Skript für die Oberstufe und das Abitur 2011 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium

Transkript

1 Skript für die Oberstufe und das Abitur 011 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium Analysis (Lerbuc) (Tascenrecner Teas Instruments und Sarp) Dipl.-Mat. Aleander Scwarz Im Weinberg Cleebronn ascwarz@mate-aufgaben.com Homepage: Wictiger Hinweis: Ic bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noc Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen oder auf andere Art und Weise zu vervielfältigen, um es an andere weiterzugeben. Der Preis dieser Unterlagen stet in keinem Verältnis zu dem Zeitaufwand, den ic dafür investiert abe und für den Inalt, den man bekommt. Ic bitte um Fairness und danke dafür Aleander Scwarz

2 Einige Hinweise Zunäcst einmal bedanke ic mic für das Vertrauen, das ir mir mit dem Kauf dieses Skriptes für die Abiturprüfung in Matematik entgegengebract abt! Der darin entaltene Stoff der Analysis ist auf den Lerplan von Baden-Württemberg für die Oberstufe (Stand 0010/011) abgestimmt. Ic offe, dass dieses Lern- und Übungsskript euc ilft, den Matematik-Prüfungsstoff besser zu versteen, eure Vorbereitungszeit zu reduzieren und scließlic darum get es natürlic letztendlic die Abiturprüfung erfolgreic zu besteen! Mein Ziel ist es, den umfangreicen Stoff der Analysis im Folgenden verständlic und strukturiert darzustellen. Zu jedem Aufgabentyp werden in einem allgemeinen Teil die wesentlicen Inalte zu jedem Tema ausfürlic wiederolt. Die Beispiele dienen der näeren Erläuterung und Vertiefung. Wictige Tetpassagen werden durc graue Unterlegungen gekennzeicnet. Actung: Dieses Zeicen tauct auf, wenn gerne Feler gemact werden! Solltet ir euc fit genug fülen, könnt ir euc mit den Aufgaben in dem anderen Skript bescäftigen. Die Aufgaben, die mit dem Sticwort Pflictteil oder Übung one GTR gekennzeicnet sind, müssen one Hilfsmittel gelöst werden. Bei Aufgaben mit dem Sticwort Walteil oder Übung mit GTR darf die Formelsammlung und soll der GTR so oft wie möglic eingesetzt werden. Aufgaben, die mit Übung bezeicnet sind, sind etwas einfacer und dürften direkt so im Abitur (leider) nict vorkommen. Eure Ergebnisse könnt ir danac mit den ausfürlicen Musterlösungen vergleicen. Natürlic sind meine Musterlösungen nict immer der einzige Weg zum Ziel. Solltet ir also einen anderen Lösungsweg mit demselben Ergebnis aben, kann dies genauso rictig sein. Ic abe in dem Skript darauf verzictet, Originalaufgaben alter Abiturprüfungen zu stellen. Diese könnt ir kostenfrei auf meiner Homepage mit den Musterlösungen erunterladen. Noc ein Hinweis zum GTR: Die GTR-Befelsangaben im Skript orientieren sic am GTR von Teas Instruments (TI -8 Plus, TI-84 Plus). Da die Bedienung des GTR von Sarp änlic ist wie bei Teas Instruments, können auc die Nutzer eines Sarp-Recners die Befelsangaben zum größten Teil nutzen. Dieses Zeicen im Skript deutet darauf in, dass dargestellt wird, wie die Lösung einer Aufgabenstellung mit Hilfe des GTR durcgefürt wird. Viele Rückmeldungen von Abiturienten sagen aus, dass inen mit diesem Skript ein besonders gut geeignetes Arbeitsmittel zur Prüfungsvorbereitung an die Hand gegeben wurde. Aber trotz aller Müen, Tipp und Flüctigkeitsfeler zu vermeiden, können auc mir Feler unterlaufen sein. Solltet ir welce entdecken, wäre ic für eine Mitteilung dankbar. Auc Anregungen und konstruktive Kritik werden von mir gerne entgegengenommen und bei der Aktualisierung berücksictigt. Eine aktuelle Korrekturliste zu diesem Skript findet ir auf meiner Homepage unter Aktuelles. Viel Erfolg bei der Bearbeitung dieses Skriptes und alles Gute für eure Abiturprüfung! Aleander Scwarz

