Vorabskript zur Vorlesung. Analysis I und II. Sommersemester 2010/ Wintersemester 2010/ 11. Prof. Dr. Helmut Maier Dipl.-Math.

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1 Vorbskript zur Vorlesung Anlysis I und II Sommersemester 200/ Wintersemester 200/ Prof. Dr. Helmut Mier Dipl.-Mth. Hns- Peter Reck Institut für Zhlentheorie und Whrscheinlichkeitstheorie Universität Ulm

2 Inhltsverzeichnis Einführung, reelle Zhlen 5. Allgemeines Mengen, Reltionen, Abbildungen Die reellen Zhlen Ungleichungen, Rechenregeln, Betrg Ntürliche Zhlen, vollständige Induktion Die komplexen Zhlen Folgen und Reihen Folgen und Grenzwerte Die n- te Wurzel Unendliche Reihen Konvergenzkriterien für unendliche Reihen Bedingte und unbedingte Konvergenz, Produktreihen Dezimlbruchentwicklung Stetigkeit, Differenzierbrkeit Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Einseitige und uneigentliche Grenzwerte, einseitige Stetigkeit Polynome und rtionle Funktionen Stetige Funktionen uf kompkten Intervllen Monotone Funktionen, Umkehrfunktion Differenzierbrkeit Ableitungsregeln Mittelwertstz, Monotonie Höhere Ableitungen, Tylorpolynome de L Hopitlsche Regeln Konvexität und reltive Extrem, Kurvendiskussion

3 4 Stetigkeit und Differenzierbrkeit von Grenzfunktionen, Potenzreihen Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit Differenzierbrkeit der Grenzfunktion Stetigkeit und Differenzierbrkeit durch unendliche Reihen definierter Funktionen Potenzreihen Tylorreihen Die elementren trnszendenten Funktionen Die Exponentilfunktion Der Logrithmus Allgemeine Exponentilfunktionen, Logrithmus- und Potenzfunktionen Die trigonometrischen Funktionen Die Arcusfunktionen Integrlrechnung Ds Flächenproblem Ds Riemnnsche Integrl Integrierbre Funktionen Der Huptstz der Differenzil- und Integrlrechnung Grundintegrle Prtielle Integrtion und Substitution, Integrtionstechniken Integrtion rtionler Funktionen, Prtilbruchzerlegung Uneigentliche Integrle Vertuschung von Integrtion und Grenzwertübergng Der n- dimensionle Rum, Stetigkeit 2 7. Der n- dimensionle Rum, linere Struktur Der n- dimensionle Rum, topologische Struktur Stetigkeit Prtielle Differenzierbrkeit Totle Differenzierbrkeit Differentitionsregeln Richtungsbleitung Ableitungen höherer Ordnung Tylorpolynome, Stz von Tylor Extremwerte Bnchscher Fixpunktstz Inverse Funktionen im R p, implizite Funktionen Kurven

4 8 Integrlrechnung im R p Riemnnsche Summen und Riemnnsches Integrl Mehrfche Integrle Substitutionsregel

5 Kpitel Einführung, reelle Zhlen. Allgemeines Die Anlysis ist neben der Lineren Algebr eine der zwei Grunddisziplinen der Mthemtik. Fst lle weiterführenden mthemtischen Theorien buen uf ihnen uf. Somit gelten uch für die Anlysis die Prinzipien für den Aufbu einer mthemtischen Theorie. Eine mthemtische Theorie besteht us folgenden Bestndteilen:. Axiome 2. Definitionen 3. Lehrsätze Wir kommen nun zur Beschreibung dieser Bestndteile:. Axiome: Dies sind Aussgen, die ohne Beweis ls gültig ngenommen werden. Die Aussgen werden über Objekte getroffen, über deren Ntur nichts weiter usgesgt wird. Als einer der ersten ist Euklid in seinem Werk Elemente uf diese Weise vorgegngen (um c. 300 v. Chr.). Objekte, über die in den Euklidischen Axiomen Aussgen gemcht werden, sind unter nderem Punkte und Gerden. Ein Axiom (A) lutet: (A) Durch je zwei verschiedene Punkte geht genu eine Gerde. Euklids Auffssung wr, dß unmittelbr einleuchtend ist, ws unter Punkten und Gerden zu verstehen ist und dß uch die Aussge (A) unmittelbr einleuchtend ist. Punkte und Gerden wurden dbei ls Gegenstände der Ntur ngesehen. In der modernen Mthemtik herrscht diese Auffssung nicht mehr: Mthemtik ist keine Nturwissenschft! Ist in einer Theorie von Punkten und Gerden die Rede, so existieren sie unbhängig von der Ntur. Mcht mn Aussgen über Gegenstände der Ntur, wie zum Beispiel: 5

6 Licht breitet sich gerdlinig us, oder die Bhn eines unbeschleunigten Körpers ist eine Gerde, so besgt dies, dß die mthemtische Theorie Euklidische Geometrie gut geeignet ist, die Ausbreitung des Lichts oder die Bewegung von unbeschleunigten Körpern zu beschreiben. Gerden sind gute Modelle für die Ausbreitung des Lichts oder die Bewegung eines unbeschleunigten Körpers. Jedoch ist eine Gerde nichts, ws in der Ntur vorkommt. Diese Unbhängigkeit der Axiome von der Ntur ht zur Folge, dß zum Beweis von mthemtischen Ttschen nur die Axiome und ws us ihnen rein logisch bgeleitet wurde, benützt werden dürfen, nicht jedoch die sogennnte Anschuung, die uf Nturerfhrung beruht. 2. Definitionen: Diese sind im Grunde nichts nderes ls Vereinbrungen, welche Nmen gewisse Objekte, Ttschen oder Eigenschften, die in der Theorie vorkommen, hben sollen. Wir werden uns zum Beispiel in dieser Vorlesung uf den Stndpunkt stellen, dß wir nicht wissen, ws der Begriff 2 ( zwei ) bedeutet, bevor er nicht definiert wurde. Die Existenz des Objekts ( eins ) wird in den Axiomen gefordert werden, weiter uch die Existenz der Summe. Die Definition 2: = + ist dnn keine mthemtische Aussge, sondern eine Vereinbrung, welchen Nmen die Summe + bekommen soll. 3. Lehrsätze: Ein Lehrstz (kurz: Stz, mnchml uch Lemm (Hilfsstz)) besteht us drei Teilen: Vorussetzung, Behuptung und Beweis. Die Behuptung mcht Aussgen über gewisse Objekte der Theorie (z.b. Punkte, Gerden oder Zhlen). Diese Aussge gilt im llgemeinen nur, wenn die Objekte gewisse Vorussetzungen erfüllen. Die Bedeutung der Objekte muß klr sein, d.h. sofern sie nicht schon in den Axiomen vorkommen, muß schon eine Definition vorliegen. Im Beweis wird dnn die Whrheit der Aussge durch eine Kette von Schlüssen bewiesen. Dbei dürfen nur Ttschen benützt werden, die entweder in den Axiomen festgestellt wurden oder deren Whrheit schon früher bewiesen wurde. Berufung uf die Anschuung, etw Es ist doch klr, dß durch zwei verschiedene Punkte genu eine Gerde geht sind nicht zulässig. Dies bedeutet jedoch nicht, dß die Anschuung wertlos ist. Sie gibt häufig Ideen, wie Beweise zu führen sind, knn ls Erinnerungsstütze dienen oder Hinweise liefern, wie die Theorie ufzubuen ist. Wir werden in dieser Vorlesung oft Schverhlte durch Skizzen vernschulichen; häufig sind es Skizzen von Grphen von Funktionen. Die Ableitung einer Funktion knn mn sich zum Beispiel ls Steigung der Tngente n den Grph der Funktion vorstellen. Diese Skizzen werden jedoch niemls ls Beweismittel verwendet werden. Wir werden beim Aufbu der Theorie nur von Dingen sprechen, die wir schon von einem früheren Teil der Vorlesung kennen. Bei der Whl der Beispiele, mit denen wir die Theorie illustrieren, und uch bei den Übungsufgben werden wir gelegentlich nders verfhren. Um interessnte Beispiele zu bekommen, werden wir dnn wohlbeknnte Dinge, wie etw die Grundrechenrten, vorussetzen, uch wenn wir sie in der Vorlesung noch nicht besprochen htten..2 Mengen, Reltionen, Abbildungen Die Objekte einer mthemtischen Theorie werden zu Mengen zusmmengefßt. Die Objekte sind dnn Elemente dieser Menge. Der Begründer der Mengenlehre, Georg Cntor, gb folgende Beschreibung: 6

7 Definition: (i) Unter einer Menge X verstehen wir jede Zusmmenfssung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten x, y,... unserer Anschuung oder unseres Denkens, welche die Elemente von X gennnt werden, zu einem Gnzen, einem neuen Objekt X = {x, y,...} unseres Denkens. (ii) Für x ist Element von X schreiben wir x X und für x ist nicht Element von X dnn x / X. Diese Definition werden wir nicht weiter benützen. Die in ihr vorkommenden Begriffe Zusmmenfssung, Anschuung oder Denken sind nicht klrer ls der zu definierende Begriff Menge. Wir nehmen n, wir wissen, ws eine Menge ist. Sie wird in dem Axiomensystem der reellen Zhlen ein Grundbegriff sein, brucht lso nicht definiert zu werden. Mengen können uf verschiedene Weisen beschrieben werden: die Auflistung ihrer Elemente in geschweiften Klmmern oder durch eine chrkterisierende Eigenschft. Beispiel.2.. Die Menge X = {2, 3, 4, 5} knn uch ls beschrieben werden. Definition.2.. Wir definieren: X = {x x ist eine ntürliche Zhl mit 2 x 5} (i) Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge und wird mit bezeichnet. (ii) Eine Menge X heißt genu dnn Teilmenge einer Menge Y oder in der Menge Y enthlten (Schreibweise: X Y ), wenn lle Elemente von X uch Elemente von Y sind, in Zeichen: x X x Y. Lemm.2.. Für jede beliebige Menge X gilt X. Beweis. Nch Definition.2. (ii) muß gezeigt werden: x x X. Dieser Schluß ist richtig, weil die Vorussetzung x für lle x flsch ist. Mengen können verknüpft werden, ähnlich wie Zhlen durch Addition oder Multipliktion verknüpft werden können. Die wichtigsten Verknüpfungen sind Vereinigung und Durchschnitt. Definition.2.2. Es seien X und Y Mengen. (i) Unter der Vereinigung X Y der Mengen X und Y verstehen wir die Menge ller Elemente, die zu X oder zu Y (oder zu beiden) gehören: X Y := {x x X oder x Y }. (ii) Unter dem Durchschnitt X Y der Mengen X und Y verstehen wir die Menge ller Elemente, die zu X und zu Y gehören. Sind gewisse Mengen selbst Elemente einer Menge M, so lssen sich die Vereinigung und der Durchschnitt ll dieser Mengen erklären. Um eine kürzere Schreibweise zu erhlten, führen wir Abkürzungen für die sogennnten Quntoren es gibt ein und für lle ein: Schreibweise: Es ist eine Abkürzung für es gibt und eine Abkürzung für für lle. 7

8 Definition.2.3. Es sei M eine Menge von Mengen. (i) Unter der Vereinigung x M X verstehen wir: X := {x x M : x X}. x M (ii) Unter dem Durchschnitt x M X verstehen wir: X := {x x M : x X}. x M Definition.2.4. Es seien X und Y Mengen. Die Differenz von X und Y ist X\Y := {x x X und x / Y }. Flls Y X, dnn heißt die Differenz X\Y uch Komplement von Y in X. Schreibweise: Y C := X\Y. Definition.2.5. Mengen X und Y heißen disjunkt, wenn sie keine gemeinsmen Elemente besitzen, wenn lso X Y = gilt. Für die Verknüpfung von Mengen gelten elementre Gesetze: Stz.2. (Elementre Mengengesetze). Es seien X, Y, Z Mengen. Dnn gelten die folgenden Gesetze: (i) X Y = Y X und X Y = Y X (Kommuttivgesetz) (ii) (X Y ) Z = X (Y Z) und (X Y ) Z = X (Y Z) (Assozitivgestz) (iii) X (Y Z) = (X Y ) (X Z) und X (Y Z) = (X Y ) (X Z) (Distributivgesetz) (iv) Z\(X Y ) = (Z\X) (Z\Y ) und Z\(X Y ) = (Z\X) (Z\Y ) (de Morgnsche Regeln) Beweis. Wir zeigen nur (i) und einen Teil von (iii): (i) Es gilt: x X Y Def..2.2 (i) x X oder x Y x Y oder x X Def..2.2 (i) x Y X. Also ist X Y = Y X. x X Y Def..2.2 (ii) x X und x Y x Y und x X Def..2.2 (ii) x Y X. Dmit ist uch X Y = Y X. 8

9 (iii) Wir zeigen lediglich X (Y Z) (X Y ) (X Z): Insbesondere gilt x Y oder x Z.. Fll: x Y x X (Y Z) x X und x (Y Z) x X und x Y Def..2.2 (ii) x X Y. x (X Y ) (X Z). 2. Fll: x Z In beiden Fällen gilt lso die Behuptung. x X und x Z Def..2.2 (ii) x X Z x (X Y ) (X Z). Definition.2.6. Es seien x, y Objekte. Unter dem Pr (x, y) verstehen wir die Menge (x, y): = {{x}, {x, y}}. Bemerkung.2.. Im Unterschied zu der Menge {x, y}, bei der es uf die Reihenfolge der x und y nicht nkommt, es ist nämlich {x, y} = {y, x}, kommt es beim Pr (x, y) sehr wohl uf die Reihenfolge n: x steht n erster Stelle, y n zweiter Stelle. Die Begriffe Reihenfolge, erste Stelle bzw. zweite Stelle sind jedoch keine Grundbegriffe. Als Mthemtiker wissen wir bisher noch nicht, ws sie bedeuten. Es bleibt lso nur die Möglichkeit, den Begriff Pr uf eine kompliziert nmutende Weise, wie z. B. durch Definition.2.6 zu definieren. Definition.2.7. Es seien X und Y Mengen. Unter dem krtesischen Produkt X Y verstehen wir die Menge ller Pre (x, y) mit x X und y Y, lso Wir schreiben X 2 : = X X. X Y : = {(x, y) x X, y Y }. Beispiel.2.2. Es sei A = {, b} und B = {0,, ω}. Dnn ist A B = {(, 0), (, ), (, ω), (b, 0), (b, ), (b, ω)}. Definition.2.8. Es seien X und Y Mengen. Unter einer Reltion von X zu Y versteht mn eine Teilmenge R X Y. Dbei steht x X in R- Reltion zu y Y, wenn (x, y) R gilt, in Zeichen xry. Ist X = Y, so heißt R eine Reltion uf X. Wie Mengen können uch Reltionen durch chrkterisierende Eigenschften beschrieben werden. Beispiel.2.3. Es sei X = {0, 2, 4} und Y = {0,, 2, 3}. Wir definieren die Reltion D: xdy x = 2y, oder: x ist ds Doppelte von y. So ist D = {(0, 0), (2, ), (4, 2)}. 9

10 Definition.2.9. Ist R eine Reltion von X zu Y, so ist die inverse Reltion R ls Reltion von Y zu X durch R : = {(y, x) Y X (x, y) R} erklärt. Beispiel.2.4. Es sei X = {, 2, 7, 8} und R := < uf X. Dnn ist R = >. Also ist und R = {(x, y) X 2 x < y} = {(, 2), (, 7), (, 8), (2, 7), (2, 8), (7, 8)} R = {(y, x) X 2 x < y} = {(2, ), (7, ), (8, ), (7, 2), (8, 2), (8, 7)} = {(y, x) X 2 (x, y) R}. Definition.2.0. Eine Reltion R uf einer Menge X heißt reflexiv, wenn x X gilt: xrx, symmetrisch, wenn x, y X gilt: xry yrx, trnsitiv, wenn x, y, z X gilt: xry und yrz xrz. Eine Reltion, die zugleich reflexiv, symmetrisch und trnsitiv ist, heißt Äquivlenzreltion. Definition.2.. Es seien X, Y Mengen. Eine Reltion f X Y heißt Abbildung oder Funktion von X in Y, wenn es zu jedem x X genu ein y Y mit xfy gibt. In diesem Fll schreiben wir uch: y = f(x). Die Menge X heißt Definitionsbereich und Y heißt Wertebereich von f. Mn nennt y = f(x) Y ds Bild von x X, und x heißt Urbild von y = f(x). Definition.2.2. Es seien X, Y Mengen und f eine Abbildung von X in Y. (i) Ds Bild einer Teilmenge A X ist die Menge der Bilder ller Elemente us A: f(a) := {y Y x A mit y = f(x)}. (ii) Ds Bild des gesmten Definitionsbereichs, f(x) heißt Bild von f und wird mit Imf bezeichnet. (iii) Ds Urbild von B Y ist die Menge ller Elemente x X, deren Bilder in B liegen: f (B) := {x X f(x) B}. Definition.2.3. Es seien A X und B Y. Eine Abbildung g : A B mit g(x) = f(x) und f(x) B für lle x A heißt eine Restriktion oder Einschränkung von f. Umgekehrt ist f eine Erweiterung von g. Die Abbildung f A : A Y mit f A (x) = f(x) für x A nennt mn die Restriktion von f uf A. Definition.2.4. Eine Funktion f : X Y heißt injektiv (eineindeutig), flls us f(x ) = f(x 2 ) die Aussge x = x 2 folgt, 0

