Einführung in die Vektorrechnung (GK)

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1 Einführung in die Vektorrechnung (GK) Michel Spielmnn Inhltsverzeichnis Grundlegende Definitionen Geometrische Vernschulichung. Punkte Pfeile Vektoren im Koordintensystem Gerden Ebenen 6 Linere Abhängigkeit 7. zwei Vektoren drei Vektoren Gleichungssysteme 7 7 Länge von Vektoren 8 8 Einheits-Vektoren 8 9 Sklrprodukt 9 9. Orthogonle Vektoren Projektion Länge ls Produkt Normlen-Form Projektionsverfhren zur Abstndsbestimmung

2 Vektoren Grundlegende Definitionen Definition. Eine Zusmmenstellung von n Zhlen, bei denen es uf die Reihenfolge nkommt, heisst n-dimensionler Vektor. Die Zhlen heissen Komponenten des Vektors. Sie können Größen repräsentieren, lso Wrenmengen, Preise, Altersngben... drstellen. Definition. ADDITON/SUBTRAKTION Die Addition von Vektoren geschieht durch Addition der Komponenten. Hier wird eine NEUE Addition durch die beknnte Zhlenddition erklärt. Definition. MULTIPLIKATION mit Zhlen (Sklre Multipliktion ) Mn multipliziert einen Vektor mit einer Zhl, indem mn lle Komponenten mit der Zhl multipliziert. Diese Multipliktion knn mn Vervielfchen nennen. E (/ ), A (, / ) B ( / ) Digonle A+B=E A ( / ) 0, A A (, / ) ( / ) Abbildung : Addieren Abbildung : Vervielfchen Stz. ( RECHENGESETZE für Vektoren ) Kommuttivgesetz A + B = B + A Assozitivgesetz (A + B) + C = A + (B + C) Neutrles Element A + 0 = A Inverses Element A + ( A) = 0 Distributivgesetz r (A + B) = r A + r B (r + s) A = r A + s A Assozitivgesetz (rs) A = r (s A) Neutrles Element A = A Geometrische Vernschulichung. Punkte Einem Vektor entspricht geometrisch vernschulicht ein Punkt im Koordintensystem. Wir nennen die Komponenten dnn Koordinten. Der Menge der Vektoren entspricht eindeutig eine Menge von Punkten. An dieser Stelle können wir mit den bisherigen Mitteln schon Geometrie treiben. Zum Beispiel können wir die Mitte M

3 Vektoren zwischen zwei Punkten A und B bestimmen. X sei ein Vektor mit folgender Eigenschft: M = A + X B = A + X. Dnn gilt X = (B A) M = A + (B A) = A + B = (A + B), ws mn uch erwrten konnte. So hben wir fst den Stz bewiesen, dss sich die Digonlen eines Prllelogrmms hlbieren. Sei zum Beispiel A(/) und B(8/); dnn ist M AB (/), ws mn uch zeichnerisch nchvollziehen knn.. Pfeile Für mnche Anwendungen der Vektorrechnung ist eine Vernschulichung durch Pfeile günstig. Hierbei entspricht jedem Vektor eine Klsse von Pfeilen, die die gleiche Länge und die gleiche Richtung hben. Dem Vektor-Rum entspricht eine Menge von Pfeilklssen mit pssend gewählten Opertionen. Der Punkt-Rum knn nun seinerseits durch Pfeile vernschulicht werden. Jedem Punkt entspricht ein sogennnter Orts-Vektor, ein Pfeil, der den Ursprung mit dem Punkt verbindet. Seine Spitze liegt dbei im Punkt. Die Summe der Vektoren = AB und b = BC ist dnn + b = AC; wir können die Pfeile neinnderhängen, oder wir können die Summe ls resultierende Digonle sehen. b +b Abbildung : Addition von Pfeilen Auch hiermit lässt sich schon Geometrie betreiben. b d c Abbildung : Verbindung der Seitenmitten Betrchten wir zum Beispiel ein beliebiges Viereck gegeben durch vier Vektoren, b, c, d. Die Mittelpunkte der Seiten bilden ein Prllelogrmm! Sei + b = c + d.

