Didaktik der Analysis

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1 Jürgen Roth Didaktik der Analysis Modul 12a: Fachdidaktische Bereiche 1.1

2 Inhalt Didaktik der Analysis 0 Organisatorisches 1 Ziele und Inhalte 2 Folgen und Vollständigkeit in R 3 Ableitungsbegriff 4 Integralbegriff 1.2

3 Didaktik der Analysis Kapitel 1: Ziele und Inhalte Borneleit, P., Danckwerts, R., Henn, H.-W., Weigand, H.-G. (2000): Expertise zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe KMK (2012): Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife 1.3

4 Inhalt Kapitel 1: Ziele und Inhalte 1.1 Grunderfahrungen 1.2 Leitideen, Mathematisierungsmuster und Strategien der Analysis 1.3 Grundvorstellungen 1.4 Expertise zum Mathematikunterricht in der gymnasialen Oberstufe 1.5 KMK Bildungsstandards für die Hochschulreife 1.6 Mindestanforderungskatalog Mathematik 1.4

5 Kapitel 1: Ziele und Inhalte 1.1 Grunderfahrungen 1.5

6 Bildungsziele des Mathematikunterrichts Kulturhistorischer Aspekt Erkenntnistheoretischer Aspekt Pragmatischer Aspekt Schöpferischer Aspekt 1.6

7 Winter: Grunderfahrungen Winter : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der DMV, Nr. 2 (1996), S Mathematikunterricht sollte drei Grunderfahrungen ermöglichen: (1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen. (2) Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennenlernen und begreifen. (3) In der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten erwerben, die über die Mathematik hinaus gehen (heuristische Fähigkeiten). Im Internet: 1.7

8 Kapitel 1: Ziele und Inhalte 1.2 Leitideen, Mathematisierungsmuster & Strategien der Analysis 1.8

9 Leitideen in der Analysis Tietze, Klika, Wolpers (Hrsg.) (2000): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 1: Fachdidaktische Grundfragen Didaktik der Analysis. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, S. 184 Reelle Zahlen und deren Vollständigkeit Funktionen und Kurven Konvergenz, Grenzwert, Stetigkeit Ableitung und Differenzierbarkeit Integral und Integrierbarkeit Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) Globale Sätze der Differential- und Integralrechnung (Mittelwertsatz, Monotoniesatz, Schrankensatz) Funktionalgleichungen 1.9

10 Zentrale Mathematisierungsmuster in der Analysis Tietze et al. (Hrsg.) (2000): MU in der Sek. II, Band 1: Fachdid. Grundfragen Didaktik der Analysis. Braunschweig: Vieweg, S. 210f Funktionen & Funktionsgleichungen zur math. Darstellung nutzen Naturgesetze Modellbildungssituationen (Wirtschafts- und Sozialwissenschaften) normativen Verordnungen und Gesetze Differenzen- und Differentialquotienten als Änderungsraten Integral als Gesamteffekt von Änderungsraten Maß von Flächen und Volumina Differential- und Differenzengleichung zur Beschreibung von Dynamischen Vorgängen Entwicklungsvorgängen 1.10

11 Strategien in der Analysis Tietze, Klika, Wolpers (Hrsg.) (2000): Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II, Band 1: Fachdidaktische Grundfragen Didaktik der Analysis. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, S Approximation Linearisierung, Linearität Iteration und Rekursion Zentrale Sätze des Kalküls (dienen als Strategien) Produkt- und Kettenregel der Differentialrechnung Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Globale Sätze der Differential- und Integralrechnung (Mittelwertsatz, Monotoniesatz, Schrankensatz) Graphische Repräsentation (Geometrisierung) 1.11

12 Kapitel 1: Ziele und Inhalte 1.3 Grundvorstellungen 1.12

13 Definition der Begriffe Tragfähige mentale Modelle für einen Begriff oder ein Verfahren Wichtige Grundlagen für das Verstehen Für einen Inhaltsbereich grundlegende Fakten (Begriffsdefinitionen, Formeln, Sätze, ) Sollten auswendig gewusst werden Grundvorstellungen Grundwissen Grundfertigkeiten Anwendung von Routinekalkülen Anwendung des Grundwissens in einer typischen Situation (geforderte Operation vorgeben) 1.13

