Übung zu Risiko und Versicherung Entscheidungstheoretische Grundlagen

Transkript

1 Übung zu Risiko Entscheidungstheoretische Grundlagen Stefan Neuß Sebastian Soika

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3 Das Grundmodell der Entscheidungstheorie Komponenten Aktionsraum A: die Menge aller zur Verfügung stehenden Handlungsalternativen a i, i {,,n} Zustandsraum S: die Menge aller vom Entscheidungsträger für möglich gehaltenen und für die Entscheidung relevanten Umweltzustände s j, j {,,m} Ergebnisraum E: die Menge aller für möglich erachteten Ergebnisse e ij, i {,,n}, j {,,m} Ergebnisfunktion f ordnet jedem Paar (a i, s j ) mit a i A, s j S ein Ergebnis e ij E zu (vollständige, transitive) Präferenzrelation

4 Das Grundmodell der Entscheidungstheorie S s s 2... s j... s m a e e 2... e j... e m a 2 e 2 e e 2j... e 2m A a i e i e i2... e ij... e im a n e n e n2... e nj... e nm E

5 Einige Aussagen über Wahrscheinlichkeiten Eine Wahrscheinlichkeit (meist mit dem Buchstaben p bezeichnet) ist eine Zahl zwischen 0 und. Schließen sich die einzelnen Ereignisse gegenseitig aus (es kann entweder Ereignis oder Ereignis 2 oder... eintreten), so ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten über alle möglichen Ereignisse gleich. Schließen sich die einzelnen Ereignisse gegenseitig aus, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für ein kombiniertes Ereignis aus der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten (Additionssatz). Beispiel Würfeln: P(" oder 2") 6 6

6 Einige Aussagen über Wahrscheinlichkeiten Bei unabhängiger Wiederholung eines Zufallsexperiments ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis der Form erste Durchführung des Experiments führt zu Ergebnis, zweite Durchführung führt zu Ergebnis 2 durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten. Beispiel Würfeln: P(.Wurf = und 2.Wurf = 2 )

7 Definition Wahrscheinlichkeits-Maß (Axiome) Eine Funktion P, die jedem Ereignis Z S eine reelle Zahl zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsmaß, und P(Z) heißt Wahrscheinlichkeit von Z, wenn gilt:. für jedes 2. 0 P( Z ) P( S) 3. Für abzählbar viele Ereignisse Z, Z 2,... mit gilt: Z i Z j = i j Z S P Z i i i P( Z i )

8 Rechenregeln und grundlegende Definitionen Es gilt: P () =0, P( S) = C P( Z) P( Z ) mit Z C S \ P( Z Z2) = P( Z) + P( Z2) - P( Z Z2) Z (Komplement von Z) Zwei Ereignisse Z und Z 2 heißen stochastisch unabhängig, wenn gilt: P( Z Z2) = P( Z) P( Z2) Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(Z Z2) wird definiert als sofern P( Z 2 ) 0. P( Z Z 2 ) : P( Z Z P( Z ) 2 2 ),

9 Rechenregeln und grundlegende Definitionen Für stochastisch unabhängige Ereignisse Z und Z 2 gilt: P( Z Z 2) P( Z) P( Z 2) P( Z Z 2) : P( Z) P( Z ) P( Z ) 2 2 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: Z i mit i =, 2,... seien abzählbar viele paarweise disjunkte Ereignisse positiver Wahrscheinlichkeit. Für ein Ereignis A i Z i gilt: P( A) i P( Z ) P( A i Z i )

10 Rechenregeln und grundlegende Definitionen Bayes-Theorem: Sei P(Z k ) die a-priori und P(Z k A) die a-posteriori Wahrscheinlichkeit von Z k unter Kenntnis des Eintritts von Ereignis A. Unter den Voraussetzungen des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit gilt dann P( Z k A) P( Z i k P( Z ) P( A Z i k ) ) P( A Z i )

