XIII Geometrische Abbildungen und Matrizen

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1 XIII Geometrische Abbildungen und Matrizen Geometrische Abbildungen und Abbildungsgleichungen 0 8 k= R' 6 S' R S P' Q' Q x P Z=O Fig. Bei einer zentrischen Streckung wird von einem Punkt, dem Zentrum, aus gestreckt (Fig. ). Entsprechend kann man auch von einer Geraden aus strecken (Fig. ). a) Bestimmen Sie den Bildpunkt T von T(), wenn die Achse a die x -Achse und der Streckfaktor k = ist. b) Geben Sie die Koordinaten des Bildpunktes X eines Punktes X(x ) allgemein an. c) Welche Punkte werden bei dieser Streckung auf sich abgebildet? Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen ordnen jedem Punkt P(x ) einen Bildpunkt P(x ) zu. Solche Abbildungen nennt man geometrische Abbildungen. Den Zusammenhang zwischen den Koordinaten von Punkt und Bildpunkt kann man häufig durch Abbildungsgleichungen beschreiben. O R R' Q' = Q S' = S P' P x Fig. In einigen speziellen Fällen kann man die Abbildungsgleichungen aus der Zeichnung fast ablesen (Fig. 3 ). Verschiebung Spiegelung an der x -Achse Zentrische Streckung von O aus mit dem Streckfaktor 3 P(x ) Spiegelachse P(x ) x P(x ) P(x ) x O P(x ) P(x ) x O O Abbildungs- x = x + Abbildungs- x = x Abbildungs- = + = gleichungen: gleichungen: gleichungen: x = 3x = 3 Fig. 3 Alle geometrischen Abbildungen, die Geraden auf Geraden abbilden, kann man durch Abbildungsgleichungen beschreiben. Die Scherung ist ein weiteres Beispiel. Scherung mit einer Achse a Eine Scherung ist festgelegt durch eine Achse a und einen Scherungswinkel α. Es gilt die Abbildungsvorschrift: () Liegt P auf a, so ist P= P. () Liegt P nicht auf der Achse a, so gilt für P (Fig. 6): (a) PP ist parallel zu a. (b) Ist A der Fußpunkt des Lotes von P auf die Achse a, so ist PAP = α, dem festen Scherungswinkel. Q α a Q P(x ) α A α R R P(x ) x Fig. 6 3 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

2 Geometrische Abbildungen und Abbildungsgleichungen Ist die x -Achse die Scherungsachse a, so bedeutet die Bedingung PP ist parallel zu a : =. Aus α = PAP folgt: x x x = tan (α). Setzt man t = tan (α), so ergeben sich die x Abbildungsgleichungen: =x + t. = Bei einer Scherung wird jeder Punkt der Achse auf sich selbst abgebildet. Punkte, die bei einer geometrischen Abbildung auf sich selbst abgebildet werden, nennt man Fixpunkte der Abbildung. Eine Gerade, die aus Fixpunkten einer Abbildung besteht, nennt man eine Fixpunktgerade. Bei einer Scherung wird jeder Punkt einer zur Achse parallelen Geraden auf einen (anderen) Punkt dieser Geraden abgebildet. Man sagt: Die Gerade wird auf sich selbst abgebildet, und man nennt eine solche Gerade eine Fixgerade. Beispiel : (Berechnen von Bildpunkten und Bildgeraden) x Eine geometrische Abbildung ist durch die Abbildungsgleichungen = x gegeben. = 3x + a) Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes von A ( 7). b) Bestimmen Sie das Bild der Geraden g: x = + t 3 rechnerisch. Lösung: a) Man muss die Koordinaten von A in die rechten Seiten der Abbildungsgleichungen einsetzen und erhält so die Koordinaten a und a des Bildpunktes A von A. Also a = 7 = 3 und a = = 3. Also A(3 3). b) Ein Punkt P auf g hat die Koordinaten p = 3t und p = + t. Der Bildpunkt P hat die Koordinaten Fig. p = p p = ( 3t) ( + t) = 7 t und p = 3 p + p = 3 ( 3 t) + ( + t) = t. Also g: x = 0 + t 7. Der Rechner als Variable aus. Dafür schreibt man meistens t. x = t und = 0 wird als Vektorgleichung notiert: x = t. 0 Beispiel : (Fixpunkte und Fixgeraden) x Gegeben ist die durch die Abbildungsgleichungen = x + definierte Abbildung. = + a) Bestimmen Sie die Fixpunkte der Abbildung. b) Zeigen Sie, dass alle zur x -Achse parallelen Geraden Fixgeraden sind. Lösung: a) Ein Punkt P(x ) ist Fixpunkt, wenn er gleich seinem Bildpunkt P(x ) ist. Für einen Fixpunkt muss also gelten x = x und =. Der Rechner liefert x = t mit tr als Fixpunkte (Fig. ). 0 Alle Punkte der x -Achse sind Fixpunkte; die x -Achse ist also Fixpunktgerade. b) Eine zur x-achse parallele Gerade g hat die Gleichung x = 0 + t c 0 x = c + t (siehe Fig. ).. Die Bildgerade g ist dann c 0 Setzt man in der Gleichung von g für t = c, so erkennt man, dass ( cc) auf g liegt. Da g und g denselben Richtungsvektor haben, ist also g = g. Fig. 33 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

3 Geometrische Abbildungen und Abbildungsgleichungen Aufgaben Berechnen Sie die Bildpunkte von A ( 3 ), B ( ), C ( 6) bei der 7 c) Drehung um O um 80, d) Drehung um O um 3, e) zentrischen Streckung von O aus mit dem Streckfaktor, f) Spiegelung an der Winkelhalbierenden zwischen der x - und der -Achse. a) Verschiebung, b) Spiegelung an der -Achse, 3 Eine Scherung mit der x -Achse als Scherungsachse bildet P ( 3) auf P( 3) ab. a) Konstruieren Sie die Bildpunkte von Q( ), R ( 8) und S (3 ). b) Stellen Sie die Abbildungsgleichungen der Scherung auf. Kontrollieren Sie das Ergebnis aus a) durch Rechnung. Bestimmen Sie die Abbildungsgleichungen einer Scherung an der -Achse mit dem Scherungswinkel. Eine Scherung mit der -Achse als Scherungsachse bildet P ( 0) auf P( ) ab. a) Konstruieren Sie die Bildpunkte von Q(3 ) und R ( 3 0). b) Stellen Sie die Abbildungsgleichungen der Scherung auf. Kontrollieren Sie das Ergebnis aus a) durch Rechnung. 6 Gegeben ist eine geometrische Abbildung mit den Gleichungen B B' x =x + r (r 0). = a) Begründen Sie, dass es sich um eine Scherung mit der x -Achse als Achse a handelt. Zeigen Sie dazu: x die x -Achse ist eine Fixpunktgerade, A für jeden Punkt P(p p ) mit p 0 ist die Größe des Winkels PAP mit A (p 0) unabhängig von den Koordinaten von P. Fig. b) Zeigen Sie: Liegt ein Punkt P auf der Geraden durch A (a 0) und B (b b ), dann liegt sein Bildpunkt P auf der Geraden durch A = A und B (Fig. ). Die in Aufgabe 8 e entstehende Kurve wurde in einem anderen Zusammenhang zuerst intensiv von der Mathematikerin MARIA AGNESI untersucht. Sie wird daher als AGNESI-Kurve bezeichnet. MARIA AGNESI (78 799) wurde 70 zur Professorin für Mathematik an die Universität Bologna berufen. Sie war, soweit heute bekannt, die erste Frau, die als Professorin Vorlesungen zur Mathematik an einer Universität hielt. 7 Durch die Abbildungsgleichungen ist eine Abbildung definiert. Bestimmen Sie die Fixpunkte und Fixgeraden der Abbildung mit den Gleichungen x a) = x x b) = x + c) = =x + = x = 9x x 8 Eine Abbildung ist durch die Gleichungen = + x definiert. = a) Welche Punkte der Ebene sind bei dieser Abbildung Bildpunkte? b) Begründen Sie, dass eine zur -Achse parallele Gerade auf eine zur -Achse parallele Gerade abgebildet wird. c) Begründen Sie, dass es eine zur -Achse parallele Fixpunktgerade gibt. d) Bestimmen Sie das Bild einer zur x -Achse parallelen Geraden. e) Skizzieren Sie das Bild der Winkelhalbierenden zwischen der x - und der -Achse, indem Sie die Bildpunkte von mindestens 0 Punkten in ein Koordinatensystem zeichnen. 3 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

