Kapitel 2. Kinematik des Massenpunktes. 2.1 Einleitung. 2.2 Massenpunkt. 2.3 Ortsvektor

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1 Kapitel 2 Kinematik des Massenpunktes 2.1 Einleitung In diesem Kapitel behandeln wir die Bewegung von einem oder mehreren Körpern im Raum. Wir unterscheiden dabei zwischen Kinematik und Dynamik. Die Kinematik beschreibt, wie sich diese Körper bewegen, nicht, warum. Die Dynamik fragt nach den Ursachen dieser Bewegungen. 2.2 Massenpunkt Um unsere Betrachtung von Bewegung zu vereinfachen, diskutieren wir die Gegenstände, deren Position im Raum durch die Angabe der Koordinaten eines Punktes beschrieben werden kann. Einen solchen Gegenstand nennen wir ein Teilchen oder einen Massenpunkt. Das ist ein idealisierter Körper, dessen Masse in einem Punkt konzentriert ist, und dessen Ausdehnung bei dem vorgegebenen Problem keine Rolle spielt. Im Rahmen der Kinematik wird die Bewegung eines Teilchens rein geometrisch charakterisiert. Für manche Zwecke ist es z.b. sinnvoll, die Erde als Teilchen zu betrachten: in diesem Fall bewegt sich das Teilchen Erde auf einer fast kreisförmigen Bahn um die Sonne. 2.3 Ortsvektor Um den Ort angeben zu können, an welchem sich ein Körper zur Zeit 1 t befindet, benötigen wir ein Koordinatensystem. Wir werden in den meisten Fällen 1 Wir nehmen im folgenden an, dass es eine absolute Zeit gibt (Einstein: Zeit ist, was man von einer Uhr abliest ), die für alle Beobachter die gleiche ist. Wir werden erst später, im Kapitel über Relativitätstheorie sehen, dass diese Annahme nicht richtig sein kann. 25

2 26 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 27 e y Γ m r(t 2 ) r(t 1 ) m r(t 1 ) r(t 2 ) v(t) O e x e z Abbildung 2.1: Bewegung eines Massenpunkts auf einer Bahnkurve Γ mit den Ortsvektoren r(t 1 ) und r(t 2 ) sowie dem Verschiebungsvektor r(t 2 ) r(t 1 ). mit einem 3-dimensionalen rechtwinkligen Koordinatensystem Σ arbeiten 2. Die drei Koordinaten {x, y, z} geben dann die Lage des betrachteten Massenpunktes m oder, bei einem ausgedehnten Körper, seines Schwerpunktes an 3. Falls sich der Körper (relativ zu unserem Koordinatensystem, das wir vorläufig als ruhend annehmen) auf der Bahnkurve Γ bewegt, werden die drei Koordinaten Funktionen der Zeit t sein (siehe Abb. 2.1): x(t), y(t), z(t) Es ist zweckmässig, diese drei Koordinaten zu einem Vektor, dem Ortsvektor r(t), zusammenzufassen: r(t) def = x(t) y(t) z(t) (2.1) Der Ortsvektor bezieht sich stets auf den Ursprung des Koordinatensystems und ist nicht frei verschiebbar. 2 Die drei Achsen x, y und z sollen in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges Dreibein bilden. 3 Um die Orientierung des Körpers im Raum beschreiben zu können, werden wir später noch 3 weitere Koordinaten benötigen.

