, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung

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1 . INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich Monotonie uf dem Intervll (, ). Aufgbe 9.3 Berechne die folgenden Grenzwerte: cos(x)+. lim x π mit x < π. x π ( ) b. lim x mit x >. x ln(x) c. lim x x x mit x >. Aufgbe 9.33 Finde einen Näherungswert für die Nullstelle der Funktion f(x) = x 3 +x 7x 7 mit Hilfe des Newton-Verfhrens. Aufgbe 9.34 Findeeinen Näherungswert fürdie Nullstelle der Funktion f(x) = x 5 imintervll [, ] mit Hilfe des Newton-Verfhrens. Aufgbe 9.35 Wie muß mn die reellen Zhlen,b R wählen, dß die Funktion f : R R mit { 3, für x, f(x) = x 3 x +x+b, für x > differenzierbr wird? Aufgbe 9.36 Knn mn R so wählen, dss die Funktion f : R R streng monoton wächst? x wenn x > 3 x 3 f(x) = x+ wenn x 3 Integrlrechnung Ziel der Integrlrechnung ist die Entwicklung einer Theorie, die es erlubt, Flächeninhlte zu berechnen, die der Grph einer Funktion mit der x-achse einschließt. I) Integrierbrkeit und ds Integrl Definition. (Integrierbrkeit und ds Integrl) Es seien,b R mit < b. Ein Tupel Z = (x,...,x n ) mit n heißt eine

2 7 II. ANALYSIS Zerlegung des Intervlls [, b], flls = x < x <... < x n < x n = b. Die x i heißen die Stützpunkte der Zerlegung. Sei f : [,b] R eine beschränkte Funktion, so definieren wir die Obersumme von f bezüglich Z ls OS(f,Z) := (x i x i ) sup{f(x) x [x i,x i ]}, i= und die Untersumme von f bezüglich Z ls US(f,Z) := (x i x i ) inf{f(x) x [x i,x i ]}. i= OS(f, Z) US(f, Z) = x x x x 3 x 4 = b = x x x x 3 x 4 = b Abbildung. Ober und Untersummen Dnn definieren ds Oberintegrl OI(f) := inf { OS(f,Z) Z Zerlegung von [,b] } von f ls Infimum ller Obersummen und ds Unterintegrl UI(f) := sup { US(f,Z) Z Zerlegung von [,b] } von f ls Supremum ller Untersummen, so dß offensichtlich UI(f) OI(f) gilt. Schließlich nennen wir f integrierbr uf [, b], flls UI(f) = OI(f). Dnn heißt ds Integrl von f uf [,b]. f(x)dx := OI(f) R Beispiel. Wir betrchten die einfche Funktion f : [,] R : x x uf dem Intervll [,] sowie die folgende äquidistnte Zerlegung der Länge n ( Z n = (x,...,x n ) =, n, ) n,..., n n,. Auf einem Teilintervll [x i,x i ] = [ i n, i n] gilt dnn m i := inf { f(x) x [xi,x i ] } = x i = i n

3 und. INTEGRALRECHNUNG 7 M i := sup { f(x) x [x i,x i ] } = x i = i n. Für die Unter- und Obersumme von f bezüglich Z ergibt sich unter Berücksichtigung von Beispiel 3.5 dmit US(f,Z n ) = (x i x i ) m i = n i n = n (n ) = n n und Es gilt dnn OS(f,Z n ) = i= (x i x i ) M i = i= i= i= n i n = n (n+) = n + n. US(f,Z n ) = n + n = OS(f,Zn ). Bilden wir nun den Grenzwert für n gegen unendlich, so erhlten wir = lim n US(f,Zn ) UI(f) OI(f) lim OS(f,Z n ) = n. Wegen des Einschchtelungsstzes müssen ds Ober- und Unterintegrl dnn gleich sein, d.h. f ist integrierbr uf [,] mit xdx = OI(f) = UI(f) =. Bemerkung.3 (Ds Riemnn-Integrl ls Flächeninhlt) Wenn die Funktion nur nicht-negtive Werte nnimmt, dnn sind die Untersummen von f nch oben beschränkt durch den Flächeninhlt I der Fläche, die der Grph von f mit der x-achse einschließt, und die Obersummen von f sind durch diesen nch unten beschränkt. Aufgrund der Definition von OI(f) ls Infimum und UI(f) ls Supremum gilt lso stets UI(f) I OI(f). Dß f integrierbr ist, bedeutet mithin nichts nderes, ls dß ds Integrl f(x)dx den Flächeninhlt der Fläche beschreibt, die der Grph von f uf dem Intervll [, b] mit der x-achse einschließt. y y = f(x) Fläche von f uf [,b] b x Abbildung 3. Ds Integrl ls Flächeninhlt Stz.4 (Integrtionsregeln) Es seien f : [,b] R und g : [,b] R zwei integrierbre Funktionen, c,d R. Dnn sind die Funktionen c f+d g und f integierbr und es gelten (c f+d g)(x) dx = c f(x) dx+d g(x) dx