4 Affine Abbildungen a) Durch welche Abbildung α wird das Dreieck ABC auf das Dreieck ABC abgebildet? b) Welche Abbildung bildet das Dreieck ABC auf das Dreieck ABC ab? c) Bestimmen Sie das Bild der Geraden AB. d) Auf welchen Punkt wird der Mittelpunkt der Strecke AB abgebildet? e) Können sich die Bilder zweier zueinander paralleler Geraden schneiden? Z C' A' B' A C B Fig. Viele der geometrischen Abbildungen, die Sie kennen, haben folgende Eigenschaften: Sie sind geradentreu, d. h. sie bilden Geraden auf Geraden ab. Sie sind umkehrbar, d. h. zu jedem Bildpunkt gibt es genau einen Punkt als Urbild. Sie sind parallelentreu, d. h. sie bilden zueinander parallele Geraden auf zueinander parallele Geraden ab. Sie sind teilverhältnistreu, d. h.: Wenn ein Punkt T eine Strecke AB im Verhältnis t teilt, so teilt auch sein Bildpunkt T die Bildstrecke AB im Verhältnis t. Affinität bedeutet so viel wie Nähe, Verwandtschaft: Betrachten Sie dazu Fig. : Das Bild eines Parallelogramms ist wieder ein Parallelogramm. Kongruenzabbildungen und Ähnlichkeitsabbildungen sind Beispiele für affine Abbildungen. Geradentreue umkehrbare Abbildungen sind auch parallelentreu und teilverhältnistreu (vgl. Satz ). Daher legt man fest: Definition: Eine geradentreue und umkehrbare geometrische Abbildung der Ebene auf sich nennt man eine affine Abbildung oder Affinität. Aus der Umkehrbarkeit einer geradentreuen Abbildung folgt ihre Parallelentreue. Hätten nämlich die Bilder zweier (verschiedener) paralleler Geraden einen Schnittpunkt, dann hätte dieser Schnittpunkt zwei Urbilder. Aufgrund der Parallelentreue bildet jede affine Abbildung Parallelogramme auf Parallelogramme ab. Damit wird der Mittelpunkt einer Strecke AB auf den Mittelpunkt der Bildstrecke AB abgebildet (Fig. ). Man kann (mithilfe einer Intervallschachtelung) hieraus folgern, dass eine affine Abbildung teilverhältnistreu ist. A A B B Fig. Satz : Affine Abbildungen sind parallelentreu und teilverhältnistreu. Zentrische Streckungen sind Beispiele für affine Abbildungen, die nicht längentreu sind. Scherungen sind Beispiele für affine Abbildungen, die nicht winkeltreu sind. 3 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

5 Affine Abbildungen Um eine affine Abbildung zu beschreiben, genügt es, von einem Dreieck ABC das Bilddreieck ABC anzugeben, und zwar so, dass A auf A, B auf B und C auf C abgebildet wird, denn es gilt: Satz : Jede affine Abbildung ist festgelegt durch die Angabe von drei Punkten A, B, C und ihren Bildpunkten A, B, C. Dabei dürfen allerdings die Punkte A, B, C und die Punkte A, B, C nicht auf einer Geraden liegen. A C S P Beweis von Satz : Voraussetzung: Eine affine Abbildung bildet die Ecken A, B, C eines Dreiecks auf A, B P bzw. C ab. C B Behauptung: Die Abbildung ist damit festgelegt, d. h. für jeden Punkt P ist der Bildpunkt S P bestimmt. B A Fig. Beweis: Man wählt eine Ecke des Dreiecks, z. B. A, so, dass die Gerade durch A und P die Gerade durch B und C schneidet (Fig. ). Der Schnittpunkt S teilt die Strecke BC in einem Verhältnis s. Die affine Abbildung ist teilverhältnistreu. Der Bildpunkt S teilt die Bildstrecke BC ebenfalls im Verhältnis s. Der Punkt P teilt die Strecke AS im Verhältnis t. Damit ist der Punkt, der AS im Verhältnis t teilt, der Bildpunkt P. Strategie zur Konstruktion eines Bildpunktes eines Punktes P: Man betrachtet zwei Geraden durch P, deren Bildgeraden man bestimmen kann. Der Schnittpunkt der Bildgeraden ist der gesuchte Bildpunkt. 36 Beispiel: (Konstruktion von Bildpunkten) Eine affine Abbildung α bildet das Dreieck ABC mit A (), B (0), C ( ) auf das Dreieck ABC mit A= A, B= B und C(7 7) ab. Konstruieren Sie die Bildpunkte von D(6 ) und E (6 ) und begründen Sie jeweils Ihre Konstruktion. Lösung: Die Punkte A und B sind Fixpunkte; α ist geradentreu h und teilverhältnistreu; also ist die g ' Gerade AB eine Fixpunktgerade. Die Gerade g = CD schneidet die Gerade h ' g ' AB in einem Fixpunkt S. Der Punkt C wird g auf C abgebildet, also ist die Bildgerade g = SC. 0 α ist parallelentreu, deshalb wird die Parallele C' E' h ' g zu AC durch D, die AB im Fixpunkt T C E schneidet, auf eine Parallele g zu AC durch h T abgebildet. Der Schnittpunkt von g und g ist D. A=A' R D D' B=B' h = CE ist parallel zu AB, also wird h auf T S die Parallele h zu AB durch C abgebildet. 0 Die Parallele h zu AC durch E, die AB im g Fixpunkt R schneidet, wird auf die Parallele x h zu AC durch R abgebildet. Der Schnittpunkt von h und h ist E. Fig. Alle Rechte vorbehalten. ISBN

6 Affine Abbildungen Aufgaben Was lässt sich bei einer nicht näher bekannten affinen Abbildung über die Bildfigur der folgenden Figur sagen? a) Quadrat b) Rechteck c) Raute d) Parallelogramm e) Trapez f) Drachen g) gleichseitiges Dreieck 3 Warum gibt es keine affine Abbildung, die eines der Sechsecke von Fig. auf das andere abbildet? Fig. Den folgenden Figuren liegt jeweils eine affine Abbildung zugrunde. Bestimmen Sie die gesuchten Punkte und Geraden. Begründen Sie Ihre Antworten. h R Q P Q R g P Q Q R P g P g g P = P R Gesucht: R Gesucht: g, h Gesucht: R Q Q g Fig. a) Begründen Sie: Eine affine Abbildung bildet den Schwerpunkt eines Dreiecks auf den Schwerpunkt des Bilddreiecks ab. b) Bildet eine affine Abbildung den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks ab? 6 Bei einer affinen Abbildung wird jeder Punkt der x -Achse auf sich abgebildet und P ( 3) auf P( 7). Konstruieren Sie a) das Bild der Geraden durch A (8 0) und P b) das Bild der Geraden durch P und P c) den Bildpunkt Q von Q ( ) d) die Bildpunkte von R (0) und S (6 ) Begründen Sie jeweils Ihre Konstruktion. 7 Ersetzen Sie in Aufgabe 6 den Punkt P durch P(7 3). Führen Sie damit die in Aufgabe 6 verlangten Konstruktionen durch und begründen Sie diese. 8 Eine affine Abbildung α bildet O (0 0) auf O( ), E ( 0) auf E ( ) und E (0 ) auf E (3 3) ab. Konstruieren Sie das Bild a) der Punkte P(), Q und R 3 3, b) der Geraden OQ und E P, c) des Schnittpunktes S von OQ und E P, d) der Punkte T 3 3 und T ( ), e) der Punkte X und Y 3. 9 Eine Abbildung α bildet P ( ) auf P( 6), Q (6 0) auf Q(7 ), R ( ) auf R( ) und S (9 7) auf S(3 ) ab. Begründen Sie, dass es sich nicht um eine affine Abbildung handeln kann. 37 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