14 Kernpunkte des Grundvorstellungskonzepts Grundvorstellungen vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7 repräsentieren abstrakte Begriffe anschaulich ermöglichen eine Verbindung zwischen abstrakter Mathematik und außer- sowie innermathematischen Anwendungszusammenhängen Zwei Typen von Grundvorstellungen Primäre Grundvorstellungen haben ihre Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen Sekundäre Grundvorstellungen werden mit mathematischen Darstellungsmitteln (Zahlenstrahl, Graph, ) repräsentiert 1.14

15 Typen von Grundvorstellungen vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7 Primäre Grundvorstellungen Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen + = Sekundäre Grundvorstellungen Repräsentiert mit mathematischen Darstellungsmitteln :10 :10 :10 :10 :10 : T H Z E z h t

16 Ziele beim Ausbilden von Grundvorstellungen Vgl. vom Hofe, R. (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. Mathematik lehren 118, S. 4-8 Erfassen der Bedeutung des Begriffs/Verfahrens Anknüpfen an bekannte Sachzusammenhänge oder Handlungsvorstellungen Aufbauen von mentalen Repräsentationen Ermöglichen operativen Handelns auf der Vorstellungsebene Anwenden in neuen Situationen Erkennen der Struktur in Sachzusammenhängen Modellieren des Phänomens mit Hilfe der mathematischen Struktur 1.16

17 Grundvorstellungen bei kognitiven Aktivitäten Vom Hofe, R. (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. Mathematik lehren 118, S. 4-8 Grundvor stellung Grundvor stellung 1.17

18 Begriffsklärungen Kompetenz Wissen und Können, sowie die Fähigkeit und Bereitschaft diese flexibel und erfolgreich einzusetzen. Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenz Kompetenzen Begriffe rund ums Verständnis Grundvorstellung Tragfähiges mentales Modell für einen Begriff oder ein Verfahren Grundvorstellung Fundamentale Idee Fundamentale Ideen Weite (logische Allgemeinheit) Fülle (vielfältige Anwendbarkeit) Sinn (Verankerung im Alltagsleben) Grundfertigkeiten Anwendung von Routinekalkülen Anwendung des Grundwissens in einer typischen Situation (geforderte Operation vorgegeben) Grundwissen Grundfertigkeit Grundwissen für einen Inhaltsbereich grundlegende Fakten (Begriffe, Definitionen, Formeln, Sätze, ) sollte auswendig gewusst werden 1.18

19 Wichtige Grundvorstellungen in der Analysis Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S Ableitung als lokale Änderungsrate lokale lineare Approximation Tangentensteigung (geometrisch gedeutet) Integral als Rekonstruktion der Wirkung bzw. des Gesamteffekts Mittelung Fläche unter der Kurve (geometrisch gedeutet) Extrem- und Wendestellen als markante Punkte in funktionalen Zusammenhängen, bei denen sich Änderungsverhalten ändert begriffliche Werkzeuge zur Lösung von Optimierungsproblemen 1.19

20 Vorstellungsorientierte Fähigkeiten Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S Fähigkeiten (1) absolute und relative Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können Zusammenhang zwischen mittleren (Differenzenquotienten) und momentanen Änderungsraten (Differenzialquotienten) kennen, auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes beschreiben und in verschiedenen Situationen anwenden können Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung erkennen und beschreiben können Unterschied zwischen Bestand und Änderung in Anwendungssituationen erklären und zur Problembearbeitung nutzen können 1.20

21 Bestand und Änderung Bestandsgröße Zuflüsse Abflüsse Anzahl der Studierenden einer Universität Immatrikulationen Exmatrikulationen, Ausscheiden aus der Universität Benzinmenge im Tank Tanken an der Tankstelle Benzinverbrauch, Verdunstung Kontostand Zubuchungen Abbuchungen Anzahl der Gäste eines Hotels ankommende Gäste abreisende Gäste Staatsverschuldung Staatseinnahmen Staatsausgaben 1.21

22 Bestand und Änderung Anzahl Ankünfte / Abreisen pro Tag Ossimitz (2003): Zeitliche Dynamik verstehen. Mathematik lehren 120, S Ankünfte und Abreisen im Alpenhotel Ankünfte (Anzahl am Tag) Abreisen (Anzahl am Tag) Wann waren die meisten Gäste im Hotel? 1.22

