Mathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer

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1 Integrlrechnung

2 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Integrl ls Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion und F eine Funktion, deren Ableitung f ist, d.h. F (x) = f (x) für lle x D f Dnn nennen wir F eine Stmmfunktion von f. Beispiel: F (x) = x 3 ist eine Stmmfunktion von f (x) = 3x 2, denn ( x 3) = 3x 2. Bechte: G(x) = x ist ebenflls Stmmfunktion von f (x) = 3x 2, denn ( x ) = 3x 2. Ds Beispiel zeigt: Stmmfunktion ist nicht eindeutig eine Funktion knn mehrere Stmmfunktionen hben.

3 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Stmmfunktion (unbestimmtes Integrl) Aus der Existenz einer Stmmfunktion folgt, dss eine Funktion mehrere Stmmfunktionen ht, und es gilt: Ist F eine Stmmfunktion von f, so ist jede Stmmfunktion von f von der Form F (x) + c, wobei c eine Konstnte ( IR) ist. Wir bezeichnen die Menge ller Stmmfunktionen ls unbestimmtes Integrl und verwenden für sie die Schreibweise f (x)dx (gesprochen: Integrl von f (x) oder Integrl f (x)dx).

4 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Stmmfunktion (unbestimmtes Integrl) Unbestimmtes Integrl: f (x)dx = F (x) + c Beispiel: 3x 2 dx = x 3 + c. Der Zustz + c soll nzeigen, dss die Stmmfunktion nur bis uf eine (beliebige) Konstnte (die so gennnte Integrtionskonstnte) eindeutig ist. Er wird mnchml der Einfchheit hlber weggelssen. Eine Stmmfunktion zu einer gegebenen Funktion zu nden, heiÿt integrieren. Der Ausdruck zwischen Integrlzeichen und dem Symbol dx heiÿt Integrnd (zu integrierende Funktion).

5 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Integrl-/Ableitungstbellen Wir lernen später einige Regeln zum Integrieren kennen. Hier vorb die wichtigste Methode: Benutzen Sie lles, ws sie über Ableitungsregeln und Ableitungen spezieller Funktionen wissen. Stmmfunktionen können oft errten werden. Flls eine Tbelle von Ableitungen zur Verfügung steht, knn hierus uch eine Stmmfunktion bgelesen werden: Funktion Ableitung Die einzelnen Zeilen können von rechts nch links gelesen werden: Ist f die Ableitung von F, so ist F eine Stmmfunktion von f. cx c cos x sin x ln x 1/x......

6 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Integrl-/Ableitungstbellen ( Bsp: Gesucht Stmmfunktion von x + 3 sin x x 2) = 2x ( x 2 /2 ) = x (cos x) = sin x ( 3 cos x) = 3 sin x Zusmmensetzen: ( x 2 /2 3 cos x) = x + 3 sin x Dmit: (x + 3 sin x)dx = x 2 /2 3 cos x + c In Formelsmmlungen gibt es uch spezielle Integrltbellen mit Stmmfunktionen zu einigen grundlegenden Funktionen.

7 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Flächeninhltsproblem: Gegeben: reelle Funktion f. Bestimme den Inhlt der Fläche unter ihrem Grphen im Intervll x b. Sprech-/Schreibweise: der Inhlt der Fläche unter dem Grphen einer Funktion f zwischen den Stellen und b heiÿt bestimmtes Integrl und wir schreiben: f (x)dx Sprechweise: Integrl f (x)dx von bis b oder Integrl über f (x) von bis b.

8 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Bezeichnungen: im Ausdruck f (x): Integrnd : untere Integrtionsgrenze b: obere Integrtionsgrenze x: Integrtionsvrible f (x)dx heiÿt Integrtionsvrible knn beliebig umbennnt werden und ht uÿerhlb des Integrls keine Bedeutung. Also: f (x)dx = f (t)dt = f (y)dy Flächeninhlt und Stmmfunktion hben ähnliche Schreibweisen. Zufll?