7 3 Darstellung affiner Abbildungen mithilfe von Matrizen Eine affine Abbildung bildet O auf O( ), E ( 0) auf E (3 ) und E (0 ) auf E ( 3) ab. Bestimmen Sie die Koordinaten der Bildpunkte von a) A ( 0); b) B (); c) C (). Bei einer affinen Abbildung lassen sich die Koordinaten von Bildpunkten einfach berechnen, denn: Eine affine Abbildung ist parallelentreu, daher wird das (in Fig. ) blaue Koordinatengitter in ein Parallelogrammgitter (in Fig. lila) abgebildet. Eine affine Abbildung ist teilverhältnistreu, X daher wird der Punkt X mit dem Ortsvektor x = x + x 0 auf den Punkt X mit 0 dem Ortsvektor E O E x = OO + x OE + x OE abgebildet. Mit OE = a = a ;OE = b = a b b und OO = c = E O c c X E erhält man die x Fig. Koordinatendarstellung einer affinen Abbildung x = a x + b + c. = a x + b + c Eine andere Darstellung erhält man, wenn man die Zahlen a, a, b, b in einer Matrix a A= b zusammenfasst. Man definiert für einen Vektor x = x das a b a b a b a x +b a x +b Produkt der Matrix A mit dem Vektor x durch A x = =. Betrachtet man die Zeilen der Matrix A als Vektoren, so ist die k-te Komponente des Produktvektors das Skalarprodukt aus der k-ten Zeile der Matrix und dem Vektor. Mit diesen Vereinbarungen erhält man die x Man schreibt kurz: α:x = A x + c Matrixdarstellung einer affinen Abbildung: Jede affine Abbildung α ist durch eine Matrix A = und einen Vektor c = festgelegt. Für einen Punkt X mit dem Ortsvektor x = x = x gilt: x = A x + c bzw. x = a b x + c x, a b c bzw. x = a x + b + c. = a x + b + c x a b a b c c und seinen Bildpunkt X mit dem Ortsvektor 38 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

8 Darstellung affiner Abbildungen mithilfe von Matrizen Im Fall c = o sagt man auch kurz: Die Spalten der Matrix A sind die Bilder der Einheitsvektoren. Beachten Sie: a) Es gilt a = a = OE,b = = b OE und c = OO. Die Vektoren a und b bilden die a b Spaltenvektoren der Matrix A. Also kann man aus der Matrixdarstellung sofort die Bilder des Ursprungs O und der Punkte E ( 0) und E (0 ) berechnen. Umgekehrt erhält man die Matrix A und den Vektor c aus den Bildern von O, E und E. b) Ist c = o, so stimmen die Spalten der Matrix A mit den Ortsvektoren der Bilder von E ( 0) und E (0 ) überein. Betrachtet wird eine affine Abbildung α mit dem Fixpunkt O und der zugehörigen Matrix A. Wenn für den Ortsvektor r eines Punktes R gilt: r = a p + b q, dann gilt für den Ortsvektor r des Bildpunktes R: r = a(a p) + b (A q). Dies folgt aus dem Satz: Gegeben ist eine Matrix A und ein Vektor x = a v + b w. Dann gilt: A x = A (av + b w) = a (A v) + b (A w ). Beweis: Im Texteditor kann man Befehle (mit C gekennzeichnet) und erläuternde Texte eingeben: a b Man berechnet A (av + b w) für A =,v = und w = a : b v w A (av + bw) = a b a v + b w a b v w = a b av + bw = a (av + bw ) + b (av + bw ) a b av + bw a (av + bw ) + b (av + bw ) = a(a v + b v ) + b(a w + b w ) = a a v b + b a w b a(a v + b v ) + b(a w + b w ) = a (A v) + b (A w). v a b v w a b w Fig. Eingabe der C-Zeilen aus Fig. mit Taste ergibt Fig.. Fig. Beispiel : (Berechnen von Bildpunkten und Bildgeraden) Gegeben ist die affine Abbildung α: x = 3 x a) Berechnen Sie die Koordinaten des Bildes des Punktes P (3). b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Bildgeraden g von g: x = + r 3. Lösung: a) Für den Ortsvektor p des Bildes P von P gilt: p = = = + = 0 (siehe Fig. 3) Also P(00). b) Für die Bildgerade g von g und A = 3 gilt wegen obigem Satz: 6 g: x = A + r A = 3 + r = + 3 ( 3) + r ( ) ( 3) ( ) 9 0 = + r + = + r (siehe Fig. 3) Fig Alle Rechte vorbehalten. ISBN

9 Darstellung affiner Abbildungen mithilfe von Matrizen Beispiel : (Matrixdarstellung einer affinen Abbildung) Bestimmen Sie jeweils die Matrixdarstellung der affinen Abbildung α: a) α bildet O (00) auf O( 6), E ( 0) auf E (8 3) und E (0 ) auf E ( 7) ab. b) α bildet O auf O, P 3 auf P(0 ) und Q( ) auf Q( ) ab. Lösung: a) Es gilt OO =,OE = e o = 6 und OE = e o = 6 3. Also α: x = 6 x b) Es müssen die Bilder von E ( 0) und E (0 ) bestimmt werden. Dazu stellt man die zugehörigen Ortsvektoren e und e als Linearkombination der Ortsvektoren p und q der Punkte P und Q dar. = Der Ansatz e = ap + bq liefert das Gleichungssystem a + b. 0 = 3 a b Hieraus folgt a = und b = 3. Aus e = c p + d q folgt c = und d =. Es gilt also α: e = p + 3 q = = 6 und α: e = p + p = Die Matrixdarstellung ist daher α: x = x. Aufgaben Eine affine Abbildung α bildet O (00) auf O( ), E ( 0) auf E ( ) und E (0 ) auf E (0 3) ab. a) Zeichnen Sie das Gitter, auf welches das Gitter des kartesischen Koordinatensystems abgebildet wird. b) Bestimmen Sie (an Ihrer Zeichnung) die Bildpunkte von A ( ), B ( 3 ), C ( 3), D ( ), E(30) und F (0) unter α. 3 Bestimmen Sie die Eckpunkte A, B, C des Bilddreiecks von ABC bei der angegebenen affinen Abbildung. Zeichnen Sie die Dreiecke ABC und ABC. a) A ( ), B( ), C(3 7); α: x = x b) A ( 6), B(33), C( 3); α: x c) A ( ), B(7 ), C (3); α: x = 3 x = x Bestimmen Sie das Bild der Geraden g unter der affinen Abbildung α. a) g: x = + r ; α: x = 3 3 x b) g: x = + r c) g: x = 7 + r 3 ; α: x 3 ; α: x = x + 0 = x + 7 d) g ist die Gerade durch P ( ) und Q ( ); α: x e) g ist die Gerade durch P (3) und Q ( 76); α: x 0 = x + 3 = x + Alle Rechte vorbehalten. ISBN

10 Darstellung affiner Abbildungen mithilfe von Matrizen Bestimmen Sie jeweils rechnerisch das Bild der Geraden g unter der Abbildung α: x = x + 3. a) g ist die x -Achse b) g ist die -Achse c) g: x = d) g ist die Gerade durch P ( ) und Q ( ) 6 Eine affine Abbildung bildet O (00) auf O( ), E ( 0) auf E ( ) und E (0 ) auf E (3 3) ab. Stellen Sie die Abbildungsgleichungen auf, geben Sie diese auch in Matrixdarstellung an und bestimmen Sie die Bildpunkte von P ( ), Q (0, ) und R (,,). 7 Eine affine Abbildung α bildet O (0 0) auf O (0 0), P () auf P( ) und Q( ) auf Q( 36) ab. a) Bestimmen Sie eine Matrixdarstellung für α. b) Berechnen Sie die Eckpunkte A, B, C, D des Bildes des Rechtecks ABCD mit A ( 0), B (0), C( ) und D( ). Zeichnen Sie das Rechteck ABCD und das Bildviereck in ein Koordinatensystem. 8 Bei einer affinen Abbildung wird jeder Punkt der x -Achse auf sich abgebildet und P ( ) auf P( ). Bestimmen Sie eine Matrixdarstellung für diese Abbildung. 9 Bestimmen Sie eine Matrixdarstellung für die Scherung α. a) Scherungsachse ist die Winkelhalbierende zwischen der x - und der -Achse. A (0) wird auf A(6 ) abgebildet. b) Scherungsachse ist die Gerade g: x = + r. Der Punkt A (0 ) wird auf den Punkt 0 A( 3) abgebildet. c) Scherungsachse ist die Gerade g: x = r. Das Bild des Punktes A (0 3) hat die x -Koordinate. 0 Eine affine Abbildung α hat den Fixpunkt O. Bestimmen Sie jeweils die Matrixdarstellung von α und das Bild des Dreiecks OBC mit O (0 0), B ( 0) und C (0 ). Zeichnen Sie das Dreieck und das Bilddreieck jeweils in ein geeignetes Koordinatensystem. a) α bildet P() auf P( 0) und Q(0 ) auf Q( ) ab. b) Die Gerade g: x = ist Fixpunktgerade von α und der Punkt P (0 ) wird auf P(0 ) abgebildet. c) Die x -Gerade ist Fixpunktgerade und der Punkt P (0 ) wird auf P( ) abgebildet. d) Jeder Punkt P(p p ) der Geraden g: x = r wird auf P(p p ) abgebildet. Die Gerade h:x = s ist Fixpunktgerade. Tipp zu Aufgabe b): Betrachten Sie die Differenz der Ortsvektoren der beiden Punkte, die auf den gleichen Punkt abgebildet werden. a) Welche Punkte werden durch die Abbildungsvorschrift α: x = x auf den Ursprung abgebildet? b) Begründen Sie: Wenn eine durch eine Abbildungsvorschrift α: x = ab x gegebene Abbildung zwei verschiedene Punkte auf den gleichen Punkt abbildet, dann bildet sie mindestens cd einen vom Ursprung verschiedenen Punkt auf den Ursprung ab. c) Für welche Werte von a ist die durch α: x = x definierte Abbildung eine affine Abbildung? 3a 3 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