3 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Für die Länge eines Ortsvektors verwenden wir die folgenden Bezeichnungen: r def = r = x 2 + y 2 + z 2 (2.2) Für die Richtung eines Ortsvektors verwenden wir die Symbol e r oder auch ˆr: e r ˆr def = r (2.3) r Dieser Vektor hat offensichtlich immer die Länge 1. Der Verschiebungsvektor gibt die Distanz zwischen den zun den Zeitpunkten t 1 und t 2 erreichten Orten wieder, und zwar sowohl Richtung als auch Länge (siehe Abb. 2.1): r = r(t 2 ) r(t 1 ) (2.4) Im Gegensatz dazu beträgt der längs der Kurve zurückgelegte Weg: s = dr = dx2 + dy 2 + dz 2 (2.5) Γ Γ 2.4 Geschwindigkeit Die Geschwindigkeit als Vektor Auch die Geschwindigkeit v ist ein Vektor: Es kommt offensichtlich nicht nur darauf an, wie rasch wir uns bewegen (v), sondern auch in welche Richtung (ˆv)! Als mittlere Geschwindigkeit im Zeitintervall t bis (t + t) definieren wir den Quotienten aus Verschiebungsvektor und dem entsprechenden Zeitintervall: < v > = r t = r(t + t) r(t) t (2.6) Im Grenzfall t erhalten wir die momentane Geschwindigkeit (siehe Abb. 2.2): r(t + t) r(t) v(t) = lim t t = dr(t) def = ṙ(t) (2.7) Die drei Komponenten der Geschwindigkeit erhalten wir, indem wir die Komponenten des Ortsvektors nach der Zeit ableiten 4 : ẋ(t) v(t) = ṙ(t) = ẏ(t) (2.8) ż(t) 4 Wir werden in dieser Vorlesung Ableitungen nach der Zeit immer durch einen Punkt über der Funktion (oder dem Vektor) bezeichnen - ähnlich wie in der Mathematik, wo Ableitungen nach x meistens mit dem Symbol bezeichnet werden.

4 28 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 27 y v y v s 1 s 1 v = s t v = s t t =,8 s t =,4 s y v 1 s x y v i x v = s t v i = s t t =,2 s t s x x Abbildung 2.2: Bewegung in der xy-ebene mit der Zeit t als Parameter und Definition der momentanen Geschwindigkeit v i (t). Diese einfachen Beziehungen gelten nicht, falls wir nicht mit rechtwinkligen Koordinaten arbeiten! Die Bewegung in nur einer Dimension, z.b. in x-richtung, lässt sich auf einfache Weise in einem Weg-Zeit-Diagramm x = x(t) veranschaulichen (siehe Abb. 2.3). Die Geschwindigkeit v( ) zum Zeitpunkt ergibt sich aus der Tangente an diesen Punkt Geradlinig gleichförmige Bewegung Als Beispiel behandeln wir einen Körper, der sich längs der Geraden g, die durch den Ursprung unseres Koordinatensystems geht, mit konstanter Ge-

5 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS x/m 6 v = dx 4 dx x t/s Abbildung 2.3: Weg-Zeit-Diagramm eines Massenpunkts. schwindigkeit v bewegt (siehe Abb. 2.4). Der Geschwindigkeitsvektor v soll in der xz-ebene liegen 5 und um den Winkel α gegen die x-achse geneigt sein. Die drei Komponenten des Geschwindigkeitsvektors sind dann: v(t) = v x v y v z = v cos α v sin α (2.9) Wie erhalten wir die Komponenten des Ortsvektors r(t), der diese Bewegung beschreibt? Offensichtlich müssen wir drei Funktionen suchen, deren Ableitungen nach der Zeit den (bekannten!) Vektor der Geschwindigkeit ergeben. Durch Erraten 6 (oder durch Integrieren) erhalten wir x(t) y(t) z(t) = x + v t cos α y z + v t sin α, (2.1) wobei x, y und z vorerst unbekannte Integrationskonstanten sind. Verlangen wir noch, dass sich der Körper zur Zeit t = im Ursprung befindet, so muss gelten: x = y = z = (2.11) 5 Oder: Wir legen das Koordinatensystem so, dass dies der Fall ist! 6 Wir suchen z.b. eine Funktion x(t), deren Ableitung nach der Zeit eine Konstante ist.

6 3 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 27 z g v v z α v x x Abbildung 2.4: Geradlinig gleichförmige Bewegung in der xz-ebene und wir erhalten als Schlussresultat: v t cos α r(t) = (2.12) v t sin α Damit haben wir auch bereits die erste Differentialgleichung 7 gelöst! Allgemeine Bewegung Wir können das Ergebnis des vorherigen Abschnitts allgemein (also für beliebige Geschwindigkeitsfunktionen) v(t) formulieren. In einer Dimension gilt: v(t) = dx(t) Wir integrieren die Geschwindigkeit von bis t: Es ist also v(t ) = dx(t ) t = x(t) = x( ) + (2.13) dx(t ) = x(t) x( ) (2.14) v(t ) (2.15) 7 Wozu dieser ganze, zunächst höchst abstrakt und kompliziert scheinende Formalismus gut sein soll, werden wir in kurzem sehen!