9 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Flächeninhltsfunktion Ist f stetig, so ist der Flächeninhlt unter dem Grphen von f eng mit der Stmmfunktion von f verwndt. Dzu denieren wir eine Funktion A, deren Werte Flächeninhlte sind. A(x) sei die Fläche unter dem Grphen von f zwischen einer (festgehltenen) Untergrenze und einer (vriblen) Obergrenze x im Intervll [, b], d.h. ds bestimmte Integrl über f in den Grenzen von bis x. A knn mn Flächeninhltsfunktion nennen. Fläche zwischen und b (best. Integrl): Funktionswert A(b).

10 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Flächeninhltsfunktion Jetzt: Wie verhält sich A(x) bei einer kleinen Änderung von x? Wir ändern x uf x + ɛ. Der Funktionswert ändert sich von A(x) uf A(x + ɛ). Dierenz: A(x + ɛ) A(x): Flächeninhlt des Streifens zwischen x und x + ɛ. f ist stetig (d.h. Funktionswerte mchen keine Sprünge) und ɛ sehr klein. Wir können dher den Flächeninhlt des Streifens durch Flächeninhlt eines Rechtecks mit Seitenlängen ɛ und f (x) pproximieren.

11 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Flächeninhltsfunktion Approx.: Flächeninhlt Streifen Flächeninhlt Rechteck A(x + ɛ) A(x) ɛ f (x) für kleine ɛ Dividiere beide Seiten durch ɛ und bilde Grenzwert für ɛ 0 A(x + ɛ) A(x) lim = f (x) ɛ 0 ɛ Dmit ist die Ungenuigkeit der Approximtion verschwunden. Linke Seite: Ableitung von A(x) (Grenzwert des Dierenzenquotienten) und dmit A (x) = f (x) Ableitung von A ist f. Mit nderen Worten: Ist f stetig, so ist die Flächeninhltsfunktion A eine Stmmfunktion von f.

12 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Flächeninhltsberechnung Dmit knn mn die Inhlte von Flächen, die von Kurven begrenzt sind, berechnen, flls mn die Stmmfunktion ermitteln knn: Sei F (x) eine Stmmfunktion von f. Dnn unterscheiden sich A von oben und F höchstens um eine Konstnte c: A(x) = F (x) + c D Flächeninhlt von bis A() = 0 ist, folgt: 0 = F () + c bzw. c = F () Die gesuchte Fläche A(b) ist dher gleich A(b) = F (b) + c = F (b) F (). Für die Berechnung der Fläche muss mn lediglich irgendeine Stmmfunktion von f kennen und die Dierenz der Werte n den Stellen und b kennen. Schreibweise für die Dierenz: F (x) b = F (b) F () x=

13 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Flächeninhltsberechnung Mit dieser Bezeichnung können wir die Flächenberechnung für stetige Funktionen f in der Form schreiben: f (x)dx = F (x) b = F (b) F () x= wobei F eine Stmmfunktion von f ist. Huptstz der Dierenzil- und Integrlrechnung D. h. die Berechnung des bestimmten Integrls erfolgt durch Stmmfunktion n der oberen Grenze minus Stmmfunktion n der unteren Grenze.

14 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Flächeninhltsberechnung: Beispiel Erinnerung: ds unbestimmte Integrl zur Funktion f (x) = 3x 2 ist 3x 2 dx = x 3 + c Irgend eine Stmmfunktion: wähle c = 0 bzw. F (x) = x 3 Gesucht: Fläche unter dem Grph von f zwischen 0 und 1: 1 0 3x 2 dx = x 3 1 x=0 = = 1

15 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integrl Flächen unterhlb der x-achse gehen mit negtivem Vorzeichen ein. Dies wird bei der Berechnung mit dem Huptstz berücksichtigt. Bsp: 1 ( ) 0 3x 2 dx = x 3 1 = ( ) = 1 x=0 Flls Integrl einer Funktion über ein Intervll gleich 0: Flächen oberhlb und unterhlb der x-achse sind gleich groÿ und heben sich gegeneinnder weg.