11 Matrixdarstellungen spezieller Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen a) Begründen Sie: Bei einer Drehung um mit dem Ursprung als Drehzentrum wird der Punkt E ( 0) auf den Punkt E und der Punkt E (0 ) auf den Punkt E abgebildet. b) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung einer Drehung mit dem Ursprung als Drehzentrum und dem Drehwinkel, 3 und 60. Zur Bestimmung der Matrixdarstellung einer affinen Abbildung benötigt man nur die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte O(0 0), E ( 0) und E (0 ). Diese lassen sich für Verschiebungen, zentrische Streckungen von O aus, Drehungen um O und Spiegelungen an Ursprungsgeraden leicht bestimmen. Zur Erinnerung: Für jeden Winkel α gilt: sin (70 + α) = sin (360 + (α 90 )) = sin (α 90 ) = sin (90 α) = cos (α) und cos (70 + α) = cos (90 α) = sin (α) E 90 +ϕ ϕ E ' a E E ' x E ' sin(ϕ) E sin(ϕ) ϕ cos(ϕ) E ' ϕ cos(ϕ) E x Fig. Fig. Fig. verdeutlicht: Bei einer Spiegelung an einer Ursprungsgeraden, die mit der x-achse den Winkel ϕ einschließt, wird der Punkt E (0) auf den Punkt E (cos (ϕ) sin (ϕ)) und der Punkt E (0 ) auf den Punkt E (sin(ϕ) cos(ϕ)) abgebildet. Fig. verdeutlicht: Bei einer Drehung um den Ursprung um den Winkel ϕ wird der Punkt E ( 0) auf den Punkt E (cos (ϕ) sin (ϕ)) und der Punkt E (0 ) auf den Punkt E ( sin (ϕ))cos (ϕ)) abgebildet. Bei einer zentrischen Streckung von O (00) aus mit dem Streckfaktor k wird der Punkt E ( 0) auf E (k 0) und der Punkt E (0 ) auf E (0 k) abgebildet. Diese Überlegungen liefern die folgenden Matrixdarstellungen: Ist X ein Punkt mit dem Ortsvektor x, dann gilt für den Ortsvektor x des Bildpunktes X bei einer Verschiebung um einen Vektor v zentrischen Streckung von O (0 0) aus mit x = x + v dem Streckfaktor k: x = k0 0k x Drehung um den Ursprung um einen Winkel ϕ: x = cos(ϕ) sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) x Spiegelung an einer Ursprungsgeraden a, die mit der x -Achse einen Winkel ϕ einschließt: x = cos(ϕ) sin(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) x 3 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

12 Matrixdarstellungen spezieller Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen Beispiel: (Matrixdarstellung einer Spiegelung) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung einer Spiegelung α an der Geraden g: = x. Lösung: Die Matrixdarstellung für die Spiegelung ist: x = cos(ϕ) sin(ϕ) x. Hierbei ist ϕ der sin(ϕ) cos(ϕ) Winkel zwischen der x -Achse und der Spiegelachse. Die Steigung der Spiegelachse ist, daher gilt tan (ϕ) =. Mit der Funktion tan wird daraus berechnet, und damit kann die Abbildungsmatrix aufgestellt werden. Eine Näherung erhält man auch ohne tentwick. Die Matrixdarstellung ist also α: x = 3 x. 3 Fig. Aufgaben Bestimmen Sie für das Dreieck ABC mit A ( 3), B ( ), C ( 6) die Eckpunkte des Bilddreiecks rechnerisch und zeichnen Sie beide Dreiecke in ein Koordinatensystem bei der a) Verschiebung um ; b) Drehung um O um 30 ; 7 c) Spiegelung an der Geraden g: x = r 3 ; d) zentrischen Streckung von O aus um den Streckfaktor. 3 Konstruieren Sie jeweils das Bild des Dreiecks ABC mit A ( ), B ( 3), C (3 ) bei einer Spiegelung an der Achse a und überprüfen Sie Ihre Ergebnisse durch Bestimmung der Bildpunkte, wenn gilt: a) a ist die x -Achse, b) a ist die -Achse, c) a ist die Gerade g: = x, d) a ist die Gerade mit = 3 x. a) Gegeben ist die Matrixdarstellung x = 3 3 einer affinen Abbildung. x 3 3 Weisen Sie nach, dass es sich bei der Abbildung um eine Drehung handelt, und bestimmen Sie den Drehwinkel rechnerisch. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis an einer Zeichnung. b) Gegeben ist ein -Matrix A. Zeigen Sie: Eine Abbildung α: x = A x stellt genau dann eine Drehung um den Ursprung dar, wenn gilt: A = a b für geeignete Zahlen a, b und a + b =. b a a) Gegeben ist die Matrixdarstellung x = 3 3 einer affinen Abbildung. x 3 3 Weisen Sie nach, dass es sich bei der Abbildung um eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden handelt, und bestimmen Sie die Spiegelachse rechnerisch. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis an einer Zeichnung. b) Gegeben ist eine -Matrix A. Zeigen Sie: Eine Abbildung α: x = A x stellt genau dann eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden dar, wenn gilt: A = a b für geeignete Zahlen a, b und a + b =. b a 33 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

13 Verketten von affinen Abbildungen, Multiplikation von Matrizen a) Der Punkt P wurde zuerst an der Geraden g gespiegelt, dann wurde sein Bildpunkt 6 P an der Geraden h auf den Punkt P gespiegelt. Weisen Sie durch Rechnung nach, dass h eine Punktspiegelung um den Schnittpunkt P' g der beiden Geraden den Punkt P ebenfalls auf 3 P abbildet. b) Untersuchen Sie auch den Fall, dass ein P Punkt nacheinander an zwei zueinander parallelen Spiegelachsen gespiegelt wird. Durch 3 O x welche Abbildung kann man diese zwei Spiegelungen ersetzen? P'' Fig. Das Hintereinanderausführen von Abbildungen nennt man auch Verketten. Die Verkettung zweier affiner Abbildungen ist wieder eine affine Abbildung, denn Geradentreue und Umkehrbarkeit bleiben beim Verketten erhalten. Die Matrixdarstellung einer verketteten Abbildung lässt sich berechnen, wenn man die Matrixdarstellungen der zu verkettenden Abbildungen kennt, denn: Aus α: x = A x + c α = a b x + c α und β: x = B x + c β = u v x + c β folgt a b u v x = A (B x + ) c β + c α = A (B x) + A c β +. c α Für A (B x) ergibt sich: A (B x) = u A x + v = a (u x + v ) + b (u x + v ) u x + v a (u x + v ) + b (u x + v ) (a = u + b u )x + (a v + b v ) a x = u +b u a v +b v (a u + b u )x + (a v + b v ) a u +b u a v +b v Die Matrix der Verkettung nennt man das Produkt der Matrizen A und B. Unter dem Produkt A B der Matrizen A = a b und B = u v versteht man also a b u v die Matrix A B = a u +b u a v +b v a. u +b u a v +b v Mithilfe des Matrizenproduktes kann man also die Abbildungsgleichung der Verkettung affiner Abbildungen (mit dem Fixpunkt O) allgemein angeben: Merkregel zum Matrizenprodukt: In der Produktmatrix A B steht in der i-ten Zeile und j-ten Spalte das Skalarprodukt der i-ten Zeilen von A und der j-ten Spalte von B. B = u v u v A = a b a u +b u a v +b v a b a u +b u a v +b v β α Verkettung erst β, dann α Satz: Sind durch α: x = A x und β: x = B x zwei affine Abbildungen gegeben, so gilt für ihre Verkettung in der Reihenfolge erst β, dann α : x = A B x. 3 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