4 7 II. ANALYSIS sowie f(x) dx f(x) dx. Bemerkung.5 (Verllgemeinerte Dreiecksungleichung) D ds Integrl ls Grenzwert von Obersummen berechnet werden knn, knn mn die Integrtion ls eine verllgemeinerte Summe betrchten. In diesem Sinne ist die Ungleichung in Stz.4 dnn eine Verllgemeinerung der Dreiecksungleichung x+y x + y. Der folgende Stz besgt, dß mn ein Integrl uch stückweise berechnen knn, indem mn ds Intervll [, b] in kleinere Intervlle zerlegt. Stz.6 (Additivität des Integrls) Ist f : [,b] R integrierbr und c (,b), so gilt f(x) dx = c f(x) dx+ c f(x) dx. II) Der Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung Eine nheliegende Frge ist, wie der Begriff der Integrierbrkeit mit den Begriffen der stetig und differenzierbr zusmmenhängt? Stz.7 (Stetige Funktionen sind integrierbr.) Ist f : [,b] R stetig, so ist f integrierbr uf [,b]. Die stetigen Funktionen sind die wichtigste Klsse integrierbrer Funktionen. Mithin sind Polynomfunktionen, trigonometrische Funktionen sowie die Exponentilfunktion und der Logrithmus integrierbr. Der Zusmmenhng zwischen Integrtion und Differenzition ist noch tiefer. Mn knn ds eine ls Umkehrung des nderen uffssen. Ds ist die zentrle Botschft des Huptstzes der Differentil- und Integrlrechnung. Definition.8 Es sei [,b] R ein Intervll und f : [,b] R eine Funktion. Eine differenzierbre Funktion F : [,b] R mit F = f heißt Stmmfunktion von f. Stz.9 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Es sei f : [,b] R stetig.. Die Funktion F : [,b] R : y y f(x)dx ist eine Stmmfunktion von f. b. Ist umgekehrt F eine irgendeine Stmmfunktion von f, so gilt Bemerkung. Es sei f : [,b] R stetig. f(x)dx = F(b) F().

5 . INTEGRALRECHNUNG 73. Ist F : [,b] R eine Stmmfunktion von f, so schreiben wir uch F(x) b := F(b) F() = f(x) dx. b. Wir nennen den Ausdruck f(x) dx ein unbestimmtes Integrl. Mn verwendet ihn gemeinhin, um eine beliebige Stmmfunktion F zu bezeichnen, und schreibt dnn F(y) = y f(x)dx. Wir hben für eine Vielzhl stetig differenzierbrer Abbildungen die Ableitungen kennengelernt. Im Umkehrschluß hben wir dmit für die Ableitungsfunktionen uch Stmmfunktionen gefunden. Wir wollen für einige wichtige Beispiele von Funktionen f hier die Stmmfunktionen F in tbellrischer Form zusmmenstellen. Stz. (Einige usgewählte Stmmfunktionen) f F = f(x)dx f F = f(x)dx exp exp f(x) = x ln cos sin sin cos f(x) = x + rctn cos tn Beispiel. (Flächeninhlt eines Sinusbogens) Wir können den Flächeninhlt unter einem der Bögen der Sinusfunktion berechnen ls π sin(x)dx = cos(x) π = cos(π)+cos() = + =. Abbildung 4. Flächeninhlt unter einem Sinusbogen π III) Integrtionsmethoden Wenn die Integrtion die Umkehrung der Differenzition ist, so knn mn versuchen, die Ableitungsregeln umzukehren, um Methoden zur Berechnung von Integrlen zu finden.