16 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integrl Es muss nicht gelten < b (d. h. untere Integrtionsgrenze kleiner obere). Bestimmte Integrle sind mit beliebigen Grenzen berechenbr und es gilt folgende Rechenregel: f b f (x)dx = f (x)dx Vertuschen der Grenzen ändert ds Vorzeichen. muss nicht notwendiger Weise stetig sein. Ist f stückweise stetig, so wird jedes Intervll, in dem sie stetig ist, für sich betrchtet. Dnch wird die Summe dieser Einzelintegrle ddiert. (Skizze: Integrle von bis b und von b bis c getrennt berechnen und ddieren).

17 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integrl Flächenberechnung: Fläche zwischen zwei Funktionsgrphen, die sich in x = und x = b schneiden: Dierenz von bestimmten Integrlen: Dies gilt uch, flls die Fläche zum Teil in der oberen und zum Teil in der unteren Hlbebene liegt. F = [f (x) g(x)] dx

18 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integrl Später sehen wir: die Integrtionsgrenzen können unter gewissen Vorussetzungen durch oder ersetzt werden, und n einer (endlichen) Integrtionsgrenze drf f u. U. uch eine Unendlichkeitsstelle besitzen. Dmit können die Inhlte von Flächen berechnet werden, die bis ins Unendliche reichen, so gennnte uneigentliche Integrle.

19 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Bemerkungen zum bestimmten Integrl Symbole und dx: Schreibweise von Gottfried Wilhelm von Leibniz: Der ht sich die Fläche unter einem Funktionsgrphen ls us unendlich vielen, unendlich dünnen nebeneinnder stehenden Rechtecken zusmmengesetzt gedcht, jedes ähnlich dem schmlen Streifen, den wir oben betrchtet hben. Wird ɛ = dx gesetzt und ls unendlich kleine (innitesimle) Gröÿe, ls Dierentil, ufgefsst, so stellt sich der Flächeninhlt ls Summe von unendlich vielen unendlich kleinen Rechtecksächen f (x)dx dr. Integrlzeichen, ls lnggestrecktes S, steht für diese Summe. Sie erstreckt sich in gewisser Weise über lle x, beginnend bei und endend bei b, ws oberhlb und unterhlb des Integrlzeichens vermerkt wird. In dieser Interprettion ist die Gröÿe f (x)dx ttsächlich ein Produkt.

20 Grundintegrle Regeln Grundintegrle Integrtionstbelle = Integrtionstfeln = Auistung von Integrlen longrightrrow Beispiel für Integrtionstbelle uf meiner Seite

21 Grundintegrle Regeln Integrl eines Vielfchen: Konstnte Fktoren stehen lssen cf (x)dx = c f (x)dx Oder: Eine Konstnte drf us dem Integrl herusgezogen werden. Integrl einer Summe: Summnden getrennt integrieren (f (x) + g(x)) dx = f (x)dx + g(x)dx Oder: Eine Summe von bestimmten Integrlen mit denselben Integrtionsgrenzen knn zu einem Integrl zusmmengezogen werden.

22 Grundintegrle Regeln Linerität: ( ) r f (x) + s g(x) dx = r f (x)dx + s Keine neue Regel, Kombintion us Regel 1 und 2. Mit dieser Regel können lle gnzrtionlen Funktionen (Poylnome) integriert werden. Beispiel: g(x)dx ( ) 1 2 x 3 5x 2 dx = 1 x x C = 1 8 x x 3 + C

23 Grundintegrle Regeln Integrtion über ngrenzende Intervlle: c f (x)dx + f (x)dx = Intervlle können vereinigt werden. b c Linere Trnsformtion des Arguments: Ist F (x) eine Stmmfunktion von f (x), so ist f (x)dx F (x + b) eine Stmmfunktion von f (x + b) und 1 F (x) eine Stmmfunktion von f (x). 1 F (x + b) eine Stmmfunktion von f (x + b). Beispiele: sin(x + ) = cos(x + ) e kx = 1 k ekx

