraze s vor, so glt s k k f ( ) k, K, s k k ( g ) ( g + ) s ( ) k ( g ) ( g ) s + f ( ), wobe f K G... G k G k ( g ) ( g, K, f ), ( g ) ( g ) k k f. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 56

48 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Aschauug G G G s s s Wuchshöhe: Gesamtstreuug Itere Streuug + Etere Streuug s k s 3 k ( g ) ( g s + f ) ( ) f s 3 s ( ) + ( ) + ( ) Varazaalyse Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 57

49 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Robusthet We reagere (Streuugs-)Maße auf Ausreßer? R ( ) ( ) Q ~ α ~ α α d ~ 0.5 MAD meda, K, ~ 0.5 s ( ) bzw. s s Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 58

50 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Aufgabe 7 Gegebe see de Date aus Bespel 3 gemäß Sete 48. Da glt: R F Das arthmetsche Mttel für de Beobachtugswerte aller 3 Bezrke beträgt gerudet 8.6 Euro, de Stadardabwechug für de Beobachtugswerte aller 3 Bezrke beträgt gerudet.5 Euro, Ageomme, Bezrk 5 komme ee Luuswohug mt 6 Euro Quadratmeterpres hzu. Da äder sch ur de tere, cht aber de etere Streuug, blebt der MAD für Bezrk 5 uverädert. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 59

51 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Mmumegeschafte mt Lagemaße ( c) Welcher Wert für c mmert de Ausdruck bzw.? / ( c) ( ) f ( c ) / ( c ) Betrachte / c als Fukto vo c f c ( c) K Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 60

52 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge > Übuge Welcher Wert für c mmert de Summeausdruck c? Probere Se es aus! We lautet de allgemee Lösug? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 6

53 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Welche Fukto st her abgebldet? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 6

54 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge E Wert wurde dem Datesatz zugeführt. Welcher wohl? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 63

55 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Trasformatosegeschafte We verhalte sch Maße be Trasformato vo Werte? Vo besoderem Iteresse für us: Leartrasformatoe b a y + Efaches Bespel: Körpergröße vo 0 Studete Meter:.56,.77,.87,.65,.70 Her: ( ) s 64 Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge We lautet de Varaz (Stadardabwechug), we Zetmeter y 00 ( ) ( ) ( ) y s y y y y y s Ehet: m gemesse wrd? y s s 00 Ehet: m

56 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge We lautet de Varaz, vo lear trasformerte Werte? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y b a b ab a b a b a y y y y s b a y + Allgemeer gefragt: 65 Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge s b b b b b ab a b ab a b a b ab a b a b ab a y s b s verschebugsvarat skaleäquvarat Bedeutug?

57 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Schwergeres Bespel: Pukteergebsse dre Klausure Klausur :, 0, 5, 0, 8,.5 (be ma. 0 Pukte) Klausur :, 30, 5, 40, 38, 3.5 (be ma. 40 Pukte) Klausur 3: 4, 0, 0, 40, 36, 3 (be ma. 40 Pukte) Wo streue de Date mehr, wo glech? I welche bede Klausure st de Stadardabwechug (Varaz) glech? Allgemees Problem: Berückschtgug bzw. Nchtberückschtgug vo Lage- ud Skaleeffekte durch Maße Ihaltlcher Kotet muss berückschtgt werde! Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 66

58 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Varatoskoeffzet Gegebe see de metrsch skalerte Beobachtugswerte,,. Ageomme, alle Beobachtugswerte see chtegatv ud Da st durch v der Varatoskoeffzet gegebe. s K Lege de Date klassert vor, so werde Stadardabwechug ud arthmetsches Mttel appromatv etspreched der vorlegede Klasseetelug berechet. > 0. Iterpretato? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 67

59 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Schwergeres Bespel fortgesetzt... K. :, 0, 5, 0, 8,.5 (ma. 0 P.) K. :, 30, 5, 40, 38, 3.5 (ma. 40 P.) K. 3: 4, 0, 0, 40, 36, 3 (ma. 40 P.) Beachte: Klausur + 0 ( Verschebug ) Klausur * ( Umskalerug ) Her: s s s Mt Varatoskoeffzet: Glechhet her möglcherwese svoll Glechhet möglcher- wese weg svoll Verschebugsvaraz her ugüstg! v / / v / / v / / Skalevaraz Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 68