6 74 II. ANALYSIS Stz.3 (Prtielle Integrtion) Sind u,v : [,b] R stetig differenzierbr, dnn gilt u(x) v (x)dx = u(x) v(x) b b u (x) v(x)dx. Bemerkung.4 (Prtielle Integrtion ls Umkehrung der Produktregel) Die prtielle Integrtion ist die Umkehrung der Produktregel. Mn wendet sie n, wenn mn hofft, ds Integrl über u v leichter berechnen zu können ls ds über u v. Auch mit prtieller Integrtion knn mn Stmmfunktionen berechnen, indem mn b durch die Vrible y ersetzt und ignoriert. Beispiel.5 (Stmmfunktion von cos ) Wir wollen eine Stmmfunktion von cos mit Hilfe prtieller Integrtion berechnen. Dzu betrchten wir u(x) = cos(x) und v (x) = cos(x). Dnn ist v(x) = sin(x), und es gilt y y cos (x)dx = u(x) v (x)dx = u(x) v(x) y y u (x) v(x)dx =cos(x) sin(x) y y sin (x)dx =cos(x) sin(x) y y cos (x) dx =cos(x) sin(x) y y y cos (x)dx+ dx =cos(x) sin(x) y y cos (x)dx+x y. Addieren wir uf beiden Seiten y cos (x)dx und teilen durch, so erhlten wir y cos (x)dx = (y+cos(y) sin(y) ). Stz.6 (Substitutionsregel) Es sei I R ein Intervll, f : I R stetig und ϕ : [,b] R stetig differenzierbr mit Im(ϕ) I. Dnn gilt ϕ(b) ϕ() f(x)dx = f ( ϕ(x) ) ϕ (x)dx. Bemerkung.7 (Die Substitutionsregel ls Umkehrung der Kettenregel). Die Substitutionsregel ist die Umkehrung der Kettenregel. b. Es ist üblich, bei der Formel für die Substitutionsregel uf der linken Seite sttt der Vriblen x die Vrible z zu verwenden, so dß die Formel folgende Gestlt ht: ϕ(b) ϕ() f(z)dz = f ( ϕ(x) ) ϕ (x)dx.

7 . INTEGRALRECHNUNG 75 Mn sgt dnn, dß mn ϕ(x) durch z substituiert oder umgekehrt, je nchdem ob mn die linke durch die rechte Seite usrechnen will oder umgekehrt. Mn schreibt z = ϕ(x). Diese Schreibweise knn mn nutzen, um sich für die Substitution eine Eselsbrücke zu buen. In Anlehnung n die Schreibweise ϕ = ϕ knn mn mit x z = ϕ(x) dnn uch ϕ (x)dx = dz dx = dz dx schreiben. Dmit wird us der Substitutionsformel ohne Integrlgrenzen dnn f(ϕ(x)) ϕ (x)dx = f(z) dz dx dx = f(z) dz. c. Mn knn mit Hilfe der Substitutionsregel uch Stmmfunktionen usrechnen, indem mn die Integrtionsgrenze b durch die Vrible y ersetzt und ignoriert. Beispiel.8 (Stmmfunktion von x x exp(x )) Wir wollen ds Integrl x exp( x ) dx für,b R berechnen. Dzu substituieren wir z = x, d.h. wir betrchten ϕ : R R : x x, ϕ (x) = x und f : R R : z exp(z). D zudem f eine Stmmfunktion von f ist, folgt dmit x exp ( x ) dx = = Aufgbe.9 Berechne die folgenden Integrle: f ( ϕ(x) ) ϕ (x)dx = exp(z) dz = exp( b ) ϕ(b) ϕ() f(z) dz exp( ).. b. c. d. e. f. g. h. i. 3 x5 dx. π π sin(x) dx. cos(x) dx. (x +x 3 98x 7 )dx. e x dx. (+e x ) π sin (x) cos(x) dx. e π dx. x (+ln(x)) x cos(x) dx. 4 x dx. 3 j. y (3x +7x+7)dx. Aufgbe. Bestimme für die folgenden Funktionen jeweils eine Stmmfunktion:. f (x) = e x +sin(x).

8 76 II. ANALYSIS b. f (x) = e x + 3 +x. c. f 3 (x) = x+. d. f 4 (x) = x x +. e. f 5 (x) = x e x. f. f 6 (x) = e cos(x) sin(x). Aufgbe. Berechne den Flächeninhlt des von den Grphen von f und g eingeschlossenen Flächenstücks, für. f(x) = 3 x3 +5, g(x) = 3. b. f(x) = x 3 +x x, g(x) = x +x. Aufgbe. Zeige, für lle R gilt die Gleichung x dx =. Aufgbe.3 Es sei f : [,b] R integrierbr uf [,b] mit m f(x) M für lle x [,b]. Begründe, weshlb dnn m (b ) f(x) dx M (b ) gilt. Nutze diese Ungleichung, um für folgende Integrle eine obere und eine untere Schrnke nzugeben:. 5 x3 sin(x) dx. b. c. 4 dx. +e x e x 3 x dx. Aufgbe.4 Es gilt rctn (x) =. Schreibe diesen Ausdruck mit Hilfe der geometrischen +x Reihe ls Reihe und berechne durch gliedweise Integrtion eine Reihendrstellung für den Arcustngens. Wenn mn dnn noch rctn() = π bechtet, so knn mn 4 eine Reihendrstellung für die Zhl π herleiten.

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