11 surjektiv, flls Imf = Y gilt, bijektiv, flls f sowohl injektiv ls uch surjektiv ist. Stz.2.2. Es seien X, Y Mengen und f eine Abbildung von X in Y. Die zu f inverse Reltion f ist genu dnn eine Abbildung, wenn f bijektiv ist. Beweis. f Abbildung y Y genu ein x X mit yf x Def..2. y Y genu ein x X mit xfy f bijektiv. Def..2.4 Def..2.9 Beispiel.2.5. Wir werden uns später usschließlich mit dem Fll X, Y R befssen. Funktionen werden dnn z. B. so notiert: f : [0, 3] R, x 7x. Dbei bedeutet [0, 3] ds Intervll [0, 3] = {x 0 x 3}. Die Funktion f ist injektiv wegen Aber f ist nicht surjektiv ufgrund f(x ) = f(x 2 ) 7x = 7x 2 x = x 2. 0 x 3 0 7x 2. Es ist Imf = [0, 2], ber nicht Imf = R. Die Abbildung g : [0, 3] [0, 2], x 7x ist bijektiv. Beispiel.2.6. Die Abbildung f : R R, x x 4 ist weder injektiv noch surjektiv. Es ist f(x) = f( x), z. B. f ({6}) = { 2, 2}. Außerdem gilt stets f(x) > 0, lso ist nicht Imf = R. Die Restriktion f [0, ] ist injektiv. Definition.2.5. Es seien X, Y, Y 2, Z Mengen sowie g : X Y und f : Y 2 Z Abbildungen mit g(x) Y 2. Dnn versteht mn unter der Komposition von f und g die Abbildung Beispiel.2.7. Es seien Dnn ist f g : X Z mit (f g)(x) := f(g(x)). g : R R mit g(x) = 2x + f : R R mit f(y) = y 2. (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x + ) = (2x + ) 2. Definition.2.6. Es sei X eine Menge. Die Abbildung id : X X, x x heißt die Identität uf X. Stz.2.3. Es seien X, Y Mengen und f eine bijektive Abbildung von X in Y mit inverser Abbildung f : Y X. Dnn ist f f = f f = id. Also ist f(f (x)) = x und f (f(x)) = x. Beweis. Nch Definition.2.9 (inverse Abbildung) ist y = f(x) x = f (y). Also gilt y = f(f (x)) f (x) = f (y) x = y f(f (x)) = x. f bijektiv

12 .3 Die reellen Zhlen Wir kommen nun zu den Axiomen (unbewiesenen Grundttschen) für die reellen Zhlen. Diese Axiome lssen sich in drei Gruppen gliedern. Die erste Gruppe, die Körperxiome, beschreiben, wie mit reellen Zhlen gerechnet wird, d.h. die Addition und die Multipliktion reeller Zhlen. Ddurch sind die reellen Zhlen ber noch lnge nicht chrkterisiert. Es gibt Körper, ds sind Strukturen, die ebenflls die Körperxiome erfüllen, die völlig nders ussehen ls die reellen Zhlen. Die zweite Gruppe, die Anordnungsxiome zeigen, dß die reellen Zhlen der Größe nch verglichen werden können. Sie bilden einen ngeordneten Körper. Es gibt wiederum ngeordnete Körper, die ndere Eigenschften ufweisen ls die reellen Zhlen, etw die rtionlen Zhlen. Die dritte Gruppe, die nur us einem einzigen Axiom, dem Vollständigkeitsxiom, besteht, schließt die Chrkterisierung b. Ein Körper ist eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen, Addition und Multipliktion gennnt. Wir sollten dher zuerst klären, ws unter einer Verknüpfung zu verstehen ist. Definition.3.. Eine Verknüpfung uf einer Menge X ist eine Abbildung : X X X. Ds Bild eines Pres (x, y) wird ds Ergebnis der Verknüpfung gennnt und mit x y bezeichnet. Verknüpfungen können mit jedem beliebigen Symbol (neben ) bezeichnet werden. Ist ds Symbol + (Pluszeichen), so heißt die Verknüpfung Addition, und ds Ergebnis x + y wird ls Summe von x und y bezeichnet. Ist ds Symbol (Multipliktionspunkt), so heißt diese Multipliktion, und dementsprechend wird ds Ergebnis x y ls Produkt von x und y bezeichnet. Wichtige Strukturen mit einer Verknüpfung sind die Gruppen: Definition.3.2. Eine Gruppe ist ein Pr (G, ) bestehend us einer Menge G und einer Verknüpfung uf G, so dß gilt: (G) (b c) = ( b) c für lle, b, c G (Assozitivgesetz). (G2) Es existiert ein Element e, neutrles Element (oder Einselement) gennnt, so dß e = für lle G. (G3) Ist ein neutrles Element e G gegeben, so gibt es zu jedem G ein inverses Element G, so dß = e. Gilt zusätzlich noch, dß ds Ergebnis der Verknüpfung von der Reihenfolge der Fktoren unbhängig ist, so heißt G eine kommuttive oder belsche Gruppe (nch N. H. Abel). Es gilt lso (G4) b = b für lle, b G (Kommuttivgesetz). Bemerkung.3.. Wird die Verknüpfung ls Addition geschrieben, so wird ds neutrle Element uch ls Null bezeichnet (Schreibweise: 0). Ds inverse Element eines Elements wird dnn mit bezeichnet und heißt ds Negtive von. Wird die Verknüpfung ls Multipliktion geschrieben, so wird ds neutrle Element uch ls Eins bezeichnet (Schreibweise: ). Ein Körper ist ein Pr ((K, +), ), wobei (K, +) eine belsche Gruppe, deren Verknüpfung + Addition gennnt wird, mit neutrlem Element 0 ist, während eine weitere Verknüpfung uf K ist, Multipliktion gennnt, so dß (K\{0}, } eine belsche Gruppe ist. Addition und Multipliktion sind durch ds Distributivgesetz verbunden: (b + c) = ( b) + ( c). 2

13 Die erste Gruppe von Axiomen für die Menge R der reellen Zhlen sind lso folgende Körperxiome: Auf R existieren zwei Verknüpfungen + (Addition) und (Multipliktion), sowie Elemente 0 (Null) und (Eins) mit 0, so dß folgende Gesetze gelten: (K) ( + b) + c = + (b + c) und ( b) c = (b c). (Assozitivgesetz). (K2) + b = b + und b = b. (Kommuttivgesetz). (K3) (b + c) = ( b) + ( c) (Distributivgesetz). (K4) + 0 = und = (Existenz neutrler Elemente). (K5) Für lle R ( ) R mit + ( ) = 0 und für lle R\{0} mit = (Existenz inverser Elemente). Definition.3.3. Ds multipliktive Inverse wird uch Reziprokes oder Kehrwert von gennnt und hoch minus eins gelesen. Wir lssen künftig die Multipliktionspunkte weg und folgen der Regel Punkt vor Strich, d.h. wenn keine Klmmern ds Gegenteil besgen, wird die Multipliktion vor der Addition usgeführt, so knn z. B. ds Distributivgesetz ls (b + c) = b + c formuliert werden. Die zweite Gruppe von Axiomen sind folgende Anordnungsxiome: Es gibt eine Reltion < (sprich: kleiner) uf R zu R, so dß folgende Gesetze gelten: (A) Für, b R gilt stets eine und nur eine der Beziehungen < b, = b und b <. (Trichotomiegesetz). (A2) < b und b < c < c. (Trnsitivitätsgesetz). (A3) Ist < b, so gilt + c < b + c c R und c < bc c R mit 0 < c. (Monotoniegesetze). Definition.3.4. Die zu der Reltion < inverse Reltion ist die Reltion > (größer). Die Zeichen bzw. bedeuten kleiner oder gleich bzw. größer oder gleich. Bemerkung.3.2. Jeder Körper, der ußer den Körperxiomen (K) (K5) uch noch die Anordnungsxiome (A) (A3) erfüllt, heißt ngeordneter Körper. Zur Formulierung des letzten Axioms, des Vollständigkeitsxioms, bruchen wir zunächst folgende Definition.3.5. Es sei X R und s R. Dnn heißt s eine obere Schrnke von X, flls x s für lle x X gilt. Flls eine obere Schrnke von X existiert, heißt X R nch oben beschränkt. Mn nennt s kleinste obere Schrnke oder Supremum von X, flls s eine obere Schrnke von X ist und für lle oberen Schrnken t von X gilt, dß s t ist. Nun können wir noch unser letztes Axiom formulieren: (V) Jede nichtleere nch oben beschränkte Teilmenge von R besitzt ein Supremum (Vollständigkeitsxiom, Supremumsxiom). 3

14 .4 Ungleichungen, Rechenregeln, Betrg Wir zeigen nun einige unmittelbre Folgerungen us den Axiomen für die reellen Zhlen. Es werden sich vertrute Regeln über die Umformung von Ungleichungen und Regeln über ds Bruchrechnen ergeben. Stz.4.. (Kürzungsregel) Es seien, b, c R. Dnn gilt (i) + c = b + c = b. (ii) Ist c 0, so gilt c = bc = b. Beweis. (i) + c = b + c ( + c) + ( c) = (b + c) + ( c) + (c + ( c)) = b + (c + ( c)) (K5) (K) + 0 = b + 0 = b. (K4) (ii) c = bc (c)c = (bc)c (c c ) = b(c c ) = b = b. (K5) (K) (K4) Bevor wir fortfhren, müssen wir einen Punkt klären, der leicht zu übersehen ist. In den Axiomen (K4) und (K5) wurde zwr die Existenz der neutrlen Elemente (0 und ) sowie die Existenz der Inversen gefordert. Es wurde jedoch nicht die Eindeutigkeit dieser Objekte gefordert. Dies ergibt sich jedoch ls Folgerung. Stz.4.2. (Eindeutigkeit der neutrlen Elemente und der Inversen) (i) (Eindeutigkeit der Null): (ii) (Eindeutigkeit der Eins): (iii) (Eindeutigkeit der Negtiven): (iv) (Eindeutigkeit des Kehrwerts): + 0 = für ein R 0 = 0. = für ein R =. R : + x = 0 x =. R\{0} : x = x =. Beweis. Die Beweise von Stz.4.2 (i), (ii) ergeben sich us der Kürzungsregel (Stz.4.): (i) + 0 = = + 0 (ii) = = S..4.(i) 0 = 0. S..4.(ii) = (iii) + x = 0 ( ) + ( + x) = 0 + ( ) ( + ) + x = 0 + ( ) x =. (K5) (K) (K4),(K5) 4

15 (iv) Beweisskizze: Multipliktion mit. Sonst nlog zu (iii). Stz.4.3. Für, b R gilt: (i) 0 = 0 = 0 (ii) ( ) b = ( b) = (b) (iii) ( ) ( b) = b (iv) (b c) = (b c) = b c (v) ( ) =. Beweis. Es ist (i) 0 = 0+( 0) = (0+0) = ( 0)+( 0), lso 0+( 0) = ( 0)+( 0) 0 = 0. (K4) (K3) S..4.(i) (ii) 0 = (i) 0 b = ( + ( )) b = b + ( ) b. Aus der Eindeutigkeit des Negtiven (Stz.4.2 (ii)) folgt: ( ) b = (b). Es folgt ( b) = (b) wegen ( b) = ( b) durch Umbenennen drus. (iii) 0 = 0 ( b) = ( + ( ))( b) = ( b) + ( )( b) = (b) + ( )( b) (i) (K5) (K3) (ii) ( )( b) = b. (iv) ohne Beweis (v) ohne Beweis S..4.2(ii) Bemerkung.4.. Wir vereinbren uch für ds Minuszeichen eine Punkt- vor- Strich- Regel: Unter b verstehen wir + ( b). b cd := ( b) (c d). Definition.4.. Es sei R und b R\{0}. Wir schreiben Insbesondere ist b := b. b := b. Stz.4.4. (Bruchrechnen) Es seien, b, c, d R, b, d 0. Dnn gilt: (i) b = d bd (ii) ( b) = b 5

16 (iii) b ± c d ± bc = d bd (iv) b c d = c bd ( ) b (v) =, flls uch 0. b Beweis. Übungen Definition.4.2. Mn nennt R positiv, wenn > 0 und negtiv, wenn < 0. Stz.4.5. Es seien, b R. Dnn gilt (i) 0 < (ii) < b b > 0 (iii) < 0 > 0 (iv) < b b < (v) 0 < < b > b. Beweis. Wir beweisen nur (ii): b > 0 (A3) (b ) + > 0 + b >. Stz.4.6. (Addition von gleichsinnigen Ungleichungen) Aus < b und c < d folgt + c < b + d. Beweis. Aus der Monotonie (A3) folgt + c < b + c und b + c < b + d. Mit der Trnsitivität (A2) gilt dnn + c < b + d. Stz.4.7. (Durchmultipliktion von Ungleichungen) Es seien, b, c R, und es sei < b. (i) Ist c > 0, so folgt c < bc. (ii) Ist c < 0, so folgt bc < c. Beweis. (i) ist Axiom (A3) (Monotoniegesetz) (ii) Nch Stz.4.5 (ii) ist c > 0. Dnn gilt < b S..4.5(ii) S..4.3(iv) b > 0 (b )( c) > 0 ( b) c > 0 c>0 (A3) c bc > 0 bc < c. S..4.5(ii) 6

17 Stz.4.8. Es seien, b R Dnn folgt Beweis. ohne Beweis b > 0 ( > 0 und b > 0) oder ( < 0 und b < 0). Stz.4.9. Es seien, b R und b 0. Dnn gilt b Beweis. Wir zeigen zunächst (*) b > 0 b > 0. > 0 ( > 0 und b > 0) oder ( < 0 und b < 0). Nch (A) (Trichotomie) gilt genu einer der Fälle Annhme: b < 0, b = 0, b > 0. b = 0 = b b = 0 im Widerspruch zu 0. b < 0 b b < 0 b < 0 im Widerspruch zu Stz.4.5. (A3) S..4.3(i) Also gilt ( ). Wir kommen nun zum Beweis der Behuptung: : Fll : Fll 2: > 0, b > 0 ( ) > 0, b > 0 (A3) b > 0. < 0, b < 0 S..4.5(iii) (A3) > 0, b > 0 ( ) > 0, b > 0 b > 0 S..4.4(ii) b > 0. : Zunächst folgt 0, denn = 0 b = 0. S..4.3(i) Annhme: Die Behuptung ( > 0 und b > 0) oder ( < 0 und b < 0) ist flsch. Dnn muß wegen (A) (Trichotomie) einer der folgenden Fälle zutreffen: Fll : > 0 und b < 0 Fll 2: < 0 und b > 0 Diese beiden Fälle schließen wir der Reihe nch us. 7

18 Fll : > 0, b < 0 < 0, b < 0. Nch der schon bewiesenen Richtung : folgt dnn b > 0 b < 0 im Widerspruch zur Vorussetzung. Fll 2: < 0 und b > 0 > 0, b < 0 : b < 0 b < 0, ebenflls ein Widerspruch. S..4.4(iv) Definition.4.3. (Vorzeichen, Absolutbetrg) Es sei R. Dnn heißt, für > 0 sgn() = 0, für = 0, für < 0. ds Vorzeichen oder Signum von. Der Absolutbetrg (kurz: Betrg, Schreibweise: ) von R ist durch erklärt. := sgn() = Stz.4.0. (Eigenschften des Absolutbetrges) Für lle, b R ist {, für 0, für < 0 (i) 0 und = 0 = 0 (Definitheit) (ii) b = b (Multipliktivität) (iii) + b + b (Dreiecksungleichung) Beweis. Wir beweisen nur (iii): Es sei ɛ := sgn( + b). Wegen und ± = folgt + b = ɛ( + b) = ɛ + ɛb ɛ + ɛb = + b. Stz.4.. Für lle, b, c R gelten die folgenden Eigenschften: (i) (ii) Für 0 gilt 2 = ( ) 2 = 2 > 0. (iii) Für 0 gilt =. (iv) b b. Beweis. ohne Beweis Wichtige Teilmengen von R sind die Intervlle. 8

19 Definition.4.4. (Intervlle) Es seien b R. Die folgenden Mengen heißen Intervlle: und flls < b [, b] := {x R x b} [, b) := {x R x < b} (, b] := {x R < x b} (, b) := {x R < x < b} Dnn heißt [, b] bgeschlossenes, uch kompktes Intervll, (, b) heißt offen und [, b) bzw. (, b] heißen hlboffen. Die Eigenschften bgeschlossen, kompkt und offen von Teilmengen von R werden später llgemein definiert werden. Definition.4.5. (unendliche Intervlle) Diese Intervlle werden mittels der Symbole und (sprich: unendlich und minus unendlich) definiert. Es seien, b R. Wir definieren: [, ) := {x R x} (, ) := {x R < x} (, b] := {x R x b} (, b) := {x R x < b} (, ) := R. Definition.4.6. (Mximum, Minimum) Es sei X R. Dnn heißt m Minimum von X (Schreibweise: min X), flls m X und m x für lle x X gilt, und M heißt Mximum von X (Schreibweise: mx X), flls M X und x M für lle x X ist. Stz.4.2. Für lle, b, c R gilt (i) < c ( c, c) (ii) b < c b ( c, + c) Beweis. ohne Beweis.5 Ntürliche Zhlen, vollständige Induktion Nun können wir die ntürlichen Zhlen einführen, die wir bisher noch nicht kennen. (i) Eine induktive Menge I reeller Zhlen ist eine Menge mit folgenden Eigen- Definition.5.. schften: () I (2) n I n + I (ii) Die Menge der ntürlichen Zhlen ist der Durchschnitt ller induktiven Teilmengen von R. Wir bezeichnen sie ls N. 9

20 Stz.5.. Es gilt: (i) N, N ist induktiv (ii) Jede induktive Teilmenge von N ist N. (iii) min N = (iv) Für n N gibt es kein m N mit n < m < n +. (v) n, m N n + m N und n m N (vi) Es seien n N und m [, ). Dnn ist n m N m N und m < n. Zur Vorbereitung des Beweises zeigen wir zunächst: Lemm.5.. Der Durchschnitt einer beliebigen Menge induktiver Teilmengen von R ist induktiv. Beweis. Es sei J eine Menge von induktiven Teilmengen von R und M = I J I. Dnn ist () I für lle I J Def..2.3(ii) I J I = M. (2) n M n I, I J Def..2.3(ii) n + I, I J Iinduktiv n + M. Def..2.3(ii) Beweis. (Beweis von Stz.5.) Es sei J die Menge ller induktiven Teilmengen von R. (i) Nch Lemm.5. ist N induktiv und dmit N, lso N. (ii) Es sei M eine induktive Teilmenge von N. Dnn gilt: () M N. Nun ist N = I J I, lso N I, I J. D M J ist, folgt (2) N M. Also ist N = M. (iii) Wegen [, ) und n (A3) n + ist [, ) induktiv. Also ist N [, ) n für lle n N. (iv) Es sei K := {n N m N mit n < m < n + }. Wir zeigen, dß K induktiv ist: Es sei M := N\(, + ). Dnn ist M induktiv, lso M = N. Es ist N (, + ) =. Dmit ist K. Nun sei n K: Setze M n+ := N\(n +, n + + ). Wiederum ist M n+ induktiv, d M n+ ist und us m M n+ folgt, d n K ist, m / (n, n + ) ist. Also ist m + / (n +, n + + ) und folglich m + N\(n +, n + + ) = M n+. Dmit ist M n+ = N. Also ist N (n +, n + + ) = und n + K. Also ist K = N. 20