3 Inaltsverzeicnis 1. Gleicungslere 1.1 Lösen von Gleicungen one GTR Ganzrationale Gleicungen 1.1. Brucgleicungen 1.1. Wurzelgleicungen Eponentialgleicungen Logaritmengleicungen 1. Gleicungen lösen mit dem GTR 1. Lösung von Ungleicungen 1..1 Ungleicungen lösen one GTR 1.. Ungleicungen lösen mit dem GTR. Definition Sinus und Kosinus und trigonometrisce Gleicungen.1 Definition Sinus und Kosinus am Eineitskreis. Trigonometrisce Gleicungen im Pflictteil..1 Gleicungen vom Typ cos() = a.. Gleicungen vom Typ sin() = a.. Trigonometrisce Gleicungen lösen durc Substitution/Ausklammern. Trigonometrisce Gleicungen im Walteil. Ableitungen und ire Bedeutung.1 Definition der Ableitungsfunktion. Ableitungsregeln..1 Grundlegende Ableitungsregeln.. Produkt- und Quotientenregel.. Kettenregel..4 Kombination mererer Ableitungsregeln. Veranscaulicung der ersten und zweiten Ableitung..1 Anscaulice Bedeutung der 1. Ableitungsfunktion.. Anscaulice Bedeutung der. Ableitungsfunktion.4 Bedeutung der ersten Ableitung in der Prais.5 Ableiten mit dem GTR 4. Ausgewälte Elemente einer Funktionsuntersucung 4.1 Begriff der Funktion 4. Einface Symmetrieuntersucung des Scaubildes 4. Scnittpunkte mit den Koordinatenacsen 4..1 Scnittpunkt mit der y-acse 4.. Scnittpunkte mit der -Acse (=Nullstellen) 4.4 Berecnung von Etrempunkten (Lokale/Relative Maima/Minima) 4.5 Berecnung von Wendepunkten 5. Versciebung und Symmetrie von Scaubildern 5.1 Versciebung/Spiegelung/Streckung von Scaubildern 5. Nict einface Symmetrie von Scaubildern 6. Monotonie von Funktionen 7. Spezielle Funktionstypen und ire Besondereiten 7.1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) Definitionsmenge von ganzrationalen Funktionen 7.1. Veralten für von ganzrationalen Funktionen 7.1. Veralten an Definitionslücken von ganzrationalen Funktionen Typisce Scaubilder und Eigenscaften von ganzrationalen Funktionen

4 7.1.5 Aufstellen von Funktionsgleicungen ganzrationaler Funktionen 7. Gebrocenrationale Funktionen 7..1 Definitionsmenge von gebrocenrationalen Funktionen 7.. Veralten für von gebrocenrationalen Funktionen 7.. Veralten an Definitionslücken von gebrocenrationalen Funktionen 7..4 Typisce Scaubilder und Eigenscaften von gebrocenrationalen Funktionen 7..5 Aufstellen von Funktionsgleicungen gebrocenrationaler Funktionen 7. Eponentialfunktionen 7..1 Definitionsmenge von Eponentialfunktionen 7.. Veralten für von Eponentialfunktionen 7.. Veralten an Definitionslücken von Eponentialfunktionen 7..4 Typisce Scaubilder und Eigenscaften von Eponentialfunktionen 7..5 Aufstellen von Funktionsgleicungen von Eponentialfunktionen 7.4 Trigonometrisce Funktionen Definitionsmenge von trigonometriscen Funktionen 7.4. Veralten für von trigonometriscen Funktionen 7.4. Veralten an Definitionslücken von trigonometriscen Funktionen Typisce Scaubilder und Eigenscaften von trigonometriscen Funktionen Aufstellen von Funktionsgleicungen von trigonometriscen Funktionen 7.5 Logaritmusfunktionen Definitionsmenge einer Logaritmusfunktion 7.5. Veralten für von Logaritmusfunktionen 7.5. Veralten an Definitionsrändern und lücken bei Logaritmusfunktionen Typisce Eigenscaften von Logaritmusfunktionen 7.6 Wurzelfunktionen Definitionsmenge einer Wurzelfunktion 7.6. Veralten für von Wurzelfunktionen 7.6. Veralten an Definitionsrändern und -lücken bei Wurzelfunktionen Typisce Eigenscaften von Wurzelfunktionen 7.7 Zusammenfassung der Grundfunktionen 8. Ortskurven / Ortslinien 9. Tangenten, Normalen, Scnittwinkel und Berürung 9.1 Aufstellen von Tangenten- und Normalengleicungen bei gegebenem Berürpunkt oder gegebener Steigung 9. Aufstellen von Tangentengleicungen bei gegebenem Tangentenpunkt 9. Scnittwinkel zweier Geraden 9.4 Scnittwinkel zweier Scaubilder 9.5 Berürung zweier Scaubilder 10. Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen 10.1 Stetigkeit 10. Differenzierbarkeit 10. Nullstellensatz 11. Stammfunktionen und Integralrecnung 11.1 Begriff und Berecnung von Stammfunktionen 11. Berecnung von Integralen 11. Die Integralfunktion 11.4 Anwendungen der Integralrecnung Fläcen- und Volumenberecnung von Rotationskörper Mittelwertberecnung von Funktionen Interpretation des Integrals als Aufsummierung 1. Zeicnen von Ableitungsfunktionen und Stammfunktionen 1. Optimierungsaufgaben / Etremwertaufgaben

