Zusammenfassung Math1I HS2012 Mathematische Grundlagen der Informatik 1

Transkript

1 Zusammenfassung MathI HS22 Mathematische Grundlagen der Informatik Emanuel Duss 22. Januar 23

2 Mathematische Grundlagen der Informatik Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Aussagenlogik 5. Aussage Junktoren Wahrheitstabelle Beispiel Hinreichend und notwendig Aussagenlogische Formeln Normalform Negationsnormalform Verallgemeinerte Konjunktion Disjunktive Normalform Verallgemeinerte Disjunktion Konjunktive Normalform Aussageformen und Prädikate Quantoren Natürliche Zahlen Beweisen 2. Allgemeine Beweistechniken Direkter Beweis Indirekter Beweis Vollständige Induktion Induktionsanfang / Induktionsverankerung Induktionsschritt Rekursionen Direkte Angabe Rekursive Angabe Mengen, Relationen, Abbildungen 4 3. Mengen, Teilmengen, Potenzmengen Vereinigung und Durchschnitt Schreibweise Gesetze Komplement und Differenz Venn-Diagramm Kartesische Produkte Relationen Abbildungen Mächtigkeit von Mengen Emanuel Duss

3 Mathematische Grundlagen der Informatik Inhaltsverzeichnis 4 Vektoren und Vektorräume 8 4. Begriffe Vektoren Vektoren aus zwei Punkten berechnen Matrix, Matritzen Rang Dimension Linearkombination Lineare Abhängigkeit Erzeugendensystem Basis Einheitsbasis Rechnen mit Vektoren Weitere Rechenregeln für Vektoren Matrix mal Vektor Lineare Gleichungssysteme Begriffe Erweiterte Koeffizientenmatrix Gauss-Algorithmus / Gauss-Elimination Lösungsmengen Lösen eines inhomogenen Gleichungssystems Geraden und Ebenen Definition Punkt auf Gerade Schnittpunkt zweier Geraden im R Norm und Skalarprodukt Betrag eines Vektors (Länge) Normalenvektor Skalarprodukt Normalenform der Geraden / Ebenen Richtungsvektor einer Gerade Normalenform im R Ebene aus 3 Punkten Punktrichtungsform in Normalenform Koordinatenform zu Normalenform Hessesche Normalenform Ebene Parameterform Koordinatengleichung einer Ebene Normalenform Hessesche Normalenform Ebene bestimmen Emanuel Duss 2

4 Mathematische Grundlagen der Informatik Inhaltsverzeichnis 4.9 Basen und Koordinaten Matrizen Rechenregeln für Matrizen Multiplikation Multiplikation mit einem Skalar Matrix-Multiplikation Matrizen und ihre Inversen Invertierende einer 2x2 Matrix mit der Determinante berechnen 37 6 Lineare Abbildungen Koordinaten und Transformation Abbildungsmatrix bestimmen Determinanten Determinante einer 2x2 Matrix Determinante der invertierten Matrix Regeln für das Rechnen mit Determinanten Determinante einer 3x3 Matrix Determinante einer n m Matrix Determinante einer n m Matrix (einfach) Laplacescher Entwicklungssatz Die Cramersche Regel Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte Eigenvektor Kanonische Basis zu Eigenvektoren Berechnung der Eigenvektoren Varia Ist Teiler von Summenformel Produkteformel Lösungsformel Quadratische Gleichungen Diese Zusammenfassung basiert auf der Vorlesung und auf dem Skript von Mathematische Grundlagen der Informatik der HSR vom Herbstsemester 22. Emanuel Duss 3

5 Mathematische Grundlagen der Informatik Inhaltsverzeichnis CC BY-SA by Emanuel Duss Emanuel Duss 4

6 Mathematische Grundlagen der Informatik Aussagenlogik Aussagenlogik. Aussage Eine Aussage ist ein Satz, welcher entweder falsch oder wahr ist..2 Junktoren Negation (nicht): Wahr, wenn die Aussage falsch ist. Konjunktion (und): Wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Disjunktion (oder): Wahr wenn eine der beiden Aussagen wahr ist. Implikation (wenn... dann): Beispiel: A B Wenn Aussage A gilt, dann gilt auch Aussage B. Das heisst: Nur falsch, wenn A wahr und B falsch ist. Äquivalenz (genau dann, wenn... ) Beispiel: A B Wahr, wenn A und B den gleichen Wahrheitswert besitzen. NAND (Zusammengesetzt aus NOT (nicht, ) und AND (und )) Alle Junktoren können durch das NAND ausgedrückt werden Beispiel: A B (A B) sowie A A A sowie A B (A B) (A B) sowie A B (A A) (B B) Emanuel Duss 5

7 Mathematische Grundlagen der Informatik Aussagenlogik.3 Wahrheitstabelle Nicht Und Oder Implikation Äquivalenz NAND A B A ( A) A B A B A B A B A B w w f w w w w w f w f f w f w f f w f w w f f w w f w f f w f f f w w w In der Wahrheitstabelle gilt: w = wahr und f = falsch. Eine Aussage, die in jeder Zeile der Wahrheitstafel falsch ist, heisst Kontradiktion..3. Beispiel ( (A B) (B A) ) A B A B A B 3 B A A B 8 9 w w w f w f w f w w w f f w w f f w f f f w w f f w w f f w f f w f w f w f f w.4 Hinreichend und notwendig Die Implikation A B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr. A ist eine hinreichende Bedingung für B. A kann nicht wahr sein, wenn B falsch ist. B ist eine notwendige Bedingung für A..5 Aussagenlogische Formeln Kommutativität A B B A und A B B A Assoziativität A (B C) (A B) C und A (B C) (A B) C Emanuel Duss 6