14 Verketten von affinen Abbildungen, Multiplikation von Matrizen Beachten Sie: Das Verketten von affinen Abbildungen bzw. das Multiplizieren von Matrizen ist nicht kommutativ (d.h. für zwei Matrizen A und B gilt nicht immer A B = B A). Dagegen ist das Verketten von Abbildungen assoziativ (d. h. für drei Matrizen A, B, C gilt: A (B C) = (A B) C). Dies ist ein Beispiel dafür, dass das Verketten von Abbildungen bzw. die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ ist. Beispiel: (Matrixdarstellung einer Verkettung) Gegeben sind die Drehung α um 30 mit dem Ursprung als Drehzentrum und die Scherung β mit der x -Achse als Scherungsachse und dem Scherungswinkel. Geben Sie die Matrixdarstellung für die verkettete Abbildung an. a) γ : erst α, dann β b) γ : erst β, dann α Lösung: 3 Abbildungsmatrix zu ist A =, zu β die Matrix B =. a) B A= = Also gilt γ : x = x 3 b) Mit dem Matrixprodukt A B erhält man γ : x = x. 3 + Aufgaben Berechnen Sie die Matrizenprodukte A B und B A. a) A = 6, B = b) A =, B = Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen der Verkettungen erst α, dann β und erst β, dann α. a) α: x = 3 x; β: x = 0 x b) α: x = 0 x; β: x = x 3 Bestimmen Sie jeweils eine Matrixdarstellung der Abbildungen. Berechnen Sie dann auch die Matrixdarstellung für die zusammengesetzte Abbildung. Beschreiben Sie diese Abbildung geometrisch. a) Erst um O(00) um drehen, dann an g: x = r spiegeln. b) Erst Streckung von O aus um den Faktor, dann Spiegelung an der -Achse. c) Erst Spiegelung an der x -Achse, dann Scherung mit der x -Achse als Scherungsachse und dem Scherungswinkel α =. 6 Eine affine Abbildung ist festgelegt durch die Bildpunkte der Ecken eines Dreiecks ABC. Erläutern Sie an Fig., dass man jede affine Abbildung in eine Verschiebung und eine affine Abbildung mit einem Fixpunkt zerlegen kann. A C B A C B Fig. 3 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

15 6 Umkehrabbildungen Determinanten von Abbildungen Gegeben sind die Punkte O (0 0), E ( 0), E (0 ), P () und Q ( ). a) Geben Sie eine Matrixdarstellung für die affine Abbildung α mit O = O, E = P und E = Q an. b) Geben Sie eine Matrixdarstellung für die affine Abbildung β mit O = O, P = E und Q= E an. c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Abbildungen α und β? P α P Eine affine Abbildung α ist umkehrbar. Ordnet α dem Punkt P den Punkt P zu, dann ordnet die Umkehrabbildung α dem Punkt P den Punkt P zu. α Fig. Satz : Die Umkehrabbildung α einer affinen Abbildung α ist eine affine Abbildung. A C A C B g g B Fig. Beweis: Es ist zu zeigen, dass α geradentreu ist. Dazu überlegt man: Wenn g eine Gerade durch die Punkte A und B ist und C ein weiterer Punkt auf der Gerade g ist, dann liegt das Urbild von C, also das Bild von C unter α auf der Geraden AB, denn: α ist geraden- und teilverhältnistreu. Also bildet α denjenigen Punkt C auf der Geraden AB, der die Strecke AB im gleichen Verhältnis teilt wie C die Strecke AB, auf C ab. Ist α eine durch α: x = A x mit A = a b definierte affine Abbildung mit dem Fixpunkt O, a b dann ist auch die Umkehrabbildung α eine affine Abbildung mit dem Fixpunkt O. Es gibt also eine Matrix, die man mit A bezeichnet, so dass gilt: α : x = A x. determinare (lat.) = abgrenzen Die Matrix A zur Umkehrabbildung wird mit dem CAS berechnet (Fig. 3). Man erkennt, dass die Koeffizienten von A alle den Nenner D = a b a b haben. D kann bei einer affinen Abbildung nicht 0 sein, weil man sonst A nicht berechnen könnte. Man nennt D Determinante von bzw. A. Mithilfe von D lässt sich entscheiden, ob eine Abbildung invertierbar ist. Man erhält so: Fig. 3 Gibt es zu einer Matrix A eine inverse Matrix, so sagt man: A ist invertierbar. Satz : Eine Abbildung α: x = A x mit A = a b ist genau dann umkehrbar, wenn die a b Determinante D = a b a b von Null verschieden ist. Zur Umkehrabbildung α gehört dann b D a D b D a b b a a die zu A inverse Matrix A = = D. D 36 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

16 Umkehrabbildungen Determinanten von Abbildungen Sind zwei affine Abbildungen α und gegeben, so schreibt man für die durch die Verkettung erst, dann α definierte Abbildung γ (vgl. S. 3) γ = α. α º α Fig. Bemerkungen: a) Wenn α: x = A x + c eine affine Abbildung ist, dann ist α : x = A x auch eine affine Abbildung; die Matrix A ist also invertierbar. α : x = A x A c ist dann eine Matrixdarstellung für die Umkehrabbildung. b) Bezeichnet man mit id die identische Abbildung, d. h. die Abbildung, die jeden Punkt P auf sich selbst abbildet, so gilt für jede affine Abbildung α: () α id = α und id α = α () α α = α α = id Aus diesen Eigenschaften lässt sich folgern, dass es zu je zwei affinen Abbildungen α und β stets genau eine Lösung γ der Gleichung α γ = β gibt: Eine Lösung ist auf jeden Fall γ = α β. Gilt α γ = β und α γ = β, so folgt α (α γ ) = α (α γ ) und damit γ = γ. Ebenso lässt sich zeigen, dass γ = β α die einzige Lösung der Gleichung γ α = β ist. Man nennt eine Menge M zusammen mit einer Verknüpfung *, die jedem Paar (a, b) von Elementen a und b aus M ein Element c = a * b zuordnet, eine Gruppe, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: () Es gilt das Assoziativgesetz, d.h. (a * b) * c = a * (b * c) für alle a, b, c aus M. () Es gibt ein neutrales Element e, d.h. es gibt ein e aus M, so dass a * e = e * a für alle a aus M. (3) Zu jedem a aus M gibt es ein inverses Element a aus M, für das gilt: a * a = a * a = e. Die affinen Abbildungen bilden also mit der Verkettung als Verknüpfung eine Gruppe. Ebenso bilden die Kongruenzabbildungen, die Ähnlichkeitsabbildungen, die zentrischen Streckungen mit gleichem Zentrum und die Drehungen mit gleichem Zentrum jeweils zusammen mit der Verkettung als Verknüpfung eine Gruppe. Die Spiegelungen bilden hingegen mit der Verkettung als Verknüpfung keine Gruppe, denn die Verkettung zweier Spiegelungen ist nicht wieder eine Spiegelung. Aus Satz 3 folgt, dass der Betrag der Determinante einer affinen Abbildung das Verhältnis der Flächeninhalte von Figur und Bildfigur angibt. Ist der Betrag der Determinante, dann ist die affine Abbildung flächeninhaltstreu. Die Determinante einer affinen Abbildung hat eine geometrische Bedeutung: Fig. verdeutlicht, dass für den Flächeninhalt A des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms gilt: A = a b sin(ϕ), wenn ϕ der Winkel zwischen a und b ist. Man erhält: A = a b sin (ϕ) = a b ( cos (ϕ)) = a b a b a b = a b a b = (a + a )(b + b ) (a b + a b ) = (a b a b ) Also: A = a b a b. Hieraus ergibt sich: Satz 3: Ist A eine -Matrix, dann ist der Betrag der Determinante von A gleich dem Flächeninhalt des von den Spaltenvektoren von A aufgespannten Parallelogramms. ϕ b b sin(ϕ) a Fig. 37 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