5 1.1 Globales Minimum/Maimum 1. Optimierungsaufgaben / Etremwertaufgaben 14. Funktionsanpassungen / Regressionsrecnung 15. Näerungsverfaren 15.1 Das Newton-Verfaren 15. Die Keplersce Fassregel 16. Folgen Definition einer Folge und Folgetypen 16. Eigenscaften von Folgen Monotonie von Folgen 16.. Bescränkteit von Folgen 16.. Konvergenz von Folgen 17. Die vollständige Induktion 18. Wacstum 18.1 Differenzialgleicungen (DGL) 18. Wacstums- und Zerfallsmodelle und ire Besondereiten Eponentielles Wacstum 18.. Bescränktes Wacstum/Zerfall

6 1. Gleicungslere 1. Gleicungslere Bei vielen Aufgaben der Analysis müssen Gleicungen gelöst werden. Im Walteil sollte man aus Zeitgründen die Gleicungen mit Hilfe des GTR lösen (Ausname: Es ist ausdrücklic in der Aufgabe vermerkt (z.b. Lösen Sie eakt ) oder es taucen in der Gleicung neben der Variablen noc weitere Parameter auf). Im Pflictteil müssen Gleicungen one GTR gelöst werden. 1.1 Lösen von Gleicungen one GTR Für die Lösung von Gleicungen kann man äufig folgenden Satz verwenden: Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt a b ergibt genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist (also a = 0 oder b = 0). Beispiel 1.1: Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleicungen an: a) ( + ) ( 4) ( + 5) = 0 b) e = 0 Bei Teil a) wäre es sclect, die Klammern auszumultiplizieren. Die Klammern bilden ein Produkt, deren Ergebnis 0 ist, also kann der Satz vom Nullprodukt direkt angewandt und die Lösungsmenge one weitere Recnung ingescrieben werden. zu a): L = {- ; 4 ; -5} (setze jede einzelne Klammer = 0) zu b): L = {0} ( e kann nie Null werden) Ansonsten ängt das Verfaren zum Lösen einer Gleicung vom Typ der Gleicung ab. In den Kapiteln werden zu den genannten Gleicungstypen die jeweiligen Verfaren vorgestellt Ganzrationale Gleicungen Ganzrationale Gleicungen besitzen die Bauart n n 1 an + an a1 + a0 = 0 mit n {0,1,, }. Die größte Hoczal n wird als Grad der Gleicung bezeicnet. Die Zalen an,an 1,... nennt man Koeffizienten. Gleicungen 1. und. Grades Gleicungen vom Grad 1 kann man direkt nac auflösen. Für Gleicungen vom Grad (quadratisce Gleicung) stet die Mitternactsformel zur Verfügung.