7 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Zur eindeutigung Bestimmung des Integrals muss man genau eine Anfangsbedingung festlegen, da wir eine Differentialgleichung 1. Ordnung in einer Dimension gelöst haben. Das ist in diesem Fall der Ort x( ) zur Zeit. Für eine Bewegung in 3 Dimensionen gilt entsprechend: v(t ) = dr(t ) t = und damit x( ) r(t) = r( ) + v(t ) = y( ) + z( ) dr(t ) = r(t) r( ) (2.16) v x (t ) v y (t ) v z (t ) (2.17) Zur eindeutigung Bestimmung des Integrals benötigen wir hier drei Anfangsbedingungen, da wir zwar weiterhin eine Differentialgleichung 1. Ordnung gelöst haben, aber einen Punkt im R 3 festlegen müssen. Das ist in diesem Fall der Ort r( ) zur Zeit. Man beachte: Die zurückgelegte Strecke s(t) ist gleich s(t) = v(t ) = dr(t ) = und damit gleich der Bogenlänge der Bahnkurve. dx2 + dy 2 + dz 2 (2.18) 2.5 Beschleunigung Die Beschleunigung als Vektor Auch die Beschleunigung a ist ein Vektor: Es kommt offensichtlich nicht nur darauf an, wie stark wir beschleunigen (a), sondern auch in welche Richtung (â)! Als mittlere Beschleunigung im Zeitintervall t bis (t + t) definieren wir den Quotienten aus der Änderung des Geschwindigkeitsvektors und dem entsprechenden Zeitintervall: < a > = v t = v(t + t) v(t) t Im Grenzfall t erhalten wir die momentane Beschleunigung: (2.19)

8 32 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 27 v(t + t) v(t) a(t) = lim t t = dv(t) def = v(t) (2.2) Genau gleich wie schon für die Geschwindigkeit erhalten wir für die Beschleunigung a(t), die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit: a(t) = dv(t) Oder, wiederum für die Komponenten: a(t) = v x (t) v y (t) v z (t) = v(t) = r(t) (2.21) = ẍ(t) ÿ(t) z(t) (2.22) Konstante Beschleunigung, Fall- und Wurfbewegung Die konstante Beschleunigung als Spezialfall: Hier sind Betrag und Richtung konstant (gleichförmig beschleunigte Bewegung) Entsprechend gilt: v(t) = v( ) + a(t ) = v(t }{{} ) + a (2.23) =a v(t) = v( ) + a (t ) (2.24) r(t) = r( ) + v( ) (t ) a (t ) 2 (2.25) In Komponentenschreibweise erhält man z.b. für = : x() + v x () t + 1a 2 x t 2 r(t) = y() + v y () t + 1a 2 y t 2 (2.26) x() + v z () t a z t 2 Da wir hier eine Differentialgleichung 2. Ordung im R 3 integriert haben, benötigen wir zur eindeutigen Festlegung der Lösung 2 3 = 6 Anfangsbedingungen, hier also 3 Ortskoordinaten und 3 Geschwindigkeitskomponenten. 1. Beispiel: Der freie Fall Es sei die z-achse nach oben gerichtet. Dann ist a = g = g (2.27)

9 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Die 6 Anfangsbedingungen lauten: x() x r() = y() = y z() z v() = r(t) = 2. Beispiel: Der schräge Wurf x y z 1 2 gt2 v x () v y () v z () = (2.28) (2.29) Die Bewegungen in den einzelnen Komponenten können völlig unabhängig voneinander untersucht werden; sie sind nur durch die Zeit miteinander korreliert! Als Anfangsbedingungen wählen wir diesmal x() v x () r() = y() = v() = v y () z() z v z () = v cos α v sin α (2.3) Dies entspricht der Geometrie in Abb. 2.4, aber dieses Mal unter Einschluss der Gravitation. Die Lösung dieser Aufgabe erfolgt wiederum durch Einsetzen der Anfangsbedingungen in Gl. 2.26: vt cos α r(t) = (2.31) z + vt sin α 1 2 gt2 Die Zeit t dient als Parameter für die Bahnkurve. Wir können t eliminieren, um die Kurve als Funktion z = z(x) zu erhalten: t = x v cos α z = z + x sin α cos α g 2 x 2 v 2 cos 2 α (2.32) (2.33) Die Bahnkurve ist demnach eine Parabel, die sogenannte Wurfparabel (siehe Abb. 2.2) Kreisbewegung Wir betrachten einen Massenpunkt, der sich gleichmässig im Kreis mit Radius r bewegt. Dabei legen wir unser Koordinatensystem so, dass der Ursprung

