Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7

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1 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme Kartesisches Koordinatensystem Polarkoordinaten Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten Kartesisches Koordinatensystem des Raumes Kugelkoordinaten 4 2 Lineare Abbildungen Verschiebungen Spiegelungen Drehungen 6 3 Literaturverzeichnis 7

2 Einleitung 2 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme Koordinatensysteme werden in der Computergrafik benötigt zur Beschreibung der Anordnung von Bildelementen. Die Lage und Ausdehnung eines Objekts wird kann damit definiert werden. Die meisten wichtigen Transformationen sind mathematische lineare Abbildungen. Das Drehen, Spiegeln oder Skalieren eines Objekts ist berechenbar mit Hilfe von mathematischen Formeln/der analytischen Geometrie. Da diese für sämtliche Veränderungen an einem Bild eine notwendige Voraussetzung für eine Berechnung sind, sollen hier die einige der mathematischen Grundlagen, die in diesem Zusammenhang eine Rolle spielen, wiederholt werden. 1 Koordinatensysteme Die Voraussetzung für die analytische Darstellung eines geometrischen Objekts ist eine eindeutige Zuordnung zwischen Punkt und Zahl. Das Objekt wird betrachtet als eine Menge von Punkten, mit denen es beschrieben werden kann. Für die Ebene benötigt man ein Zahlenpaar, für den Raum ein Zahlentripel, um einen Punkt eindeutig zu beschreiben. Diese Zahlen nennt man Koordinaten. Sie sind abhängig vom zugrunde liegenden Koordinatensystem. Man kann ein Koordinatensystem bezeichnen als ein System von geometrischen Objekten, mit deren Hilfe die Lage anderer geometrischer Objekte durch Zahlenwerte beschrieben werden kann. So wird ermöglicht, Bewegung, wie zum Beispiel Drehung,Verschiebung oder Spiegelung mit Gleichungen darzustellen und zu berechnen. 1.1 Kartesisches Koordinatensystem Es handelt sich hier um ein rechtwinkliges Koordinatensystem, in dem zwei Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen. Ein beliebiger Punkt P der Ebene kann durch seine Koordinaten P (x, y) beschrieben werden, die jeweils durch die Abstände zu den Geraden gegeben sind. Jeder Punkt der Ebene kann also eindeutig durch einen x- und einen y-wert definiert werden. Benannt ist dieses System samt seinen Koordinaten nach dem französischen Mathematiker Rene Descartes ( ). Abb. 1: Das kartesische Koordinatensystem

3 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme Polarkoordinaten Polarkoordinaten sind bestimmt durch einen festen Punkt, den man als Pol 0 bezeichnet und einer von diesem ausgehenden Achse. Abb. 2: Polarkoordinaten Ein beliebiger Punkt P lässt sich neben den kartesischen Koordinaten auch beschreiben durch seine Polarkoordinaten P(r,φ). Dabei ist r der Abstand des Punktes vom Pol 0 und φ der Winkel, den der Strahl vom Pol 0 durch den Punkt P mit der Polarachse bildet. 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten Ein beliebiges geometrisches Objekt kann in verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben werden. Es gibt also verschiedene mögliche Gleichungen, um dieselben geometrischen Eigenschaften eines Objekts zu beschreiben, Wenn x und y gegeben sind, besteht die Möglichkeit den r und den φ -Wert zu berechnen und umgekehrt. Die Voraussetzung für die Gültigkeit der folgenden Gleichungen ist, dass Pol und Ursprung, sowie Polarachse und Koordinatenachse zusammen fallen. Bei genauerer Betrachtung erkennt man folgende Zusammenhänge, die sich mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen ergeben. Transformationsgleichungen: x = r cos φ, y = r sin φ r =, cos φ = Abb. 3: Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 1.4 Kartesisches Koordinatensystem des Raumes Dieses Koordinatensystem besteht aus drei Achsen, die ein Rechtssystem bilden.jeder Punkt im Raum lässt sich definieren anhand seiner Koordinaten x, y und z.