7 1. Gleicungslere Mitternactsformel für quadratisce Gleicungen: Die Gleicung a ² + b + c = 0 besitzt die Lösungsformel, b ± = b² a 1 4ac Der Ausdruck b² 4ac unter der Wurzel eißt Diskriminante. Diskriminante > 0: Es eistieren zwei versciedene Lösungen. Diskriminante = 0: Es eistiert genau eine Lösung. Diskriminante < 0: Es eistiert keine Lösung. Gleicungen.Grades Für Gleicungen vom Grad gibt es merere Lösungsansätze, die je nac konkreter Gleicung angewandt werden müssen. Mit folgenden Scritten kommt man zum Ziel: 1.Scritt: Gleicung = 0 setzen.scritt: Prüfung, ob, ², ausgeklammert werden kann. Falls ja, kann anscließend der Satz vom Nullprodukt angewandt werden (siee Beispiel 1..a)). Falls nein, dann.scritt..scritt: Falls nict ausgeklammert werden kann, wird eine Lösung benötigt (entweder bereits vorgegeben oder zu erraten) und dann wird mit Hilfe der Polynomdivision oder alternativ mit dem Horner-Scema (wird meist nict im Unterrict beandelt) die Gleicung gelöst (siee Beispiel 1.. b)). Hinweis zur Unterstützung beim Erraten der Lösung im.scritt: Es genügt, die Teiler der konstanten Zal (Zal one Variable) in der Gleicung durczutesten, sofern alle Koeffizienten der Gleicung ganzzalig sind! Bei der Gleicung 4 5 = 0 wäre die Konstante -5 und es kommen als zu testende Lösungen nur die Teiler 1 oder 5 oder -1 oder -5 in Betract. Beispiel 1.: a) = = 0 Hier kann ausgeklammert werden: ( 1) = 0 Nun gilt nac dem Satz vom Nullprodukt: = 0 oder ² 1 = 0 Aus der quadratiscen Gleicung ergeben sic die Lösungen = ± 1, also L = {0 ; 1 ; -1} b) 7 = = 0 kann nict ausgeklammert werden. Also muss gemäß des.scrittes eine Lösung erraten werden. Hier probiert man als Teiler der Konstanten 6 die Zalen ± 1, ±, ± und ± 6. Als erratene Lösung findet man ier scnell = 1. Nun gibt es zwei Wege, wie man mit Hilfe der erratenen Lösung die weiteren Lösungen findet nämlic mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner-Scemas. Es genügt natürlic, nur eines der beiden Verfaren zu kennen.

8 1. Gleicungslere 1. Verfaren: Horner-Scema Zunäcst screibt man die Koeffizienten der Gleicung auf. Die Koeffizienten sind die fettgedruckten Zalen: 1³ + 0² = = **) 1-6 ****) 1 *) 1-6 ***) 0 *****) Erklärung: In der ersten Zeile werden die Koeffizienten der Gleicung eingetragen. In der zweiten Zeile stet in der 1.Spalte die erratene Lösung und in der.spalte stet immer eine 0. Die Einträge in der dritten Zeile ergeben sic immer als Summe der ersten beiden Zeilen. Der Eintrag *) ergibt sic also durc = 1. Der Eintrag **) wird berecnet, indem das Ergebnis der dritten Zeile aus der vorerigen Spalte (also *) ) mit der erratenen Lösung ( = 1) multipliziert wird: 1 1 = 1. Der Eintrag ***) ergibt sic als Summe der ersten beiden Zeilen: = -6. Der Eintrag ****) ergibt sic als 6 1 = 6. Der Eintrag *****) ergibt als Summe 6 + (-6) = 0. Als letzter Eintrag in der dritten Zeile muss immer eine 0 steen. Falls dem nict so ist, at man sic irgendwo verrecnet. Die restlicen Lösungen der Gleicung erält man dadurc, dass man die Zalen in der dritten Zeile ab der.spalte als Koeffizienten einer neuen Gleicung interpretiert, die einen Grad niedriger ist als die ursprünglice Gleicung: 1² = 0 und diese Gleicung kann nun mit der Mitternactsformel gelöst werden: 1± ± 5, = = und damit = und = Neben der erratenen Lösung = 1 besitzt die ursprünglice Gleicung somit noc zwei weitere Lösungen, insgesamt also L = {1,, -}.. Verfaren: Polynomdivision Anstatt des Horner-Scemas kann man auc mit Hilfe der Polynomdivision die restlicen Lösungen bestimmen. Hierzu wird folgende Regel ausgenutzt: n n 1 Besitzt die Gleicung an + an a1 + a0 = 0 die Lösung = 0, dann ist der Term auf der linken Seite durc den Linearfaktor ( 0 ) one Rest teilbar. Da der Term an der Stelle = 1 den Wert 0 annimmt, kann ( 7 + 6) : ( 1) one Rest dividiert werden. Das Ergebnis der Division erfolgt nun mit Hilfe des Verfarens der Polynomdivision: (³ ) : (-1) = ² (³ - ²) *) ² **) -(² - ) ***) (-6 + 6)