8 Mathematische Grundlagen der Informatik Aussagenlogik Distributivität A (B C) (A B) (A C) und A (B C) (A B) (A C) Satz de Morgan (A B) A B und (A B) A B Aufeinanderfolgende Implikationen Wenn A B und B C kann man auch schreiben (A B C) (A B) (B C). Verschmelzungsgesetz A (A B) A und A (A B) A Bei der Elimination von Klammern sind dies die Prioritäten:. Klammern ((... ), [... ], {... }) 2. Negation ( ) 3. Konjunktion ( ) und Disjunktion ( ) 4. Implikation ( ) und Äquivalenz ( ).6 Normalform Eine Vollkonjunktion ist ein boolescher Ausdruck, in dem alle Variablen genau einmal vorkommen und durch (konjunktiv) oder (disjunktiv) verbunden sind. Dabei dürfen die Variablen auch negiert auftreten. Das wird an folgendem Beispiel gezeigt: X Y Z C w w w f w w f f w f w w w f f w f w w w f w f w f f w f f f f w Emanuel Duss 7

9 Mathematische Grundlagen der Informatik Aussagenlogik.6. Negationsnormalform Bei der Negationsnormalform dürfen Negationen ( ) nur direkt vor einer Variable (und nicht vor einer Klammer) stehen: (A B) A B.6.2 Verallgemeinerte Konjunktion Alle Variabeln werden mit der Konjunktion ( ) verbunden. Die einzelnen Variabeln liegen dabei immer in der Negationsnormalform vor: X Y Z.6.3 Disjunktive Normalform Die disjunktive Normalform ist eine Verbindung der verallgemeinerten Konjunktionen mit einer Disjunktion ( ). Dabei werden die wahren Werte der Wahrheitstabelle ausgewertet. (X Y Z) (X Y Z) ( X Y Z) ( X Y Z) ( X Y Z).6.4 Verallgemeinerte Disjunktion Alle Variabeln werden mit der Disjunktion ( ) verbunden. Die einzelnen Variabeln liegen dabei immer in der Negationsnormalform vor: X Y Z.6.5 Konjunktive Normalform Die konjunktive Normalform ist eine Verbindung von verallgemeinerten Disjunktion mit einer Konjunktion ( ). Dabei werden die falschen Werte der Wahrheitstabelle ausgewertet. A (X Y Z) (X Y Z) ( X Y Z) Daraus macht man noch die Negationsnormalform (mit dem Satz de Morgan): A ( X Y Z) ( X Y Z) (X Y Z) Jetzt hat man in den Klammern die verallgemeinerte Disjunktion und A liegt in der konjunktiven Normalform vor. Emanuel Duss 8

10 Mathematische Grundlagen der Informatik Aussagenlogik.7 Aussageformen und Prädikate Der Wahrheitswert einer Aussageform hängt von einer oder mehreren Variablen ab. Aussageformen sind unbestimmt, weil nicht klar ist, welcher Wert für eine Variable eingesetzt wird. Der Wert, welcher für eine Aussageform eingesetzt wird, heisst Subjekt. Ein Subjekt kann zulässig (Aussage ist wahr oder falsch) oder unzulässig (Aussage ist nicht auswertbar) sein. Aussagen und Aussageformen bestehen aus dem Subjekt (Variable) und dem Prädikat (Beschreibung, Eigenschaft)..8 Quantoren Der Allquantor ( ) sagt, dass eine Aussage für alle Elemente gelten soll. Der Existenzquantor ( ) sagt, dass eine Aussage für mindestens ein Element gelten soll. Gibt es einen Quantor, sind die Variabeln nicht mehr frei wählbar, sondern an den Quantor gebunden. Das wird an folgendem Beispiel erläutert: R(x) : Der Weg x aus der Menge W aller Wege führt nach Rom. Alle Wege führen nach Rom: x W : R(x) Nicht alle Wege führen nach Rom: x W : R(x) x W : R(x) Kein Weg führt nach Rom: x W : R(x) Alle Wege führen nicht nach Rom: x W : R(x) Wenn nicht alle Wege nach Rom führen, gibt es mindestens einen Weg, der Nicht nach Rom führt: ( x W : R(x)) x W : R(x) Man kann aber nichts darüber aussagen, ob überhaupt ein Weg nach Rom führt. Emanuel Duss 9

11 Mathematische Grundlagen der Informatik Aussagenlogik.9 Natürliche Zahlen Null ist eine natürliche Zahl und jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger (ausser der Null). Wir können die Nachfolger von n mit s(n) darstellen: Das kann später noch nützlich sein., s(), s(s()), s(s(s())),... Emanuel Duss

12 Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Beweisen 2 Beweisen 2. Allgemeine Beweistechniken Wir haben folgende Voraussetzung: a R, b R, a >, b > Folgende Behauptung soll geprüft werden: a 2 < b 2 a < b Dabei ist A : a 2 < b 2 und B : a < b und C : (A B) 2.. Direkter Beweis Behauptung wird anhand allgemein geltenden Grundlagen abgeleitet und man versucht die Aussage A(n) B(n) direkt zu zeigen. Ist, dann ist was bedeutet. a 2 < b 2 < b 2 a 2 < (b + a)(b a) b > a 2..2 Indirekter Beweis Um zu zeigen wenn A, dann B gilt, können wir auch sagen wenn nicht b, dann auch nicht a. (A B) ( B A) 2.2 Vollständige Induktion Folgende Formel ist zu beweisen: S(n) : n k = n (n + ) 2 k= Emanuel Duss

13 Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Beweisen 2.2. Induktionsanfang / Induktionsverankerung Man prüft die Formel für die erste Zahl der Reihe. In unserem Fall ist das n = : n = : Die Summenformel git also für n =. k = = ( + ) = 2 k= Induktionsschritt a) Induktionsannahme Das ist die ursprüngliche Formel: S(n) : n k= k = 2 n (n + ) b) Induktionsbehauptung Man geht davon aus, dass die Formel auch für die darauf folgende Zahl gilt. Deshalb erhöhnt man n überall um : n+ S(n + ) : k = (n + ) (n + 2) 2 k= (Quasi s/n/n+/g) Die Induktionsbehauptung ist jetzt mit dem Induktionsbeweis zu beweisen. c) Induktionsbeweis Dann muss man die linke Seite der Induktionsbehauptung nehmen und in zwei Summen Teilen, damit man die Induktionsannahme einsetzen kann: n+ k = k= ( n k k= ) + n + Das n + auf der Rechten Seite kommt vom linken Summenzeichen. Das n +, bedeutet noch ein k (von der nächsten Zahl) dazu addieren. Dann setzt man die Induktionsannahme beim Summenzeichen nach dem Gleichheitszeichen ein: n+ k = 2 n (n + ) + (n + ) k= Multiplizieren und 2 ausklammern: n+ k = 2 (n2 + n + 2n + 2) = 2 (n2 + 3n + 2) k= Emanuel Duss 2