4 4 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme Wie in der Ebene, so ist auch in diesem Koordinatensystem ein Ursprung festgelegt. Hier gibt es nicht zwei, sondern drei Richtungen, die paarweise aufeinander senkrecht stehen und für alle Richtungen die gleiche Längeneinheit haben Abb. 4: Kartesisches Koordinatensystem 1.5 Kugelkoordinaten Kugelkoordinaten eignen sich besonders zur Darstellung von Flächen, die eine Zentralsymmetrie besitzen oder sich von einem Zentrum aus entwickeln. Ein beliebiger Punkt des Raums kann beschrieben werden durch Kugelkoordinaten: P (r, λ, φ). Diese werden auch als räumliche Polarkoordinaten bezeichnet. r ist der Abstand vom Ursprung und dem Punkt P, λ ist der Winkel zwischen der z-achse und der Strecke, φ ist der Winkel zwischen der x-achse und der Strecke, die eine Projektion von auf die x-y-ebene darstellt. Auch im Raum ist es möglich anhand von kartesischen Koordinaten die räumlichen Polarkoordinaten zu berechnen und umgekehrt. Die Transformationsgleichungen sind: x = r sin λ cos φ y = r sin λ sin φ z = r cos λ Abb. 5: Kugelkoordinaten 2 Lineare Abbildungen Eine Abbildung oder Funktion ist eine Zuordnung, die jeder Zahl x einer gegebenen Zahlenmenge einen Wert y aus einer Wertemenge zuordnet. Funktionen vom Grad 1 heißen linear. Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen eingehen sind Beispiele für lineare Abbildungen. Die Ausgangsgestalt

5 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 5 des Objekts bleibt dabei erhalten. Die Lage eines Punktes kann auch beschrieben werden durch einen Ortsvektor. Ein Vektor ist eine gerichtete und orientierte Strecke und bestimmt durch Richtung, Orientierung und Länge. Der Betrag eines Vektors entspricht seiner Länge. Ein Ortsvektor hat ausserdem die Eigenschaft, dass er in einem Koordinatensytem den Anfangspunkt 0 hat. Sein Betrag bezeichnet also den Abstand eines Punktes vom Ursprung. Jeder Vektor in der Ebene lässt sich als Linearkombination seiner Basisvektoren e 1 und e 2 darstellen. Für die Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix gilt: 2.1 Verschiebungen Bei einer Verschiebung bleibt das Objekt in Form und Ausrichtung erhalten. Jeder Punkt wird parallel verschoben. Ein Punkt P(x, y) wird verschoben. Für den neuen Punkt P (x, y ) gilt: Abb. 6: Verschiebung eines Objekts wobei (a, b) den Vektor bezeichnet, um den verschoben wurde. Zur Berechnug der neuen Koordinaten von P ergeben sich also die Gleichungen x = x + a und y = y + b. Ebenso ist es möglich, dass Koordinatensystem zu verschieben. Bei einer parallelen Verschiebung der Achsen ergeben sich die Gleichungen: x = x + a und y = y`+ b, x`= x - a und y`= y -b. Abb. 7: Translation des Koordinatensytems 2.2 Spiegelungen Bei einer Punktspiegelung kann P zu P berechnet werden mit der Abbildungsmatrix:

6 Die Gleichung für eine Punktspiegelung am Ursprung ist x = -x und y = -y. 6 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme Abb. 8: Punktspiegelung am Urspung Bei einer Achsenspiegelung an der y-achse ergibt sich die Abbildungsgleichung x = x und y = -y und die Abbildungsmatrix: Abb. 9: Spiegelung an der y-achse 2.3 Drehungen Neben der Möglichkeit ein Objekt innerhalb eines Koordinatensystems zu bewegen, kann man, wie am Beispiel der Translation bereits gezeigt, ebenso die Lage des Koordinatensystems verändern. Es ist auch möglich, das Koordinatensystem oder ein Objekt in diesem zu drehen. Gedreht wird um einen Winkel φ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung. Dreht man das Koordinatensytem, so bleibt der Punkt P an dem Ort, wo er ist, hat jedoch in dem gedrehten Koordinatensystem neue Koordinaten. Der Zusammenhang zwischen P(x, y) und P (x, y ) ist wie folgt: x= x cos φ y sin φ x`= x cos φ + y sin φ y = x sin φ + y`cos φ y = -sin φ + cos φ Abb.10: Drehungen Daraus ergibt sich die Drehmatrix D: D = mit = D und

7 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 7 3 Literaturverzeichnis Wolfgang Nolting, Grundkurs: Theoretische Physik 1, Klassische Mechanik Arnfried Kemnitz, Mathematik zum Studienbeginn