9 1. Gleicungslere Erklärung der Polynomdivision: Zunäcst screibt man beide Klammern mit jeweils absteigenden Hoczalen auf. Dann muss man die öcsten Grade aus beiden Klammern die also jeweils ganz links steen dividieren (also : ). Dies ergibt ² und wird inter das Gleiceitszeicen gescrieben. Danac wird ² mit der Divisions-Klammer (-1) ausmultipliziert. Das Ergebnis wird als Klammerausdruck unter die erste Klammer gescrieben und ein Minuszeicen davor gesetzt (siee *)). Anscließend werden die beiden untereinander steenden Klammerausdrücke verrecnet und das Ergebnis mit absteigender Hoczal sortiert darunter gescrieben (siee **)). Nun get es weiter wie zu Beginn, d.. bei dem Restterm **) wird nun wieder der Ausdruck mit dem öcsten Grad durc den öcsten Grad in (-1) dividiert (also : ). Das Ergebnis + wird als näcstes inter das Gleiceitszeicen gescrieben und dann wieder mit der Klammer (-1) ausmultipliziert und das Ergebnis darunter gescrieben (siee ***)). Zum Scluss muss als Rest die Zal 0 entsteen. Falls dies nict der Fall sein sollte, at man sic irgendwo verrecnet. Mit Hilfe des Ergebnisses der Polynomdivision kann man nun den Ausgangsterm als Produkt screiben: = ( 1) ( + 6) Nun kann man den Satz vom Nullprodukt anwenden: = 0 ( 1) ( + 6) = 0 Daraus folgt = 1 (wurde bereits erraten) oder + 6 = 0 und diese Gleicung kann nun mit der Mitternactsformel gelöst werden: 1± ± 5, = = und damit = und = Neben der erratenen Lösung = 1 besitzt die ursprünglice Gleicung somit noc zwei weitere Lösungen, insgesamt also L = {1,, -}. Division durc! = = 1 Diese Umformung (Division von ) ist falsc. Denn dadurc get die Lösung = 0 verloren!! Der rictige Weg findet sic in Beispiel 1. a) Regel: Man darf eine Gleicung nur dann durc einen Ausdruck, in dem entalten ist, durcdividieren, wenn dieser niemals Null ergeben kann (wie z.b. Division durc e ). Gleicungen 4. Grades Für Gleicungen vom Grad 4 gibt es merere Lösungsansätze, die je nac konkreter Gleicung angewandt werden müssen. Mit folgenden Scritten kommt man zum Ziel: 1.Scritt: Gleicungen = 0 setzen.scritt: Prüfung, ob, ², ausgeklammert werden kann. Falls ja, kann der Satz vom Nullprodukt angewandt werden. Falls nein, dann.scritt.

