Beispiele: cos(x) dx = sin(x) + c (1) e t dt = e t + c (2)

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1 . Stmmfunktion Definition Stmmfunktion: Gegeen sei eine Funktion f(). Gesucht ist eine Funktion F (), so dss d = f(). Die Funktion F() heisst Stmmfunktion. Schreiweise: F () = f()d. Mn spricht uch vom unestimmmten Integrl. Ds Suchen einer Stmmfunktion ist lso die Umkehrung des Differenzierens. Die Stmmfunktion ist nur is uf eine elieige Konstnte eindeutig. Sei F () eine Stmmfunktion von f(), dnn ist uch F () + C eine Stmmfunktion, d d df () d (F () + C) = d. df () Beispiele: cos() d = sin() + c () e t dt = e t + c (2) In solch unkomplizierte Fällen knn mn einfch eine Telle mit den wichtigsten Aleitungen (z.b. us einer Formelsmmlung) rückwärts lesen, und schon ht mn die Stmmfunktionen. Beispiel: der Bewegungsgleichung m F=G v Der Körper im Bild wird durch eine konstnte Krft eschleunigt: mẍ = F = konst, lso ẍ = F/m =. v(t) = ẋ = dt = t + v, (3) woei v = v (t=) die Anfngsedingung für die Geschwindigkeit drstellt. (t) = v dt = 2 t2 + v t +, (4) mit = (t=) der Anfngsedingung für den Ort. 2. Ds estimmte Integrl Ds estimmte Integrl ildet mn ls Differenz zweier Werte des unestimmten Integrls: (F () + c) = (F () + c) = = F () F () = F () (5)

2 Dei fällt die Integrtionskonstnte herus. Wir hen lso wieder ein eindeutiges Resultt, een ds estimmte Integrl. Mn schreit uch (Huptstz der Integrlrechnung): Offensichtlich gelten folgende Beziehungen: f() d = F () = F () F () (6) f() d = c f() d + f() d (7) f() d = (8) f() d = c f() d (9) Beim hndelt es sich (wie eim Differenzieren) um eine linere Opertion: ( f() + g()) d = f() d + g() d () Beispiel: Sei f() = 2 und =, = 2. Wir erhlten: 2 2 d = = = 7 3 Grphische Vernschulichung: Die schrffierte Fläche zwischen und unterhl des Grphen y = f() ist gleich dem estimmten Integrl. f() f() f( ) i i 2

3 Um ds zu sehen, teilen wir die schrffierte Fläche in kleine Rechtecke A i (gru in der Figur) mit der Breite und der Höhe f( i ). Die Gesmtfläche ist die Summe ller Flächen A i : A = i= i= f( i ) = i df ( i ) = F () F () = f() d, () woei wir enützen, dss F die Stmmfunktion von f ist und somit F = f. Ausserdem ist nch Definition die Änderung der Funktion F zwischen zwei Stützpunkten df ( i ) = F ( i+ ) F ( i ). 3. Integrtion durch Sustitution Für verschchtelte Integrtionen rucht mn eine Regel, ähnlich zur Kettenregel eim Aleiten. Wir vernschulichen dies n einem Beispiel. Ws git Wir sustituieren: Durch Einsetzen erhlten wir: d sin(2 + ) =? y = 2 + = (y ) und somit d = 2 y dy = 2 dy. d sin(2 + ) = 2 dy sin(y) = 2 cos(y) Jetzt müssen wir uch noch die Grenzen in der neuen Vrile y usdrücken: Bei ist =, lso y =. Bei ist =, lso y = π +. Dmit wird d sin(2 + ) = 2 cos(y) y=π+ y= = Prtielle Integrtion Die prtielle Integrtion erhlten wir us der Produktregel eim Aleiten: d(uv) d = du d v + u dv d Wir sortieren um und integrieren von is : udv = uv woei u() und v() stetige Aleitungen esitzen müssen. Ein Beispiel: = sin() cos() + sin 2 () d = oder d(uv) = vdu + udv (2) sin d( cos) d d = sin() cos() sin 2 () d = sin() cos() vdu, (3) + d die sin 2 () uf die linke Seite ringen, und erhlten: sin 2 () d = 2 Ds sieht ziemlich tricky us, ist er typisch für ds Integrtionsgeschäft. ( cos 2 ()) d sin 2 () d. Jetzt können wir ( sin() cos()) = π 4. 3