23 Vorstellungsorientierte Fähigkeiten Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S Fähigkeiten (2) Eigenschaften von funktionalen Zusammenhängen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen bestimmtes Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können Unterschied zwischen Änderungsfunktion und Wirkung bzw. Gesamteffekt erklären und zur Problembearbeitung nutzen können 1.23

24 Aufgabenformate zum Prüfen inhaltlicher Vorstellungen Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S

25 Aufgabenformate zum Prüfen inhaltlicher Vorstellungen Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S

26 Aufgabenformate zum Prüfen inhaltlicher Vorstellungen Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S

27 Aufgabenformate zum Prüfen inhaltlicher Vorstellungen Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S Masse in mg Dangl u. a. (2009): Standardisierte schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik Sicherung von mathematischen Grundkompetenzen 1.27

28 Aufgabenformate zum Prüfen inhaltlicher Vorstellungen Hußmann, Prediger (2003): Vorstellungsorientierte Analysis auch in Klassenarbeiten und zentralen Prüfungen. PM 52(31), S ss: ee ss ee ee ss ee 1 sss(ee) ee 1 ss ee 1 und ss ee 1 ee 1 ss ee 1 +h ss ee 1 h ss ee 1 +h ss ee 1 h ss ee 1 ee 1 ss ee = 0 Dangl u. a. (2009): Standardisierte schriftliche Reifeprüfung aus Mathematik Sicherung von mathematischen Grundkompetenzen 1.28

29 Kapitel 1: Ziele und Inhalte 1.4 Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe 1.29

30 (L1) Leitlinien Borneleit, Danckwerts, Henn, Weigand (2001): Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe. JMD 22(1), S Grund - und Leistungskurse bedürfen gleichermaßen aller drei Grunderfahrungen. Leistungskurse dürfen sich nicht auf die zweite, Grundkurse nicht auf die erste Grunderfahrung beschränken. (L2) Jeder Lernbereich (Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik) muss seine verbindlichen Inhalte als exemplarischen Beitrag zur Integration dieser drei Grunderfahrungen legitimieren. (L3) Die Betonung heuristischer Denk- und Arbeitsweisen relativiert die Bedeutung der formalen Fachsprache als Träger mathematischer Kommunikation. Zur Stärkung der natürlichen Sprache im Mathematikunterricht gehört die Philosophie von der Wiederentdeckung des Inhaltlichen in einer neuen Unterrichtskultur. 1.30

31 Orientierung an fundamentalen Ideen Fundamentale Ideen Messen funktionaler Zusammenhang Algorithmus Iteration Änderungsraten Optimieren räumliches Strukturieren Koordinatisieren Symmetrie Zufall und Wahrscheinlichkeit Grundvorstellungen aufbauen kalkülorientierte Teile in Zeitaufwand und Wertigkeit zu Gunsten der inhaltlich orientierten Teile reduziert Begriffsbildung/Begründung: stärker inhaltlich argumentiert (nicht ausschließlich formal) Formale Ergebnisse immer auf Sinnhaltigkeit prüfen Vernetzen vertikal horizontal Borneleit, Danckwerts, Henn, Weigand (2001): Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe. JMD 22(1), S

32 Grundvorstellung versus Kalkülorientierung Idee und Bedeutung Ableitung als Idee des Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate Integral als Idee der Rekonstruktion einer Funktion aus ihren Änderungsraten Idee der Approximation von Nullstellen durch das Newtonverfahren (oder ein anderes Iterationsverfahren) sowie die Analyse des Konvergenzverhaltens "Kurvendiskussion" als Analyse der Eigenschaften von Funktionen Geometrische Gebilde mit Hilfe analytischer Methoden darstellen Anwendung wahrscheinlichkeitstheoretischer Begriffe auf Alltagssituationen Borneleit et al. (2001): Expertise zum MU in der gymnasialen Oberstufe. JMD 22(1), S Kalkülhaftes Arbeiten Bestimmen von Tangentensteigungen und Ableitungsfunktionen nach syntaktischen Regeln Integrieren als Bestimmen von Flächeninhalten und Stammfunktionen nach syntaktischen Regeln Newtonverfahrens mit Taschenrechner oder Computer ausführen und Abbruchbedingungen wenn sich die dritte Nachkommastelle nicht mehr ändert "Kurvendiskussion" als Anwendung von Kalkülen auf Funktionen & Ableitungen Formales Lösen von Gleichungssystemen Algorithmische Behandlung von Aufgaben in Urnenmodellen. 1.32