10 1. Gleicungslere.Scritt: Prüfung, ob die Gleicung mit Hilfe der Substitution lösbar ist. Dies ist dann der Fall, wenn die Gleicung die Bauart a + b + c = 0 besitzt. Falls nein, dann 4.Scritt. 4.Scritt: Falls der. oder.scritt nict zum Ziel fürt, muss eine Lösung erraten werden und zweimal mit der Polynomdivision gearbeitet werden. Dieser Fall ist aber für eine Abituraufgabe im Pflictteil nict zu erwarten. 4 Beispiel 1.: a) 4 + ² 5 = 0 Substitution: ² = u fürt auf u² + u 5 = 0 ± ± 8 Mitternactsformel: u 1, = = und damit u 1 = 1, u 6 6 Rücksubstitution: u 1 = 1 ² = 1 = ± u = ² = nict lösbar, also L = {1; -1} 5 = 4 b) = 0 ( 7 + 6) = 0 Mit dem Satz vom Nullprodukt ergibt sic = 0 oder = 0. Diese Gleicung.Grades wurde in Beispiel 1. b) scon gelöst, also L = {0 ; 1; ; - } Gleicungen vom Grad 5 und öer 5 Hier kommt man in der Regel mit Ausklammern (z.b. bei = 0 ) oder mit Substitution (z.b. bei 6 ³ + 1 = 0 mit = u ) zum Ziel. Linearfaktorzerlegung n n 1 Die Linearfaktorzerlegung eines Polynoms a n + an a1 + a0 at die Bauart a ( ) ( )... ( ) Die Werte Beispiel 1.4: 1,,..., n n 1 sind die Lösungen der Gleicung + a a + a 0 Zerlege das Polynom in Linearfaktoren. n n n 1 an n =. Die Gleicung = 0 besitzt gemäß Beispiel 1. b) die Lösungsmenge L = {1,, -}. Daraus folgt: = 1 ( 1) ( ) ( + ) Der Faktor 1, der natürlic ier nict ingescrieben werden muss, entsprict dem Koeffizienten vor dem öcsten Grad. Linearfaktorzerlegungen sind vor allem bei Bructermen zum Kürzen nützlic (siee ierzu auc Kapitel 7...) ( )

11 . Ableitungen und ire Bedeutung 1. Gleicungen lösen mit dem GTR Um Gleicungen mit dem GTR zu lösen, werden alle Ausdrücke der Gleicung auf eine Seite gebract, so dass sie die Gestalt f () = 0 besitzt. Damit kann die Lösung der Gleicung anscaulic als Scnittstellenberecnung des Scaubildes von f mit der -Acse interpretiert werden. Beispiel 1.14: Löse die Gleicung = 6 mit dem GTR. 4 4 Umformung der Gleicung: 6 = 0 Eingabe in den GTR: Y1 = X^4 - X^ - 6. Mit GRAPH das Scaubild zeicnen und mit nd ; CALC ; ZERO die Scnittpunkte der Kurve mit der -Acse berecnen. Scnittstellen laut GTR: = -1,055 oder = 1,9 also L = {-1,055 ; 1,9} Es gibt auc die Möglickeit, mit Hilfe der Befele MATH und Solver eine Gleicung one Scaubildunterstützung zu lösen. Der Nacteil dieser Variante ist jedoc, dass ein Scätzwert für vorgegeben werden muss und dass bei Gleicungen mit mereren Lösungen jeweils nur eine Lösung angegeben wird nämlic die, die näer an dem Scätzwert liegt. Wenn man nun nict weiß, wie viele Lösungen eine Gleicung besitzt, ist dies umständlicer, als mit der grapiscen Metode wie in Beispiel 1.14, in der man sofort siet, dass die Gleicung Lösungen besitzt (sofern man von der -Acse über WINDOW einen genügend großen Ausscnitt zeicnen lässt) Wenn in einer Walteilaufgabe eine Gleicung eakt gelöst werden muss, dann genügt es nict, wenn man gerundete Dezimalzalen vom GTR einfac abscreibt. Dann muss man die Gleicung one GTR lösen. Der GTR kann jedoc zur Ergebniskontrolle erangezogen werden. ( ). Ableitungen und ire Bedeutung.1 Definition der Ableitungsfunktion Der Ableitungsbegriff ergibt sic aus der Fragestellung, wie groß die Steigung an einer bestimmten Stelle bzw. in einem Kurvenpunkt P(/f()) des Scaubildes einer Funktion f() ist. Zunäcst muss geklärt werden, wie die Steigung in einem Kurvenpunkt definiert ist: Die Steigung des Scaubildes an der Stelle ist definiert als Steigung der Tangente, die das Scaubild an der Stelle berürt.