14 Mathematische Grundlagen der Informatik 2 Beweisen Klammern als Produkt schreiben: n+ k = (n + ) (n + 2) 2 k= Somit ist man wieder bei der gleichen Formeln der Induktionsbehauptung. 2.3 Rekursionen Eine Reihe ist eine Summe von Folgegliedern ( ). Eine Folge ist eine Menge von Zahlen, in spezieller Reihenfolge: (a k ) k...n := (a, a, a 2,..., a n, a n ) (a k ) n N := (a, a, a 2, a 3, a 4,...) 2.3. Direkte Angabe Man kann für jedes Folgeglied angeben, wie es berechnet wird: a n = 2 n a = 2; a 2 = 4; a 3 = 8, Rekursive Angabe Man gibt das erste Folgeglied an, sowie eine Rekursionsformel, wie man das nächste Glied berechnet. a = und a n = a n 2 a = 2; a 2 = 4; a 3 = 8,... Emanuel Duss 3

15 Mathematische Grundlagen der Informatik 3 Mengen, Relationen, Abbildungen 3 Mengen, Relationen, Abbildungen 3. Mengen, Teilmengen, Potenzmengen Mengen: {5, 23, 42} oder {, 4, 9, 6, 25,...} oder {x N x 2 = } Teilmenge/Inklusion: A ist Teilmenge von B: A B (Ganz A ist enthalten in B) Leere Menge: oder {} (Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge!) Mächtigkeit oder Kardinalität M : Anzahl der Elemente: Ist M = {a, b, c}, dann ist M = 3 Potenzmenge P(M): Menge aller Teilmengen von einer Menge M: Die Kardinalität der Potenzmenge ist zwei hoch der Kardinalität der Ausgangsmenge: Ist die Menge M = {a, b}, dann ist die Potenzmenge P(M) = {{}, {a}, {b}, {a, b}} ( P(M) = 2 2 = 4) 3.2 Vereinigung und Durchschnitt 3.2. Schreibweise Vereinigung: A B = {x x A oder x B} Durchschnitt / Schnittmenge: A B = {x x A und x B} Differenz: A\B = {x x A und x / B} = A B Komplement: A = {x x / A} Gesetze Idempotenzgesetz A A = A und A A = A Kommutativität A B = B A und A B = B A Emanuel Duss 4

16 Mathematische Grundlagen der Informatik 3 Mengen, Relationen, Abbildungen Assoziativität A (B C) = (A B) C = A B C und A (B C) = (A B) C = A B C Distributivität A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C) Verschmelzungsgesetz A (A B) = A und A (A B) = A Kürzen (A B) (A B) = B und (A B) (A B) = B Zusammenhang der Inklusion/Teilmenge mit der Vereinigung und Durchschnitt: A B (A B) = A (A B) = B A B, B C A C 3.3 Komplement und Differenz Das Komplement kann man mit der Menge A und B und der Obermenge M beschreiben: A = {x M x / A} A B = A B A A B C = A (A B C) = (A A) (B C) = {} Bei der Differenz gilt folgendes: A\B = {a A a / B} A\B = A B A\(A\B) = A\(A B) = A (A B) = A (A B) = (A A) (A B) = {} 3.4 Venn-Diagramm In einem Venn-Diagramm können die Mengen grafisch dargestellt werden. Emanuel Duss 5

17 Mathematische Grundlagen der Informatik 3 Mengen, Relationen, Abbildungen 3.5 Kartesische Produkte Im Gegensatz zu den Mengen spielt bei den Kartesischen Produkten die Reihenfolge der Elemente eine Rolle. Ein geordnetes Paar nennt sich auch 2-Tupel und ist wie folgt definiert: (a, b) = (a, b ) a = a und b = b Das Kartesische Produkt von zwei Mengen A und B wird definiert als Menge aller geordneten Paare, deren erste Komponente aus der Menge A stammt und die zweite Komponente aus der Menge B: A B = {(a, b) a A, b B} Dasselbe gilt auch für Kartesische Produkte mit drei Faktoren: A B C = {(a, b, c) a A, b B, c C} Dasselbe gilt auch für Kartesische Produkte mit beliebig vielen Faktoren: A A 2... A n = {(a, a 2,..., a n ) a i A i für i =,..., n} Sind alle Faktoren gleich, kann man die Potenzschreibweise verwenden: A n = A A... A }{{} n Faktoren 3.6 Relationen Eine n-stellige Relation R zwischen den nichtleeren Mengen A, A 2,..., A n ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes A. n A i = A i A i... A i i= R A = n A i i= Emanuel Duss 6

18 Mathematische Grundlagen der Informatik 3 Mengen, Relationen, Abbildungen 3.7 Abbildungen Injektiv: Jedem Element der Definitionsmenge wird ein anderes Element der Zielmenge zugeordnet. Surjektiv: Jedem Element der Definitionsmenge wird ein Element der Zielmenge zugeordnet und alle Elemente der Zielmenge werden mindestens einmal erreicht. Bijektiv (Injektiv und Surjektiv): Jedem Element der Definitionsmenge wird ein anderes Element der Zielmenge zugeordnet und alle Elemente der Zielmenge werden erreicht. 3.8 Mächtigkeit von Mengen Zwei Mengen A und B heissen gleich mächtig, wenn es eine bijektive Abbildung von A nach B gibt. Emanuel Duss 7