11 Wahrscheinlichkeitsinterpretationen ) logische (bzw. objektive a-priori-) Wahrscheinlichkeiten 2) frequentistische (bzw. objektive a-posteriori-) Wahrscheinlichkeiten 3) subjektive Wahrscheinlichkeiten

12 Anpassung subjektiver Wahrscheinlichkeiten Urne mit 6 Kugeln: - entweder sind alle rot (s ), - zur Hälfte rot und zur Hälfte schwarz (s 2 ) - oder alle sind schwarz (s 3 ). Der Entscheidungsträger hat folgende subjektive Wahrscheinlichkeitseinschätzungen über die Umweltzustände: p(s) = p(s 2) = p(s 3) = 3

13 Anpassung subjektiver Wahrscheinlichkeiten Jetzt wird eine rote Kugel gezogen: p(s r)= 3 i= p(s p(s ) i p(r s ) ) p(r s i = ) p(s 2 r)= p(s 3 r)=

14 Anpassung subjektiver Wahrscheinlichkeiten Nach Zurücklegen wird noch eine rote Kugel gezogen: p(s r) = p(s) p(r s) 3 p(s ) p(r s ) i i p(s 2 i r) = = 4 5 angepasste Wkt. Nach Zurücklegen wird zum dritten Mal eine rote Kugel gezogen: p(s r) = = p(s 2 r) = 9

15 Entscheidungsproblem des Versicherungsnehmers a s s 2 p(s ) p(s ) p(s j ) w w 2... w j... a 2 w w... w... 2 x 2 s j j x j w s m p(s m ) m w m x m s, s 2,, s m p(s j ) a a 2 Umweltzustände (s = ungestörte Situation) (subjektive) Wahrscheinlichkeitseinschätzung des Versicherungsnehmers für den Eintritt des Umweltzustandes s j Handlungsmöglichkeit nicht versichern Handlungsmöglichkeit Versicherungsvertrag mit der Prämie und den Versicherungsleistungen x 2,..., x m abschließen w, w 2,..., w m x 2, x 3,..., x m Endvermögen des Versicherungsnehmers in Abhängigkeit von möglichen Realisationen des zu versichernden Risikos Preis für Versicherungsschutz (Prämie) Schadenzahlungen des Versicherers

16 Entscheidungsproblem des Versicherers a a 2 s s 2 q(s ) q(s 2 )... q(s j ) k k x 2 s j... k x... j s m q(s m ) 0 k xm q(s j ) (subjektive) Wahrscheinlichkeitseinschätzung des Versicherers für den Eintritt des Umweltzustandes s j a Handlungsmöglichkeit nicht versichern a 2 Handlungsmöglichkeit versichern k Betriebskosten, die für den Versicherungsvertrag anfallen

17 Beispiel Simulation : Aus einer Urne, die 0 Kugeln enthält ( davon rot, die restlichen schwarz), wird dreimal jeweils eine Kugel gezogen, die anschließend wieder zurückgelegt wird. Die Ziehung einer roten Kugel bedeutet jeweils einen Schaden in Höhe von 0.000,-. Wie sieht die (Gesamt-) Schadenverteilung (x i, p i ) aus? Schadenzahl verteilung: Schadenverteilung : z i p i x i p i Angemessene Prämie/Mindestprämie?

18 Risikoaversion Definition: Ein Entscheidungsträger heißt risikoavers (risikoscheu), wenn er stets eine sichere Zahlung einer zufälligen Zahlung mit identischem Erwartungswert vorzieht. Risikoaversion kann als das zentrale Motiv für die Nachfrage nach Versicherungsschutz angesehen werden und ist deshalb in der Versicherungsökonomie von besonderer Bedeutung.