12 . Ableitungen und ire Bedeutung Um die Steigung der Tangente im Punkt P(/f()) zu berecnen, wird zunäcst näerungsweise die Steigung der Sekante durc die Punkte P(/f()) und Q(+/f(+)) berecnet. Die Sekante durc P und Q at die Steigung msekante = mpq = yq yp Q P = f( + ) f() Diese Steigung wird auc als Differenzenquotient bezeicnet. Der Differenzenquotient bescreibt die mittlere Änderungsrate der Funktion im Bereic zwiscen P und Q, also im Intervall [ ; +]. Wandert der Punkt Q nun immer näer auf den Punkt P zu (das bedeutet, dass 0 strebt), so näert sic die Steigung der Sekante der Steigung der Tangente in P an. Die Steigung der Tangente an der Stelle und damit die Ableitung f () ist definiert als: f( + ) f() m Tangente = f () 0 Dieser Grenzwert wird auc als Differenzialquotient bezeicnet. Eistiert dieser Grenzwert, eißt die Funktion an der Stelle differenzierbar und der Grenzwert ist die erste Ableitung an der Stelle. Funktionen, die an einer Stelle nict differenzierbar sind, werden in Kapitel 10 beandelt. Der Differenzialquotient bescreibt die momentane Änderungsrate der Funktion an der Stelle. Der Unterscied zwiscen der mittleren und momentanen Änderungsrate wird in Kapitel.4 erklärt. Wie man die erste Ableitungsfunktion f () mit Hilfe des Differenzialquotienten berecnet, wird an folgendem Beispiel gezeigt.

13 . Ableitungen und ire Bedeutung Beispiel.1 a) Berecne mit dem Differenzialquotienten die Ableitung f () von f() = ² f( + ) f() ( + )² ( + ) ² 9 9 f () 9 + ² (9 + ) 9 + = 9 b) Berecne mit dem Differenzialquotienten die Ableitungsfunktion f () von f() = 5. f( + ) f() + 5 ( 5) + f () (nun folgt ein TRICK: Erweitern des Bruces mit Hilfe auf die.binomiscen Formel) ( + )( + + ) = ( + + ) ( + + ) c) Berecne mit dem Differenzialquotienten die Ableitungsfunktion f () von f () =. 1 1 ( + ) ( ) f( + ) f() ( + )² ² ( + )² ² ²( + )² f () = = 0 4 ²( + )² Die Berecnung der Ableitungsfunktion mit Hilfe des Differenzialquotienten ist rect kompliziert und erfordert Zeit. Hier gibt es einfacere Ableitungsregeln, die one eine Grenzwertberecnung auskommen. Diese werden im Kapitel.. vorgestellt. Da im Abitur aber auc durcaus verlangt werden könnte, eine Funktion mit Hilfe des Differenzialquotienten abzuleiten bzw. zu erläutern, wie eine Ableitungsfunktion definiert ist, sollte man das Verfaren bzw. die Formeln aus Beispiel.1 trotzdem kennen.. Ableitungsregeln..1 Grundlegende Ableitungsregeln n Ableitung von Potenzfunktionen: f() = a n 1 f () = a n n beliebige Zal Ableitung von Summen: f () = g() + () f () = g () + () Konstante Summanden fallen weg: f () = c + g() f () = g (), c beliebige Zal Konstante Faktoren bleiben eralten: f () = c g() f () = c g (), c beliebige Zal Ableitung trigonometriscer Funktionen: '''' f() = sin() f () = cos() f () = sin() f () = cos() f () = sin() Einfacer auswendig zu lernen mit dem Ableitungsquadrat : sin() cos() -cos() -sin()