21 (v) Für n N betrchten wir die Menge L n := {m N n + m N}. Diese Menge ist induktiv, denn n L n n + N. Also ist L n. Es sei m L n, lso n + m N (n + m) + = N J N J (K) n + (m + ) L n. Also ist m + L n. Dmit ist L n = N. Wir verzichten uf den Beweis des zweiten Teils und uf den Beweis von Teil (vi). Bemerkung.5.. Ds Beweisverfhren in Stz.5., Teil (iv) und (v) ist der Beweis durch vollständige Induktion: Es ist eine Aussge A(n) zu beweisen, die von der ntürlichen Zhl n bhängt. Eigentlich hndelt es sich um eine Folge von Aussgen A(n), wie zum Beispiel in (iv) die Aussge A(n): Es gibt kein m N mit m (n, n + ). Mn definiert die Menge W ller n, für die die Aussge A(n) whr ist und zeigt, dß diese Menge induktiv ist, d.h. (i) W : A() ist whr (ii) n W (n + ) W : Wenn A(n) whr ist, dnn ist uch A(n + ) whr. Nch Stz.5. (ii) folgt dnn: W = N, d.h. A(n) ist für lle n N whr. Ein Beweis durch vollständige Induktion geht lso nch folgendem Schem: (i) n = : (Induktionsnfng): A() ist whr. (ii) n n + (Induktionsschritt): Wenn A(n) whr ist (Induktionshypothese), dnn ist uch A(n + ) whr. Definition.5.2. (i) Mengen X und Y sind gleichmächtig (Schreibweise: X Y ), flls es eine injektive Abbildung f : X Y und g : Y X gibt. (ii) Die Menge X heißt von kleinerer Mächtigkeit ls die Menge Y (Schreibweise X Y ), flls es eine injektive Abbildung f : X Y, ber keine injektive Abbildung g : Y X gibt. (iii) Für n N sei der Abschnitt bis n (Schreibweise: N(n)) durch N(n) := {m N m n} definiert. Eine Menge X heißt endlich, flls es ein n N gibt, so dß X N(n), ndernflls unendlich. Mn nennt X bzählbr unendlich, flls X N und bzählbr, flls X endlich oder bzählbr unendlich ist, ndernflls überbzählbr. Stz.5.2. Es seien X, Y, Z Mengen. (i) X Y f : X Y, f bijektiv (ii) X Y und Y Z X Z (iii) X erfüllt genu eine der folgenden Möglichkeiten: X ist endlich, X ist bzählbr unenendlich oder X ist überbzählbr. (iv) Ist X endlich, so gibt es genu ein n N mit X N(n). Beweis. Übungen Definition := +, 3 := 2 +, 4 := 3 +,..., 9 := 8 +, 0 := 9 +,... 2

22 Definition.5.4. Es sei X eine endliche Menge. Ist n N die nch Stz.5.2 eindeutig bestimmte ntürliche Zhl mit X N(n), so schreiben wir X = n und sgen, X ht n Elemente. Beispiel.5.. Es sei X = {, b, c}. Für n 3 hben wir eine bijektive Abbildung f : X N(3) = {, 2, 3} mit f() :=, f(b) := 2 und f(c) := 3. Also ist X = 3, d.h. X ht drei Elemente. Stz.5.3. (i) Jede nichtleere Teilmenge von N besitzt ein Minimum (Wohlordnungsstz). (ii) Jede endliche Teilmenge von R besitzt Mximum und Minimum. Beweis. ohne Beweis. Definition.5.5. Wir setzen N 0 := N {0}. Die Mengen { Z der gnzen Zhlen und Q der rtionlen Zhlen sind durch Z := N 0 { n n N} r } und Q = s r Z, s Z\{0} definiert. Mn zeigt leicht: Stz.5.4. (i) (Z, +) ist eine kommuttive Gruppe. (ii) (Q, +, ) ist ein Körper. Beweis. Durch Nchrechnen. Definition.5.6. Unter einer Folge n von Elementen einer Menge X verstehen wir eine Abbildung f : N X, n n oder f : N 0 X, n n. Dbei heißt n uch ds n- te Glied der Folge und n heißt Folgenindex (kurz: Index). Sttt n knn uch jedes ndere Symbol verwendet werden. Unter einer endlichen Folge verstehen wir eine Abbildung f : N(n) X. Wir betrchten meist den Fll X = R, lso Folgen reeller Zhlen. Künfig soll unter einer Folge stets eine Folge reeller Zhlen gemeint sein, flls nichts nderes vereinbrt ist. Eine Folge knn durch eine Gleichung, z. B. n = 5n + 2, beschrieben werden. Sie knn uch durch vollständige Induktion definiert werden. Beispiel.5.2. (Folge der Fiboncci- Zhlen) Es sei ( n ) durch 0 =, =, n = n + n 2 für n 2 gegeben. Die ersten Glieder der Folge berechnen sich zu 0 = = 2 = + 0 = + = 2 3 = 2 + = 2 + = 3 4 = = = 5 Summen und Produkte einer beliebigen Anzhl von Gliedern einer Folge können induktiv definiert werden. ( n ) Definition.5.7. Es sei ( n ): N R eine Folge. Dnn definieren wir die Folge k der n- ten Prtilsummen induktiv durch 22 k=

23 (i) n = : (ii) n n + : k := k= ( n+ n ) k := k + k+. k= k= n In k heißt k die Summtionsvrible, (bzw. n) die untere (bzw. obere) Summtionsgrenze, und k= {m N m n} heißt uch Summtionsintervll. Die Sprechweise ist: Summe k = bis n, k. Für die Summtionsvrible knn uch jedes ndere Symbol benützt werden. Allgemeiner können n n uch Summen k, flls ( n ): N 0 R, oder k induktiv definiert werden. Summen können k=0 uch für endliche Folgen definiert werden. Wir verzichten uf die Einzelheiten der Definition. k= k= k= k=m Durch vollständige Induktion beweist mn leicht: Stz.5.5. Es seien,,..., n, b,..., b n R. Dnn gilt: n n n (i) k + b k = ( k + b k ) n n (ii) k = k k= k= n (iii) k k= n k (Dreiecksungleichung) k= Beweis. ohne Beweis. Definition.5.8. Es sei ( n ): N R eine Folge. Dnn definieren wir die Folge n- ten Prtilprodukte induktiv durch ( n ) k k= der (i) n = : (ii) n n + : n+ k= k := k= ( n ) k := k k+. k= Es gelten die entsprechenden Bemerkungen wie bei der Definition der Prtilsummen. In Ausdrücken der Form n bzw. k= n, bei denen der Folgenindex fehlt, werden die Prtilsummen k= bzw. Prtilprodukte von der konstnten Folge ( k ) mit k = für lle k gebildet. Der Fll der Prtilprodukte führt zur Definition der Potenzen: 23

24 Definition.5.9. (n- te Potenzen) Es sei R und n N. Dnn ist die n- te Potenz n (lies: hoch n) durch 0 = und für 0 sei n := n. n definiert. Es ist Stz.5.6. (Potenzgesetze) Es seien, b R und m, n Z. Dnn gelten folgende Regeln (vorusgesetzt die Ausdrücke sind definiert): (i) (b) n = n b n (ii) m+n = m n (iii) ( m ) n = mn Beweis. ohne Beweis. Stz.5.7. (Monotonie, Definitheit) Es seien < b R + und n Z. Dnn gilt (i) n < b n, flls n > 0 (ii) n > b n, flls n < 0 (iii) 2 0 und 2 = 0 = 0. Beweis. ohne Beweis. Definition.5.0. (Fkultät und Binomilkoeffizient) Für n N ist n! (lies: n Fkultät) durch n! := n k definiert. Weiter ist 0! :=. Der Binomilkoeffizient ( n k) (lies: n über k) ist für k, n N0 und 0 k n durch ( ) n n! := k k!(n k)! definiert. Eine wichtige Technik im Rechnen mit Summenzeichen ist die Indexverschiebung. Bevor wir diese Technik in einem Stz formulieren, geben wir zwei Beispiele: Beispiel.5.3. Es ist k= n (m 2) = (2 2) (n 2). m=2 Wir führen eine neue Summtionsvrible ein: k = m 2. Diese Substitution ist mit einer bijektiven Abbildung f des ursprünglichen Summtionsintervlls {m N 2 m n} uf ds neue Summtionsintervll {n N 0 k n 2} verbunden. Dmit ist k= n n 2 (m 2) = (2 2) (n 2) = (n 2) = k. m=2 k=0 24

25 Eine der beknntesten Anwendungen ist die Summenformel für die endliche geometrische Reihe. Beispiel.5.4. Es sei q R\{} und N N. Wir betrchten die endliche geometrische Reihe: S := N q n = + q q N. n=0 Eine skizzenhfte Behndlung des Problems sieht wie folgt us: Differenzenbildung ergibt: Somit ergibt sich: S = qn+ q. S = +q q N qs = q q N +q N+ ( q)s = q N+ Die mthemtisch strenge Behndlung sieht wie folgt us: es ist S = N q n. () n=0 Nch dem Distributivgesetz (Stz.5.5 (ii)) ist qs = Summtionsvrible m = n + ein und erhlten N q q n = n=0 N q n+. Wir führen die neue n=0 qs = N+ m= q m = N+ mit Zurückbenennung m n. Aus () und (2) erhlten wir ( q)s = N n=0 N+ q n q n. q n (2) Die Summtionsintervlle in beiden Summen sind {n N 0 n N} bzw. {n N n N +}. Wir splten die beiden Indizes, die nicht im Durchschnitt liegen, b und erhlten N q n = + n=0 N+ q n = n=0 N q n N q n +q N+ Differenzenbildung ergibt: N ( q)s = + (q n q n ) q N+ = q N+, lso S = qn+. q 25

26 Stz.5.8. Es sei ( k ) eine Folge (oder eine endliche Folge). Es sei m, n N 0 mit m n und p, q N. Dnn ist n n+p n q k = k p = k+q. Beweis. ohne Beweis. k=m Beispiel.5.5. Wir wollen T n := k=m+p k=m q n m bestimmen. Wir betrchten S n := m= die Differenzen S n+ S n uf zwei verschiedene Weisen: Es ist n S n+ = m 2 + (n + ) 2 = S n + (n + ) 2, lso m= Die Berechnung mittels Indexverschiebung lutet: n m 2 und berechnen m= S n+ S n = (n + ) 2. () S n+ = = n+ m= m 2 = n m m=0 n (k + ) 2 = k=0 n m + m=0 n (m + ) 2 = m=0 n (m 2 + 2m + ) m=0 n = S n + 2T n + n +. m=0 Dmit ist Vergleich von () und (2) ergibt lso T n = S n+ S n = 2T n + n +. (2) (n + ) 2 = 2T n + n +, n m= m = n2 + n 2 = n(n + ). 2 Die Behuptung B(n) läßt sich uch durch vollständige Induktion beweisen: Induktionsnfng n = : m = und ( + ) =, lso ist B() whr. 2 m= Induktionsschritt n n + : Sei die Induktionshypothese für ein n richtig. Dnn gilt lso ist B(n) whr. n+ m= m = n m + (n + ) = T n + n + = m= = (n + ) Wir schließen mit Beispielen für Induktionsbeweise: (IH) ( ) 2 n + = (n + )(n + 2) 2 n(n + ) + n

27 Stz.5.9. (Bernoullische Ungleichung) Es sei x > und n N. Dnn ist ( + x) n + nx. Beweis. (Beweis durch vollständige Induktion) Induktionsnfng n = : ( + x) = + x. Induktionsschritt n n + : Sei die Induktionshypothese für ein n richtig. Es gilt ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) nch Definition.5.8 und.5.9. Wegen x > ist ( + x) > 0. Nch (A3) (Monotonie) und der Induktionshypothese folgt: ( + x) n ( + x) ( + nx)( + x) = + (n + )x + nx 2 + (n + )x nch Stz.5.7 (Definitheit). Als letztes wollen wir eine Regel über die Berechnung von ( + b) n, den Binomischen Lehrstz beweisen. Zur Vorbereitung zeigen wir eine Beziehung zwischen Binomilkoeffizienten. Lemm.5.2. Es sei k, n N mit 0 k n. Dnn ist ( ) ( ) ( ) n n n + + =. k k + k + Beweis. Nch Definition.5.0 ist (k + )! = k!(k + ) und (n k)! = (n k )!(n k) Nch Definition.5.0 und Stz.4.4 (Bruchrechnen) folgt: ( ) ( ) n n n! + = k k + k!(n k )!(n k) + n! k!(k + )(n k )! n!(k + ) = (k + )!(n k)! + n!(n k) (k + )!(n k)! n!(n + ) = (k + )!(n k)! = (n + )! ((n + ) (k + ))!(k + )! ( ) n + =. k + Stz.5.0. (Binomischer Lehrstz) Es seien, b R und n N. Dnn ist ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k. k 27

28 Beweis. Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion: Induktionsnfng n = : k=0 ( k ( + b) = + b ) ( ) k b k = 0 b + 0 Induktionsschritt n n + : Sei die Induktionshypothese für ein n richtig. Es gilt Also ist ( + b) n+ = Def..5.9 = Stz.5.5(ii) Def..5.9 ( + b) n+ = k=0 n k=0 ( + b) n ( + b) = (IH) n ( ) n k+ b n k + k k=0 ( ) n k+ b n k + k ( ) b 0 = + b. n k=0 n ( n k n ( n k k=0 k=0 ) k b n k ( + b) ) k b n k+. ( ) n k b n k+. () k Wir splten von der ersten Summe den Term k = n und von der zweiten Summe den Term k = 0 b und führen eine Indexverschiebung durch. Wir erhlten n ( ) n n ( ) n k+ b n k = k+ b (n+) (k+) + n+ (2) k k und n k=0 k=0 ( ) n k b n+ k = b n+ + k Aus (), (2), (3) und Lemm.5.2 erhlten wir n (( n ( + b) n+ = b n+ + k k=0 n ) + n k=0 ( ) n k+ b (n+) (k+). (3) k + ( )) n k+ b (n+) (k+) + n+ k + ( ) n + = b n+ + k+ b (n+) (k+) + n+ k + k=0 n ( ) n + = b n+ + k b n+ k + n+ k k= n+ ( ) n + = k b n+ k. k k=0.6 Die komplexen Zhlen Die komplexen Zhlen sind kein eigentlicher Bestndteil dieser Vorlesung. Viele Begriffe us der reellen Anlysis, wie Grenzwerte, Stetigkeit, usw., lssen sich uf die komplexe Anlysis übertrgen. Wir werden dies gelegentlich in Hinweisen ndeuten. Jedoch ist die komplexe Anlysis ein eigenständiges Gebiet und besitzt viele Züge, die in der reellen Anlysis keine Prlellen hben. Sie ist Gegenstnd der Vorlesung Anlysis IV. 28

29 Definition.6.. Die Menge C der komplexen Zhlen ist die Menge ller Pre reeller Zhlen: C := {(x, y) x, y R}. Addition und Multipliktion sind wie folgt definiert: (i) (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ) (ii) (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x x 2 y y 2, x y 2 + x 2 y ). Diese Regeln werden durch folgende Definition übersichtlich: Definition.6.2. i = (0, ). Aus Definition.6. (i), (ii) ergibt sich dnn die folgende Regel: i 2 = (, 0). Die Menge R der reellen Zhlen knn nun durch eine leichte Änderung der Definition.6. zu einer Teilmenge der komplexen Zhlen gemcht werden. Definition.6.3. Es sei C = ({C\{(x, 0) : x R}) R. (Wir werfen die Elemente (x, 0) hinus und ersetzen sie durch die reellen Zhlen x. Die Regel i 2 = (, 0) wird zu i 2 = und (x, y) knn ls (x, y) = x + iy geschrieben werden.) Die Rechenregeln lssen sich wie folgt sehr leicht merken: Es gelten die üblichen Regeln (Assozitiv-, Kommuttiv- und Distributivgesetze), und es ist i 2 =. Beispiel.6.. Es ist (4 + 3i)(7 + 5i) = i + 7 3i + (3i) (5i) = i 2 + ( )i = 3 + 4i. i 2 = Stz.6.. Die Struktur (C, +, ) ist ein Körper mit der Null 0 und der Eins. Für x + iy 0 hben wir (x + iy) = x iy x 2 + y 2. 29

30 Kpitel 2 Folgen und Reihen 2. Folgen und Grenzwerte Definition 2... (Grenzwert, Limes) Eine Zhl heißt Grenzwert (Limes) der Folge ( n ), (Schreibweise: lim n n = oder n (n ), wenn gilt: ɛ > 0 n 0 = n 0 (ɛ) N, so dß n n 0 gilt n < ɛ n n 0. Mn sgt dnn uch: Die Folge ( n ) konvergiert gegen oder ( n ) ist eine konvergente Folge. Ht ( n ) keinen Grenzwert, so heißt ( n ) divergent oder ( n ) divergiert. Definition Es sei ɛ > 0 und R. Unter der ɛ- Umgebung U ɛ () versteht mn U ɛ () := {x x < ɛ}. Mn sgt: Eine Eigenschft gilt für fst lle Elemente einer Menge bzw. Glieder einer Folge, flls es höchstens endlich viele Elemente der Menge bzw. Glieder der Folge gibt, für die sie nicht gilt. Bemerkung 2... Die Eigenschft der Konvergenz läßt sich uch so usdrücken: Mn nennt den Grenzwert von ( n ), wenn in jeder ɛ- Umgebung U ɛ () fst lle Glieder der Folge ( n ) liegen. Stz 2... Eine Folge ( n ) ht höchstens einen Grenzwert. Beweis. Annhme: Es sei lim n n = und lim n n = b mit < b. Wir setzen ɛ := /2(b ). Es ist lso Nch Definition 2.. gibt es ein n 0 = n 0 (ɛ), so dß für n n 0 gilt: und ein n = n (ɛ), so dß für n n gilt: b = 2ɛ () n < ɛ (2) b n < ɛ. (3) Es sei n mx{n 0, n }. Aus (2) und (3) folgt nch der Dreiecksungleichung (Stz.4.0 (iii)): im Widerspruch zu (). b = (b n ) + ( n ) < b n + n < 2ɛ 30