17 Umkehrabbildungen Determinanten von Abbildungen Beachten Sie: In Beispiel gilt γ γ. Beispiel : (Lösen einer Matrizengleichung ) Die affine Abbildung α ist die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden; die Abbildung β die Drehung um O um 30. Bestimmen Sie Matrixdarstellungen für affine Abbildungen γ und γ, so dass gilt: α γ = β und γ α = β. Lösung: Wenn A die Matrix zu α, B die Matrix zu β, C die Matrix zu γ und C die Matrix zu γ ist, dann muss gelten: C = A B (Fig. ) und C = B A (Fig. ) Mit A = und B = ergibt sich C = und C = Die Funktion hängean in Fig. 3 findet man im Menü MATH -Matrix. Fig. Fig. Fig. 3 Beachten Sie, dass bei Fig. 3 p, q, r als Spaltenvektoren einzugeben sind (vgl. S. 39). Die Vektoren PQ und PR kann man als Ortsvektoren der Bilder der Punkte E (0) und E (0) bei einer affinen Abbildung auffassen. Beispiel : (Flächenberechnung) Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Dreiecks PQR in Fig.. Lösung: Der Flächeninhalt des Dreiecks ist halb so groß wie der Flächeninhalt des durch die Vektoren q p und r p aufgespannten Parallelogramms. Es gilt also (Fig. 3): A = 3 =. 3 O R Q P x Fig. Aufgaben Berechnen Sie die zu A inverse Matrix a) A = b) A = c) A = d) A = 3 3 Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von α. a) α: x = 3 x b) α: x = 7 3 x c) α: x = 03 x Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von α. a) α: x = x + b) α: x 0 6 = x + c) α: x 3 = 3 7 x Alle Rechte vorbehalten. ISBN

18 Umkehrabbildungen Determinanten von Abbildungen Es sind gegeben α: x = x und β: x = 3 8 x. Bestimmen Sie die Matrixdarstellungen für a) α b) β c) (α β) d) (β α) e) α β f) β α 6 Begründen Sie: Für zwei affine Abbildungen α und β gilt: (α β) = β α. 7 Bestimmen Sie das Bild g der Geraden g und das Urbild der Geraden h bei der affinen Abbildung α: x = x a) g: x + 7 = 0; h: x = + t b) g: x = + t ;h: x + 3 = 0 8 a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung für die Umkehrabbildung einer Scherung α mit der Scherungsachse a: x + = 0, die A (0 ) auf A(3 ) abbildet. b) Begründen Sie: Die Umkehrabbildung einer Scherung ist eine Scherung. c) Begründen Sie ohne Rechnung: Der Betrag der Determinante einer Scherung ist. Zu Aufgabe 0: Aufgabe 0 in Kurzform: det(a B) = det(a) det (B) Tipp zu den Aufgaben b) und c): Benutzen Sie das Ergebnis von Aufgabe 0 und nutzen Sie Gruppeneigenschaften aus. 9 Bestimmen Sie für α: x = 6 x und β: x x die Matrixdarstellung der 8 affinen Abbildung γ, so dass gilt: a) α γ = β b) β γ = α c) γ α = β d) γ β = α e) α γ α = β f) α γ β = β g) α β γ = α h) α γ β = α 0 Beweisen Sie mit und ohne CAS, dass die Determinante des Produktes zweier Matrizen gleich dem Produkt der Determinanten der beiden Matrizen ist. Begründen Sie: a) Die Determinante einer Drehung ist und die Determinante einer Spiegelung ist. b) Wenn α eine Drehung, β eine Spiegelung und α γ = β, dann ist γ eine Spiegelung. c) Wenn α eine Spiegelung, β eine Drehung und α γ = β, dann ist γ eine Spiegelung. Bestimmen Sie die Flächeninhalte der Figuren. 6 3 D C 6 3 C B 6 3 D C A B x x A B x O 3 O A 3 O 3 Fig. 3 Die affine Abbildung α: x = x bildet das Rechteck ABCD mit A (3 ), B (7 3), 3 C(6), D(3) auf ein Parallelogramm ab. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms. 39 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

19 7 Eigenwerte und Eigenvektoren Bestimmen Sie für die affine Abbildung α: x = x alle Fixgeraden durch den 0 Ursprung. Fixgeraden spielen bei der Untersuchung von affinen Abbildungen eine wichtige Rolle. Hier werden jetzt affine Abbildungen mit dem Fixpunkt O auf Fixgeraden untersucht. Ist g: x = p + t u mit p o Fixgerade einer affinen Abbildung α:x = A x, so muss auch u ein Eigenvektor von α sein. In diesem Fall sind sogar alle zu g parallelen Geraden Fixgeraden von α: Es gibt nämlich eine reelle Zahl t 0, für die gilt: p = A p = p + t 0 u, weil g Fixgerade ist und deswegen P auch auf g liegen muss. Zu jeder zu g parallelen Gerade h gibt es eine Zahl r, so dass gilt: h: x =rp +tu. Aus A (rp +tu) = ra p + ta u = r (p + t 0 u) + ta u = r p + r t 0 u + t Au folgt, dass auch h Fixgerade ist. Gegeben sind eine affine Abbildung α: x = A x mit A = a b a b u und eine Ursprungsgerade g: x = t u mit u = o. u Dann ist A u ein Richtungsvektor für die Bildgerade g. Ist g Fixgerade, so muss A u ein Vielfaches von u sein. In diesem Fall gibt es also eine reelle Zahl λ, so dass A u = λ u bzw. A u λ u = o. Das ist gleichbedeutend mit a λ b u = o bzw. (a λ)u + b u = 0. a b λ a u + (b λ)u = 0 Dieses Gleichungssystem hat genau dann eine von (0 0) verschiedene Lösung, wenn (a λ)(b λ) a b = 0. Die Abbildung α besitzt also genau dann eine Fixgerade durch O, wenn es eine reelle Zahl λ gibt, mit (a λ)(b λ) a b = 0. Definition: Gegeben ist eine Abbildung α: x = A x mit A = a b a. b Die Gleichung (a λ) (b λ) a b = 0 bzw. λ (a + b ) λ + (a b a b ) = 0 heißt charakteristische Gleichung von α. Die Lösungen dieser Gleichung nennt man Eigenwerte von α. Ist λ 0 ein Eigenwert von α und ist u o ein Vektor mit A u = λ 0 u, dann nennt man u einen Eigenvektor von α zum Eigenwert λ 0. Die Eigenvektoren einer affinen Abbildung mit Fixpunkt O legen die Richtungen aller Fixgeraden fest. Sind u und v Eigenvektoren einer Abbildung α mit der Matrix A zum Eigenwert λ, dann gilt dies auch für u + v und r u (r 0), denn: A(u + v) = A u + A v = λ u + λv = λ (u + v) und A(ru) = r (A u) = r (λ u) = λ (r u). Die Menge der Eigenvektoren einer Abbildung α zu einem Eigenwert λ besteht also entweder aus allen von o verschiedenen Vielfachen eines Vektors u o oder aus allen Vektoren der Ebene. Die charakteristische Gleichung einer affinen Abbildung ist eine quadratische Gleichung. Quadratische Gleichungen haben keine, eine oder zwei Lösungen. Die Lösungen der charakteristischen Gleichung sind die Eigenwerte. Die Abbildung kann also höchstens zwei verschiedene Eigenwerte besitzen. Dass es affine Abbildungen ohne, mit einem oder mit zwei Eigenwerten gibt, zeigen die Beispiele. 360 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