24 Grundintegrle Regeln Integrtion durch linere Substitution Herleitung der letzten Formel: Integrl einer Funktion f (x + b) Substitution: Ersetze u = x + b Dnn: Dmit gilt: du dx = dx = du = 1 du f (x + b)dx = f (u) du = 1 f (u)du = 1 F (u) = 1 F (x + b) u=x+b Beispiel: cos(2x + 5) = 1 sin(2x + 5) 2 Kontrolle: [ 1 2 sin(2x + 5)] = cos(2x + 5)

25 Aufgbenstellung Unendliche Intervlle Unbeschränkte Funktionen sind bestimmte Integrle, bei denen entweder 1. (mindestens) eine Integrtionsgrenze und/oder 2. der Integrnd unendlich wird. Dies bedeutet, mn integriert entweder über 1. unendliche Intervlle oder 2. unbeschränkte Funktionen In beiden Fällen reicht die Fläche unter dem Grphen ins Unendliche.

26 Aufgbenstellung Unendliche Intervlle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervlle Gesucht: Fläche zwischen dem Grphen der Funktion y = 1 x 2 und der x-achse für x 1, lso ds Integrl über ds Intervll [1, ) Berechne zunächst die Fläche über [1, b] für b > 1: 1 [ 1 x 2 dx = 1 ] b = 1 1 x x=1 b Für b existiert der Grenzwert. Wir setzen 1 b ( x 2 dx lim 1 dx = lim 1 1 ) = 1 b 1 x 2 b b 1

27 Aufgbenstellung Unendliche Intervlle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervlle Allgemein: Flls die Grenzwerte existieren, gilt f (x) dx = lim b f (x) dx = lim f (x) dx f (x) dx Wenn ein solcher Grenzwert nicht existiert, nennen wir ds Integrl divergent, nsonsten konvergent.

28 Aufgbenstellung Unendliche Intervlle Unbeschränkte Funktionen Unendliche Intervlle Beispiele Berechnen Sie: 0 [ ] 0 e x dx = lim e x = lim (1 x= e ) = x 2 dx = 1 1 x dx = 1 1 x 2 dx = lim b [ x 1 dx = lim ln x b [ 1 ] b ( = lim 1 1 ) = 1 x x=1 b b ] b x=1 = lim (ln b 0) = b 1 1 x dx = 1 [ x 1 2 dx = lim 2 ] b ( x = ) lim 2 b 2 = b x=1 b

29 Aufgbenstellung Unendliche Intervlle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Gesucht: Fläche zwischen dem Grphen der Funktion y = 1 x = x 1 2 und der x-achse über ds Intervll [0, 1]. Problem: Polstelle/Unendlichkeitsstelle bei x = 0 Berechne zunächst die Fläche über [δ, 1] für 0 < δ < 1: 1 δ 1 [ dx = 2 ] 1 x = 2 2 δ 2 für δ 0, δ > 0 x x=δ Für δ Unendlichkeitsstelle existiert der Grenzwert. Wir setzen x dx = 1 lim δ 0,δ>0 δ 1 x dx = 2

30 Aufgbenstellung Unendliche Intervlle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Wenn f (x) oder f (x) für x, x > : f (x) dx = lim f (x) dx δ 0,δ>0 +δ Wenn f (x) oder f (x) für x b, x < b: δ f (x) dx = lim f (x) dx δ 0,δ>0 flls die Grenzwerte existieren. Wenn ein solcher Grenzwert nicht existiert, nennen wir ds Integrl divergent, nsonsten konvergent.