4 Vektoren Die Verbindung der Mitten von und b ist ( + b) = ( + b). Die Verbindung der Mitten von c und d ist ( c + d) c = ( c + d) = ( + b). Ein erstunliches Resultt.. Vektoren im Koordintensystem Wenn mn mit Vektoren im Punkt-Rum mit Koordintensystem rbeitet, ergibt sich eine ntürliche Zerlegung des Vektors nch seinen Komponenten. Mn nimmt ls Grundvektoren die in den Koordintenchsen liegenden Vektoren und benutzt die Koordinten ls Vervielfcher. oder zweidimensionl (//7) = (/0/0) + (0//0) + 7 (0/0/) (/) = (/0) + (0/) Oft werden die Koordinten der Vektoren übereinnder ngeordnet und mn schreibt ( ) ( ) ( ) 0 = + 0 (0 / ) ( / ) B ( / ) A+B=E A ( / ) E (/ ) B ( / ) A - B = D D (/ ) A ( / ) ( / 0) Abbildung : Punktrum mit Pfeilen Abbildung 6: Summe Abbildung 7: Differenz Wir wollen bechten, dss wir über die gegenseitige Lge der Koordintenchsen noch nichts festgelegt hben. Die gewöhnlich rechtwinklige Lge ist zunächst nur wegen des Kästchenppiers gewählt worden. Außerdem sind die,,längen der jeweiligen Grundvektoren nicht festgelegt, und sie sind uch nicht notwendig gleich. Gerden D jedem Punkt des Punkt-Rumes genu ein Ortsvektor entspricht, beschreiben wir die Punkte von Gerden durch eine Menge von Ortsvektoren. Vervielfchen verändert nicht die Richtung. g : x = λ stellt eine Ursprungsgerde mit Richtungsvektor dr. Die Spitzen der Ortsvektoren stellen die Gerdenpunkte dr.

5 Vektoren (, / ) ( / ) ( / -) ( / ) ( / ) (0 / ) (, / ) ( / ) ( / 0) Abbildung 8: Ursprungsgerde Abbildung 9: llgemeine Gerde Als Zhlenbeispiel: g : ( ) x = λ y ( ) Dies erinnert n die us der Differentilrechnung beknnte Prmeterform. Wir könnten uch schreiben: x = λ y = λ Um eine beliebige Gerde zu beschreiben, wird vom Punkt X 0 usgehend ngetrgen. g : x = x 0 + λ stellt eine Gerde durch X 0 mit Stützvektor x 0 und Richtungsvektor dr. Als Zhlenbeispiel: g : ( ) x = y oder gnz getrennt nch Koordinten ( ) ( ) + λ x = + λ y = λ Eine Gerde wird festgelegt durch einen Punkt und eine Richtung oder durch Angbe zweier Punkte. Im zweiten Flle wird einer der Ortsvektoren ls Stützvektor ufgefsst; die Differenz der Ortsvektoren ergibt den Richtungsvektor. Beispiel. Gegeben sind die Punkte A(/) und B(/). Als Stützvektor nutzen wir OA = ( ) (, ls Richtungsvektor AB = ( ) ( ) = ). Die Gerde gab ist dnn g AB : x = ( ( ) + λ ) Es ist gnz unproblemtisch, Gerden im dreidimensionlen drzustellen. Die vektorielle Prmeterform wird nur um eine Komponente erweitert. Nur die grphische Drstellung knn schwierig sein. Wir ordnen die Achsen so n, dss die x-achse nch vorne, die y-achse nch rechts und die z-achse nch oben zeigt.

6 Vektoren 6 Beispiel. Gegeben sind die Punkte A(//) und B(//). Als Stützvektor nutzen wir OA =, ls Richtungsvektor AB = =. Die Gerde g AB ist dnn g AB : x = + λ z ( / / ) ( / / ) y x Abbildung 0: Gerde im dreidim. Rum Ebenen Die Erweiterung der Gerdengleichung um eine weitere Richtung führt zur Ebenengleichung. Eine Ebene wird festgelegt durch einen Punkt und zwei Richtungen oder durch Angbe dreier Punkte. Im zweiten Flle wird einer der Ortsvektoren ls Stützvektor ufgefsst; die Differenz der Ortsvektoren ergibt die Richtungsvektoren. Beispiel. Gegeben sind die Punkte A(//) und B(//) und C( //). Als Stützvektor nutzen wir OA =, ls Richtungsvektoren AB = = und AC = =. Die Ebene e ABC ist dnn e ABC : x = + λ + µ Wir können ntürlich nur dnn eine Ebene ufspnnen, wenn der zweite Richtungsvektor wirklich eine ndere Richtung ht ls der erste. 6