20 Eigenwerte und Eigenvektoren Beachten Sie den Randtext auf Seite 360. Beispiel : (Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen) a) Bestimmen Sie mithilfe der charakteristischen Gleichung alle Eigenwerte und Eigenvektoren der affinen Abbildung : x = 3 x. b) Welche Fixgeraden hat? Lösung: Die charakteristische Gleichung ist + = 0. Sie hat genau eine Lösung, nämlich = (Fig. ). Mit der Gleichung Ax = x ergibt sich jeder Vektor der Fig. t Form mit t 0 als Eigenvektor, z. B. (Fig. ). t b) Die Gerade g mit der Gleichung x = t, tr, ist Fixgerade (setze u = v = 0 in Fig. ). Die Bildgerade einer zu g parallelen Geraden durch den Stützpunkt P (uv) verläuft parallel zu g (Fig. ). Aber Fig. der Bildpunkt P(u vu + 3 v) kann nicht auf g liegen, weil der Vektor v PP = nicht zum Richtungsvektor von g parallel ist, außer wenn u = v u + v ist. Dann liegt aber P auf g. Also gibt es keine weiteren Fixgeraden. Die Funktionen EigWert und EigVek findet man im Menü MATH -Matrix. Die Fehlermeldung bei Fig. 6 erscheint, weil die charakteristische Gleichung keine Lösung hat. Beispiel : (Untersuchen von Abbildungen auf Fixgeraden durch den Ursprung) Bestimmen Sie jeweils alle Fixgeraden durch den Ursprung bei der Abbildung α: x = A x. a) A = b) A = c) A = 0 d) A = 0 Lösung: Das CAS ermöglicht, Eigenwerte und Eigenvektoren unmittelbar zu berechnen. Bei der Berechnung der Eigenvektoren wird eine Matrix ausgegeben; jede Spalte dieser Matrix liefert einen Eigenvektor mit Betrag. Man erkennt damit: a) (Fig. 3) Eigenwerte sind bzw. ; Eigenvektoren dazu sind bzw., die hier als Vielfache des Rechnerergebnisses mit ganzzahligen Koeffizienten angegeben sind. Die beiden Geraden g: x = t und h: x = t sind daher die einzigen Fixgeraden durch den Ursprung. b) (Fig. ) Es gibt nur den Eigenwert mit Eigenvektor. Einzige Fixgerade durch den Ursprung ist daher die Gerade g: x = t. c) (Fig. ) Es gibt nur den Eigenwert, aber alle von o verschiedenen Vektoren der Ebene sind Eigenvektoren. Daher sind alle Geraden durch den Ursprung Fixgeraden. d) (Fig. 6) Da es keine Eigenwerte gibt, hat auch keine Fixgeraden. Fig. 6 Fig. 3 Fig. Fig. 36 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

21 Eigenwerte und Eigenvektoren Aufgaben Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix. 3 0 a) b) c) d) 3 Bestimmen Sie die Geraden, die bei einer affinen Abbildung mit Matrix A und Fixpunkt O parallel zu ihrer Bildgeraden verlaufen. 0 3 a) A = b) A = c) A = d) A = Die affine Abbildung α: x = x hat nur eine Fixgerade g. 7 a) Bestimmen Sie eine Gleichung von g. b) Untersuchen Sie, ob g auch eine Fixpunktgerade ist. Bestimmen Sie jeweils alle Fixgeraden durch den Ursprung bei der Abbildung α. a) α: x = x b) α: x = x c) α: x = 3 x 6 Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der affinen Abbildung: a) Spiegelung an der x -Achse, b) Spiegelung an a: = x, c) Drehung um O um 90, d) Zentrische Streckung von O aus mit Streckfaktor k =, e) Scherung mit der Achse a: = 0, der Punkt P (0 3) wird auf P( 3) abgebildet. 7 Geben Sie eine Matrix an, a) welche die Eigenwerte und hat b) die nur den Eigenwert hat c) die nur den Eigenwert hat, aber bei der nicht jeder von o verschiedene Vektor ein Eigenvektor ist d) die keine Eigenwerte hat. P( ) wird auf P( ) und Q ( ) wird auf Q (3 6) abgebildet. a) Welche Eigenwerte und welche Eigenvektoren besitzt die Abbildung? b) Stellen Sie die Matrixgleichung der Abbildung auf. 8 Eine affine Abbildung hat die Fixgeraden g: x = t und h: x = t. 9 Für jedes t r ist durch α t : x = 3 t x eine affine Abbildung definiert. a) Untersuchen Sie die Anzahl der Eigenwerte in Abhängigkeit von t. b) Für welchen Wert von t hat α t den Eigenwert? c) Gibt es einen Wert für t, so dass α t eine Spiegelung ist? 0 Zeigen Sie: a) Hat die affine Abbildung α den Eigenwert λ, dann hat die Umkehrabbildung α den Eigenwert λ. b) Haben die Abbildungen α und β den Eigenvektor v, dann haben auch die Abbildungen α β und β α den Eigenvektor v. 36 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

22 8 Parallelprojektionen Projektionsgerade x P x 3 Bildebene Fig. P' Fig. Fig. 3 Diese häufig bei räumlichen Darstellungen (auch in diesem Buch) benutzte Projektion nennt man eine Kavalierprojektion. X Z O x Y 3 x 3 Z Fig. zeigt das Schattenbild eines Kantenmodells eines Würfels mit den Eckpunkten O (6 ), X (8 ), Y (6 ) und Z (6 6) in der x 3 -Ebene. Berechnen Sie die Koordinaten der Schattenpunkte, wenn paralleles Licht in Richtung 3 v = einfällt. Geben Sie Abbildungsgleichungen an, die für jeden Punkt P des Raumes den Schnittpunkt der Geraden durch P in Richtung von v mit der x 3 -Ebene liefern. Eine Projektion ist eine Abbildung des Raumes in eine Ebene E, die so genannte Projektionsebene. Die Gerade zwischen einem Punkt und seinem Bildpunkt bei einer Projektion nennt man eine Projektionsgerade. Wenn bei einer Projektion alle Projektionsgeraden zueinander parallel sind, spricht man von einer Parallelprojektion. Ist v ein Richtungsvektor einer Projektionsgeraden bei einer Parallelprojektion, so wird jedem Punkt P des Raumes der Schnittpunkt der Geraden mit dem Richtungsvektor v durch P und der Ebene E als Bildpunkt zugeordnet. Fig. 3 zeigt das Bild des Einheitswürfels unter einer Parallelprojektion in die x 3 -Ebene mit der durch den Vektor v = gegebenen Projektionsrichtung. Das Bild E des Punktes E ( 00) erhält man durch Lösen der Gleichung 0 + t v =. Man erhält t =, = x 3 = ; also E 0. Die Punkte E (0 0) und E 3 (0 0) werden auf sich selbst abgebildet. Das Bild eines Punktes P mit p = p e + p e + p 3 e 3 erhält man nun, indem man die Gleichung p + tv = e + x 3 e 3 löst. Man erhält t = p, = p p,x 3 = p 3 p. Für den Bildpunkt P gilt also p = p p e + p 3 p e 3 = p e e 3 0 Hieraus folgt, dass sich die Projektion durch die Matrix P = Diese Feststellung lässt sich verallgemeinern. Es gilt der O Y Ο 3 X 0 0 x 3 + p e + p 3 e 3 = p e + p e + p 3 e beschreiben lässt. Satz: Eine Parallelprojektion in eine Ebene E durch den Ursprung O lässt sich durch eine 3 3-Matrix A beschreiben. Die Spalten der Matrix sind die Ortsvektoren der Bilder der Punkte E ( 00), E (0 0) und E 3 (0 0 ). 363 Alle Rechte vorbehalten. ISBN