31 Aufgbenstellung Unendliche Intervlle Unbeschränkte Funktionen Unbeschränkte Funktionen Beispiele Berechnen Sie: 1 δ 1 δ 1 δ 1 x 2 dx = 1 x dx = 1 x dx = 1 [ x 2 dx = 1 ] 1 ( ) 1 = δ x x=δ δ 1 für δ 0, δ > 0 1 [ ] 1 x 1 dx = ln x = (0 ln δ) δ x=δ für δ 0, δ > 0 1 δ x 1 2 dx = 2 für δ 0, δ > 0 [ 2 ] 1 ( x = 2 ) 2 δ x=δ

32 Aufgbenstellung Unendliche Intervlle Unbeschränkte Funktionen Beispiele Vergleich der uneigentlichen Integrle von 1 x 2, 1 x und 1 x : Jede Potenzfunktion x p, p > 0 lässt sich in ein endliches und ein unendliches Flächenstück zerlegen (uÿer für p = 1). p > 1 nlog x 2, p < 1 nlog x 1 2.

33 Idee Numerische Integrtion Bisher hben wir vorusgesetzt, dss die Funktion stetig ist. Dnn: Flächeninhltsproblem für stetige Funktionen mit Hilfe des Huptstzes der Dierentil- und Integrlrechnung gelöst: Mn suche eine Stmmfunktion (die immer existiert) und berechnet dmit den (orientierten) Flächeninhlt. Gibt es ndere Funktionen, für die die Idee des Flächeninhlts unter dem Grphen einen Sinn mcht? Bzw. gibt es eine llgemeinere Denition für den Flächeninhlt, die uch uf nicht stetige Funktionen ngewndt werden knn?

34 Idee Numerische Integrtion Idee: wickle eine gegebene Funktion von unten und oben durch so gennnte Treppenfunktionen ein. Mit Hilfe deren Integrle (= Flächeninhlte), der Untersummen und Obersummen, wird deniert, wnn eine Funktion integrierbr ist. Für stetige Funktionen lässt sich dmit ds bestimmte Integrl so, wie mn es intuitiv uch erwrtet sehr leicht ls Grenzwert einer Folge von Rechtecksächen drstellen. (vgl. Bezeichnung f (x)dx ls Summe über Rechtecke mit Seitenlängen f (x) und dx). Drus ergeben sich Möglichkeiten zur numerischen Approximtion bestimmter Integrle.

35 Idee Numerische Integrtion Gegeben: eine reelle Funktion, die uf dem Intervll [, b] deniert ist. Wir pproximieren die gesuchte Fläche durch Rechtecke und zwr uf zwei Arten: Rechtecke, die komplett unterhlb des Funktionsgrphen liegen Rechtecke, die komplett oberhlb des Funktionsgrphen liegen Die entsprechenden Flächeninhlte nennen wir Untersummen bzw. Obersummen

36 Idee Numerische Integrtion Zerlege ds Intervll [, b] in n Teilintervlle. Für die Obersummen bestimmt jeweils der gröÿte Funktionswert in dem Teilintervll die Höhe des Rechtecks. Für die Untersummen entsprechend der kleinste Funktionswert im Teilintervll. Streben bei einer Verfeinerung der Unterteilung die Folge der Obersummen {O n } und die Folge der Untersummen {U n } gegen einen gemeinsmen Grenzwert, so ist dieser Grenzwert der gesuchte Flächeninhlt F (und dmit ds bestimmte Integrl von der Funktion über dem Intervll [, b]. Dies muss bei beliebiger Verfeinerung gelten.

37 Idee Numerische Integrtion Dies ist gleichbedeutend dmit, dss sich Ober- und Untersumme immer mehr nnähern bzw. dss die Dierenz zwischen Ober- und Untersumme gegen Null strebt. Der Inhlt der gruen Fläche muss durch geeignete Whl von Zerlegungen beliebig klein werden.

38 Idee Numerische Integrtion Numerische Berechnung von Integrlen Idee Zerlege ds Intervll [, b] durch die Stellen = x 0, x 1, x 2,..., x n 1, x n in n gleich groÿe Teile. Breite der Intervlle: b n = b Als Höhe der Rechtecke wählt mn z. B. immer den Funktionswert m rechten Rnd: (oder m linken oder in der Mitte... ) Für genügend groÿes n knn mn ds Integrl einfch pproximieren durch b n n j=1 f (x j )

39 Volumen von Rottionskörpern Rottionskörper: Prboloid Rottion der Funktion y = x um die x-achse