31 Stz (Grenzwerte von konstnten Folgen) Für c R ist lim n c = c. Beweis. Wir setzen c n := c für lle n. Dnn ist c n c = 0 < ɛ für lle ɛ > 0 und für lle n. Definition Gilt lim n = 0 für eine Folge ( n ), so heißt ( n ) eine Nullfolge. n ( ) Stz Die Folge ist eine Nullfolge, d.h. es ist lim n n n = 0. Beweis. Nch dem Vollständigkeitsxiom (V) besitzt die Menge X = { n } n N ein Supremum S. Wegen n < 0 für lle n ist 0 eine obere Schrnke von ( n), lso ist S 0. Annhme: S < 0 Nch der Definition des Supremums existiert ein n mit n > 4 3S. Dnn ist ber 2n > 2 3S > S, ein Widerspruch. Dmit ist sup {( n) } n N = 0, d.h. ɛ > 0 n0 = n 0 (ɛ) mit n 0 > ɛ und somit 0 < n 0 < ɛ. Wegen 0 < n n 0 für n n 0 folgt Nch Definition 2.. ist lim n n = 0. n < ɛ, n n 0(ɛ). Definition (Beschränktheit) Eine Folge ( n ) heißt nch oben beschränkt, wenn ein A R mit n A für lle n N existiert, bzw. nch unten beschränkt, wenn ein B R mit n B für lle n N existiert. Mn nennt ( n ) beschränkt, flls es nch oben und nch unten beschränkt ist. Stz (i) Die Folge (n) ist nch oben unbeschränkt. (ii) Eine Folge ( n ) ist genu dnn beschränkt, wenn S R, so dß n S n N. Beweis. (i) Annhme: Die Folge (n) ist beschränkt, d.h. es gibt ein S R mit n S für lle n N. Dnn folgt n S > 0 für lle n N im Widerspruch zu lim n n = 0 (Stz 2..3). (ii) Nch Definition 2..3 ist ( n ) genu dnn beschränkt, wenn A, B R mit existieren. Setze S := mx{ A, B }. Aus () folgt B n A n N () n S n N. (2) Umgekehrt folgt us (2) mit S > 0, dß S n S, lso die Beschränktheit von ( n ). Stz Eine konvergente Folge ist beschränkt. 3

32 Beweis. Es sei lim n n =. Nch Definition 2.. mit ɛ = existiert ein n 0 = n 0 (), so dß Aus () folgt n < für n n 0. () n +. (2) Nch Stz.5.3 (ii) existiert M := mx{ n, n < n 0 } { + }. Aus (2) folgt dnn: n M für lle n N. Es ist oft einfcher, Beweise über die Konvergenz von Folgen zu führen, indem mn nicht direkt uf die Definition 2.. zurückgeht, sondern den folgenden Stz verwendet: Stz Für die Folge ( n ) sind folgende Aussgen äquivlent: (i) lim n =. n (ii) C > 0, so dß ɛ > 0 n 0 = n 0 (ɛ) mit n < Cɛ n n 0 (ɛ). Beweis. : Es sei ɛ > 0 gegeben. Nch Definition 2.. gibt es für lle ɛ > 0 ein n 0 = n 0 (ɛ ), so dß n < ɛ für lle n n 0 (ɛ ) ist. Dies gilt insbesondere uch für ɛ = Cɛ. Es gilt lso n < ɛ = Cɛ für n n 0 (ɛ ). : Es sei ɛ > 0 gegeben. Wir setzen ɛ = C ɛ. Dnn gibt es nch Vorussetzung ein n 0 = n 0 (ɛ ), so dß n < Cɛ = ɛ für lle ɛ > 0 ist. Nch Definition 2.. ist lim n n =. Stz (Grenzwertsätze) Es seien ( n ) und (b n ) Folgen mit lim n n = und lim n b n = b. Dnn ist (i) (ii) (iii) lim ( n + b n ) = lim n + lim b n = + b n n n ( ) ( ) lim ( n b n ) = n lim n n n lim =, flls b 0. n b n b lim n b n = b Beweis. (i) Es sei ɛ > 0. Nch Definition 2.. gibt es n 0 = n 0 (ɛ) und n = n (ɛ) N, so dß n < ɛ für lle n n 0 (ɛ) und b n b < ɛ für lle n n (ɛ). Es sei n 2 := mx{n 0, n }. Dnn ist für n n 2 nch der Dreiecksungleichung (Stz.4.0 (ii)) ( n + b n ) ( + b) = ( n ) + (b n b) < n + b n b < 2ɛ. Nch Stz 2..3 folgt lim n ( n + b n ) = + b. (ii) Nch Stz 2..5 ist die Folge (b n ) beschränkt, d.h. es existiert ein B R mit b n B n N. () Es sei ɛ > 0. Nch Definition 2.. existiert ein n 0 = n 0 (ɛ) und n = n (ɛ) N mit n < ɛ n n 0, (2) 32

33 Es sei n 2 := mx{n 0, n }. Dnn ist für lle n n 2 b n b < ɛ n n. (3) n b n b = n b n b n + b n b Ugl. < (),(2),(3) n b n + b n b (B + )ɛ. (iii) Nch Definition 2.. gibt es n 0 N, so dß b n b /2 b für lle n n 0 ist, und dmit gilt nch Stz.4. (iv) b n 2 b n n 0. () Nch Definition 2.. gibt es n = n (ɛ) bzw. n 2 = n 2 (ɛ), so dß für lle n n (ɛ) bzw. für lle n n 2 (ɛ) gilt, dß n < ɛ bzw. b n b < ɛ. Wir setzen n 3 := mx{n, n 2 } und erhlten n < ɛ, b n b < ɛ n n 3. (2) Es folgt n b n b = Ugl. (),(2) bb n nb b n = bb n nb b + b b n bb n ( b n + b n b ) 2 ( + b ) ɛ. b 2 Stz (Erhltung von Ungleichungen) Es seien ( n ) und (b n ) Folgen mit lim b, lso lim n n lim n b n. Beweis. Annhme: > b Wir setzen n = und lim b n = b sowie n b n für lle n. Dnn ist n n Nch Definition 2.. existiert n 0 = n 0 (ɛ), so dß für lle n n 0 (ɛ) gilt: Aus (2) folgt 2ɛ := b. () n < ɛ und b n b < ɛ. (2) n > ɛ und b n < b + ɛ n n 0. (3) Aus () und (3) folgt b n < n für lle n n 0, ein Widerspruch. Nch Axiom (A) (Trichotomiegesetz) folgt b. Bemerkung Aus der schrfen Ungleichung n < b n knn nicht lim n < lim b n gefolgert n n werden, sondern uch nur lim n lim b n. Die sieht mn m Beispiel n = 0 und b n = n n n. Es ist n < b n, ber lim n = lim b n. n n Stz Es sei q R und q <. Dnn ist lim n qn = 0. 33

34 Beweis. Fll : q = 0 Dnn ist lim n qn = lim 0 = 0. n Fll 2: Es sei Q := q. Dnn ist Q = + η mit η > 0. Nch der Bernoullischen Ungleichung (Stz.5.9) ist Q n = ( + η) n + nη. Also ist q n = Q n ( + nη) η n und dmit η n q n η n. Nch den Sätzen 2..4, 2..7 und 2..8 ist lso lim n qn = 0. 0 = lim n ( η n ) lim n qn lim n η n = 0, Beispiel 2... Es sei n = + n ( ) n. Wir untersuchen, ob ds Konvergenzkriterium von Definition 2.. für = erfüllt ist. Fll : Es sei ɛ > 0 6. Dnn können wir schreiben: ɛ = η mit η > 0. Wir wählen n 0 = n 0 (ɛ) N, so dß n 0 > η ist. Für n n 0 hben wir dnn n = n ( ) n < η = ɛ. Fll 2: Es sei ɛ 0 6, z.b. ɛ = 0 6 η 2 mit η 2 > 0. Wir wählen n = n (ɛ) N, so dß n > η2. Für n n hben wir dnn n = n ( ) n > 0 6 η 2 = ɛ. Dmit ist ds Kriterium von Definition 2.. mit = zwr im Fll ɛ > 0 6 erfüllt, ber nicht im Flle ɛ 0 6. Somit konvergiert n nicht gegen. Es gibt uch keinen nderen Grenzwert. Es sei R. Nch der Dreieicksungleichung ist = ( ) ( 0 6 ) Drus folgt: Für lle R gilt einer der folgenden Fälle: Fll : ( + 0 6) > 0 6 oder Fll b: ( 0 6) > 0 6. Wir zeigen, dß in Fll ) die Zhl nicht der Grenzwert von ( n ) sein knn. Fll b) wird nlog behndelt. Es sei n Dnn ist für lle gerden n folglich n 0 6 n Für ɛ = 0 6 ist ds Kriterium von Definition 2.. nicht erfüllt: es gibt kein n 0 (ɛ), so dß für n n 0 (ɛ) dnn n < ɛ gilt. Also ist nicht Grenzwert von ( n ). Es gibt jedoch Zhlen, nämlich l = 0 6 und l 2 = + 0 6, die schwächere Eigenschften ls ds Konvergenzkriterium erfüllen. In beliebigen ɛ- Umgebungen U ɛ (l ) bzw. U ɛ (l 2 ) liegen zwr nicht fst lle Glieder der Folge ( n ), ber doch unendlich viele. Die Zhlen l, l 2 sind Beispiele von Häufungswerten. 34

35 Definition Es sei ( n ) eine Folge. Dnn heißt Häufungswert (HW) von ( n ), flls es für jedes ɛ > 0 unendlich viele n N mit n U ɛ () gibt. Stz Es sei ( n ) eine Folge und R. Dnn ist genu dnn Häufungswert von ( n ), wenn es eine Teilfolge ( nk ) k= von ( n) mit lim k n k = gibt. Beweis. : Es sei Häufungswert von ( n ). Wir definieren durch vollständige Induktion eine Folge (n k ) mit n k N, n k+ > n k, so dß nk < k : k = : Nch Definition 2..5 gibt es ein n mit n <. k k + : Es sei n k schon definiert und nk < k. Nch Definition 2..5 gibt es n k+ > n k, so dß nk+ < k + gilt. Nch Definition 2.. ist lim n nk =. : Es sei lim n nk =. Es sei ɛ > 0. Dnn gibt es nch Definition 2.. ein k 0 = k 0 (ɛ), so dß nk < ɛ für - viele k. Beispiel Es sei n = + n ( ) n wie in Beispiel 2... Dnn ist lim 2k k = = l 2 und lim 2k+ k = 0 6 = l. Definition (Infimum, Supremum) Es sei X R und u R. Dnn heißt u untere Schrnke von X, flls u x für lle x X gilt. Flls eine untere Schrnke von X existiert, heißt X nch unten beschränkt. Mn nennt u größte untere Schrnke oder Infimum von X (Schreibweise: inf X), flls u eine untere Schrnke von X ist und für lle unteren Schrnken t von X gilt, dß t u ist. Mn nennt X beschränkt, flls X nch oben und unten beschränkt ist. Für ds Supremum von X (Definition.3.5) schreiben wir sup X. Stz 2... (Existenz von Infimum und Supremum) (i) Eine nch oben beschränkte Menge reeller Zhlen ht stets ein Supremum. (ii) Eine nch unten beschränkte Menge reeller Zhlen ht stets ein Infimum. Beweis. (i) Dies ist ds Vollständigkeitsxiom (V). (ii) Mn betrchte die Menge X := { x x X}. Dnn gilt: s ist untere Schrnke von X s ist obere Schrnke von X. Also ist inf X = sup( X), und sup( X) existiert nch (i). Definition (Monotonie) Die Folge ( n ) heißt monoton wchsend (bzw. monoton fllend), wenn n+ n für lle n (bzw. n+ n für lle n) gilt. Gilt die schrfe Ungleichung n+ > n (bzw. n+ < n ), so heißt ( n ) streng monoton wchsend (bzw. streng monoton fllend). Eine Folge heißt monoton, wenn sie monoton wchsend oder monoton fllend ist. Ist lim n n = und ( n ) monoton wchsend (bzw. fllend), so schreiben wir uch n (bzw. n ). 35

36 Stz (Monotoniekriterium) Eine beschränkte monotone Folge ist konvergent. Beweis. Fll : ( n ) ist monoton wchsend: Nch Stz 2.. ht X := { n n N} ein Supremum s. Es sei ɛ > 0. Nch der Definition des Supremums gibt es ein n 0 = n 0 (ɛ), so dß n0 s ɛ. Wegen der Monotonie ist dnn s ɛ n s für lle n n 0. Nch Definition 2.. folgt lim n n = s. Fll 2: ( n ) ist monoton fllend: Dnn ist ( n ) monoton wchsend, und es ist lim n n = lim n ( n ). Definition Unter der Länge eines Intervlls I = [, b] mit, b R (Schreibweise: I ), versteht mn I = b. Definition (Intervllschchtelung) Eine Folge (I n ) von kompkten Intervllen heißt Intervllschchtelung, wenn (i) I n+ I n (ii) lim I n = 0. n Stz Es sei (I n ) eine Intervllschchtelung, und I n = [ n, b n ]. Dnn existiert genu ein R mit n und b n mit n. Beweis. Es sei I n = [ n, b n ]. Dnn ist die Folge ( n ) monoton wchsend und die Folge (b n ) monoton fllend. Also ist n b n für lle n N, und somit ist ( n ) beschränkt. Nch Stz 2..2 ist ( n ) konvergent, d.h. lim n n = für R. Wegen n0 n für lle n n 0 folgt nch Stz 2..8, dß n0 = lim n n0 lim n n = ist, lso ist n0 für lle n 0. Anlog zeigt mn, dß die Folge b n konvergiert. Es sei lim n b n = b. Dnn ist b b n für lle n N. Also ist 0 b b n n für lle n N. Aus lim n b n n = 0 folgt b = 0 und drus = b. Stz (Bolzno- Weierstrß) Eine beschränkte Folge ht mindestens einen Häufungswert. Beweis. Es sei s c n t für lle n N und s, t R. () Wir zeigen durch vollständige Induktion, dß eine Intervllschchtelung (I m ) mit I m = (t s) 2 m und c n I m für unendlich viele n existiert: m = 0: Wir setzen I 0 := [s, t]. Wegen () gilt c n I 0 für lle n. m m + : Es sei I m = (t s) 2 m, I m = [ m, b m ] und c n I m für unendlich viele n. Dnn ist I m = I m, I m,2 mit I m, = [ m, m+bm 2 ] und Im,2 = [ m+b m 2, b m ]. Für mindestens ein j {, 2} ist n I m,j für unendlich viele n. Wir setzen I m+ := I m,j. Es ist I m+ = 2 I m = (t s) 2 (m+). Nch Stz 2..9 ist I m 0 für m. Nch Stz 2..3 gibt es ein R mit n und b m. Es sei ɛ > 0. Wegen I m 0 für m existiert ein m mit I m < ɛ. Für die unendlich vielen n mit c n I m gilt: m < c n < b m. Es folgt c n < ɛ. Dmit ist Häufungswert von (c n ). Definition Eine Folge ( n ) heißt Cuchyfolge, flls für lle ɛ > 0 ein n 0 = n 0 (ɛ) existiert, so dß für lle Pre (m, n) N 2 mit m n 0 und n n 0 gilt, dß m n < ɛ. 36

37 Stz (Cuchykriterium) Eine Folge ist genu dnn konvergent, wenn sie eine Cuchyfolge ist. Beweis. : Es sei lim n n =. Es sei ɛ > 0. Nch Definition 2.. existiert ein n 0 = n 0 (ɛ/2), so dß n < ɛ/2 für lle n n 0 ist. Es sei m n 0 und n n 0 mit m, n N. Aus m < ɛ/2 und n < ɛ/2 folgt m n = ( m ) ( n ) m + n < ɛ. Ugl. Dmit ist ( n ) eine Cuchyfolge. : Es sei ( n ) eine Cuchyfolge. Wenn wir in Definition 2..0 ɛ = setzen, erhlten wir ein n 0 N, so dß m n < für lle (m, n) mit m n 0 und n n 0 ist. Es sei M := mx{ n n n 0 }. Dnn ist für n n 0 gerde n n0 +. Also ist n mx{m, n0 + } für lle n N, und dmit ist ( n ) beschränkt. Nch Stz 2..4 (Bolzno- Weierstrß) ht ( n ) einen Häufungswert. Es sei ɛ > 0. D ( n ) eine Cuchyfolge ist, gibt es n 0 = n 0 (ɛ), so dß für m, n n 0 (ɛ) gilt D Häufungswert von ( n ) ist, gibt es ein m 0 N, m 0 n 0, mit m n < ɛ. () m0 < ɛ. (2) D () uch für m = m 0 gilt, ist für lle n n 0. Aus (2) und (3) folgt m0 n < ɛ (3) n = m0 + m0 n m0 + m0 n < 2ɛ Ugl. für lle n n 0. Nch Stz 2..6 ist lim n n =. Stz Die Menge H der Häufungspunkte einer beschränkten Folge ist beschränkt. Beweis. Es sei s eine obere Schrnke der Folge ( n ), d.h. n s für lle n. Weiter sei = s + ɛ mit ɛ > 0. Dnn ist n / U ɛ () für lle n. Also ist kein Häufungswert von ( n ). Für jeden Häufungswert von ( n ) gilt lso s. Anlog zeigt mn: u für jede untere Schrnke u von ( n ). Definition 2... Es sei ( n ) eine beschränkte Folge und H die Menge ller Häufungswerte von ( n ). Dnn definiert mn lim n = lim sup n := sup H n n lim n = lim inf n := inf H n n und (Sprich: Limes Superior und Limes Inferior). Stz Für eine beschränkte Folge ( n ) existieren stets lim sup eindeutig bestimmt. Insbesondere sind lim sup n n n und lim inf n n und sind n und lim inf n n der größte bzw. der kleinste Häufungswert von ( n ). 37