10 34 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 27 a y v m ωt r ϕ ϕ O x ω Abbildung 2.5: Kreisbewegung. mit dem Zentrum dieses Kreises zusammenfällt und die Bewegung in der xy - Ebene stattfindet (siehe Abb. 2.5). In Polarkoordinaten ist dann ρ(t) = r, (2.34) und nur der Winkel ϕ ändert sich mit der Zeit. Für den Winkel ϕ gilt: ϕ(t) = ωt + ϕ (2.35) ϕ gibt an, wo sich der Punkt zur Zeit t = befindet. ω wird als Winkelgeschwindigkeit bezeichnet und sei in unserem Beispiel konstant. Wir gehen zu rechtwinkligen Koordinaten über und erhalten: r(t) = r Die Geschwindigkeit ist dann gleich v(t) = ṙ(t) = rω cos(ωt + ϕ ) sin(ωt + ϕ ) sin(ωt + ϕ ) cos(ωt + ϕ ) (2.36) (2.37) Der Geschwindigkeitsvektor ist nicht konstant. Seine Richtung dreht sich und steht immer senkrecht 8 auf r(t). Hingegen ist der Betrag der Geschwindigkeit 8 Beweisen Sie diese Aussage! v(t) = v(t) = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = r ω (2.38)

11 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS konstant 9. Die Beschleunigung erhalten wir, indem wir ein weiteres Mal ableiten: cos(ωt + ϕ ) a(t) = v(t) = r ω 2 sin(ωt + ϕ ) = ω 2 r(t) (2.39) Der Beschleunigungsvektor a(t) hat also die umgekehrte Richtung wie der Ortsvektor r(t). Man nennt deshalb diese immer auf das Zentrum zu gerichtete Beschleunigung Zentripetalbeschleunigung. Der Betrag von a hängt wiederum vom Abstand r zur Drehachse ab und ist proportional zum Quadrat der Winkelgeschwindigkeit: a(t) = r ω 2 = v2 r (2.4) Diese Beschleunigung ist durchaus mess- und fühlbar (Karussell, Zentrifuge,...)! Anstelle der Winkelgeschwindigkeit gibt man bei rotierenden Maschinen häufig die Periode T einer ganzen Umdrehung oder die Frequenz bzw. Drehzahl ν an: T = 2π ω = 2πr v ν def = 1 T = ω 2π = v 2πr ω = v r (2.41) (2.42) (2.43) Winkelgeschwindigkeit als Vektor Wir betrachten als nächstes eine Drehung in einer Ebene, die im Abstand z parallel zur xy-ebene liegt (siehe Abb. 2.6). Die Geschwindigkeit, vom Mittelpunkt des Kreises aus gesehen, beträgt v = ωρ (2.44) Wir führen nun den Vektor der Winkelgeschwindigkeit ω ein, der senkrecht auf der Kreisebene steht, und erhalten die Vektorgleichung v = ω ρ (2.45) 9 Konstant heisst hier: ändert sich nicht mit der Zeit. Wohl aber ist die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes abhängig von seinem Abstand r zur Drehachse. Die Winkelgeschwindigkeit ω ist hingegen für alle Punkte eines starren Körpers gleich gross.

12 36 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 27 ω ω e z ρ P v r α O e y e x Abbildung 2.6: Winkelgeschwindigkeit als Vektor. Unter Verwendung der Vektoridentität a (b c) = b (a c) c (a b) (2.46) erhalten wir ρ v = ρ (ω ρ) = ω (ρ ρ) ρ (ρ ω) = ρ 2 ω (2.47) ω = 1 (ρ v) (2.48) ρ2 Wir erinnern uns daran, dass dieses Vektorprodukt der duale Vektor zu einer orientierten Fläche ist (hier aber nicht identisch mit der Kreisfläche), also einer Fläche mit Umlaufsinn!

