Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)

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1 Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2) Von Florian Modler Hallo Geometrie Freunde, dies ist nun der zweite Teil der Serie Vergessene Sätze am Dreieck. In diesem Teil wird es um zwei ganz bestimmte Sätze gehen: Um den Satz von Stewart und um den Satz von Steiner und Lehmus. Zuerst werde ich euch den Satz vorstellen, ihn anschließend beweisen und einige Anwendungen dieser Sätze auzeigen. Der Satz von Stewart eignet sich zum Beispiel sehr gut, um Längen ganz bestimmter Strecken im Dreieck zu berechnen. Inhalt 1 Satz von Stewart Satz von Steiner und Lehmus Abschluss Literatur

2 1 Satz von Stewart Der Satz von Stewart lautet wie olgt: Satz von Stewart: Sei AX eine Ecktransversale der Länge d, die die Strecke BC (vergleiche Abbildung 1) in zwei Strecken mit den Längen BX = e und XC =, dann gilt: a( d ² + e ) = b² e + c². Dieses Ergebnis nennt man nach M. Stewart, der es 1746 ormulierte, den Satz von Stewart. Er wurde wahrscheinlich bereits von Archimedes 300 v. Chr. entdeckt, aber der erste bekannte Beweis stammt von R. Simson aus dem Jahr Beweis: Abb. 1 Satz von Stewart Um diesen Satz zu beweisen, greien wir au den Kosinussatz zurück. Der Kosinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck ABC b² = c² + a² 2ac cos β gilt. Abb. 2 Der Kosinussatz - 2 -

3 Aus dem Dreieck erkennen wir: h = c sin β w = a c cos β Mit Hile des Pythagoras olgt: b² = h² + w² Einsetzen lieert: b² = ( c sin β )² + ( a c cos β )² b² = c² sin ² β + a² 2ac cos β + c² cos ² β b² = c²(sin ² β + cos ² β ) + a² 2ac cos β sin ² β + cos ² β = 1 b² = c² + a² 2ac cos β c² + a² b² cos β = 2ac Gegeben sei nun olgendes Dreieck ABC (siehe Abbildung 3) mit der Ecktransversalen d au X a, die die Seite a in die zwei Teilstrecken BX = e und XC = teilt. Wir wenden diesen Satz au das Dreieck BXA und au das Dreieck XCA an. Abb. 3 weil Gegenwinkel ( X = 180 X ) : links rechts e² + d ² b² ² + d² b² = 2ed 2 d 2 d( e² + d ² b²) = 2 ed( ² + d ² b²) : 2 : p + ed + c² e² + e ² + ed ² + d² = b² e + c² ( e + )( d ² + e ) = b² e + c² a( d² + e ) = b² e + c² q.e.d. Einige interessante Anwendungen des Satz von Stewart gibt es hier: Der wichtige Satz des Heron zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks aus seinen Seitenlängen olgt direkt aus dem Satz von Stewart. Der Satz von Stewart wurde auch vom niederländischen Mathematiker Oene Bottema ür die Anwendung au Simplizes und Tetraedern verallgemeinert. [2] - 3 -

4 Eine weitere kleine Anwendung möchte ich euch präsentieren, indem ich euch auordere, die Länge einer Seitenhalbierenden zu berechnen. Wir betrachten hierzu Abbildung 4: Abb. 4 Länge einer Seitenhalbierenden a Sei AX die Seitenhalbierende au BC, so gilt m = n =. 2 Nach dem Satz von Stewart olgt: a² a( p² + ) = n( b² + c²) 4 a² a a( p² + ) = ( b² + c²) 4 2 a² 1 p² + = ( b² + c²) p² = (2 b² + 2 c² a²) 4 1 sa = p = 2 b ² + 2 c ² a ² Entsprechend gilt ür die an deren Seitenhalbierenden: sb = p = 2 a² + 2 c² b²; sc = p = 2 a² + 2 b² a². 2 2 Der interessierte Leser kann jetzt noch die Länge einer Höhe und einer Winkelhalbierenden bestimmen