60 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Streuugsmaße be Leartrasformatoe Varaz: y ( y y ) b s s y a + b verschebugsvarat Stadardabwechug: s y b s Spawete: R y y y b R ( ) ( ) Quatlsabstad: Q y ~ α ~ α α y α b Q ( y ) ( ) α Mttlerer Abstad vom Meda: d y y ~ y0.5 b d MAD: MAD meda y ~ y b y, K, 0.5 MAD verschebugsvarat + skaleäquvarat Varatoskoeffzet: s b a y 0 v y y a + b s s v skalevarat Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 69

61 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Aufgabe 8 Gegebe see de Date aus Bespel 3 gemäß Sete 48. Da glt: R F der Varatoskoeffzet für Bezrk 5 st am größte, der Varatoskoeffzet für Bezrk 5 verädert sch, falls de Werte ee adere Währug (z.b. Dollar) umgerechet werde, der Varatoskoeffzet für Bezrk 8 blebt uverädert, falls dort de Mete ehetlch um 0 Euro agehobe werde, der Varatoskoeffzet für Bezrk 8 blebt uverädert, falls der Beobachtugswert 7.70 hzu kommt. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 70

62 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Stadardserug vo Werte Bespel: Pukteergebsse dre Klausure Klausur :, 0, 5, 0, 8,.5 (be ma. 0 Pukte) Klausur :, 30, 5, 40, 38, 3.5 (be ma. 40 Pukte) Klausur 3: 4, 0, 0, 40, 36, 3 (be ma. 40 Pukte) Betrachte folgede Schüler:.5 (aus Klausur ) 3.5 (aus Klausur ) Welcher Schüler st am beste? 3 (aus Klausur 3) Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 7

63 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Idee: Berückschtge Nveau (Lage) ud Streuug der Date mttels Stadardserug Stadardserug vo Werte Wa svoll? Allgeme: Stadardserter Wert Orgalwert - Lagewert Streuugswert Weshalb so svoll? Spezell: z s (Z-Trasformato) Weshalb sbesodere so? Bespel fortgesetzt... Iterpretato? Klausur s K s Ergebs svoll? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 7

64 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Vertelug z-trasformerter Werte Gegebe see de metrsch skalerte Beobachtugswerte,,. Werde dese Werte stadardsert gemäß z, so glt: z 0 ud s z. s K Im Bespel: Leare Trasformato! Schüler 3 Schüler Schüler Weshalb st dese Stadardserug varat gegeüber leare Trasformatoe der Orgalwerte (d.h. verschebugs- ud skalevarat)? Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 73

65 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Weteres Bespel: Stadardserug zu Verglechszwecke Bedeutug? Kerdchteschätzug zur Eplorerug der Vertelugsform Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 74

66 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Aufgabe 9 Be eer Stadardserug gemäß eer Z-Trasformato R F bestze de trasformerte Werte stets ee kleere Varaz als de Orgalwerte, blebe de trasformerte Werte uverädert, falls alle Orgalwerte ewels mt multplzert werde, bestze de trasformerte Werte ee größere MAD als de Orgalwerte, falls de Stadardabwechug der Orgalwerte kleer st als, bestze de trasformerte Werte de gleche Spawete, auch we zu alle Orgalwerte ewels ee hzuaddert wrd. Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 75

67 Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge Programmcode für Streuugsmaße (am Bespel) > c(0,,5,6,3,0,-) > ma()-m() Spawete [] 7 > quatle(,probsc(0.5,0.75),type) 5% 75% 0 5 Quartlsabstad > mea(abs(-meda())) [].4857 Mttlerer Abstad vom Meda.49 > mad(,costat) [] MAD > var()*6/7 [] Varaz > sqrt(var()*6/7) [] Stadardabwechug.507 muss mt (-)/ multplzert werde! Uvarate Deskrpto ud Eplorato vo Date - Maßzahle zur Beschrebug vo Verteluge 76

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