19 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume 4 Vektoren und Vektorräume 4. Begriffe 4.. Vektoren Einen n-tupel (x, x 2, x 3,..., x n ) aus dem R n kann als Vektor dargestellt werden: x x 2 x n = x 3. x n 4..2 Vektoren aus zwei Punkten berechnen Der Vektor von Punkt Q = (3, ) bis P = (, 3) berechnet sich so: ( ) ( ) ( ) P Q QP = 3 4 = = P 2 Q 2 ( 3) Matrix, Matritzen Eine n m Matrix oder eine Matrix vom Typ (n, m) hat n Zeilen und m Spalten, wird mit einem Grossbuchstaben beschrieben und sieht so aus: a a 2 a 3... a m a 2 a 22 a a 2m A =.... a n a n2 a n3... a nm Die Zahlen heissen Koeffizienten und werden mit zwei Indizes geschrieben. Der erste ist der Zeilenindex (n), der zweite ist der Spaltenindex (m). Quadratische Matrix: Eine Matrix ist quadratisch, wenn n = m ist. Die quadratische Matrix hat also gleich viele Spalten wie Zeilen: 2 3 M = Emanuel Duss 8

20 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume Diagonalmatrix: Eine Diagonalmatrix ist quadratisch und zudem alle Koeffizienten ausser die Diagonale: 5 23 M = Einheitsmatrix: Eine Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix, welche aus lauter besteht: M = Dreiecksmatrix: Eine (obere) Dreiecksmatrix ist eine Diagonalmatrix, in welcher oberhalb der Diagonale nicht aus Nullen besteht: M = Rang Anzahl Zeilen der Matrix A, die bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Gauss-Algorithmus nicht zu Nullzeilen werden. Die Matrix 5 M = 23 hat also den Rang Dimension Die Anzahl der Elemente einer Basis heisst die Dimension des Vektorraums, kurz dim(v). Die Elemente der Basis werden gebraucht, um den Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems zu bestimmen (die linear abhängigen Vekoren durch die linear unabhängignen Vektoren berechnen). dim(lös(a, )) = n Rg(A) n steht für Anzahl Unbekannte. Emanuel Duss 9

21 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume 4..6 Linearkombination Alle Linearkombinationen einer Menge von Vektoren bilden einen Vektorraum Aus einem linear unabhängigen Erzeugendensystem lässt sich kein Vektor weglassen, ohne den erzeugten Vektorraum zu verkleinern Einige Vektoren (linear abhängige) lassen sich als Linearkombinationen von anderen Vektoren darstellen 2 v = Die Polynome q = x 2 +, q 2 = x 2 + x + 2 und q 3 = x + 2 als Linearkombination von, x und x 2 darstellen: 2 2 Gauss: 2 2 Somit ist = q q 2 + q 3, x = 2q + 2q 2 q 3 und x 2 = q 2 q 3. Jetzt kann man auch das Polynom p = 7x 2 x 2 als Linearkombination von q, q 2 und q 3 darstellen: p = 7(q 2 q 3 ) ( 2q + 2q 2 q 3 ) 2 (q 3 q 2 + q ) 4..7 Lineare Abhängigkeit Vektoren sind linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen Vektoren darstellen lässt (sie dürfen also z. B. nicht in die selbe Richtung zeigen.) Das heisst, dass Vektoren linear unabhängig sind, wenn aus λ v + λ 2 v λ n v n = folgt, dass λ = λ 2 =... = λ n = Wenn es nach der Gauss-Elimination Nullzeilen gibt, sind die Vektoren linear abhängig (= nicht linear unabhängig). Es gibt nur so viele linear unabhängige Vektoren, wie es keine Emanuel Duss 2

22 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume Nullzeilen gibt (=Rang): M = Die fünf Vektoren (= Spalten der Matrix) sind linear abhängig Rg(M) = 2 (Nur zwei der fünf Vektoren sind linear unabhängig) dim(m) = 3 x = x 3 x 5 x 2 = 2x 3 3x 4 4x 5 Die Komponenten x 3, x 4 und x 5 werden gewählt und erhält: 2 v =, v 3 2 =, v 4 3 = 4..8 Erzeugendensystem Ein Erzeugendensystem E spannt eine Ebene / einen Raum der Dimension n auf: E = { v, v 2,..., v n } Die Vektoren v bis v n müssen nicht zwingend linear unabhängig sein Basis Eine Basis B ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren B = { b, b2,..., bn }, welche einen Vektorraum V aufspannen. Jeder Vektor x V besitzt eindeutige Koordinaten x, x 2,..., x n bezüglich der Basis B. Das heisst x = x b + x 2 b x n bn ist eindeutig. Die Vektoren v bis v n sind zwingend linear unabhängig. Keiner der Vektoren ist also ein Vielfaches eines anderen Vektoren. Rausfinden ob Polynome eine Basis bilden: Polynome als Matrix schreiben und mit dem Gauss-Algorithmus auf Stufenform bringen. Sind diese linear unabhängig (keine Nullzeile), bilden die Polynome eine Basis des Vektorraums. Emanuel Duss 2

23 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume 4.. Einheitsbasis Da es unendlich viele Basen eines Vektorraums gibt, hat man die Einheitsbasis B E = { e, e 2,..., e n } definiert. Die Einheitsbasis / Normalbasis / kanonische Basis besteht aus Einheitsvektoren, die linear unabhängig sind: B E = e =, e 2 =, e 3 =,..., e n =.... Daraus erkennt man, dass der Betrag e i immer ist. Beim Skalarprodukt von zwei Einheitsvektoren der Normalbasis gilt { wenn e i = e j e i e j = wenn e i = e j 4.2 Rechnen mit Vektoren Vektoren können addiert werden: x n + y n = x x 2. x n + y y 2. y n = x + y x 2 + y 2. x n + y n Vektoren können multipliziert werden: 23 x = 23 x x 2. x n = Der Definitionsbereich wird mit x n R n angegeben. 23 x 23 x x n 4.2. Weitere Rechenregeln für Vektoren ist das neutrale Element: v + = v Emanuel Duss 22