5 2 Satz von Steiner und Lehmus Es gab und gibt immer noch eine Anzahl von geometrischen Problemen, die eine einzigartige Faszination au jeden ausgeübt haben. Man erinnere sich nur an die drei großen Probleme der Antike: Die Verdopplung des Würels (Delisches Problem), die Dreiteilung eines beliebigen Winkels und die Quadratur des Kreises. Auch der Satz von Steiner und Lehmus hat großes Interesse geweckt wurde dieser Satz in einem Brie von C.L. Lehmus an C. Sturm mit der Bitte eingereicht, ihn rein geometrisch zu beweisen. Sturm erwähnte ihn gegenüber einer Anzahl von Mathematikern. Einer der ersten, der die Herausorderung beantwortete, war der berühmte Schweizer Geometer Jakob Steiner. Der Satz wurde daher bezeichnet als der Satz von Steiner und Lehmus. Der Satz lautet wie olgt: Satz von Steiner und Lehmus: Ein Dreieck mit zwei gleich langen Winkelhalbierenden ist gleichschenklig. Beweis des Satzes von Steiner und Lehmus: Um den Satz zu beweisen, benötigen wir zwei Hilssätze (ein Hilssatz bezeichnet man in der Mathematik als Lemma): Lemma 1: Liegen zwei Kreissehnen zwei verschiedenen spitzen Umangswinkeln gegenüber, so gehört der kleinere Winkel zur kürzeren Sehne. Beweis des Lemma 1: Zwei gleich lange Sehnen besitzen gleiche Mittelpunktswinkel und gleiche (halb so große) Umangswinkel. Von zwei Sehnen, die nicht gleich lang sind, liegt die kürzere weiter vom Mittelpunkt enternt, hat einen kleineren Mittelpunktswinkel und olglich auch einen kleineren Umangswinkel. q.e.d

6 Lemma 2: In einem Dreieck mit zwei verschiedenen Winkeln besitzt der kleinere Winkel die längere Winkelhalbierende Beweis des Lemma 2: Sei ABC das Dreieck mit B < C wie in Abbildung 5. Seien BM und CN die Winkelhalbierenden von B und C. Zu zeigen ist, dass BM > CN. 1 Dazu wählen wir M ' au BM, so dass M ' CN = B. Da M ' CN = M ' BN, 2 lieen die vier Punkte N, B, C, M ' au einem Kreis. 1 1 Wegen B < ( B + C) < ( A + B + C) ist CBN < M ' CB < Nach Lemma 1 gilt: CN < M ' B und olglich BM > BM ' > CN. q.e.d. Abb.5 Satz von Steiner und Lehmus Wollen wir nun den eigentlichen Satz beweisen: Einen Sachverhalt ersetzt man ot durch seine Kontraposition, die dem ursprünglichen Satz äquivalent ist. Zum Beispiel kann man anstatt Alle Menschen sind sterblich genauso gut sagen: Unsterbliche sind keine Menschen. Wir ormulieren den Satz von Steiner und Lehmus also etwas um: Es genügt zu zeigen: Satz 2.1: Wenn in dem Dreieck ABC die Winkel in B und C verschieden sind, so gilt BM CN. Dies ist aber eine unmittelbare Folgerung aus Lemma q.e.d. Die Idee, den Satz durch seine verschärte Kontraposition zu ersetzen, erschien in einem Artikel von Victor Thebault, der das Lemma 2 genauso wie oben bewies und dann den Satz 2.1 als Korollar olgerte.

7 3 Abschluss Dieser Artikel sollte euch auch zeigen, dass man viele Sätze indirekt beweisen kann und durch ein so genanntes Lemma schließlich den Satz als Korollar olgern kann. Diese Methode werden wir noch öters anwenden. So mit diesem Artikel melde ich mich zurück von der Deutschen Schülerakademie. Im Laue der Zeit werden nun weitere Artikel über interessante und schöne Sätze aus der Geometrie olgen. Der dritte Teil wird den Satz von Pappus etwas durchleuchten. 4 Literatur Alle Sätze und Beweise habe ich olgendem Buch entnommen: [1] Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Stuttgart, 1983 [2] Euer Florian Modler - 7 -