38 Beweis. Die Existenz folgt us Stz 2..6 und die Eindeutigkeit us der Eindeutigkeit des Supremums und des Infimums. Es sei H die Menge der Häufungswerte von ( n ) und l := lim sup n, lso nch Definition 2.. ist l = sup H. Es sei ɛ > 0. D l nch Definition.3.5 die kleinste obere Schrnke von H ist, gibt es einen Häufungswert w von ( n ) mit l ɛ/2 < w l. Nch Definition 2..5 gibt es unendlich viele n, so dß n U ɛ/2 (w). Für diese n gilt n n l ( n w) + (w l) n w + w l < ɛ. Ugl. Also ist n U ɛ (l).dmit ist l H, lso ist l = mx H. Anlog zeigt mn, dß lim inf n n H. Stz Es sei ( n ) eine beschränkte Folge und l R. (i) Es ist genu dnn l = lim sup n, wenn es für lle ɛ > 0 unendlich viele n mit n > l ɛ, ber n höchstens endlich viele n mit n > l + ɛ gibt. ( ) (ii) Es ist genu dnn l = lim inf n n, wenn es für lle ɛ > 0 unendlich viele n mit n < l + ɛ, ber höchstens endlich viele n mit n < l ɛ gibt. Beweis. Wir zeigen nur (i). : Es sei l = lim sup n und ɛ > 0. Nch Stz 2..7 ist l ein Häufungswert von ( n ). Nch Definition n 2..5 gibt es unendlich viele n mit n U ɛ (l) = (l ɛ, l + ɛ). Für diese n gilt insbesondere n > l ɛ. Annhme: es existieren unendlich viele n mit n > l + ɛ. Es sei X = {n n > l + ɛ}. Dnn ist X eine unendliche Menge. Es sei X = {n k k N} mit n k < n k+. Dnn ist ( nk ) k= eine unendliche beschränkte Teilfolge von ( n). Diese ht nch Stz 2..4 (Bolzno- Weierstrß) einen Häufungswert l. Wäre l l, so gäbe es keine n k mit nk U ɛ (l ) im Widerspruch zur Definition von l ls Häufungswert von ( nk ). Also muß l > l sein, ws im Widerspruch zur Ttsche, dß l der größte Häufungswert von ( n ) ist, steht. Dmit gilt ( ). : Wir nehmen die Gültigkeit von ( ) n. Dnn ist l ein Häufungswert von ( n ). Es sei l = l + 2ɛ mit ɛ > 0. Dnn gibt es höchstens endlich viele n mit n U ɛ (l ). Also ist l kein Häufungswert. Bemerkung Für l = lim sup n gibt es nch Stz 2..8 höchstens endlich viele n, welche n n > l + ɛ erfüllen. Es knn jedoch unendlich viele n mit n > l geben, wie ds Beispiel n = n und l = 0 zeigt. Stz Es sei ( n ) eine beschränkte Folge. Die Folge ist genu dnn konvergent, wenn sie nur einen einzigen Häufungswert besitzt. In diesem Fll ist dnn lim sup n = lim inf n = lim n. n n n Beweis. : Es sei H = {l} mit l R. Dnn ist inf H = sup H = l, lso l = lim sup n = lim inf n. n n 38

39 Es sei ɛ > 0. Nch Stz 2..8 gibt es höchstens endlich viele n mit n > l +ɛ (Teil (i)) und höchstens endlich viele n mit n < l ɛ (Teil (ii)). Also gilt für fst lle n: Nch Definition 2.. bedeutet dies lim n n = l. : Es sei = lim n (l ɛ, l + ɛ) = U ɛ (l). n. Dnn ist nch Stz 2..8 sowohl = lim sup n n ist H = {}. n, ls uch = lim inf n n. Dmit Mn knn nun die in diesem Abschnitt definierten Konzepte noch erweitern, indem mn die Menge R zur Menge R = R {, } mit den neuen Elementen (unendlich) und (minus unendlich) erweitert. Diese Objekte und können dnn ls uneigentliche Grenzwerte, Häufungswerte, etc. uftreten. Definition (Umgebungen von und ) Es sei c R. Unter der c- Umgebung von (U c ( )) bzw. der c- Umgebung von (U c ( )) versteht mn U c ( ) := (c, ) = {x x > c} bzw. U c ( ) := (, c) = {x x < c}. Definition Es sei ( n ) eine Folge. Mn sgt, ( n ) divergiert gegen bzw. gegen (Schreibweise: lim n =, n für n bzw. lim n =, n für n ), wenn n n für lle c > 0 für fst lle n gilt, dß n U c ( ) bzw. n U c ( ) ist. Dnn heißen bzw. uneigentlicher Grenzwert von ( n ). Beispiel Nch Stz 2..4 ist lim n =, n für n. n Definition Mn nennt bzw. uneigentliche Häufungswerte der Folge ( n ), wenn für lle c > 0 es unendlich viele n mit n U c ( ) bzw. n U c ( ) gibt. Definition Es sei X R nch oben (bzw. nch unten) unbeschränkt. Dnn schreiben wir sup X = (bzw. inf X = ). Definition Es sei ( n ) eine Folge, H die Menge der eigentlichen und uneigentlichen Häufungswerte von ( n ). Dnn setzen wir lim sup n = sup H und lim inf n = inf H. n n 2.2 Die n- te Wurzel Stz Es sei n N und x [0, ). Dnn gibt es genu ein y 0, so dß y n = x ist. Beweis. Es sei W := {z z [0, ), z n x}. Nch der Bernoullischen Ungleichung (Stz.5.9) ist für z + x n : ( z n + x ) n x + n n n = x + > x. Dmit ist W beschränkt und nch Stz 2.. existiert y 0 := sup W. 39

40 Wir zeigen im folgenden: y n 0 = x. Annhme: y0 n < x: Dnn gibt es ein δ > 0, so dß x = y0 n + δ. Wir setzen n ( ) n M := y k 0, k k=0 { } ɛ := min 2 δm, z := y 0 + ɛ. und Wegen ɛ ist ɛ m ɛ für lle m N. Nch dem Binomischen Lehrstz (Stz.5.0) ist dnn n ( ) n z n = (y 0 + ɛ) n = y0 n + y k k 0ɛ n k y0 n + Mɛ y0 n + 2 δ < x. k=0 Dmit ist z W mit z > y 0, ein Widerspruch. Annhme: y0 n > x: Dnn gibt es ein δ > 0 mit x = y0 n( δ). Es sei ɛ := min { 2 n δ, 2} und z = y0 ( δ). Nch der Bernoullischen Ungleichung ist z n = y n 0 ( ɛ) n y n 0 ( nɛ) > x. Dmit ist z eine obere Schrnke von W mit z < y 0, ein Widerspruch. Es ist lso y n 0 = x. Weiter ist 0 < z < y 0 z n < y n 0 = x z > y 0 z n > y n 0 = x. Also ist y n = x, y 0 y = y Unendliche Reihen Definition Es sei ( n ) eine Zhlenfolge. Unter der unendlichen Reihe (kurz: Reihe) (Sprechweise: Summe m = bis unendlich m ) versteht mn die Folge (S n ) der Prtilsummen n S n = m. Die Reihe m heißt konvergent, flls m= m= existiert. Mn schreibt dnn lim S n = lim n n n m =: S m= m = s und nennt S den Wert der unendlichen Reihe. Ist m= nicht konvergent, so heißt es divergent. 40 m= m= m m

41 Bemerkung Mn knn llgemeiner uch unendliche Reihen der Form betrchten. Die Änderung in der Definition ist offensichtlich. m mit k N 0 Definition Es sei q R. Unter der (unendlichen) geometrischen Reihe versteht mn Stz Für q < ist Für q ist n=0 q n divergent. n=0 q n = q. Beweis. Für die Folge der Prtilsummen S k := m=k q n. n=0 n=0 k q n gilt: S k+ S k = q k+. Nch dem Cuchykriterium (2..5) ist die unendliche Reihe höchstens dnn konvergent, wenn S k+ S k 0 für k, lso für q <. Nch Beispiel.5.4 ist S k = qk+. Nch Stz 2..9 ist lim q k qk+ = 0 für q <. Es gilt lso q n = für q <. q n=0 Für q ist die unendliche Reihe divergent. Beispiel Wir bestimmen Es ist Folglich ist Also ist S n = n k= k(k + ) = k= n k= k(k + ). k= k(k + ) = k k +. ( k ) = k + n k= k(k + ) = lim n S n =. n+ k k = n +. Stz (Grenzwertsätze) Es seien k und b k konvergente Reihen, und es sei R. Dnn konvergieren die Reihen k= ( k + b k ) und k= (i) (ii) k= k, und es gilt k= ( k + b k ) = k= k = k= k + k= k k= k= b k 4 k=2

42 (iii) Ist k b k für lle k N, dnn gilt Beweis. Wir beweisen nur (i): n Es seien S n := k und T n := k= k= n k k= b k. k= n b k die Prtilsummen der beiden Reihen. Nch Definition 2.3. k= ist ( n ) ( k + b k ) = lim ( k + b k ) k= = lim n (S n + T n ) = S.2..7 lim S n + lim T n = n n k + b k. k= k= 2.4 Konvergenzkriterien für unendliche Reihen Stz Für eine konvergente Reihe Beweis. Mit S k = k n ist S k+ S k = k+. n ist lim n n = 0. Die Behuptung folgt nch Stz 2..5 (Cuchykriterium). Bemerkung Aus lim n n = 0 folgt nicht die Konvergenz von sehen werden. Definition (bsolute Konvergenz) Eine unendliche Reihe n heißt bsolut konvergent, wenn Stz (ii) Die Reihe Beweis. (i) Eine bsolut konvergente Reihe n, wie wir bld in Beispielen n konvergiert. n ist konvergent und es ist n n. n ist genu dnn bsolut konvergent, wenn die Folge der Prtilsummen beschränkt ist. (i) Wir wenden ds Cuchykriterium (Stz 2..5) uf die konvergente Reihe Es sei ɛ > 0 gegeben. Dnn existiert ein n 0 = n 0 (ɛ), so dß Aus der Dreiecksungleichung folgt n <k n 2 k k < ɛ. n <k n 2 42 n m m= k n. k= n <k n 2 k < ɛ für lle n, n 2 n 0.

43 Aus der nderen Richtung des Cuchykriteriums folgt die Konvergenz von S n := n k und T n := k= k. Es seien n k. Nch der Dreiecksungleichung ist S n T n. Nch Stz 2..8 k= (Erhltung von Ungleichungen) folgt k = lim k= n S n lim T n = n k. (ii) Die Folge (T n ) ist monoton wchsend. Die Behuptung folgt us Stz 2..5 und Stz 2..2 (Monotoniekriterium). k= k= Stz (Leibnizkriterium) Es sei n 0. Dnn ist ( ) n n konvergent. n=0 Beweis. Es sei S k = k ( ) n n. Weiter ist n=0 S 2m+ = S 2m + ( ) 2m+ 2m+ < S 2m S 2m+3 = S 2m+ + ( ) 2m+2 ( 2m+2 2m+3 ) > S 2m+ S 2m+2 = S 2m + ( ) 2m+ ( 2m+2 2m+ ) < S 2m Wir setzen I m := [S 2m+, S 2m ], für ds wegen den obigen Ungleichungen I m+ I m folgt. Es ist I m = S 2m S 2m+ = 2m 0. Nch Definition 2..9 ist die Folge (I m ) eine Intervllschchtelung. Nch Stz 2..3 existiert genu ein R mit S 2m+ und S 2m. Stz (Mjorntenkriterium) Es seien ( n ) und (b n ) Folgen mit n b n. Es sei konvergent, und es ist n b n. b n konvergent. Dnn ist n bsolut n Beweis. Für die Folge der Prtilsummen S n := m gilt: m= n S n b m b m. m= m= Dmit ist (S n ) beschränkt und konvergiert nch Stz 2..2 (Monotoniekriterium). Definition Die Reihe b n heißt konvergente Mjornte der Reihe n. 43

44 Beispiel Wir betrchten k= k 2. Aus der Ungleichung k + 2k folgt Dmit ist die Reihe konvergent. k= k 2 2. Nch Beispiel 2.3. ist k(k + ) 2 k(k + ) eine konvergente Mjornte von k= k= 2 k(k + ) = 2. k 2. Nch Stz ist Bemerkung Mit dem Mjorntenkriterium knn die Frge der Konvergenz einer unendlichen Reihe entschieden werden. Der Wert der Reihe knn jedoch nicht bestimmt werden. In Beispiel ist der Wert der Mjornte = 2 sehr einfch zu bestimmen, nicht jedoch der Wert von k(k + ) k= k 2. k= Stz (Minorntenkriterium) Es seien ( n ) und (b n ) Folgen mit 0 n b n. Es sei n divergent. Dnn ist k= k 2 b n divergent. Beweis. Annhme: ein Widerspruch. b n konvergiert. Dnn ist nch dem Mjorntenkriterium n konvergent, Definition Die Reihe n heißt divergente Minornte der Reihe b n. Definition Es sei ( n ) eine Folge und n 0. Ist n <. Ist n divergent, so schreibt mn uch n =. n konvergent, so schreibt mn uch Zwei wichtige Kriterien, ds Quotientenkriterium und ds Wurzelkriterium erhält mn, wenn mn eine Reihe mit der geometrischen Reihe ls Mjornte oder Minornte vergleicht. Stz (Quotientenkriterium) Es sei ( n ) eine Folge mit n 0. (i) Ist lim sup n (ii) Ist n+ n n+ n <, so ist n bsolut konvergent. für lle n n0, so ist n divergent. 44

45 Beweis. (i) Es sei l := lim sup n 2..8 gibt es ein n 0, so dß n+ n n+ n zeigt mn, dß n0 +k n0 q k für lle k N ist. Somit ist Die Folge der Prtilsummen n 0 +k. Dnn ist l = 2ɛ mit ɛ > 0. Es sei q := ɛ. Nch Stz q für n n 0 ist. Durch vollständige Induktion nch k n 0 n n + n0 q k <. k= N n ist lso beschränkt. Dmit ist n konvergent. (ii) Aus n+ n für lle n n 0 folgt n n0 für lle n n 0. Dmit ist ds Konvergenzkriterium lim n = 0 von Stz 2.4. nicht erfüllt, und dmit ist n divergent. n Stz (Wurzelkriterium) Es sei ( n ) n eine Folge. Es sei l := lim sup n. Dnn gilt n (i) Wenn l < ist, dnn konvergiert (ii) Wenn l > ist, dnn divergiert n bsolut. n. Beweis. (i) Aus l < folgt l = 2ɛ mit ɛ > 0. Es sei q := ɛ. Nch Stz 2..8 gibt es ein n 0, so dß n n q für n n 0 ist. Also ist n q n für n n 0. Somit ist Die Folge der Prtilsummen N n 0 n n + n=n 0 + q n <. N n ist lso beschränkt. Dmit ist n konvergent. (ii) Aus l > folgt l = + ɛ mit ɛ > 0. Nch Stz 2..8 gibt es ein n 0, so dß n n für n n 0 ist. Dmit ist ds Konvergenzkriterium lim n = 0 von Stz 2.4. nicht erfüllt, und dmit ist n n divergent. Es gibt Fälle, in denen weder ds Quotienten- noch ds Wurzelkriterium geeignet sind, die Frge der Konvergenz oder Divergenz einer unendlichen Reihe zu entscheiden. In diesen Fällen führen oft ndere Kriterien zur Antwort. Wir werden später die sogennnten Integrlkriterien kennenlernen. Wir begnügen uns zunächst mit 45

46 Stz (Cuchyscher Verdichtungsstz) Es sei ( n ) monoton fllend und n 0. Dnn ist die Reihe die (verdichtete) Reihe 2 n 2 n konvergiert. n=0 Beweis. Wir schreiben die Prtilsumme S 2 N+ = Es ist Deshlb folgt, dß und S 2 N+ = N+ n=0 S 2 n S 2 n+ S 2 n = S 2 N+ 2 S 2 N+ 2 N+ N S 2 n = n=0 2 n+ k=2 n + n genu dnn konvergent, wenn n mit N N in der Form N (S 2 n+ S 2 n) + S. n=0 N 2 n+ 2 n+ + = 2 n=0 N 2 n 2 n + + n=0 k { 2 n 2 n+ 2 n 2 n + N+ n=0 2 n 2 n + 2 N 2 n 2 n +. Also ist die Folge (S 2 N+) N=0 genu dnn beschränkt, wenn die Reihe 2 n 2 n beschränkt ist. Weil die Folge (S k ) k= monoton wächst, ist (S k) k= genu dnn beschränkt, wenn (S s N+) N=0 beschränkt ist. Die Behuptung folgt nch Stz (ii). Definition Die Reihe n n=0 heißt hrmonische Reihe. Stz Die hrmonische Reihe ist divergent: n =. Beweis. Nch Stz (Cuchyscher Verdichtungsstz) ist verdichtete Reihe 2 n divergiert. Dies ist der Fll. 2n n n=0 genu dnn divergent, wenn die Bemerkung Die hrmonische Reihe liefert ein Beispiel dfür, dß die Umkehrung von Stz 2.4. nicht gilt: Setzen wir n = n, so ist lim n = 0, ber n divergiert. n Weiter läßt sich us der hrmonischen Reihe ein Beispiel für eine Reihe ngeben, die konvergiert, ( ) n+ ber nicht bsolut konvergiert. Die lternierende hrmonische Reihe konvergiert nch n 46

47 Stz (Leibnizkriterium). Durch Bildung der Absolutbeträge entsteht jedoch die hrmonische Reihe, welche divergiert. Die Divergenz der hrmonischen Reihe knn weder mit dem Quotienten- noch mit dem Wurzelkriterium entschieden werden, wie wir gleich sehen werden. Wir wollen im folgenden Wurzel- und Quotientenkriterium vergleichen: Als Vorbereitung beweisen wir Stz Für > 0 ist lim n n =. Beweis. (i) Wir nehmen zunächst > n: Es sei n = +ɛ n mit ɛ n > 0. Nch der Bernoullischen Ungleichung ist = (+ɛ n ) n +nɛ n, lso ɛ n n. Dmit ist lim ɛ n = 0 und lim n =. n n (ii) Ist <, so wenden wir (i) mit n. (iii) Für = ist die Behuptung klr. Stz Es sei ( n ) eine Folge mit n 0 für lle n N. Dnn gilt: (i) lim sup n n n lim sup n n+ n (ii) lim inf n n+ n lim inf n n n (iii) Wenn der Grenzwert lim gilt lim n n n = lim n n n+ n. n+ n existiert, dnn existiert uch der Grenzwert lim n n n, und es Beweis. Wir beweisen nur (i): n+ Es sei l := lim sup und δ > 0. Nch Stz 2..8 gibt es ein n 0 = n 0 (δ), so dß n+ n n q für lle n n n 0 ist. Durch vollständige Induktion folgt n 0 +l n0 q l für lle l N. Wir setzen n := n 0 + l und erhlten n q n n 0 n0. Es folgt dmit n n q n q n 0 n n0. Wegen lim q n 0n0 = gibt es zu jedem ɛ > 0 ein n = n (ɛ), so dß n n q + ɛ für lle n n ist. Beispiel Die unendliche Reihe n+ lim n n n ist konvergent, denn 2n n (n + )2 n = lim n 2 n+ n = ( 2 lim + ) = n n 2 <. Beispiel Es sei n = n und b n =. n 2 Weder Quotienten- noch Wurzelkriterium sind geeignet, die Frge der Konvergenz der (divergenten) Reihe n oder der (konvergenten) Reihe b n zu entscheiden. Es ist n+ lim n n n = lim n n + =, lim b n+ n b n n 2 = lim n (n + ) 2 = 47