33 Kapitel 1: Ziele und Inhalte 1.5 KMK Bildungsstandards für die Hochschulreife 1.33

34 KMK: Bildungsstandards: Kompetenzbereiche Allgemeine mathematische Kompetenzen [K1] [K2] [K3] [K4] [K5] [K6] Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen Mathematisch modellieren Mathematische Darstellungen verwenden Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Mathematisch kommunizieren Leitideen [L1] [L2] [L3] [L4] [L5] Algorithmus und Zahl Messen Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall

35 KMK: Bildungsstandards: Anforderungsbereiche Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife

36 Leitidee KMK: Bildungsstandards Anforderungsniveaus Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Grundlegendes Anforderungsniveau (Grundkurs) Umfang mathem. Inhalte Grundkenntnisse in Leitideen ausgewiesen Erhöhtes Anforderungsniveau (Leistungskurs) Umfang mathem. Inhalte größer in Leitideen ausgewiesen erhöhter Komplexitäts-, Vertiefungs-, Präzisierungsund Formalisierungsgrad. Anforderungsbereiche bzgl. allgemeiner mathematischer Kompetenzen Prüfungsleistungen Schwerpunkt im Anforderungsbereich II Anforderungsbereiche I und III berücksichtigen Anforderungsbereiche I und II stärker akzentuieren Prüfungsleistungen Schwerpunkt im Anforderungsbereich II Anforderungsbereiche I und III berücksichtigen Anforderungsbereiche II und III stärker akzentuieren

37 KMK: Bildungsstandards: Digitale Mathematikwerkzeuge Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen wird durch den sinnvollen Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt. Das Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen, durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge, nicht zuletzt mittels vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten, mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung größerer Datenmengen, durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten Nutzung von Kontrollmöglichkeiten. Einer durchgängigen Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge im Unterricht folgt dann auch deren Einsatz in der Prüfung

38 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mathematisch argumentieren (K1) Entwickeln eigenständiger, situationsangemessener mathematischer Argumentationen und Vermutungen Verstehen und Bewerten gegebener mathematischer Aussagen Spektrum: einfache Plausibilitätsargumente inhaltlich-anschauliche Begründungen formales Beweisen Typische Formulierungen: Begründen Sie! Widerlegen Sie! Gibt es? Gilt das immer?

39 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mathematisch argumentieren (K1) Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können Routineargumentationen (bekannte Sätze, Verfahren, Herleitungen, usw.) wiedergeben und anwenden einfache rechnerische Begründungen geben oder einfache logische Schlussfolgerungen ziehen Argumentationen auf der Basis von Alltagswissen führen Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können überschaubare mehrschrittige Argumentationen und logische Schlüsse nachvollziehen, erläutern oder entwickeln Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können Beweise und anspruchsvolle Argumentationen nutzen, erläutern oder entwickeln verschiedene Argumente nach Kriterien wie Reichweite und Schlüssigkeit bewerten

40 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Probleme mathematisch lösen (K2) Erkennen und Formulieren mathematischer Probleme Auswählen geeigneter Lösungsstrategien Finden und das Ausführen geeigneter Lösungswege Spektrum: Anwendung bekannter Strategien Konstruktion komplexer und neuartiger Strategien Heuristische Prinzipien Skizze anfertigen systematisch probieren zerlegen und ergänzen Symmetrien verwenden Extremalprinzip Invarianten finden vorwärts und rückwärts arbeiten

41 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Probleme mathematisch lösen (K2) Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können Lösungsweg einer einfachen mathematischen Aufgabe durch Identifikation und Auswahl einer naheliegenden Strategie finden (z. B. Analogiebetrachtung) Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können Lösungsweg zu einer Problemstellung finden (z. B. durch mehrschrittiges, strategiegestütztes Vorgehen) Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können Strategie zur Lösung eines komplexeren Problems oder zur Beurteilung verschiedener Lösungswege entwickeln und anwenden (z. B. Verallgemeinerung einer Schlussfolgerung, durch Anwenden mehrerer Heurismen)