7 Vektoren 7 λ b µb Xo X Abbildung : Eine Ebene wird ufgespnnt Linere Abhängigkeit. zwei Vektoren Vervielfchen eines Vektors ändert nicht die Richtung. Wenn lso zwei Vektoren Vielfche voneinnder sind, sind sie prllel. Der Begriff prllel ist ber rein geometrisch und für uns nur im zweidimensionlen oder im dreidimensionlen Rum sinnvoll; in höheren Dimensionen ist er nicht mehr nwendbr. Drüberhinus: wenn Vektoren ls Zusmmenstellung beliebiger Größen ufgefsst werden, ist der Begriff der Prllelität nicht mehr ngemessen. Dher spricht mn von Linerer Abhängigkeit. Will mn us einer gegebenen Richtung hinus, benötigt mn einen Vektor, der nicht Vielfches des gegebenen Vektors ist. Wir nennen zwei Vektoren liner unbhängig, wenn es nicht möglich ist, den einen ls Vielfches des nderen zu schreiben.. drei Vektoren Mit zwei liner unbhängigen Vektoren konnten wir eine Ebene ufspnnen. Eine Linerkombintion zweier unbhängiger Vektoren führt ber nicht us der von den beiden Vektoren ufgespnnten Ebene hinus. Will mn dies erreichen, benötigt mn einen dritten Vektor, der nicht Linerkombintion der beiden ist. Er muss sozusgen us der Ebene hinuszeigen. Wir nennen drei Vektoren liner unbhängig, wenn es nicht möglich ist, wenigstens einen ls Linerkombintion der beiden nderen zu schreiben. 6 Gleichungssysteme Wenn wir mit Vektoren im Koordintensystem rechnen, hben wir oft Gleichungssysteme zu lösen. So ging es bei der Bestimmung gemeinsmer Punkte von Gerden und Ebenen um die Berechnung der pssenden Prmeter. x + b y = 0 x + b y = 0 7

8 Vektoren 8 bezeichnen wir ls homogenes System, bezeichnen wir ls inhomogenes System. x + b y = c x + b y = c Homogene Gleichungssysteme besitzen stets eine trivile Lösung, den Nullvektor. Sie besitzen einzig die trivile Lösung, wenn die Spltenvektoren liner unbhängig sind. 7 Länge von Vektoren Wenn mn die Länge von Vektoren mit Pythgors bestimmen will, benötigt mn ein Crtesisches Koordintensystem. Ds heisst, dss die Achsen mit gleichen Einheiten versehen sind und senkrecht ufeinnder stehen. Streng genommen können wir eine Länge nur im zweidimensionlen oder im dreidimensionlen Rum bestimmen. Definition 7. Die Länge des Vektors ist = Einheits-Vektoren Definition 8. Einheitsvektoren sind Vektoren mit Länge. Einheitsvektoren kennzeichnen wir durch eine hochgesetzte Null, sodss lso o einen Vektor mit Länge und Richtung von beschreibt. Unterscheide BASIS-Vektoren und EINHEITS-Vektoren! Im Crtesischen System sind die Bsisvektoren immer Einheitsvektoren; ber nicht jeder Einheitsvektor ist uch ein Bsisvektor. Die Bsis-Einheits-Vektoren des Crtesischen Systems bezeichnen wir mit e, e, e. Die Bsis schreiben wir ls e, e, e. Wir können in Komponentendrstellung usdrücken: = e + e + e. Oder, wenn e = 0 0, e = 0 0 = e + e + e = e = 0 0 Stz 8. Teilt mn einen beliebigen Vektor durch seine Länge, so entsteht ein Einheitsvektor. 8

9 Vektoren 9 Beweis 8. Wir beweisen dies für den zweidimensionlen Fll. ( ) = = + = + = = Beispiel 8. = b = 0 0 c = d = = = c b = + + = c = = d = = 9 Sklrprodukt Wir erinnern uns n den Cosinusstz: c = + b b cos γ. cos(γ) = + b c b oder usgedrückt mittels der Länge der Vektoren = + b c b = + b b b = b + b + b (b ) (b ) (b ) + + b + b + b ( b + b + b ) = + + b + b + b b + b + b = + + b + b + b Im Nenner stehen die Längen der beiden Vektoren. D der Zähler b + b + b wie ein gemischtes Produkt ussieht, definieren wir ihn ls Produkt der Vektoren. Definition 9. b = b + b + b nennen wir SKALAR-PRODUKT. 9