19 Sicherheitsäquivalent Das Sicherheitsäquivalent einer zufälligen Größe ist dasjenige sichere Einkommen, für das ein Entscheidungsträger ein Risiko gerade abgeben würde. U(w+SÄ) = E(U(w+)) U( ) := Nutzenfunktion w := Anfangsvermögen := Risiko E(...) := Erwartungswert SÄ := Sicherheitsäquivalent

20 Sicherheitsäquivalent U(w ) U[E(w+)] U(w+SÄ) = E[U(w+)] U(w) Einfache Lotterie (25.000; 0,75; ) U(w) U(w-8.000) SÄ[] RP[] E[w+] E[] w w SÄ[]+w E[w+] w w

21 Risikoaversion versus Risikoneutralität Ein Entscheidungsträger heißt risikoneutral, wenn er stets eine zufällige Zahlung genauso beurteilt wie eine sichere Zahlung in Höhe des Erwartungswertes. Risikoneutralität wird in ökonomischen Modellen häufig als Annahme über die Risikoeinstellung von Versicherungsunternehmen verwendet. warum? Es spricht aber auch vieles dafür, dass sich Versicherer zumindest in bestimmten Sparten risikoscheu verhalten.

22 Risikoprospekt im μ-σ-diagramm 2 2

23 Risikoprospekt im μ-σ-diagramm Indifferenzkurve VR Indifferenzkurve VN (µ, ) Netto-RP[ ] des VR Preisuntergrenze des VR = Mindest-BruttoRP SÄ =E [ ]

24 Stichworte zum Bernoulli-Prinzip Bernoulli-Prinzip: Ein Entscheidungsträger besitzt eine auf dem Ergebnisraum definierte beschränkte, streng monoton wachsende, reellwertige Nutzenfunktion u (Bernoulli-Nutzenfunktion). Der Präferenzwert einer jeden Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Ergebnisraum errechnet sich als Erwartungswert der mit ihrem Nutzen bewerteten Ergebnisse (Erwartungsnutzen).

25 Stichworte zum Bernoulli-Prinzip Ein Entscheidungsverhalten, das im Einklang mit dem Bernoulli- Prinzip steht, kann als rational in dem Sinne betrachtet werden, dass es bestimmte Postulate erfüllt, die Anforderungen an vernünftiges Handeln formulieren. Umgekehrt impliziert das Anerkennen dieser Axiome als Entscheidungskriterium bei Risiko das Bernoulli-Prinzip. - Beispiel: Eine Handlungsalternative a, deren zufälliges Ergebnis e eine endlich-diskrete Verteilung besitzt (mögliche Ergebnisse e,..., e n, zugehörige Wahrscheinlichkeiten p,..., p n ), wird beurteilt nach dem Kriterium n E u(e) i pi u(e i)

26 Stichworte zum Bernoulli-Prinzip Bei Risikoaversion gilt E u(e) u(e[e ]) für eine nicht-degenerierte Zufallsvariable e. Die Bernoulli-Nutzenfunktion eines risikoscheuen Entscheidungsträgers ist streng konkav (Jensensche Ungleichung); (u > 0, u < 0, wenn zweifach differenzierbar) Analog: Bernoulli-Nutzenfunktionen sind linear bei risikoneutralen Entscheidungsträgern (und streng konvex bei risikofreudigen Entscheidungsträgern)

27 Risikoneutralität Ein Entscheidungsträger verhält sich risikoneutral, wenn er stets eine zufällige Zahlung genauso beurteilt wie eine sichere Zahlung in Höhe des Erwartungswertes. Risikoneutralität wird in ökonomischen Modellen häufig als Annahme über die Risikoeinstellung von Unternehmen verwendet. Warum?

28 Das Arrow-Lind-Theorem Betrachtet wird ein Syndikat mit ( unendlich ) vielen risikoaversen Beteiligten, die gemeinsam eine riskante Investition tätigen. Außerdem gelten folgende Annahmen: - Keine Transaktionskosten, - Keine Steuern, - das übernommene Risiko ist vollkommen unkorreliert mit den individuellen Einkommen der Beteiligten [Cov=0] Das Syndikat verhält sich so, als ob es risikoneutral wäre.