42 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mathematisch modellieren (K3) Wechsel zwischen Realsituationen und mathematischen Begriffen, Resultaten oder Methoden Konstruieren passender mathematischer Modelle Verstehen oder Bewerten vorgegebener Modelle Typische Teilschritte des Modellierens Strukturieren und Vereinfachen gegebener Realsituationen Übersetzen realer Gegebenheiten in mathematische Modelle Interpretieren mathematischer Ergebnisse in Bezug auf Realsituationen Überprüfen von Ergebnissen im Hinblick auf Stimmigkeit und Angemessenheit bezogen auf die Realsituation Spektrum: Standardmodelle (z. B. bei linearen Zusammenhängen) Komplexe Modellierungen

43 Mathematisch modellieren (K3) KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können vertraute und direkt erkennbare Modelle anwenden Realsituation direkt in ein mathematisches Modell überführen mathematisches Resultat auf eine gegebene Realsituation übertragen Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können mehrschrittige Modellierungen mit wenigen und klar formulierten Einschränkungen vornehmen Ergebnisse einer solchen Modellierung interpretieren mathematisches Modell an veränderte Umstände anpassen Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können komplexe Realsituation modellieren, wobei Variablen und Bedingungen festgelegt werden müssen mathematische Modelle im Kontext einer Realsituation überprüfen, vergleichen und bewerten

44 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Auswählen geeigneter Darstellungsformen Erzeugen mathematischer Darstellungen Umgehen mit gegebenen Darstellungen Typische mathematische Darstellungen Diagramme Graphen Tabellen Formeln Spektrum: Standarddarstellungen (z. B. Wertetabellen) eigenen Darstellungen, die dem Strukturieren und Dokumentieren individueller Überlegungen dienen und die Argumentation und das Problemlösen unterstützen

45 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können Standarddarstellungen von mathematischen Objekten und Situationen anfertigen und nutzen Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können gegebene Darstellungen verständig interpretieren oder verändern zwischen verschiedenen Darstellungen wechseln Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können mit unvertrauten Darstellungen und Darstellungsformen sachgerecht und verständig umgehen eigene Darstellungen problemadäquat entwickeln verschiedene Darstellungen und Darstellungsformen zweckgerichtet beurteilen

46 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mit Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen (K5) Ausführen von Operationen mit mathematischen Objekten (Z. B. Zahlen, Größen, Variablen, Terme, Gleichungen, Funktionen, Vektoren, geometrische Objekte) Spektrum: einfache und überschaubare Routineverfahren komplexen Verfahren einschließlich deren reflektierender Bewertung Weitere Aspekte dieser Kompetenz Faktenwissen und grundlegendes Regelwissen für ein zielgerichtetes und effizientes Bearbeiten von mathematischen Aufgabenstellungen, auch mit eingeführten Hilfsmitteln und digitalen Mathematikwerkzeugen

47 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mit Mathematik symbolisch/formal/technisch umgehen (K5) Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können elementare Lösungsverfahren verwenden Formeln und Symbole anwenden mathematische Hilfsmittel und digitale Mathematikwerkzeuge nutzen Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können formale mathematische Verfahren anwenden mit mathematischen Objekten im Kontext umgehen mathematische Hilfsmittel und digitale Mathematikwerkzeuge je nach Situation und Zweck gezielt auswählen und effizient einsetzen Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können komplexe Verfahren durchführen verschiedene Lösungs- und Kontrollverfahren bewerten Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Verfahren, Hilfsmittel und digitaler Mathematikwerkzeuge reflektieren

48 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mathematisch kommunizieren (K6) Entnehmen von Informationen aus schriftlichen Texten, mündlichen Äußerungen oder sonstigen Quellen Darlegen von Überlegungen und Resultaten unter Verwendung einer angemessenen Fachsprache Spektrum: direkten Informationsentnahme aus Texten des Alltagsgebrauchs bzw. vom Aufschreiben einfacher Lösungswege sinnentnehmenden Erfassen fachsprachlicher Texte bzw. zur strukturierten Darlegung oder Präsentation eigener Überlegungen Sprachliche Anforderungen spielen hier eine besondere Rolle