24 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume v ist das inversive Element: v + ( v) = Es gilt die Assoziativität: ( u + v) + w = u + ( v + w) Es gilt die Kommutativität: u + v = v + u Man kann Skalarkörper (s) ausmultiplizieren oder ausklammern: s( u + v) = s u + s v Matrix mal Vektor Eine Matrix kann mit einem Vektor multipliziert werden (Zeile der Matrix Spalte vom Vektor): a a 2 a 3 x a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b A x = b = a 2 a 22 a 23 x 2 = a 2 x + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 3 a 32 a 33 x 3 a 3 x + a 32 x 2 + a 33 x 3 b 3 Zudem gilt folgendes Gesetz: A ( v + w) = A v + A w 4.3 Lineare Gleichungssysteme 4.3. Begriffe Ein lineares Gleichungssystem ist homogen, wenn die rechte Seitefür alle Gleichungen = ist. Ein lineares Gleichungssystem ist inhomogen, wenn die rechte Seite nicht immer = ist. Spezielle Lösung = Rückwärts einsetzen; allgemeine Lösung = Rechte Seite gleich Null Erweiterte Koeffizientenmatrix Das (inhomogene) Gleichungssystem 2x x 2 2x 3 = () x + 2x 2 + 3x 3 = 3 (2) 3x x 3 = 3 (3) Emanuel Duss 23

25 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume kann auch als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben werden: Gauss-Algorithmus / Gauss-Elimination Mit der Gauss-Elimination macht man die Zahlen links unter der Diagonale der erweiterten Koeffizientenmatrix zu Nullen. Dabei darf man folgende Aktionen durchführen: Zeilen vertauschen: gibt keine Probleme Spalten vertauschen: ok, aber beim Lösungsvektor wieder zurücktauschen! Multiplikation einer Gleichung mit einem Skalar Addition einer Gleichung zu einer anderen Gleichung Nach den Umformungen kann das so aussehen: Durch rückwärts Einsetzen kann man jetzt eine Lösung bestimmen: x 3 sieht man in der untersten Zeile, also ist x 3 =. Jetzt setzt man x 3 in der zweiten Zeile ein, das ergibt x 2 = 2. Dasselbe macht man für x und man erhält folgenden Vektor: x = Setzt man diese Lösung ins erste Gleichungssystem ein, sieht man, dass es mit diesen Lösungen funktioniert. Die Lösung ist auch für alle Vielfachen der Lösung gültig Lösungsmengen Ein Gleichungssystem kann keine Lösung haben: x + x 2 = (4) x + x 2 = 2 (5) Emanuel Duss 24

26 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume Oder unendlich viele: x + x 2 = 2 Dabei ist die Lösungsmenge für x = t und x 2 = 2 t. Ist die letzte Zeile eine Nullzeile, gibt es auch unendlich viele Lösungen: Eine spezielle Lösung gibt es durch Rückwärtseinsetzen mit x 3 = x 2 = 2 =. Das ist der Aufhänger: v = 2 Die allgemeine Lösung ergibt sich dadurch, dass man die rechte Seite gleich Null setzt: Die dritte Zeile ist eine Nullzeile. Die zweite Zeile heisst 3x 2 + 4x 3 =. Das hat unendlich viele Lösungen, z. B. x 2 = 4 und x 3 = 3. Dann folgt aus der ersten Zeile wegen x 2x 2 3x 3 =, dass x = ist. Eine Lösung des homogenen Systems ist also: r = Alle Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems ergeben sich als Summe einer speziellen Lösung des inhomogenen Gleichungssystems plus alle Lösungen des homogenen Gleichungssystems: Lösung(A, b) = x R3 x = λ 4 3, λ R Lösung = Spezielle Lösung + λ allgemeine Lösung, λ R Lösen eines inhomogenen Gleichungssystems Inhomogene Gleichungssysteme haben die Rechte seite immer = und besitzen eine spezielle und eine allgemeine Lösung. Emanuel Duss 25

27 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume Das Gleichungssystem ergibt die Koeffizientenmatrix x + x x 3 = 4 (6) 2 x + x 2 x 3 = 5 (7) 3 x + 2 x x 3 = (8) Nach der Gauss-Elimination hat man folgende Matrix: Daher ist x 3 =. Somit ist x 2 = 3 und x = 4 3 = 9. Das ist die spezielle Lösung. Die allgemeine Lösung erhält man, wenn man x 3 = und die rechte Seite überall auf setzt. Dann bekommt man x 2 = 7 und x 3 = 4. Die Lösungsmenge ist schlussendlich: Lösung(A, b) = x R3 x = λ 4 7, λ R Lösung = Spezielle Lösung + λ allgemeine Lösung, λ R Wichtig: Hat man mehrere Nullzeilen, so muss für jede Nullzeile das entsprechende x n auf (und deas andere auf ) gesetzt werden und die Lösungsmenge erweitert sich dann um einen Faktor mal die allgemeine Lösung von diesem x n. 4.4 Geraden und Ebenen 4.5 Definition Die Gerade G : p = a + s r ist definiert durch den Aufhänger a, den Skalar/Parameter s und den Richtungsvektor r. Emanuel Duss 26

28 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume 4.5. Punkt auf Gerade Um zu prüfen, ob ein Punkt B auf einer Geraden g liegt, setzt man die Gerade g mit dem Punkt B gleich und löst das Gleichungssystem Schnittpunkt zweier Geraden im R 3 Um den Schnittpunkt der Geraden g und g 2 im R 3 festzustellen, setzt man diese gleich. Die Geraden heissen: 5 2 g : p = 2 + s und g 2 : q = + t Jetzt setzt man die zwei Geraden gleich: s 5 = t Die Aufhänger kann man addieren und auf die rechte Seite nehmen. Die Richtungsvektoren kommen auf die linke Seite. 5 2 s t 2 = Daraus folgt das Gleichungssystem (Vorsicht mit den Vorzeichen!), welches man lösen kann: Da in der ersten Spalte s und in der zweiten Spalte t ist (da das Gleichungssystem so aufgestellt wurde), kommt man auf t = 2 und s =. Jetzt kann man s oder t in g bzw. g 2 einsetzen und man erhält den Schnittpunkt S = ( 4, 3, ). Ist das Gleichungssystem nicht lösbar (Rang(A, b) > Rang(A)), gibt es keinen Schnittpunkt. Die Geraden sind dann windschief. 2 Emanuel Duss 27