14 9. Tangenten, Normalen, Scnittwinkel und Berürung Beispiel.: a) f() = 4 1² f () = 4 ² = b) f() = ² + f () = ³ + c) f(t) = 6 sin(t) cos(t) + t + 5 s 7 f (t) = 6 cos(t) + sin(t) + 6t (ier ist t die Variable, alle anderen Bucstaben werden beim Ableiten wie normale Zalen beandelt) ( ) 9. Tangenten, Normalen, Scnittwinkel und Berürung 9.1 Aufstellen von Tangenten- und Normalengleicungen bei gegebenem Berürpunkt oder gegebener Steigung Eine Tangente ist eine Gerade, die das Scaubild von f in einem bestimmten Kurvenpunkt B berürt. Eine Normale ist eine Gerade, die senkrect zur Tangente stet und durc den Berürpunkt B der Tangente verläuft. Der Berürpunkt B ist entweder direkt in der Aufgabenstellung angegeben (siee Beispiel 9.1) oder er muss berecnet werden. Zum Beispiel kann bei einer vorgegebenen Tangentensteigung m in der Aufgabe mit Hilfe der Bedingung f () = m der -Wert des Berürpunktes ermittelt werden (siee Beispiel 9.). Für das Aufstellen einer Tangenten- oder Normalengleicung wird die Punkt-Steigungs- Form benutzt: Die Punkt-Steigungs-Form y y1 = m ( 1) dient dazu, eine Geradengleicung aufzustellen, wenn man von der Geraden den Punkt P(1 / y1) und die Steigung m kennt.

15 9. Tangenten, Normalen, Scnittwinkel und Berürung Oft wird fälsclicerweise gedact, dass man mit Hilfe der Punkt-Steigungs-Form eine Steigung berecnen kann. Ganz im Gegenteil: Die Steigungszal m wird benötigt, um die Formel überaupt anwenden zu können. Die Punkt-Steigungs-Form liefert tatsäclic nicts weiter als eine Geradengleicung! Wie man nun eine Tangenten- und Normalengleicung in einem gegebenen Berürpunkt aufstellt, wird an folgendem Beispiel verdeutlict: Beispiel 9.1: Bestimme die Tangenten- und die Normalengleicung an das Scaubild der Funktion f() = 4³ ² im Kurvenpunkt B (1/ f(1)). Aufstellen der Tangentengleicung: 1. Scritt: Punkt vervollständigen: f (1) = 4 = 1, also B(1/1). Scritt: Steigung der Tangente im Punkt B berecnen: f () = 1² 6 f (1) = 6 = m tan g. Scritt: Da nun ein Punkt der Tangente und die Steigung der Tangente bekannt ist, kann die Punkt-Steigungs-Form nun angewandt werden: y 1 = 6( 1) y = 6 5 Die Tangentengleicung in B(1/1) lautet y = 6 5. Aufstellen der Normalengleicung: 1. Scritt: Punkt vervollständigen: f (1) = 4 = 1, also B(1/1).Scritt: Steigung der Normalen im Punkt B berecnen: Hier wird folgende Regel benötigt: Zwei Geraden g und steen genau dann senkrect aufeinander, wenn für ire Steigungen gilt: m m = 1. Somit gilt: Also m m Normale Normale = 1 6 g m Tangente = 1 m Normale = m.scritt: Anwendung der Punkt-Steigungs-Form: y 1 = ( 1) y = Die Normalengleicung in B(1/1) lautet y = Tangente

16 9. Tangenten, Normalen, Scnittwinkel und Berürung AUSZUG AUS DEM AUFGABENSKRIPT. Ableitungen und ire Bedeutung Aufgabe -1: (Pflictteil) Ermittle die Ableitungsfunktion f () mit Hilfe des Differenzialquotienten. a) f () = ² 4 + b) f() = 1 c) Aufgabe -: (Pflictteil) Leite mit Hilfe der Produktregel einmal ab: a) f() = sin() cos() b) e) f() = sin() f) f() = 1 f() = c) f() = ² d) f() = e ln e f() = ( + 1) e g) f() = sin() cos() Aufgabe -: (Pflictteil) Leite mit Hilfe der Quotientenregel einmal ab: a) e) e 1 f() = e + 1 b) ln f () = e f) f () = c) cos() () = 1 f + 1 f() = d) + 1 a + sin() f() = cos() LÖSUNGEN Aufgabe -: a) f() = sin() cos() f () = cos() cos() + sin() ( sin()) = cos () sin () b) f() 1 = ( 1) e e = f () = 1 e + ( 1) e = e (1 + 1) = e c) f() = ² f () = + = + = = 5 (Diese Funktion ätte man auc one Produktregel ableiten können, da = ist).