48 und uch lim n n n = und lim n Nch Stz 2.4. (i) ist lim sup n n bn = (nch Stz 2.4. (i)). n n lim sup n n+ n. Knn dher die Konvergenz einer Reihe mit Hilfe des Quotientenkriteriums nchgewiesen werden n+ (lim sup < ), so uch mit dem Wurzelkriterium. Die Umkehrung gilt nicht, wie ds folgende n n Beispiel zeigt. Ds Wurzelkriterium ist lso stärker ls ds Quotientenkriterium. { 2 Beispiel Es sei m N und n = n, für n = 2m n 2 n. es ist, für n = 2m + Es ist ber und dmit lim n 2m+ = n+ (2m + ), lso lim sup =. 2m 2 n n 2m 2 2m = 2 bzw. lim n lim n 2m+ (2m + ) 2 (2m+) = 2, n n = 2 <. Ds Wurzelkriterium zeigt lso die Konvergenz der unendlichen Reihe, während ds Quotientenkriterium keine Antwort liefert. 2.5 Bedingte und unbedingte Konvergenz, Produktreihen Definition Unter der Umordnung einer unendlichen Reihe n versteht mn eine Reihe nk, wobei n k durch eine bijektive Abbildung τ : N N, k τ(k) = n k gegeben ist. k= ( ) n+ Beispiel Es sei die lternierende hrmonische Reihe = n gegeben. Die bijektive Abbildung τ : N N, k τ(k) = n k sei durch τ(3m) = 2m τ(3m 2) = 4m 3 und τ(3m ) = 4m für lle m N definiert. Dnn hben wir die Umordnung nk = k= Diese umgeordnete Reihe knn uch folgendermßen erhlten werden: Es sei s = s = ±... 2 s = ± n mit n = ( )n+ n n, lso

49 Dnn ist Die umgeordnete Reihe 3 2 s = ±... = nk. nk ht lso einen nderen Wert ls die ursprüngliche Reihe n. Definition Eine konvergente Reihe heißt unbedingt konvergent, wenn jede Umordnung von ihr gegen denselben Wert konvergiert, sonst bedingt konvergent. Stz (Umordnungsstz) Eine Reihe ist genu dnn unbedingt konvergent, wenn sie bsolut konvergiert. Beweis. ohne Beweis. Definition (Cuchyprodukt) Es seien n und b n unendliche Reihen: ds Cuchyprodukt ist dnn durch c n = k+l=n n=0 k b l = Stz Sind c n = k+l=n n=0 n k b n k = k=0 n und n=0 Beweis. ohne Beweis. n n l b l definiert ist. l=0 b n bsolut konvergent, so ist dnn ds Cuchyprodukt n=0 k b l bsolut konvergent, und es gilt die Cuchysche Produktformel ( ) ( ) n b n = n=0 n=0 c n. n=0 c n, wobei n=0 c n mit n=0 2.6 Dezimlbruchentwicklung Definition Es sei g N und g 2. Unter der g- Bruchentwicklung von [0, ) versteht mn eine Drstellung der Form n = m g m + b n g n, ( ) m=0 wobei m {0,,..., g } und b n {0,,..., g } mit m 0 für m > 0 ist und folgende Form usgeschlossen ist: b n = g für lle n n 0. Bemerkung Für g = 0 erhält mn die vertrute Dezimlbruchentwicklung: Für = 3 erhlten wir = 3 0 n = 0, = 0, 3. Es ist lso in ( ) dnn g = 0, m = 0 für lle m 0 und b n = 3 für lle n N. Stz Es sei g N und g 2. Jedes [0, ) besitzt genu eine g- Bruchentwicklung der Form ( ). 49

50 Kpitel 3 Stetigkeit, Differenzierbrkeit 3. Grenzwerte von Funktionen Definition 3... (Häufungspunkt) Es sei D R. Dnn heißt ξ R Häufungspunkt (HP) von D, wenn in jeder Umgebung U ɛ (ξ) ein x D\{ξ} liegt. Ein ξ D, ds nicht Häufungspunkt von D ist, heißt isolierter Punkt. Bemerkung 3... Ein Häufungspunkt von D brucht nicht zu D gehören. Ist D = (, b) mit < b R, so sind und b Häufungspunkte von D, gehören ber nicht zu D. Definition Es sei D R, f : D R, x f(x) eine Funktion und x 0 ein Häufungspunkt von D. Dnn heißt R Grenzwert der Funktion f n der Stelle x 0 (Schreibweise: lim f(x) = oder x x 0 f(x), (x x 0 )), flls gilt, dß für lle ɛ > 0 ein δ = δ(ɛ) > 0 existiert, so dß f(x) < ɛ für lle x mit 0 < x x 0 < δ gilt. Ein sehr wichtiges Hilfsmittel zum Beweis von Aussgen über Grenzwerte von Funktionen ist ds Folgenkriterium. Ddurch können die us Kpitel 2 beknnten Ttschen über die Grenzwerte von Folgen zur Anwendung gebrcht werden. Stz 3... (Folgenkriterium) Es sei D R, f : D R und x 0 ein HP von D. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: (i) lim f(x) = x x 0 (ii) Für jede Folge (z n ) mit z n D\{x 0 } und lim n z n = x 0 gilt: lim f(z n) =. n Beweis. (i) (ii): Es sei (z n ) eine Folge mit z n D\{x 0 } und lim z n = x 0. n Es sei ɛ > 0 gegeben. Nch Definition 3..2 existiert ein δ = δ(ɛ), so dß für lle x D mit 0 < x x 0 < δ gilt: f(x) < ɛ. ( ) 50

51 Nch Definition 2.. existiert ein n 0 = n 0 (δ), so dß für lle n n 0 gilt: z n x 0 < δ. Wegen ( ) ist dnn uch f(z n ) < ɛ für lle n n 0. Nch Definition 2.. bedeutet dies lim f(z n) =. n (ii) (i): Annhme: Die Aussge lim f(x) = ist flsch. x x 0 Dnn existiert ein ɛ > 0, so dß für lle n N ein z n mit z n x 0 < n mit z n D\{x 0 } und f(z n ) > ɛ existiert. Dnn ist nch Definition 2.. die Aussge lim f(z n) = flsch, ein n Widerspruch. Stz (Eindeutigkeit des Grenzwerts) Es sei f : D R und x 0 ein HP von D. Dnn ht die Funktion f höchstens einen Grenzwert n der Stelle. Beweis. Dies folgt us dem Folgenkriterium (Stz 3..) und der Eindeutigkeit des Grenzwerts für Folgen (Stz 2..). Stz (Grenzwertsätze) Es sei D R, x 0 ein HP von D und f, g : D R Funktionen. Die Grenzwerte lim g(x) mögen existieren. Dnn existieren uch die Grenzwerte x x 0 und es ist lim x x 0 (f(x) + g(x)) und lim x x 0 (f(x) g(x)), lim (f(x) + g(x)) x x 0 = lim f(x) + lim g(x) x x 0 x x 0 lim (f(x) g(x)) x x 0 = lim f(x) lim g(x). x x 0 x x 0 lim x x 0 f(x) und Ist lim g(x) 0, so gibt es eine Umgebung U δ (x 0 ), so dß g(x) 0 für lle x D U δ (x 0 ). Es sei x x 0 h = f g {x g(x) 0} D. Dnn ist lim x x 0 h(x) = lim f(x) x x 0 lim g(x). x x 0 Beweis. Es sei b := lim g(x) 0. Wir wenden Definition 3..2 mit ɛ = b x x 0 2 n. Dnn existiert ein δ > 0, so dß für lle x U δ (x 0 ) gilt: g(x) b < b 2 und dmit g(x) 0. Alle nderen Aussgen werden bewiesen, indem mn ds Folgenkriterium und die entsprechenden Grenzwertsätze für Folgen (Stz 2..7) nwendet. 3.2 Stetigkeit Definition Es sei D R, f : D R und x 0 D. Dnn heißt f stetig im Punkt x 0, wenn für lle ɛ > 0 ein δ = δ(x 0, ɛ) > 0 gibt, so dß f(x) f(x 0 ) < ɛ für lle x D mit x x 0 < δ. Bemerkung Ist x 0 ein isolierter Punkt von D, so ist jede uf D definierte Funktion f stetig in x 0. 5

52 Stz Es sei f : D R und x 0 D ein HP von D. Dnn ist f im Punkt x 0 genu dnn stetig, wenn lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) ist. Beweis. Ds folgt unmittelbr us Definition 3..2 für den Grenzwert und us Definition 3.2. für die Stetigkeit. Bemerkung Der Wert der Funktion im Punkt x 0, nämlich f(x 0 ), spielt bei der Bestimmung des Grenzwerts lim f(x) keine Rolle, wohl ber bei der Frge, ob f im Punkt x 0 stetig ist. Der x x 0 Grenzwert lim f(x) knn selbst dnn existieren, wenn f(x 0 ) gr nicht definiert ist. Aber f ist stetig x x 0 in x 0, wenn lim f(x) existiert und mit dem Wert der Funktion f(x 0 ) übereinstimmt. x x 0 Beispiel Wir betrchten drei Beispiele einnder sehr ähnlicher Funktionen: ) Es sei f : D R, x 2x mit D = R. Aus dem Folgenkriterium für Grenzwerte folgt, dß lim f(x) = 0 ist. Dher ist f stetig im Punkt 0, d lim f(x) = f(0) ist. x 0 x 0 b) Nun sei g : D 2 R, x 2x mit D 2 = R\{0}. Es ist 0 / D 2, ber 0 ist Häufungspunkt von D 2. D f D2 = g, folgt lim f(x) = lim g(x) = 0. Aber g ist nicht stetig in 0, d 0 x 0 x 0 nicht zum Definitionsbereich von g gehört. Allerdings knn g durch die Definition g(0) = 0 stetig im Punkt 0 fortgesetzt werden. Dmit wird der Definitionsbereich D 2 zu D erweitert und g mit f identifiziert. { 2x für x 0 c) Schließlich sei h: D R, x h(x) mit h(x) = für x = 0. Es ist lim h(x) = 0 h(0). Also ist h nicht stetig in x = 0. x 0 Aus dem Folgenkriterium für Grenzwerte läßt sich leicht ds Folgenkriterium für Stetigkeit gewinnen: Stz (Folgenkriterium für Stetigkeit) Es sei D R und x 0 ein HP von D. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: (i) Die Funktion f ist stetig in x 0. (ii) Für jede Folge (z n ) mit z n D\{x 0 } und lim n z n = x 0 gilt: lim n f(z n) = f(x 0 ). Beweis. Ds folgt unmittelbr us dem Folgenkriterium für Grenzwerte (Stz 3..) und der Definition der Stetigkeit (Definition 3.2.). Bemerkung Stz gibt ein Beispiel für die Vertuschbrkeit zweier Opertionen: Die eine Opertion ist die Grenzwertopertion. Von einer Folge ( n ) wird der Grenzwert lim n n gebildet. Die zweite Opertion ist die Bildung des Funktionswertes x f(x). Stz sgt, ( dß bei ) stetigen Funktionen f diese Opertionen vertuscht werden können. Es ist lim f(z n) = f lim z n. n n Bei unstetigen Funktionen { ist eine Vertuschung i.. nicht möglich. Für die Funktion us Beispiel 2x für x c) h(x) = für x = 0 und die Folge (z n) mit z n = n hben wir lim h(z n) = lim 2 ( n n n = 0 ber h 52 lim n z n ) = h(0) =.

53 Stz Es sei D R und x 0 D. Die Funktionen f, g : D R seien im Punkt x 0 stetig. Dnn sind uch die Funktionen f + g und f g in x 0 stetig. Ist g(x 0 ) 0, so gibt es eine Umgebung U δ (x 0 ), so dß g(x) 0 für lle x D U δ (x 0 ). Es sei h = f g {x g(x) 0} D. Dnn ist h im Punkt x 0 stetig. Beweis. Mnn knn zunächst nnehmen, dß x 0 ein HP von D ist, d Funktionen in isolierten Punkten ihres Definitionsbereichs immer stetig sind. Nch Vorussetzung ist lim f(x) = f(x 0 ) und x x 0 lim g(x) = g(x 0 ). Nch Stz 3..3 (Grenzwertsätze) folgt lim (f(x) + g(x)) = f(x 0 ) + g(x 0 ) und x x 0 x x 0 dmit die Stetigkeit von f + g in x 0. Die nderen Teile der Behuptung folgen ebenflls us Stz Wir kommen nun zur Komposition stetiger Funktionen: Stz (Kettenregel für stetige Funktionen) Es seien D, E R und f : D E sowie g : E R. Es sei f in x 0 D stetig und g stetig in y 0 = f(x 0 ) E. Dnn ist die Funktion g f : D R, x (g f)(x) = g(f(x)) in x 0 stetig. Beweis. Wir können nnehmen, dß x 0 ein HP von f ist. Es sei (z n ) eine Folge mit lim z n = x 0. Nch n dem Folgenkriterium für Stetigkeit (Stz 3.2.2) ist lim f(z n) = f(x 0 ) = y 0. Wiederum nch dem n Folgenkriterium, ngewndt uf g, gilt für die Folge (f(z n )) dnn lim g(f(z n)) = g(y 0 ) = g(f(x 0 )). n Also gilt für jede Folge (z n ) mit lim z n = x 0 dnn n lim (g f)(z n) = (g f) n Nch dem Folgenkriterium ist g f in x 0 stetig. ( ) lim z n n = (g f)(x 0 ). 3.3 Einseitige und uneigentliche Grenzwerte, einseitige Stetigkeit Definition Es sei D R, f : D R und x 0 R ein HP von D. (i) So heißt R rechtsseitiger Limes von f n der Stelle x 0 (Schreibweise: x 0 HP von D (x 0, ) ist, und wenn die Restiktion g := f D (x0, ) : D (x 0, ) R den Limes besitzt, d.h. wenn lim x x 0 g(x) = gilt. (ii) Anlog wird der linksseitige Limes von f n der Stelle x 0 definiert. (Schreibweise: f(x) = ). lim x x 0 lim f(x) = ), flls x x + 0 (iii) Um Grenzwerte von einseitigen Grenzwerten zu unterscheiden, nennt mn Grenzwerte im Sinne von Definition 3..2 uch beidseitige Grenzwerte. Stz Es sei f : D R und x 0 sei HP sowohl von D (x 0, ), ls uch von D (, x 0 ). Dnn existiert lim f(x) genu dnn, wenn der rechtsseitige und der linksseitige Limes von f n der x x 0 Stelle x 0 existieren und übereinstimmen. In diesem Fll ist lim f(x) = lim f(x) = lim f(x). x x 0 x x 0 x x

54 Beweis. ohne Beweis. Definition (i) Eine Funktion f : D R heißt im Punkt x 0 D rechtsseitig stetig, wenn die Restiktion g := f D [x0, ) in x 0 stetig ist. (ii) Anlog wird linksseitige Stetigkeit definiert. Stz Es sei f : D R und x 0 D. Dnn ist f in x 0 genu dnn stetig, wenn es in x 0 rechtsund linksseitig stetig ist. Beweis. ohne Beweis. Es besteht nun noch die Möglichkeit, (ein- oder beidseitige) Grenzwerte für x oder x zu definieren, bzw. oder ls Grenzwert zuzulssen. Definition (i) Es sei X R. Dnn heißt (bzw ) uneigentlicher HP von X, wenn in jeder Umgebung U c ( ) = (c, ) (bzw. U c ( ) = (, c)) ein x X liegt. (ii) Es sei f : D R und ein HP von D. Dnn ist lim x ein c = c(ɛ) existiert, so dß f(x) < ɛ für lle x mit x U c ( ) ist. (iii) Anlog wird lim f(x) definiert. x f(x) = für R, flls für lle ɛ > 0 Definition (i) Es sei D R, f : D R und x 0 ein HP von D. Mn sgt lim f(x) =, x x 0 flls für lle c > 0 ein δ = δ(c) > 0 existiert, so dß f(x) > c, d.h. f(x) U c ( ) für lle x mit x x 0 < δ gilt. (ii) Es sei D R und x 0 ein HP von D (x 0, ). Mn sgt lim f(x) =, flls für g := f D (x0 x x +, ) 0 gilt: lim g(x) =. x x 0 (iii) Anlog werden die Beziehungen definiert. lim f(x) =, x x 0 lim f(x) =, x x + 0 lim f(x) = ± bzw. lim f(x) = ± x x x ± 0 Beispiel Es sei D = R\{0} und f : D R, x f(x) = x. Für lle c > 0 gilt dnn f(x) = x > c 0 < x < c und f(x) = x < c c < x < 0. Also ist lim = und lim x 0 + x x 0 x =. 3.4 Polynome und rtionle Funktionen Definition Es sei D R. (i) Eine Funktion P : D R, x P (x) mit P (x) = n k x k mit k R und 0 k n heißt Polynom. Die k heißen Koeffizienten des Polynoms. Ist n 0, so heißt n der Grd des Polynoms, n = grdp. Ist k = 0 für 0 k n, so heißt P ds Nullpolynom und mn setzt grdp :=. 54 k=0