13 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS Da ρ, v und ω ein rechtshändiges, rechtwinkliges Koordinatensystem bilden, gilt für ihre Einheitsvektoren: e v = e ω e ρ (2.49) Winkelbeschleunigung Falls die Winkelgeschwindigkeit nicht konstant ist, also ω = ω(t) gilt, erhalten wir die Winkelbeschleunigung α: α := ω = ϕ (2.5) Wir untersuchen in diesem Fall wieder die Kreisbewegung in der Ebene mit ϕ = ϕ(t) und setzen ϕ =. Der Ortsvektor ist gegeben durch: ( ) cos ϕ(t) r(t) = r (2.51) sin ϕ(t) Die Geschwindigkeit ist dann gleich ( sin ϕ(t) v(t) = ṙ(t) = r ϕ cos ϕ(t) ) = rω ( sin ϕ(t) cos ϕ(t) ) (2.52) Der Betrag der Geschwindigkeit ist gleich und damit nicht mehr zeitlich konstant. Die Beschleunigung ist gleich v = r ϕ = r ω(t), (2.53) ( ) ( ) sin ϕ(t) cos ϕ(t) a(t) = v(t) = r ϕ r ϕ 2 cos ϕ(t) sin ϕ(t) (2.54) }{{}}{{} = a = a Die Beschleunigung lässt sich offensichtlich in zwei Komponenten aufspalten, eine tangentiale a, welche parallel zur Bahngeschwindigkeit verläuft und deshalb diese ändert, und eine dazu senkrechte Komponente a als Zentripetalbeschleunigung, welche quadratisch mit zunehmender Winkelgeschwindigkeit ϕ zunimmt. Die Beträge dieser beiden Komponenten und von a sind: a = r ϕ (2.55) a = r ϕ 2 (2.56) a = r ϕ 2 + ϕ 4 = r α 2 + ω 4 (2.57)

14 38 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 27 e y a (t 1 ) a (t 2 ) Γ 1 a (t 1 ) 2 a (t 2 ) O e x e z Abbildung 2.7: Tangential- und Normalbeschleunigung a bzw. a bei der Bewegung eines Massenpunkts auf einer Bahnkurve Γ Allgemeine Beschleunigung Wir führen zwei lokale Einheitsvektoren e und e ein, die parallel bzw. senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit v liegen (siehe Abb. 2.7) und sich bei gekrümmten Bahnkurven längs der Bahn auch ständig ändern werden. Die Geschwindigkeit v(t) lässt sich dann folgendermassen darstellen: Für die Beschleunigung a gilt a(t) = dv(t) = dv(t) v(t) = v(t) e (t) (2.58) = d ( v(t) e (t) ) e (t) + v(t) d e (t) (2.59) Nun ist e (t) ein Einheitsvektor. 1 = e (t) 2 = d e (t) 2 = 2 e (t) d e (t) (2.6) d e (t) e (t) (2.61)

15 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS O e dϕ de v a Abbildung 2.8: Die Transversalbeschleunigung a bewirkt in der Zeit eine Drehung des Geschwindigkeitsvektors v um den Winkel dϕ. Also lässt sich die Beschleunigung folgendermassen schreiben: mit Die Beschleunigung a, falls: a(t) = a (t) + a (t) (2.62) a (t) = d v(t) e (t) = v e (2.63) a (t) = v(t) d e (t) = v ė (2.64) 1. sich der Betrag v der Geschwindigkeit ändert, 2. oder sich die Richtung e ändert, 3. oder sich sowohl Betrag als auch Richtung ändern. Berechnung der Beträge der beiden Beschleunigungskomponenten: 1. Parallele Komponente: 2. Senkrechte Komponente: a (t) = dv(t) (2.65) Da ė senkrecht zu e (t) ist, führt dies zu einer Kreisbewegung, und zwar um den Winkel dϕ in der Zeit (siehe Abb. 2.8): dϕ = a v = ė = dϕ = ω = v ρ ė e }{{} =1 = ė (2.66) (2.67)

16 4 Physik I, Prof. W. Fetscher, HS 27 1ρ 1 v 1 Γ e y ρ 2 v 2 2 O e x e z Abbildung 2.9: Anschmiegkreise an die Bahnkurve Γ der Bewegung eines Massenpunkts. mit ρ als momentanem Krümmungsradius. Vektoriell geschrieben: ė = ω e (2.68) Damit ergibt sich die senkrechte Beschleunigung zu Zusammengefasst: a (t) = v2 ρ e (t) (2.69) a(t) = v e + v2 ρ e (t) (2.7) Abb. 2.9 zeigt eine Bahnkurve und die Anschmiegkreise an zwei ausgewählten Punkten mit den entsprechenden Krümmungsradien.

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