29 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume 4.6 Norm und Skalarprodukt 4.6. Betrag eines Vektors (Länge) Der Betrag eines Vektors, also die Länge, rechnet sich wie folgt: v = n v 2 i i= Der Betrag vom Vektor u aus dem R 3 ist also: u = 2 2 = = = 9 = 3 Der Abstand zweier Vektoren ist der Betrag der Differenz der beiden Vektoren. Der Abstand zwischen ( ) ( ) ) 2 3 u = und v = ist u + v = 4 ( = = Bei den Beträgen gelten folgende Rechenregeln: Ist der Betrag eines Vektors, ist der Vektor der Nullvektor: v = v = r v = r v Dreiecksungleichung: v + v 2 v + v Normalenvektor Ein Normalenvektor ist ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) auf einem Vektor, einer Geraden, einer Kurve, einer Fläche oder einer Ebene steht. Meistens wird der Normalenvektor zu einer Ebene gesucht. Für einen Normalenvektor ist einzig die Richtung entscheidend, daher gibt es jeweils beliebig viele Lösungen. Das Skalarprodukt zwischen dem Vektor v und dem Normalenvektor n v ist gleich. Der Normalenvektor zu einem Vektor: 2 aus v = 2 3 ergibt sich n v = 4 Emanuel Duss 28

30 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume Trick: v und v 2 auf vertauschen und eines davon mit multiplizieren. Die restlichen v n auf Null setzen! Der Normalenvektor zu einer Ebene (Ebene ist in Parameterform): s r r 2 E : v = s 2 + λ r 2 + µ r 22 s 3 r 3 r 23 Normalenvektor: n v = r r Skalarprodukt Das Skalarprodukt ist das Produkt der Beträge zweier Vektoren mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Man erhält eine reelle Zahl. u v = u v cos (φ) Das Skalarprodukt im R n kann auch anders berechnet werden (ohne Kosinus): u v = n u i v i i= Das Skalarprodukt von den beiden Vektoren u und v aus dem R 3 mit ist also u = und v = 3 4 u v = ( 4) = Ist das Skalarprodukt =, stehen die Vektoren senkrecht zueinander! Der Winkel der beiden Vektoren lässt sich mit folgender Formel berechnen: ( ) u v φ := arccos u v Ist u v = u v, so ist cos(φ) = und somit der Winkel φ =. Diese Vektoren nennt man kollinear. Beim Skalarprodukt gelten folgende Rechenregeln: Grösser gleich Null: v v Emanuel Duss 29

31 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume Nullvektor: Ist v v =, dann ist v = Assoziativität (r R): (r u) v = r ( u v) Distributivität: ( u + u 2 ) v = u v + u 2 v Kommutativität: u v = v u 4.7 Normalenform der Geraden / Ebenen Der Normalenvektor n steht senkrecht zu einer Gerade g. Da das Skalarprodukt bei zwei senkrecht stehenden Vektoren ist, kann man die Gerade zu einem Normalenvektor berechnen: Ist der Normalenvektor n = ( Dann gibt es aus folgender Normalenform eine lineare Gleichung: ( ) ( ) x x 2 }{{} Normalen f orm ) = x + x }{{} 2 = linearegleichung Somit ist die Gerade x = x 2. Wir haben eine Gerade g mit dem Normalenvektor n. Die Lage der Gerade wird mit einem Ortsvektor a ( Aufhänger ) festgelegt. Zudem haben wir einen Punkt P mit dem Ortsvektor r. Es gilt nun: n ( r a) = Richtungsvektor einer Gerade Der Richtungsvektor zweier Punkte ergibt sich aus deren Differenz: r p = ( ), r q = ( ) 2 v = r q r p = ( ) 3 2 Emanuel Duss 3

32 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume Normalenform im R Ebene aus 3 Punkten ARBASCA Formel A = (, 2, 4), B = (,, ), C = (,, 3) E : x = A R B A S C A 2 + λ 2 + µ 2 = λ 3 + µ Punktrichtungsform in Normalenform E : x = 2 + λ 3 + µ 4 3 Kreuzprodukt bestimmen (mit Haus von Niklaus): = = 3 ( ) ( 3) ( ) = 3 ( ) ( ) = 3 ( ) ( 3) ( ) = 3 Normalenform: E : ( x 2 ) 3 = Koordinatenform zu Normalenform 2x + 3x 2 + 4x 3 = x 7 = 4 Emanuel Duss 3

33 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume Hessesche Normalenform Die Hessesche Normalenform erhält man, wenn man die Normalengleichung n r b = durch den Betrag des Normalenvektors n teilt. Mit den Definitionen n = n und b n = b n ergibt sich die Form: n r b = Berechnung P(, 3) und Q(3, ). Normalenvektor bestimmen ( ) 4 n ( r P r Q ) = n = 3 4n x + 3n y = ( ) 3 n = 4 2. Parameter b in Normalenform berechnen n r q b = b = 9 ( ) ( ) 3 3 = b ( 4 ) 3 x 9 = 4 3. Betrag Normalenvektor berechnen n = = 5 4. Hessesche Normalenform ) ( ( ) x = x.8 =.8 Abstände Um den Abstand zu einem Punkt zu berechen setzt man den Punkt für x in die HNF ein: ( ) ( ).6 2 Punkt(2, 2).8 = (.2 +.6).8 =.8 2 Emanuel Duss 32