55 (ii) Es seien P, Q: D R Polynome. Es sei E {x D Q(x) 0}. Dnn heißt rtionle Funktion. R: E R, x R(x) = P (x) Q(x) Stz Polynome und rtionle Funktionen sind in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches stetige Funktionen. Beweis. (i) Zunächst zeigen wir die Aussge für Polynome: Wir können nnehmen, dß x 0 D ein HP von D ist. Konstnte Funktionen c mit c(x) = c für lle x D sind nch dem Folgenkriterium (Stz 3.2.2) in x 0 D stetig. Für jede Folge (z n ) mit z n D und lim z n = x 0 ist c(z n ) = c für lle n und dmit lim c(z n) = c = c(x 0 ). n n Ebenso folgt die Stetigkeit der Identität: id: x id(x) = x. Mit vollständiger Induktion folgt nch Stz 3.2.3, dß die Monome M : x x k stetig sind. Nch Stz sind dnn uch die konstnten Vielfchen x c k x k stetig. Durch vollständige Induktion (nch der Anzhl der Summnden) folgt schließlich die Stetigkeit von P (x). (ii) Die Aussge für rtionle Funktionen folgt us Stz (ii). Beispiel Es sei f durch f(x) = ist f stetig? { x 2 für x (, ] 2x für x (, ] definiert. In welchen x 0 R Lösung: Nch Stz 3.4. sind f (,) bzw. f (, ) in llen x 0 (, ) bzw. x 0 (, ) stetig. Also ist f in R\{} stetig. In llen x 0 existieren lso die beidseitigen Grenzwerte und stimmen mit dem Funktionswert f(x 0 ) überein. Also ist f stetig für x 0. Weiter ist lim f(x) x = lim x x2 = 2 = f(x) + = lim lim x x +(2x ) = 2 =. Somit ist lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = f(). x x + x Also ist f uch im Punkt x 0 = stetig. Dmit ist f in llen x 0 R stetig. { 7x für x (, 2) Beispiel Es sei g durch g(x) = x 3 definiert. In welchen x 4 für x [2, ] 0 R ist g stetig? Lösung: Nch Stz 3.4. sind g (,2) bzw. g (2, ) in llen x 0 (, 2) bzw. x 0 (2, ) stetig. Also ist g in R\{2} stetig. Es ist lim x 2 x 2 g(x) = lim 7x = 4 lim g(x) = lim 4) = 8 4 = 4. x 2 + x 2 +(x3 Also existiert lim x 2 g(x) nicht. Dmit ist g in x 0 = 2 nicht stetig. Wir kommen nun zur Frge, inwieweit die Koeffizienten und der Grd eines Polynoms eindeutig bestimmt sind. 55

56 { 0 für x = 0 Beispiel Es sei D = {0, }, f : D R, x f(x) mit f(x) = So knn für x =. f uf unendlich viele Arten ls Polynom geschrieben werden. Für jedes n N stimmt ds Polynom P n : D R, x x n mit f überein. Die Differenz P m,n := g n g m : x x n x m stellen stets ds Nullpolynom uf D dr, 0 und sind Nullstellen des Polynoms P m,n. Diese Vieldeutigkeit ht ihre Ursche drin, dß der Definitionsbereich D sehr klein ist. Wir wollen ls erstes prüfen, wieviele Nullstellen ein Polynom hben knn. Definition Es sei f : D R. Ein x 0 D mit f(x 0 ) = 0 heißt Nullstelle von f. Ist f(x) = c für lle x D, so schreiben wir uch f(x) c (uf D). Ds Polynom P : D R mit P (x) 0 (uf D) heißt Nullpolynom (uf D). Stz Es sei n N und P : D R, x P (x) ein Polynom mit P (x) = n k x k mit k R n und n 0. Für x 0 D gibt es dnn ein Polynom Q(x) = b k x k mit b k R und b n = n, so dß k=0 P (x) = (x x 0 )Q(x) + P (x 0 ) für lle x D gilt. ( ) Ist insbesondere x 0 eine Nullstelle von P, so ist P (x) = (x x 0 )Q(x) für lle x D. Beweis. Wir führen vollständige Induktion nch n durch: Induktionsnfng n = : Dnn hben wir ds Polynom P (x) = x + 0 mit 0 gegeben. Es ist P (x) = (x x 0 ) + x Es gilt lso ( ) mit Q(x) =. Induktionsschritt n n + : n+ Es gelte die Induktionshypothese, und es sei P (x) = k x k mit k R. Dnn ist mit R(x) = n k+ x k k=0 k=0 P (x) = (x x 0 )R(x) + x 0 R(x) + 0. () n Nch Induktionshypothese gibt es c i R, so dß mit S(x) = c k x k gilt: Aus () und (2) folgt k=0 R(x) = (x x 0 )S(x) + R(x 0 ). (2) k=0 P (x) = (x x 0 )Q(x) + P (x 0 ) mit Q(x) := R(x) + x 0 S(x). Stz Es sei n N. Ein Polynom vom Grd n ht höchstens n Nullstellen. Beweis. Es seien x,..., x n R verschiedene Nullstellen von P (x). Wir zeigen zunächst durch vollständige Induktion nch k: Es ist P (x) = (x x ) (x x k ) Q n k (x) mit einem Polynom Q n k vom Grd n k. () 56

57 Induktionsnfng k = : Dies ist Stz Induktionsschritt k k + : Nch Induktionshypothese ist P (x) = (x x ) (x x k ) Q n k (x) mit einem Polynom Q n k vom Grd n k. (2) Nch Stz.4.8 ist k (x k+ x l ) 0 und dmit Q n k (x k+ ) = 0 ebenflls nch Stz.4.8. Nch Stz ist mit grdq n (k+) (x) = n (k + ). Aus (2) und (3) folgt womit () gezeigt ist. Für k = n ergibt sich l= Q n k (x) = (x x k+ )Q n (k+) (x) (3) k+ P (x) = (x x l )Q n (k+) (x), l= P (x) = n mit n R\{0}. Wiederum nch Stz.4.8 folgt n l= (x x l ) P (x) = 0 x {x,..., x n }. Stz (Identitätsstz für Polynome) Es sei D R und P, Q: D R Polynome. Mit n N und k, b k R seien P (x) = Q(x) = n k x k und n b k x k gegeben. Weiterhin gebe es (n + ) Elemente x,..., x n+ D mit P (x j ) = Q(x j ) k=0 für j n +. Dnn ist k = b k für 0 k n. Ist P (x j ) = 0 für j n +, so ist P ds Nullpolynom. Insbesondere sind der Grd und die Koeffizienten eines Polynoms durch seine Werte uf einer unendlichen Menge eindeutig bestimmt. Ist P (x) = 0 für unendlich viele Werte von x, so ist P ds Nullpolynom. Beweis. Mn wendet Stz uf ds Polynom P Q n. Stz ist ein Spezilfll des Euklidischen Algorithmus: Stz (Euklidischer Algorithmus) Es sei D R, D = und P, Q 0 zwei Polynome uf D. Dnn gibt es zwei eindeutig bestimmte Polynome S, R mit grdr < grdq, so dß P (x) = S(x)Q(x) + R(x) für lle x D ist. Beweis. ohne Beweis. k=0 57

58 Beispiel Es sei P (x) = 3x 5 + x 3 + und Q(x) = x Division ergibt 3x 5 + x 3 + = (x 3 + 2) (3x 2 + ) + ( 6x 2 ). Es gelten der Fktorisierungsstz und der Stz von der Prtilbruchzerlegung. Stz (Fktorisierungsstz) Es sei P ein Polynom vom Grd n mit prweise verschiedenen Nullstellen x,..., x k R und den Vielfchheiten ν,..., ν k N. Ist ν ν k < n, so gibt es eindeutig bestimmte, prweise verschiedene normierte Polynome P (x) = x 2 +b x+c,..., P l (x) = x 2 +b l x+c l vom Grd 2, welche keine reelle Nullstelle besitzen, d.h. es gilt 4c j b 2 j > 0 für j l, und es gibt eindeutig bestimmte Zhlen µ,..., µ l N, so dß P die Produktdrstellung P (x) = n (x x ) ν... (x x k ) ν k (P (x)) µ... (P l (x)) µ l besitzt. Es gilt ν ν k + 2(µ µ l ) = n. Beweis. ohne Beweis. Stz (Prtilbruchzerlegung) Es seien P, Q Polynome mit grdp < grdq. Außerdem hbe Q die (nch Stz existierende) Produktdrstellung Q(x) = (x x ) ν (x x k ) νk (x 2 + b x + c ) µ (x 2 + b l x + c l ) µ l. Dnn besitzt R eine Prtilbruchdrstellung der Form ( ) k A () l i R(x) = A(νi) i x x i (x x i ) ν + i i= j= B() j x + C () j x b j x + c j mit A () i,..., A (ν i) i, i =,..., k und B () j, C () j,..., B (µ j) j, C (µ j) j, j =,..., l. B (µ j ) j x + C (µ j) j (x 2 + b j x + c j ) µ j Wir schließen mit der Diskussion von Grenzwerten von Polynomen und rtionlen Funktionen: n Stz (i) Es sei P : R R ein Polynom vom Grd n, P (x) := k x k mit k R und n =. Dnn ist lim P (x) = und lim P (x) = x x (ii) Es sei R(x) := P (x) mit Polynomen P, Q mit grdp < grdq. Q(x) Dnn ist R(x) = 0. lim x ± (iii) Es sei x 0 R und n N. Dnn ist für gerdes n und für ungerdes n lim (x x 0 ) n = x x 0 k=0 {, flls n gerde, flls n ungerde ist. lim (x x 0 ) n = und lim (x x 0 ) n = x x + 0 x x 0 58

59 (iv) Es seien R, S rtionle Funktionen und x 0 R {, }. Es sei lim R(x) = ± und x x 0 lim S(x) = c R\{0}. Es sei T (x) := R(x) + S(x) und U(x) := R(x) S(x). Dnn ist x x 0 { limx x0 R(x), flls c > 0 lim T (x) = lim R(x) und lim U(x) = x x 0 x x 0 x x 0 lim x x0 R(x), flls c < 0. Dbei ist ( ) = gesetzt. Für einseitige Grenzwerte gelten entsprechende Ausgen. Beweis. ohne Beweis. Die Behndlung von uneigentlichen (ein- oder beidseitigen) Grenzwerten rtionler Funktionen oder Grenzwerte für x ± knn zusmmen mit dem Euklidischen Algorithmus, Fktorisierung und Prtilbruchzerlegung uf Stz zurückgeführt werden. 3.5 Stetige Funktionen uf kompkten Intervllen Definition Es sei f : D R eine Funktion, E D. Dnn heißt f stetig uf E, flls f in jedem Punkt x E stetig ist. Weiter heißt f nch oben beschränkt uf E, flls es eine obere Schrnke s R gibt, so dß f(x) s für lle x E gilt. Entsprechend wird nch unten beschränkt definiert. Mn nennt f dnn beschränkt uf E, flls es nch oben und nch unten beschränkt ist. Stz (Stetigkeit uf kompkten Intervllen) Es sei b R, I = [, b] und f : I R stetig uf I. Dnn gilt: (i) Die Funktion f ist beschränkt uf I. (ii) Die Funktion f nimmt uf I Minimum und Mximum n, d.h. es existieren m, M R und x min, x mx I, so dß f(x min ) = m, f(x mx ) = M und m f(x) M für lle x [, b] gilt. Beweis. Es sei M R { } ds Supremum des Bildes f(i) = {f(x) x I}. Dnn gibt es eine Folge (x n ), so dß lim f(x n) = M ist. Ist M =, so ist der Limes uneigentlich. Nch dem Stz n von Bolzno- Weiterstrß (Stz 2..4) ht die Folge (x n ) mindestens einen Häufungswert z 0. Dmit ist z 0 Häufungspunkt von I. Also enthält I lle seine Häufungspunkte, somit ist z 0 I. Nch Stz 2..0 gibt es eine Teilfolge (x nk ) von (x n) mit lim x n n k = z 0. Nch dem Folgenkriterium für Stetigkeit (Stz 3.2.2) ist f(z 0 ) = M. Dmit folgt M R, d.h. M. Hiermit ist die Beschränktheit nch oben und die Existenz des Mximums gezeigt. Benützt mn diese Ttschen für f nstelle von f, so folgt die Existenz des Minimums und die Beschränktheit nch unten. Definition Es sei f : D R eine Funktion, E D. Dnn heißt f gleichmäßig stetig uf E, flls für lle ɛ > 0 ein δ = δ(ɛ) existiert, so dß f(x) f(x 0 ) < ɛ für lle x, x 0 D mit x x 0 < δ gilt. Bemerkung Jede uf E gleichmäßig stetige Funktion ist dort uch stetig. Dies folgt us Definition Die Zhl δ = δ(ɛ) > 0 wird dnn im llgemeinen jedoch nicht nur von ɛ, sondern uch von x 0 bhängen. Ist E kein kompktes Intervll, so brucht eine uf E stetige Funktion nicht gleichmäßig stetig zu sein, wie ds folgende Beispiel zeigt: 59

60 Beispiel Es sei D = E = (0, ) und f : D R, x f(x) = x. Dnn ist f uf E stetig, ber nicht gleichmäßig stetig. Es sei ɛ > 0 gegeben. Es ist f(x) f(x 0 ) = x x 0 = x x 0 x x 0 und dmit f(x) f(x 0 ) ɛ x x 0 ɛ x x 0. Dies zeigt, dß für beliebige δ > 0 die Aussge f(x) f(x 0 ) < ɛ höchstens dnn gilt, wenn x x 0 < ɛ x 0 ist. Also ist f(x) f(x 0 ) < ɛ für x x 0 < δ(ɛ, x 0 ) mit δ(ɛ, x 0 ) < ɛ x 0 erfüllt, lso für kein δ > 0, ds nur von ɛ bhängt. Auf kompkten Intervllen sind stetige Funktionen hingegen gleichmäßig stetig. Dieses Ergebnis ist eine Folgerung des Überdeckungsstzes von Heine- Borel. Zunächst definieren wir den Begriff der Überdeckung: Definition Es seien I, X R. Für lle x X sei U(x) := U ɛ(x) (x) mit ɛ(x) > 0 eine ɛ(x)- Umgebung von x. Die Menge U = {U ɛ (x) x X} heißt eine Überdeckung von I, wenn I U(x). Mn nennt V eine Teilüberdeckung von U, flls V = {U(x) x Y } mit Y X und I U(x) ist. Ist dzu Y endlich, so heißt V eine endliche Teilüberdeckung von U. Stz (Überdeckungsstz von Heine- Borel) Es sei U eine Überdeckung des kompkten Intervlls I. Dnn besitzt U eine endliche Teilüberdeckung. Beweis. Es sei I = [, b]. Annhme: Es gibt eine Überdeckung U von I, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Es sei U := {U(x) x X} mit X R. Wir definieren nun durch vollständige Induktion eine Folge (I n ) von Intervllen mit folgenden Eigenschften: (i) Es bildet (I n ) eine Intervllschchtelung. (ii) Es gilt: I n = I 2 n. (iii) Die Überdeckung U von I besitzt keine endliche Teilüberdeckung. Induktionsnfng: n = : Dnn ist I = I. Induktionsschritt: n n + : Nch dem dritten Teil der Induktionshypothese besitzt die Überdeckung U von I n := [ n, b n ] keine endliche Teilüberdeckung, und es ist I n = I 2 n. Dnn ist U uch eine Überdeckung für die zwei Hälften I n, := [ ] n, n+bn 2 und In,2 := [ n+b n ] 2, b n. Für mindestens eine der zwei Hälften In,j mit j {, 2} existiert dnn ebenflls keine endliche Teilüberdeckung von U. Dnn setzen wir I n+ := I n,j. Dmit erfüllt die Folge (I n ) die Bedingungen (i), (ii) und (iii). Nch Stz 2..3 existiert ein z 0 R, ds llen Intervllen ngehört. D U eine Überdeckung von I ist, gibt es x X mit z 0 U(x). Dnn gibt es ein ɛ > 0, so dß U ɛ (z 0 ) U(x) ist. Weiter existiert ein n 0, so dß für lle n n 0 gilt: I n U ɛ (z 0 ). Diese I n werden ber von der einzigen Umgebung U ɛ (z 0 ) überdeckt, im Widerspruch dzu, dß für die keine endliche Teilüberdeckung von U existiert. x X x Y 60

61 Stz Es sei I ein kompktes Intervll und f : I R stetig uf I. Dnn ist f uf I gleichmäßig stetig. Beweis. Es sei ɛ > 0. Zu jedem x 0 I gibt es ein δ = δ(ɛ, x 0 ) > 0, so dß für lle x U 3δ gilt: f(x) f(x 0 ) < ɛ 3. () Wir setzen U(x 0 ) = U δ (x 0 ). (2) Es bildet U = {U(x 0 ) x 0 I} eine Überdeckung von I. Nch Stz besitzt U eine endliche Teilüberdeckung. Es gilt lso x, x 2,..., x m I, so dß es für lle x I ein k mit k m und x U(x k ) = U δ (ɛ, x k ) gibt. Wir setzen δ := min{δ(ɛ, x ),..., δ(ɛ, x m }. Es seien nun x, x I mit x x < δ. Dnn gibt es k, l mit k, l m mit x U(x k ) und x U(x l ). Es ist (nch der Dreiecksungleichung, Stz.4.0) dnn x k x l x k x + x x + x x l < 3δ. Wegen () und (2) folgt f(x k ) f(x l ) < ɛ 3. Schließlich ist f(x) f(x ) f(x) f(x k ) + f(x k ) f(x l ) + f(x l ) f(x ) < ɛ. Also ist f(x) f(x ) < ɛ für lle x, x I mit x x < δ, die gleichmäßige Stetigkeit. Stz (Zwischenwertstz) Es sei < b R, I = [, b], und f : I R sei stetig uf I. Es sei f() < c < f(b). Dnn gibt es ein ξ (, b) mit f(ξ) = c, d.h. es gilt [f(), f(b)] f(i). Beweis. Wir betrchten die Menge X := {z z b : f(x) c, x [, z]}. Es ist X, d X. Wegen X [, b] ist X beschränkt. Also existiert s = sup X. (i) Wir zeigen zunächst: f(s) c. Es sei x n = s s n. Wegen x n s ist f(x n ) c. Wegen lim x n = s ist nch dem n Folgenkriterium lim f(x n) = f(s) und wegen f(x n ) c ist f(s) = lim f(x n) c. n n Dmit ist (i) gezeigt. (ii) Annhme: f(s) < c. Dnn gibt es ein ɛ > 0, so dß f(s) = c 2ɛ gilt. Wegen der Stetigkeit von f existiert ein δ = δ(), so dß für lle x U δ (s) = (s δ, s + δ) gilt: f(x) f(s) < ɛ und somit f(x) < c ɛ. Dmit ist ber [, s + δ) [, b] X im Widerspruch zu sup X = s. Also ist f(s) c. Zusmmengefßt folgt f(s) = c. 6