49 KMK: Bildungsstandards: Allg. mathem. Kompetenzen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mathematisch kommunizieren (K6) Anforderungsbereich I: Die Schüler/innen können einfache mathematische Sachverhalte darlegen Informationen aus kurzen (mathematischem) Texten identifizieren und auswählen (Informationsanordnung mathem. Bearbeitungsschritte) Anforderungsbereich II: Die Schüler/innen können mehrschrittige Lösungswege und Ergebnisse verständlich darlegen mathematische Äußerungen (auch fehlerhafte) interpretieren mathem. Informationen aus Texten identifizieren und auswählen (Informationsanordnung mathematische Bearbeitungsschritte) Anforderungsbereich III: Die Schüler/innen können komplexe mathematische Lösung oder Argumentation kohärent und vollständig darlegen oder präsentieren mathematische Fachtexte sinnentnehmend erfassen mündliche & schriftliche mathematische Äußerungen miteinander vergleichen, bewerten und ggf. korrigieren

50 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Mathematische Leitideen Unter Inhalten werden insbesondere auch adäquate Grundvorstellungen verstanden, die ein Verständnis dieser Inhalte erst konstituieren. Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden jeweils übergreifenden Leitideen zugeordnet, die nicht auf bestimmte klassische mathematische Themenbereiche (Analysis, Lineare Algebra & Analytische Geometrie, Stochastik) begrenzt sind. Die Leitideen tragen damit zur Vernetzung dieser traditionellen klassischen Sachgebiete bei. Bei allen Leitideen wird zuerst ein inhaltlicher Kernbereich beschrieben, der das grundlegende Anforderungsniveau charakterisiert. Danach werden die zusätzlichen Inhalte für das erhöhte Anforderungsniveau aufgeführt. Innerhalb der Leitideen können die Länder den Schwerpunkt alternativ auf die Beschreibung mathematischer Prozesse durch Matrizen (Alternative A1) oder die vektorielle Analytische Geometrie (Alternative A2) setzen. Ebenso können die Länder den Schwerpunkt auf die Schätzung von Parametern (B1) oder auf die Testung von Hypothesen (B2) setzen

51 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Algorithmus und Zahl (L1) verallgemeinert den Zahlbegriff der Sekundarstufe I zu Tupeln und Matrizen einschließlich zugehöriger Operationen erweitert die Vorstellungen von den reellen Zahlen durch Approximationen mittels infinitesimaler Methoden Kenntnis, Verstehen und Anwenden mathematischer Verfahren, die automatisierbar und einer Rechnernutzung zugänglich sind Sachgebiete der Sekundarstufe II mit Bezügen zur Leitidee Analysis Lineare Algebra

52 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Algorithmus und Zahl (L1) Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen auswählen ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und es anwenden Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen einfache Sachverhalte mit Tupeln oder Matrizen beschreiben mathematische Prozesse durch Matrizen unter Nutzung von Matrizenmultiplikation und inverser Matrizen beschreiben (A1) Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können Potenzen von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen nutzen (A1) Grenzmatrizen sowie Fixvektoren interpretieren (A1)

53 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Messen (L2) Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife erweitert das Bestimmen und Deuten von Größen aus der Sekundarstufe I um infinitesimale, numerische und analytischgeometrische Methoden funktionale Größen (Änderungsraten und (re-)konstruierte Bestände) Größen im Koordinatensystem (Winkel, Längen, Flächeninhalte und Volumina) stochastische Kenngrößen (Ergebnisse von Messprozessen im weiteren Sinne) Sachgebiete der Sekundarstufe II mit Bezügen zur Leitidee Analysis Analytische Geometrie Stochastik

54 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Messen (L2) Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können Streckenlängen und Winkelgrößen im Raum auch mithilfe des Skalarprodukts bestimmen Sekanten- & Tangentensteigungen an Funktionsgraphen bestimmen Änderungsraten berechnen und deuten Inhalte von durch Funktionsgraphen begrenzten Flächen bestimmen Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen Lage- und Streumaße einer Stichprobe bestimmen und deuten Erwartungswert und Standardabweichung diskreter Zufallsgrößen bestimmen und deuten Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen (A2) Volumen von Körpern bestimmen, die durch Rotation um die Abszissenachse entstehen

55 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Raum und Form (L3) Weiterentwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens aus der Sekundarstufe I Umgang mit Objekten im Raum Eigenschaften und Beziehungen dieser Objekte Darstellungen mit geeigneten Hilfsmitteln einschließlich Geometriesoftware Sachgebiete der Sekundarstufe II mit Bezügen zur Leitidee Analytische Geometrie