34 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume 4.8 Ebene 4.8. Parameterform 2 E : v = + λ + µ Normalenvektor bestimmen ( 2 ) 2 x 2 = x 3 = und x = Somit ist der Normalenvektor n = Koordinatengleichung einer Ebene E : 2x + y + 2z = 4 Die Koeffizienten können als Normalenvektor geschrieben werden um die Normalenform zu bilden: 2 E : x 4 = 2 Die Achsenabschnitte ergeben sich, indem man die Koordinatengleichung = setzt: 2 x + 4 y + 2 z = Der Nenner gibt den Schnittpunkt der Ebene an (z. B.: x = (2//) Normalenform In Parameterform umwandeln: 2 E : x 4 = 2 Emanuel Duss 33

35 Mathematische Grundlagen der Informatik 4 Vektoren und Vektorräume Koordinatenform aufstellen Spezeile Lösung = Aufhänger Allgemeine Lösung (da es eine Ebene ist, braucht es zwei linear unabhängige Richtungsvektoren) Einmal mit y = z = Einmal mit y = z = Hessesche Normalenform Aus der Normalenform 2 E : x 4 = 2 bestimmt man den Betrag des Normalenvektors = 9 = 3. Hessesche Normalenform: E : 2 x = 3 x 4 3 = 2 Jetzt kann man bei x ein Ortsvektor einsetzen und damit den Abstand dazu bestimmen Ebene bestimmen Parallel durch Ursprung: bei x = einsetzen und b bestimmen Im Abstand 2 vom Ursprung: In Hessesche Normalform Ursprung einsetzen und = 2 stellen; Auflösen. Parallel durch Punkt P: bei x = r b einsetzen und b bestimmen 4.9 Basen und Koordinaten Im Erzeugendensystem x = λ v + λ 2 v λ n v n erzeugen v bis v n ein Vektorraum. Emanuel Duss 34

36 Mathematische Grundlagen der Informatik 5 Matrizen 5 Matrizen 5. Rechenregeln für Matrizen 5.. Multiplikation Beispiel: a a 2 a 3... a m b b 2 b 3... b m a 2 a 22 a a 2m A + B =.... b 2 b 22 b b 2m.... a n a n2 a n3... a nm b n b n2 b n3... b nm a + b a 2 + b 2 a 3 + b 3... a m + b m a 2 + b 2 a 22 + b 22 a 23 + b a 2m + b 2m =.... a n + b n a n2 + b n2 a n3 + b n3... a nm + b nm A + B = ( ) + 2 ( ) = ( ) Multiplikation mit einem Skalar Eine Matrix A kann mit einem Skalar k multipliziert werden. Dabei ist k R. a a 2... a m k a k a 2... k a m a 2 a a 2m k A = k... = k a 2 k a k a 2m... a n a n2... a nm k a n k a n2... k a nm Beispiel (für k R): k A = 5 ( ) = ( ) Matrix-Multiplikation Wir haben die Matrix A und die Matrix B: ( ) 2 4 A = und B = Emanuel Duss 35

37 Mathematische Grundlagen der Informatik 5 Matrizen Man nimmt die Zeilenvektoren der Matrix A (Das T steht für Transformiert) z = (, 2, 4) T, z 2 = (3, 2, ) T und die Spaltenvektoren der Matrix B: s, s 2 3, s 3, s Das Produkt der Matrix A mit der Matrix B ergibt sich aus den Skalarprodukten der Zeilenund Spaltenvektoren (Zeilen der rechten x Spalten der linken Matrix): ( ) z s A B = z s 2 z s 3 z s 4 z s 2 z 2 s z 2 s 2 z 2 s 3 z 2 s 4 z 2 s 2 Das rechnet man am Besten mit einer Tabelle: - A B Das Produkt hat immer so viele Zelen wie der erste Faktor. Das heisst jetzt: ( ) ( ) 2 4 A B = = Wichtig: Die Faktoren dürfen nicht vertauscht werden: A B = B A Eine 2x4 und 4x4 Matrix kann auch nicht multipliziert werden. 5.2 Matrizen und ihre Inversen Vorgehen: Matrix A links, und eine Einheitsmatrix E rechts hinschreiben. Die Matrix A zur Einheitsmatrix E umformen ergibt auf der rechten Seite die Inverse A. Das ergibt folgende Beziehung: A A = A A = E Emanuel Duss 36

38 Mathematische Grundlagen der Informatik 5 Matrizen Regeln: Werden in der Matrix A während dem Gauss-Algorithmus Spalten und 2 vertauscht, muss man in der rechten Matrix am Schluss die Zeilen und 2 vertauschen. Nicht jede Matrix ist invertierbar Invertierende einer 2x2 Matrix mit der Determinante berechnen A = Det(A) ( ) a22 a 2 a 2 a Kehrwert der Determinalte multipliziert mit der Matrix von A, in welcher die erste Diagonale vertauscht wurde und die zweite Diagonale mit ( ) multipliziert wurde. Emanuel Duss 37

39 Mathematische Grundlagen der Informatik 6 Lineare Abbildungen 6 Lineare Abbildungen 6. Koordinaten und Transformation Eine lineare Abbildung beschreibt die Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper. Spalten der Matrix = die Bilder der Basisvektoren A e = = = e = e Abbildungsmatrix bestimmen Wie kann der Einheitsvektor e = dargestellt werden? ( ) und e 2 = ( ) mit den gegebenen Vektoren Die Vektoren der Abbildungsmatrix M können auf die selbe Weise dargestellt werden, indem man die auf diese Matrix abgebildeten Vektoren verwendet. e = 2 ( r a + r b ) e = 2 ( r a + r b ) e 2 = 4 ( r b + r c ) e 2 = 4 ( r b + r c ) Daraus folg die Abbildungsmatrix M. Bei den Abbildungsmatritzen gilt: M A = A M A = A A P = Q A Q = P Emanuel Duss 38