4 5. Numerische Integrtion Viele Integrle lssen sich nicht lösen, er mit dem Computer knn mn ds Prolem numerisch ngehen. Mn wählt ein festes Intervll für d und nennt es. Ds Integrl wird ngenähert durch die Summe der Funktionswerten f( i ) im Zentrum jedes Intervlles i ml. f()d i= i= Mcht mn hinreichend klein, so wird ds Integrl ziemlich genu. f( i ) (4) 6. Integrtion entlng einer Kurve Linienintegrle sind Integrle, die nicht entlng der normlen Achsenvrile integriert werden, sondern entlng eines Kurvenprmeters, eispielsweise entlng der Bogenlänge s uf einer Kurve. Zum Beispiel erechnet sich die Areit W, die mn entlng einer Kurve s vom Anfngspunkt is zum Endpunkt verrichten muss, durch Krft ml Weg : W = G d s. (5) Wir ruchen lso ds Sklrprodukt G d s = G ds cos α(s) und müssen dieses von nch nch der Vrile s integrieren. y s ds G α Um dies konkret usrechnen zu können, muss mn die Prmetrisierung der Kurve kennen. Nehmen wir ls Beispiel einen Viertelkreis. y ds α R G ϕ 4

5 Dnn lutet die Prmetrisierung: = R cos(ϕ); y = R sin(ϕ); ds = Rdϕ. Die Winkel in der Zeichnung stehen in Beziehung: α = π ϕ, und somit gilt cos(α) = cos(ϕ). Wir hen lso: W = G d s = + G R dϕ cos(ϕ) = G R sin(ϕ) s= s= = G R. Dies ist wie erwrtet gleich viel, wie wenn mn zuerst horizontl is zum Zentrum des Kreises gehen würde und nschliessend senkrecht nch oen. Bewegt sich ein Integrl entlng einer geschlossenen Kurve (es ist lso =, ls Beispiel stelle mn sich einen vollen Kreis vor), so versieht mn ds Integrlzeichen mit einem Kringel und der Wegezeichnung, hier: G ds =. (6) C In unserem Beispiel ist die Areit entlng einer geschlossenen Kurve immer null, flls die Energie erhlten leit. Es git uch höher-dimensionle Integrle, nämlich: Flächenintegrle. Beispiel: der Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche A. Der Normlenvektor n steht senkrecht uf A und ht die Länge. Dnn gilt: φ = B n da. (7) A Dies ist ein zweidimensionles Integrl, mn muss zum Beispiel da = d dy setzen! [Sttt n da findet mn mnchml uch die Schreiweise da.] Volumenintegrle: Beispiel: die Gesmtmsse eines Ojektes. Sie erechnet sich us dessen Dichteverteilung ϱ(, y, z) wie folgt: M = ϱ dv, (8) V woei dv ds dreidimensionle Volumenelement edeutet. In krtesischen Koordinten schreien wir dv = d dy dz. Als Beispiel erechnen wir die Msse einer homogenen Kugel mit Rdius R und Dichte ϱ. Wir wählen ls Koordintenursprung ds Zentrum der Kugel. Anhnd einer Skizze mcht mn sich leicht klr, dss ds Volumenelement in Polrkoordinten folgendermssen ussieht: Ds Volumenintegrl wird dmit zu: dv = r 2 sin θ dr dθ dϕ. (9) M = r=r r= θ=π θ= ϕ=2π ϕ= ϱ r 2 sin θ dr dθ dϕ = ϱ r=r r= r 2 dr θ=π θ= sin θ dθ ϕ=2π ϕ= dϕ = 4π 3 R3 ϱ. (2) 5

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