56 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Raum und Form (L3) Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können geometrische Sachverhalte in Ebene und Raum koordinatisieren elementare Operationen mit geometrischen Vektoren ausführen und Vektoren auf Kollinearität untersuchen das Skalarprodukt geometrisch deuten Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig bzw. ebenflächig begrenzten geometrischen Objekten anwenden (A2) Geraden und Ebenen analytisch beschreiben und die Lagebeziehungen von Geraden untersuchen (A2) Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können die Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen untersuchen (A2)

57 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Funktionaler Zusammenhang (L4) funktionalen Vorstellungen aus der Sekundarstufe I mit Begriffen und Verfahren der elementaren Analysis zu vertiefen Funktionsbegriff durch vielfältige Beispiele zu erweitern (auch in stochastischen Kontexten) funktionale Beziehungen zwischen Zahlen bzw. Größen Darstellungen und Eigenschaften Nutzung von infinitesimalen Methoden und geeigneter Software Sachgebiete der Sekundarstufe II mit Bezügen zur Leitidee Analysis Stochastik

58 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Funktionaler Zusammenhang (L4) Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können (1. Teil) Funktionsklassen aus der Sekundarstufe I zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen in einfachen Fällen Verknüpfungen und Verkettungen von Funktionen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate deuten Änderungsraten funktional beschreiben (Ableitungsfunktion) und interpretieren Funktionen der Sek. I ableiten (auch mit Faktor- und Summenregel) Produktregel zum Ableiten von Funktionen verwenden Ableitung zur Bestimmung von Monotonie und Extrema nutzen Ableitungsgraphen aus Funktionsgraphen entwickeln und umgekehrt

59 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Funktionaler Zusammenhang (L4) Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können (2. Teil) bestimmtes Integral deuten ((re-)konstruierter Bestand) geometrisch-anschaulich den Hauptsatz als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff begründen Funktionen mittels Stammfunktionen integrieren Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen deuten Kettenregel zum Ableiten von Funktionen verwenden ln-funktion als Stammfunktion von xx 1 xx und als Umkehrfunktion der ee-funktion nutzen

60 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Daten und Zufall (L5) vernetzt Begriffe und Methoden zur Aufbereitung und Interpretation von statistischen Daten mit solchen zur Beschreibung und Modellierung von zufallsabhängigen Situationen Ausweitung und Vertiefung stochastischer Vorstellungen der Sekundarstufe I Umgang mit mehrstufigen Zufallsexperimenten Untersuchung und Nutzung von Verteilungen Einblick in Methoden der beurteilenden Statistik (mithilfe von Simulationen und unter Verwendung einschlägiger Software ) Sachgebiete der Sekundarstufe II mit Bezügen zur Leitidee Stochastik

61 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Daten und Zufall (L5) Grundlegendes und erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können exemplarisch statistische Erhebungen planen und beurteilen Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Baumdiagrammen oder Vierfeldertafeln untersuchen und lösen Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit untersuchen (einfache Beispiele) Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen Simulationen zur Untersuchung stochastischer Situationen verwenden von Stichproben auf die Gesamtheit schließen (bei einfachen Fällen)

62 KMK: Bildungsstandards: Leitideen Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife Daten und Zufall (L5) Erhöhtes Anforderungsniveau: Die Schüler/innen können Binomialverteilte Zufallsgrößen: Aussagen über unbekannte Wahrscheinlichkeit, Unsicherheit und Genauigkeit der Aussagen begründen (B1) Hypothesentests interpretieren und die Unsicherheit und Genauigkeit der Ergebnisse begründen (B2) exemplarisch diskrete und stetige Zufallsgrößen unterscheiden und die Glockenform als Grundvorstellung von normalverteilten Zufallsgrößen nutzen stochastische Situationen untersuchen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen

63 Kapitel 1: Ziele und Inhalte 1.6 Mindestanforderungskatalog Mathematik 1.63

64 Mindestanforderungskatalog Mathematik Ergebnis einer Fachtagung am 5. Juli 2012 in Esslingen

65 Grundkompetenzen 1.65

66 Grundkompetenzen 1.66

67 Grundkompetenzen 1.67

68 Grundkompetenzen 1.68

69 Grundkompetenzen/ Grundwissen 1.69

70 Grundkompetenzen/ Grundwissen 1.70

71 Grundkompetenzen/ Grundwissen 1.71

72 Grundkompetenzen/ Grundwissen 1.72

73 Grundkompetenzen/ Grundwissen 1.73

74 Grundkompetenzen/ Grundwissen 1.74