23 Parallelprojektionen Dem praktischen Zeichnen liegt eine axonometrische Abbildung zugrunde, wie z. B. das folgende Zitat aus einem älteren Buch über darstellende Geometrie zeigt. Zeichenregel für Kavalierprojektion: Alle Breiten und Höhen werden in wahrer Größe, alle Tiefen unter nach hinten fliehend um die Hälfte verkürzt gezeichnet. Ein Satz des Mathematikers POHLKE besagt, dass man jedes Bild eines räumlichen Gegenstandes, das man durch eine axonometrische Abbildung erhalten kann, auch durch eine Parallelprojektion erhalten kann. 36 Statt Abbildungen des Raumes in sich zu betrachten, kann man Abbildungen des Raumes in die Ebene betrachten, um räumliche Darstellungen zu erhalten. Man gibt dann häufig die Bilder der Punkte E ( 00), E (0 0) und E 3 (0 0) vor und verlangt, dass sich die Abbildung mithilfe einer 3-Matrix beschreiben lässt. Eine solche Abbildung nennt man eine axonometrische Abbildung. Beim technischen Zeichnen benutzt man häufig folgende Darstellung: E ( 00) wird auf F cos (, ) sin (, ), E (0 0) auf F (cos(73 )sin (73 )) und E 3 (0 0) auf F 3 (0 ) abgebildet. Als zugehörige Abbildungsmatrix A ergibt sich also A = cos(, ) cos(73 ) 0. sin(, ) sin(73 ) Die Strecke OE erscheint also unter einem Winkel von, zur x -Achse um den Faktor 0, verkürzt; die Strecke OE unter einem Winkel von 73 zur x -Achse unverkürzt, und die Strecke OE 3 wird unverkürzt auf die -Achse abgebildet. Beispiel : (Projektionsebene und Projektionsrichtung sind gegeben) Betrachtet wird eine Parallelprojektion in die x 3 -Ebene mit der durch v = 0, gegebenen 0, Projektionsrichtung. a) Bestimmen Sie die Projektionsmatrix P. b) Bestimmen Sie die Matrix A für eine axonometrische Darstellung. c) Der Einheitswürfel mit den Ecken O (000), E ( 00), E (0 0) und E 3 (0 0 ) wird abgebildet. Zeichnen Sie das Bild. Lösung: a) Die Bilder der Punkte E (0 0) und E 3 (0 0) liegen fest. Es muss das Bild von E ( 00) als Schnittpunkt der Geraden g: x = e + t v mit der x 3 -Ebene bestimmt werden. Der Ansatz 0 + t = 0 0, x liefert: x 3 0 0, x 3 t =, = 0, und x 3 = 0, Man erhält: P = 0, 0 E. 3 ' 0, 0 b) Als Matrix A ergibt sich A = 0, 0 0, 0. c) Um das Bild zeichnen zu können, benötigt man z.b. noch das Bild des Punktes H ( 0). Man berechnet 0, 0 = 0, 0, , Die fehlenden Bildpunkte erhält man, indem man die Bildpunkte von E, E und H in die Zeichenebene um 0 verschiebt. E ' E ' 7 E 3 ', Ο H' E ' E ' x Fig. Fig. Alle Rechte vorbehalten. ISBN

24 Parallelprojektionen E 3 ' 0 E ' x E ' Fig. Beispiel : (Bestimmung von Projektionsmatrix und Projektionsrichtung; Bildebene und Bild der x -Achse sind vorgegeben) Bei einer Parallelprojektion in die x 3 -Ebene erscheint die x -Achse unter einem Winkel von 0 zur -Achse und um den Faktor verkürzt. 3 a) Bestimmen Sie eine Projektionsmatrix P. b) Bestimmen Sie die Projektionsrichtung. Lösung: a) Der Punkt E ( 00) wird auf E 0 cos (0 ) 3 sin (0 ) 3 = abgebildet; die Punkte E (0 0) und E 3 (0 0) werden auf sich selbst abgebildet. Für die Projektionsmatrix P erhält man somit: P = b) Eine Gerade in Projektionsrichtung durch den Ursprung wird auf den Ursprung abgebildet; ihr Richtungsvektor muss also auf o abgebildet werden. Der Ansatz P v = o mit 0 = 0 v 3 3 v +v = 0 3 v 3 + v 3 = 0 v = führt zu dem Gleichungssystem. Eine Lösung ist v = 3. v v 3 3 Ο E 3 ' E ' 30 E ' x Fig. Beispiel 3: (Bestimmung der Abbildungsmatrix für eine axonometrische Darstellung) Fig. zeigt die Bilder der Punkte E ( 00), E (0 0) und E 3 (0 0) bei einer axonometrischen Abbildung. OE und OE 3 haben die Länge, OE hat die Länge 0,. Bestimmen Sie die Projektionsmatrix. Lösung: 3. Es ist E ( 0), E 3 (0 ) und E cos (30 ) sin (30 ) ; also E Für die Projektionsmatrix A erhält man A =. Aufgaben Gegeben ist jeweils eine Projektionsebene E und eine durch einen Richtungsvektor v gegebene Projektionsrichtung. Ermitteln Sie die Projektionsmatrix und zeichnen Sie jeweils das Bild des Einheitswürfels mit den Eckpunkten E 0 (0 00), E ( 00), E (0 0) und E 3 (0 0) in der Projektionsebene E. a) E ist die x 3 -Ebene; v = b) E ist die x x 3 -Ebene; v = 3 Fig. 3 zeigt das Bild eines Turms. Berechnen Sie die Bilder der Eckpunkte und zeichnen Sie das Bild unter der angegebenen Projektion. a) Projektionsebene ist die x 3 -Ebene. Die Projektionsrichtung ist senkrecht zur Projektionsebene. b) Projektionsebene ist die x -Ebene. Die Projektionsrichtung ist dadurch gegeben, dass der Punkt P () auf O abgebildet wird. S( 6,) R(0 0) O(0 0 0) T( 0 ) P( 0 0) Fig Alle Rechte vorbehalten. ISBN

25 Parallelprojektionen x 3 F E D A x 366 C B Fig. Fig. 6 Bei Bildstadtplänen wird häufig die Projektion in die x -Ebene mit der durch v = gegebenen Projektionsrichtung verwendet. a) Aufgrund der Anschaulichkeit ist es üblich, das Bild der x 3 -Achse auf dem Zeichenblatt senkrecht zu zeichnen. Wie müssen dann die Bilder der beiden anderen Achsen eingezeichnet werden? b) Begründen Sie, dass man einer so hergestellten Zeichnung viele Längen maßstabsgetreu entnehmen kann. Fig. c) Zeichnen Sie das Bild einer Rampe (Fig. ) mit den Eckpunkten A, B, C, D, E, F mithilfe der in dieser Aufgabe gesuchten Projektion. In den Fig. 3 bis Fig. stellen die Punkte E, E, E 3 jeweils die Bilder der Punkte E ( 00), E (0 0) und E 3 (0 0) dar. Bestimmen Sie jeweils die Matrix einer axonometrischen Abbildung, die die Punkte wie angegeben abbildet. Zeichnen Sie jeweils das Bild der Rampe aus Aufgabe. E 3 ' E 3 ' E Dimetrie 3 ' OE '= OE ' E ' E ' 3, 97, x Ο x Ο x Ο E ' 30 E ' 3, E ' 90 E ' OE '= OE ' Fig. 3 Fig. Fig. 6 Ein quaderförmiges Haus mit Walmdach (Fig. 6) hat eine Dachfirsthöhe über Grund von m. Die Länge des symmetrisch verlaufenden Firsts ist 7 m. Der quaderförmige Hauskörper ist 3m lang, 6m breit und 8 m hoch. Das Koordinatensystem sei so gelegt, dass die Eckpunkte der Grundfläche die Koordinaten (000), (3 00), (3 6 0) und (0 60) haben. a) Zeichnen Sie das Bild des Hauses unter der Projektion aus Beispiel. b) Zeichnen Sie das Bild unter den axonometrischen Abbildungen aus Aufgabe. 7 Gegeben ist die Ebene E : x + + x 3 =. a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen. b) Unter den Spurgeraden einer Ebene versteht man die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen. Veranschaulichen Sie die Ebene E durch Zeichnen der Bilder der Spurgeraden unter den Projektionen der Aufgabe 3. c) Zeichnen Sie jeweils auch das Bild einer zur Ebene E senkrechten Ursprungsgerade ein. d) Die Ebene E sei die zu E parallele Ebene durch den Ursprung. Es wird senkrecht auf E projiziert. Berechnen Sie die Bilder der Spurgeraden von E unter dieser Projektion. e) Berechnen Sie die Längen der Bilder von OE, OE und OE 3 bei der Projektion aus d). f) Berechnen Sie die Winkel, die die Bilder dieser Strecken miteinander einschließen. g) Geben Sie eine axonometrische Abbildung an, die das gleiche Bild liefert wie die Parallelprojektion aus d). Alle Rechte vorbehalten. ISBN