40 Mathematische Grundlagen der Informatik 6 Lineare Abbildungen 6.2 Determinanten 6.2. Determinante einer 2x2 Matrix Von der Matrix A ( ) a a A = 2 a 2 a 22 Ist die Determinante Det(A) = a a 22 a 2 a 2 Produkt der ersten Diagonale minus Produkt der zweiten Diagonale Determinante der invertierten Matrix Det(A ) = Det(A) Regeln für das Rechnen mit Determinanten Folgende Regeln sind bei Operationen mit Determinanten zu beachten: Determinanten könnnen nur bei quadratischen Matritzen berechnet werden. Vertauschen von Zeilen oder Spalten ändert das Vorzeichen der Determinante. Wenn eine Zeile mit c = multipliziert wird, wird die Determinante mit c multipliziert. Eine Determinante ist Null, wenn eine gesamte Zeile oder eine gesamte Spalte = ist. Eine Determinante ist Null, wenn zwei Spalten oder zwei Zelen gleich sind. Die Determinante ist Null, wenn Zeilen oder Spalten linear abhängig sind. Eine obere Dreiecksmatrix hat als Determinante das Produkt der Diagonale. Det(A B) = Det(A) Det(B) Ist die Matritze A invertierbar, dann ist Det(A ) = Det(A) Emanuel Duss 39

41 Mathematische Grundlagen der Informatik 6 Lineare Abbildungen Ist die Det(A) =, so ist die Matritze A invertierbar Determinante einer 3x3 Matrix Die Determinante einer 3x3 Matrix a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 Berechnet sich so: Det(A) = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 32 a 23 a a 33 a 2 a 2 Man wiederholt die Zahlen der Matrix hinter der Matrix und addiert alle fallenden Diagonalprodukte und subtrahiert alle steigenden Diagonalprodukte Determinante einer n m Matrix Matrix reduzieren: Det(A) = = = = Determinante einer n m Matrix (einfach) Matrix mit Gauss in die Stufen/Treppenform umwandeln Diagonalprodukt bilden Pro Zeilen/Spaltenvertauschung mit ( ) multiplizieren Multiplikationen/Divisionen rückgängig machen ( 2 2) Und schon hat man die Determinante einer n m Matrix berechnet. Emanuel Duss 4

42 Mathematische Grundlagen der Informatik 6 Lineare Abbildungen Laplacescher Entwicklungssatz Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer n n-matrix nach einer Zeile oder Spalte entwickeln. Die beiden Formeln lauten det(a) = n i= ( )i+j a ij det A ij (Entwicklung nach der j-ten Spalte) det(a) = n j= ( )i+j a ij det A ij (Entwicklung nach der i-ten Zeile) wobei A ij die (n ) (n )-Untermatrix von A ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Hinweis: Wenn man Spalte oder Zeile, nach der man die Determinante entwickelt, geschickt wählt (möglichst viele Nullen!), kann die Rechnung gegebenenfalls stark vereinfacht werden Die Cramersche Regel Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem in der Form a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2... a n x + a n2 x a n x n = b n Vorausgesetzt det(a) = kann das Gleichungssystem wie folgt gelöst werden x i = det(a i) det(a) Die Matrix A i wird hierbei gebildet, indem die ite Spalte der Koeffizientenmatrix A durch die rechte Seite des Gleichungssystems b ersetzt wird. Emanuel Duss 4

43 Mathematische Grundlagen der Informatik 6 Lineare Abbildungen 6.3 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.3. Eigenwerte Die Eigenwerte der Matrix berechnet sich so: A = ( ) 2 2 ( ) 2 λ Det(A λe) = det 2 λ = (2 λ)( 2 λ) + Diese quadratische Gleichung löst man fertig auf und erhält die (zwei) Eigenwerte. Indem man die Determinante einer Matrix setzt, können die Eigegenwerte berechnet werden: A = ( ) 3 λ 3 λ (3 λ) (3 λ) = (λ 2) (λ 4) = Eigenvektor (A λ E) v = λ = 4 : (( (A 4 ) E) v ( )) ( ) = 3 x 4 = ( 3 ) ( ) x 2 x = x 2 Gauss-Algorithmus x x 2 x x 2 Wähle x 2 = x = x 2 = ( ) v = Emanuel Duss 42

44 Mathematische Grundlagen der Informatik 6 Lineare Abbildungen λ = 2 : (( (A 2 ) E) v 2 ( )) ( ) = 3 x 2 = ( ) 3 ( ) x 2 x = x 2 Gauss-Algorithmus x x 2 x x 2 Wähle x 2 = x = x 2 = ( ) v 2 = Kanonische Basis zu Eigenvektoren ( ) 2 = B Berechnung der Eigenvektoren Als Beispiel mit einer 2x2 Matrix Eigenwerte = Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Charakteristisches Polynom durch die Determinante mit der Einheitsmatrix CharPol(A, λ) = Det(A λ E) 2. Determinante nach auflösen ergeben die Eigenwerte: λ = x, λ 2 = y Eigenvektoren = Lösungen des linearen Gleichungssystems. Eigenwerte λ bzw. λ 2 einsetzen und Gleichungssystem lösen λ = x : (A λ E) v = bzw. λ 2 = y : (A λ E) v = Emanuel Duss 43

45 Mathematische Grundlagen der Informatik 6 Lineare Abbildungen 2. Daraus ergeben sich die Einheitsvektoren EV λ =x = ( v v 2 ) bzw. EV λ2 =y = ( v v 2 ) Eigenraum Der Eigenvektor kann ein beliebiges Vielfaches sein. Daraus folgt der Eigenraum: { ( ) } Eig λ =x = x R 2 v x = t, t R v 2 Eig λ2 =y = bzw. { ( x R 2 v x = t v 2 ) }, t R Emanuel Duss 44

46 Mathematische Grundlagen der Informatik 7 Varia 7 Varia 7. Ist Teiler von Folgendes heisst a ist ein Teiler von b: a b 7.2 Summenformel n k = n k= Man kann sich das wie eine For-Schleife vorstellen: for i in seq k n do SUM=$(($SUM + i)) done 7.3 Produkteformel n k= k = 2... n 7.4 Lösungsformel Quadratische Gleichungen Determinante: b 2 4ac x, 2 = b ± b 2 4ac 2a Determinante > : Zwei Lösungen Determinante = : Eine Lösungen Determinante < : Keine Lösungen Emanuel Duss 45