10 Vektoren 0 Wenn mn die obigen Gleichungen nders uflöst, erhält mn Definition 9. b = b cos(, b) Dies ist zwr eine Folgerung us Definition 9., sie knn ber uch ls Definition des Sklrproduktes benutzt werden. Anmerkung 9. Beim Sklrprodukt ist einiges zu bechten.. Ds Sklrprodukt drf nicht mit Sklrmultipliktion verwechselt werden.. Ds Sklrprodukt ist eine Zhl, kein Vektor.. Ds Vorzeichen des Sklrproduktes hängt vom Winkel b.. Die Definition ls gemischtes Produkt ist sofort uf den zweidimensionlen Rum, j sogr uf jede beliebige höhere Dimension übertrgbr. Aber die Definition mittels cosinus knn nur im zwei- oder im dreidimensionlen Rum sinnvoll sein.. Wir müssen prüfen, ob die neue Verknüpfung von Vektoren den Nmen PRO- DUKT zurecht trägt, ds heisst, ob die üblichen Rechenregeln gelten. 6. Die Benutzung des Sklrproduktes bei der Winkelberechnung ht den Vorteil, dss die Bestimmung des Differenzvektors entfällt. Aus der Definition des Sklrproduktes ergeben sich einige wichtige Folgerungen. 9. Orthogonle Vektoren Stz 9. Sei 0 b; dnn gilt b = 0 b Beweis 9. b = b cos(, b) = 0, dnn muss cos(, b) = 0 sein. Ds bedeutet ber, dss der Winkel 90 oder 70 beträgt. Andererseits ist ntürlich ds Produkt gleich 0, wenn der Winkel 90 beträgt, d dnn cos 90 = 0. Es gilt lso nicht der us der Zhlen-Algebr beknnte Stz, dss mindestens ein Fktor Null ist, wenn ds Produkt Null ist! 9. Projektion Stz 9. Die Länge der senkrechten Projektion von uf b sei b. Dnn gilt b = b = b 0 b Die Projektion uf einen Einheitsvektor ist ds Produkt mit diesem Einheitsvektor. Beweis 9. über Definition von Cosinus m rechtwinkligen Dreieck: b = cos γ = b b cos γ = b = b 0 b 0

11 γ Vektoren b b 9. Länge ls Produkt Abbildung : Projektion Stz 9. = Beweis 9. ist sofort klr, wenn mn bedenkt, dss der eingeschlossene Winkel 0 beträgt. Anmerkung 9. Die Längenberechnung über Pythgors ist ein Spezilfll der Produktbildung! 9. Normlen-Form Mit Hilfe des Sklrproduktes können wir Gerden und Ebenen uf ndere Art beschreiben. Die Gleichung ( x x 0 ) n = 0 beschreibt im Zweidimensionlen eine Gerde, im Dreidimensionlen eine Ebene; dbei ist x 0 der Stützvektor, n ein zu der Gerde/Ebene senkrechter sogennnter Normlen-Vektor. Wir multiplizieren eine Prmeterform mit dem Normlenvektor, um die Normlenform herzuleiten. x = x 0 + λ + µ b x n = x 0 n + λ }{{ n } + µ b n }{{} =0 =0 x n x 0 n = 0 x n = x 0 n Benutzt mn sttt n einen Normlen-Einheitsvektor n 0, so erhält mn die HESSE- Form, flls x 0 n 0 0 ist. Dieses Produkt gibt den Abstnd der Gerde/Ebene vom Ursprung n. 9. Projektionsverfhren zur Abstndsbestimmung Den Abstnd Punkt/Gerde (-dim.) oder Punkt/Ebene (-dim.) bestimmen wir, indem wir die Differenz von Punkt und Stützvektor uf den Einheitsnormlenvektor projizieren. d(p, g) = ( p x 0 ) n 0 Ds erinnert n Hesse! Den Abstnd zweier prlleler Gerden g, g bestimmen wir wie beim Abstnd Punkt/Gerde (-dim.) oben mit P g, d(p, g )

12 Vektoren n b Xo X Abbildung : Normlenform Abstnd von P zu g Normle p-xo P Gerde xo p Ursprung Abbildung : Abstnd ls Projektion Für den Abstnd windschiefer Gerden (im -dim. Rum) bestimmen wir einen gemeinsmen Lotvektor und projizieren die Differenz der Stützvektoren uf den Einheitslotvektor.