62 3.6 Monotone Funktionen, Umkehrfunktion Definition Es sei D R und f : D R. Dnn heißt f monoton wchsend, wenn f(x ) f(x 2 ) für lle x, x 2 D mit x x 2 ist, und f heißt streng monoton wchsend, wenn f(x ) < f(x 2 ) gilt. Entsprechend wird monoton fllend bzw. streng monoton fllend definiert. Stz Es sei < b R und I = [, b]. Es sei f : I R stetig und f() < f(b). Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: (i) Die Funktion f besitzt eine uf [f(), f(b)] definierte Inverse f, d.h. die Gleichung f(x) = c besitzt für lle c [f(), f(b)] eine eindeutig bestimmte Lösung x = f (c). (ii) Die Funktion f ist injektiv. (iii) Die Funktion f ist streng monoton wchsend. Beweis. ohne Beweis. Stz Es sei < b R und I = [, b]. Es sei f : I R eine stetige, streng monoton wchsende Funktion uf dem kompkten Intervll I. Dnn ist die Inverse f : [f(), f(b)] [, b] eine stetige, streng monoton wchsende Funktion uf [f(), f(b)]. Beweis. ohne Beweis. Stz Es sei n N. Die n- te Wurzelfunktion g : [0, ) R, x g(x) = n x ist uf [0, ) stetig. Beweis. Dies folgt us Stz 3.6.2, wenn wir nsttt f dnn die streng monoton wchsende Funktion f : [0, b] R, x x n wählen. Sie ht die Inverse f : [0, b n ] R, x n x. Die Behuptung folgt mit g := f, d b beliebig groß gewählt werden knn. 3.7 Differenzierbrkeit Definition (i) Es sei I R ein beliebiges Intervll. Dnn heißt f : I R in x 0 I differenzierbr, flls der Grenzwert f (x 0 ) := lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 existiert. Er heißt Ableitung oder Differentilquotient von f n der Stelle x 0. Schreibweise: f (x 0 ) = df dx (x 0) = dy dx. (ii) Ist f für jedes x 0 I differenzierbr, so heißt f differenzierbr uf I. Die Funktion f : I R, x f (x) heißt die Ableitung von f. Stz Es sei I R ein beliebiges Intervll, f : I R und x 0 I. Folgende Aussgen sind äquivlent: (i) Die Funktion f besitzt n der Stelle x 0 die Ableitung f (x 0 ). 62

63 (ii) Es existiert eine Funktion r : I R, x r(x), wobei r in x 0 stetig und r(x 0 ) = 0 ist, so dß f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + r(x)(x x 0 ). ( ) Beweis. (i) (ii): Wir setzen Dnn ist ( ) für x x 0 erfüllt, und es ist r(x) := f(x) f(x 0) x x 0 f (x 0 ). f(x) f(x 0 ) lim r(x) = lim f (x 0 ) = 0. x x 0 x x 0 x x 0 Wir definieren (ii) (i): Es gilt r(x) = { r(x) für x x0 0 für x = x 0. f(x) f(x 0 ) ( lim = lim f (x 0 ) + r(x) ) = f (x 0 ). x x 0 x x 0 x x 0 Bemerkung Stz 3.7. besgt, dß für kleine Werte von x x 0 die Funktion f sehr gut durch die linere Funktion (Polynom. Grdes) L f : x L f (x) pproximiert wird. Dbei ist L f (x) die linere Approximtion von f. Wir werden später Approximtionen durch Polynome höheren Grdes, sogennnte Tylorpolynome kennenlernen. Der Grph von L f ist eine Gerde, die Tngente n der Kurve y = f(x) im Punkt (x 0, f(x 0 )). Weiter ist f (x 0 ) die Steigung der Tngente. Sie ist der Grenzwert der Differenzenquotienten f(x) f(x 0 ) x x 0, der Steigungen der Seknten der Kurve y = f(x) durch die Punkte (x 0, f(x 0 )) und (x, f(x)). Eine gröbere Approximtion ist durch die konstnte Funktion C f (x) = f(x 0 ) (Polynom nullten Grdes) gegeben. Ihr Grph ist die horizontle Gerde durch (x 0, f(x 0 )). Es ist f(x) = C f (x) + s(x) mit lim x x 0 s(x) = 0. Diese existiert uch für stetige Funktionen. Stz (Eindeutigkeit der lineren Approximtion) Es sei I R ein beliebiges Intervll, f : I R und x 0 I. Gilt f(x) = f(x 0 )+c(x x 0 )+r(x)(x x 0 ) mit c R, r stetig in x 0 und r(x 0 ) = 0, so ist f differenzierbr in x 0, und es ist c = f (x 0 ). Beweis. Aus f(x) = f(x 0 ) + c(x x 0 ) + r(x)(x x 0 ) folgt f(x) f(x 0 ) x x 0 = c + r(x). Also ist Nch Definition 3.7. ist c = f (x 0 ). f(x) f(x 0 ) lim = c + lim r(x) c. x x 0 x x 0 x x 0 Stz (Differenzierbrkeit impliziert Stetigkeit) Es sei I R ein beliebiges Intervll, f : I R und x 0 I. Ist f in x 0 differenzierbr, so ist es dort uch stetig. 63

64 Beweis. Aus ( ) us Stz 3.7. folgt lim f(x) = f(x 0 ) + lim f (x 0 )(x x 0 ) + lim r(x)(x x 0 ) = f(x 0 ) x x 0 x x 0 x x 0 nch Stz Nch Stz 3.2. folgt die Stetigkeit von f in x 0. Bemerkung Die Umkehrung von Stz gilt nicht. Die Betrgsfunktion f : R R, x x ist in x 0 = 0 stetig, ber nicht differenzierbr. Es ist f(x) f(0) lim x 0 + x 0 f(x) f(0) lim x 0 x 0 x = lim x 0 + x =, x = lim x 0 x =. ber Also existiert lim x 0 f(x) f(0) x 0 nicht. 3.8 Ableitungsregeln Stz Es sei I R ein Intervll. Die Funktionen f, g : I R seien in x 0 R differenzierbr. Es seien, b R. Dnn sind die Funktionen f + bg und f g in x 0 differenzierbr, und es gilt (i) (f + bg) (x 0 ) = f (x 0 ) + bg (x 0 ) (Linerität) (ii) (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) (Produktregel) Beweis. Wir beweisen nur (ii): Für x I mit x x 0 gilt Also ist f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) = f(x)g(x) f(x 0)g(x) + f(x 0)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) x x 0 x x 0 x x 0 = f(x) f(x 0) g(x) + f(x 0 ) g(x) g(x 0). x x 0 x x 0 f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) f(x) f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) lim = lim lim g(x) + lim f(x 0 ) lim x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). Stz (Ableitung von Polynomen) Es sei n N, und P : R R, x P (x) = n k x k mit k R sei ein Polynom. k=0 Dnn ist P für lle x R differenzierbr, und es ist P (x) = Spezilfll: Es ist d dx xn = n x n. 64 n k k x k. k=

65 Beweis. Wir betrchten zunächst die Ableitung der Identität id: x x. Es ist id id(x) id(x 0 ) (x 0 ) = lim = x x 0 =. x x 0 x x 0 x x 0 Der Spezilfll ergibt sich dnn durch vollständige Induktion nch n. Der llgemeine Fll folgt us der Linerität. Stz Es sei I R ein Intervll, und es seien f, g : I R in x 0 I differenzierbr. Außerdem sei g(x) 0 für x I. Dnn ist f g in x 0 differenzierbr, und es gilt die Quotientenregel Beweis. Für x, x 0 I und x x 0 gilt ( ) f (x 0 ) = g(x 0)f (x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g g 2. (x 0 ) f g (x) f g (x 0) = f(x)g(x ( 0) f(x 0 )g(x) f(x) f(x0 ) = g(x 0 ) f(x 0 ) g(x) g(x ) 0) x x 0 (x x 0 )g(x)g(x 0 ) x x 0 x x 0 g(x)g(x 0 ). Der Grenzübergng x x 0 liefert die Behuptung. Stz Es seien I, J R Intervlle, f : I J sei im Punkt x 0 I differenzierbr und g : J R sei im Punkt y 0 = f(x 0 ) J differenzierbr. Dnn ist g f : I R im Punkt x 0 differenzierbr, und es gilt die Kettenregel (g f) (x 0 ) = g (y 0 ) f (x 0 ). Beweis. Nch Stz 3.7. ist für lle x I mit r stetig in x 0 sowie r(x 0 ) = 0 und f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + r(x)(x x 0 ) () g(y) = g(y 0 ) + g (y 0 )(y y 0 ) + s(y)(y y 0 ). (2) für lle y J mit s stetig in y 0 und s(y 0 ) = 0. Indem wir in (2) dnn y = f(x) setzen, erhlten wir us () g(f(x)) = g(f(x 0 ))+g (y 0 )(f (x 0 )(x x 0 )+r(x)(x x 0 ))+s(f(x))(f (x 0 )(x x 0 )+r(x)(x x 0 )). (3) Es sei t(x) := g (y 0 )r(x) + s(f(x))(f (x 0 ) + r(x)). Die Funktion f ist stetig in x = x 0 und wegen s(f(x 0 )) = s(y 0 ) = 0 folgt t(x 0 ) = 0. Also folgt us (3) (g f)(x) = (g f)(x 0 ) + g (y 0 )f (x 0 )(x x 0 ) + t(x)(x x 0 ) mit t stetig in x = x 0 und t(x 0 ) = 0. Aus Stz 3.7. und folgt g f ist differenzierbr in x 0, und es ist (g f) (x 0 ) = g (y)f (x 0 ). Stz (Differenzierbrkeit der Umkehrfunktion) Es seien I, J Intervlle. Es sei f : I J bijektiv und x 0 I. Es sei f im Punkt x 0 differenzierbr, und es sei f (x 0 ) 0. Dnn ist die inverse Funktion f : J I in y 0 = f(x 0 ) differenzierbr, und es ist ( f ) (y0 ) = f (f (y 0 )). 65

66 Beweis. Es sei (y n ) mit y n J\{y 0 } und lim y n = y 0. Die Folge (x n ) n sei durch y n = f(x n ) x n = f (y n ) definiert. Wegen der Stetigkeit von f ist dnn ( ) lim x n = f lim y n n n nch dem Folgenkriterium ist f (y n ) f (y 0 ) lim = lim n y n y 0 n Wieder ist nch dem Folgenkriterium = f (y 0 ) = x 0. ( x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) = lim n ( f ) (y0 ) = f (x 0 ). ) f(x n ) f(x 0 ) = x n x 0 f (x 0 ). Beispiel Die Funktion f : (0, ) (0, ), x x 2 besitzt die Umkehrfunktion Nch Stz ist für y 0 (0, ) dnn ( f ) (y0 ) = Also ist, wenn wir wieder x sttt y schreiben: 3.9 Mittelwertstz, Monotonie f : (0, ) (0, ), y y. f (f (y 0 )) = 2 y. d x = dx 2 x. Definition Es sei I ein Intervll. Für ds Innere von I schreiben wir I. Es sei f : I R und ξ I. Mn sgt: f besitzt in ξ ein reltives Mximum (bzw. reltives Minimum), flls es ein δ > 0 gibt, so dß f(x) f(ξ) (bzw. f(x) f(ξ)) für lle x U δ (ξ), (d.h. für lle x I mit x ξ < δ), gibt. Die Funktion f besitzt in ξ ein reltives Extremum, flls es dort ein reltives Mximum oder Minimum besitzt. Stz Es sei I ein Intervll, f : I R und ξ I. Zudem sei f in ξ differenzierbr. Besitzt f in ξ ein reltives Extremum, so ist f (ξ) = 0. Beweis. Wir können, flls wir nötigenflls f durch f ersetzen, nnehmen, dß f in ξ ein reltives Mximum besitzt. Es ist dnn f f(x) f(ξ) (ξ) = lim 0, () x ξ + x ξ d f(x) f(ξ) x ξ 0 für x > ξ ist, und f(x) f(ξ) d 0 für x < ξ ist. x ξ Aus () und (2) folgt f (ξ) = 0. f f(x) f(ξ) (ξ) = lim 0, (2) x ξ x ξ 66

67 Stz (Stz von Rolle) Es sei < b R und I = [, b]. Die Funktion f : I R sei uf I stetig und uf I = (, b) differenzierbr. Es sei f() = f(b) = 0. Dnn gibt es ein ξ (, b) mit f (ξ) = 0. Beweis. Nch Stz 3.5. nimmt f uf I sein Mximum M und sein Minimum m n. Ist f 0, so ist f (ξ) = 0 für lle ξ (, b). Andernflls ist M > 0 oder m < 0. Wir nehmen f(ξ) = M > 0 n. Wegen f() = f(b) = 0 ist ξ / {, b}, lso ist ξ I = (, b). Nch Stz 3.9. ist f (ξ) = 0. Stz (. Mittelwertstz) Es sei < b R und I = [, b]. Weiter sei f : I R uf I stetig und uf I differenzierbr. Dnn gibt es ξ (, b) mit f f(b) f() (ξ) =. b Beweis. Es sei g(x) := f(x) f() (x ) f(b) f(). b Dnn ist g() = g(b) = 0. Nch dem Stz von Rolle (Stz 3.9.2) gibt es ein ξ (, b) mit g (ξ) = 0 f (ξ) = f(b) f(). b Bemerkung Der Stz von Rolle und der. Mittelwertstz lssen sich geometrisch so deuten, dß es mindestens einen Punkt ξ im Inneren des Intervlls [, b] gibt, so dß die Tngente n die Kurve y = f(x) in (ξ, f(ξ)) prllel zur Seknte durch die Punkte (, f()) und (b, f(b)) ist. Stz (2. Mittelwertstz) Es sei < b R und I = [, b]. Es seien f, g : I R uf [, b] stetig und uf (, b) differenzierbr. Es sei g (x) 0 für lle x (, b). Dnn ist g() g(b), und es gibt ein ξ (, b) mit f (ξ) g (ξ) = f(b) f() g(b) g(). Beweis. Wegen des Stzes von Rolle (Stz 3.9.2) ist g(b) g(). Die Funktion h: I R sei durch ( h(x) := f(x) f() + ) f(b) f() (g(x) g()) g(b) g() definiert. Dnn ist h() = h(b) = 0. Nch dem Stz von Rolle gibt es ein ξ (, b) mit h (ξ) = 0, d.h. Wegen g (ξ) 0 folgt die Behuptung. 0 = h (ξ) = f (ξ) f(b) f() g(b) g() g (ξ). Stz Es sei I ein beliebiges Intervll und f : I R stetig in I und differenzierbr in I. Dnn gilt f (x) = 0 für lle x I f const. uf I. 67

68 Beweis. : Es sei f (x) = 0 für lle x I. es seien x, x 2 I und x < x 2. Nch dem Mittelwertstz gilt dnn für ein ξ (x, x 2 ). Deshlb ist f(x) const. : Klr. f(x 2 ) f(x ) = f (ξ)(x 2 x ) = 0 Stz (Monotonietest) Es sei I ein beliebiges Intervll und f : I R in I stetig und in I differenzierbr. Dnn gilt (i) Es gilt f (x) 0 für lle x I f ist monoton wchsend. (ii) Es gilt f (x) > 0 für lle x I f ist streng monoton wchsend. Entsprechende Aussgen gelten für monoton fllenden Funktionen. Beweis. (i) : Es seien x, x 2 I mit x < x 2. Nch dem Mittelwertstz (Stz 3.9.3) gibt es ξ (x, x 2 ), so dß f (ξ) = f(x 2) f(x ) x 2 x f(x ) f(x 2 ). f (ξ) 0 : Es sei x 0 I. Es ist f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Wegen f(x) f(x 0 ) für x x 0 ist f (x 0 ) 0. (ii) ohne Beweis. Bemerkung Die Rückrichtung in (ii) gilt nicht. Dies zeigt ds Beispiel f : R R, x x 3. Obwohl f uf R streng monoton wchsend ist, ist f (0) = 0. Beispiel Es sei f : R R, x f(x) := x 3 3x. Mn finde mximle Intervlle, uf denen f streng monoton wächst bzw. streng monoton fällt. Lösung: Es ist f (x) = 3x 2 3 = 3(x )(x + ). Es ist f (x) = 0 für x = und x 2 =. Somit ist f (x) > 0 für x (, ) (, ). Es ist f (x) < 0 für x (, ). Nch Stz ist f streng monoton wchsend uf (, ) und uf (, ) und streng monoton fllend uf (, ). 68

69 3.0 Höhere Ableitungen, Tylorpolynome Definition Es sei I R ein Intervll und f : I R, dessen Ableitung f uf I existiere. (i) Ist f uf I stetig, so heißt f stetig differenzierbr uf I (Schreibweise: f C (I)). (ii) Die Ableitung f (x 0 ) existiere in x 0 I. Dnn heißt ( ( )) f (x 0 ) = d2 f d df dx 2 (x 0) := (f ) (x 0 ) = (x 0 ) dx dx die zweite Ableitung (oder Ableitung 2. Ordnung) von f n der Stelle x 0. (iii) Flls f (x) für lle x I existiert, dnn heißt f zweiml differenzierbr uf I. (iv) Ist zusätzlich f uf I stetig, dnn heißt f zweiml stetig differenzierbr uf I (Schreibweise: f C 2 (I)). (v) Allgemein wird durch vollständige Induktion nch n die n- te Ableitung (oder Ableitung n- ter Ordnung) f (n) (x 0 ) = dn f dx n (x 0) definiert und die Klsse C n (I) der n- ml stetig differenzierbren Funktionen uf I. Außerdem setzen wir f (0) (x 0 ) := f(x 0 ). (vi) Existiert f (n) (x 0 ) für lle n N, so heißt f unendlich oft differenzierbr in x 0. (vii) Ist f (n) (x 0 ) für lle n N und für lle x I erklärt, so heißt f unendlich oft differenzierbr in I (Schreibweise: f C (I)). In diesem Fll sind lle Ableitungen utomtisch stetig, lso ist f unendlich oft stetig differenzierbr. Wir hben in Stz 3.7. gesehen, dß die erste Ableitung einer Funktion f für die linere Approximtion von f von Bedeutung ist. Es ist f(x) = L f (x) + r(x)(x x 0 ) mit L f (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Es ist L f (x 0 ) = f(x 0 ) und L f (x 0) = f (x 0 ). So ist dnn L f ds eindeutig bestimmte Polynom vom Grd, ds in x 0 dieselbe Ableitung bis zur. Ordnung besitzt wie f. Es ist nun zu erwrten, dß ds Polynom höchstens n- ten Grdes, ds in x 0 dieselbe Ableitungen bis zur n- ten Ordnung besitzt wie f, eine besonders gute Approximtion von f liefert. Definition Es sei I R ein Intervll. Es sei f : I R in x 0 I dnn n- ml differenzierbr. Dnn heißt n T (n) f (k) (x 0 ) f(x 0, x) = (x x 0 ) k k! k=0 ds n- te Tylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt x 0. Stz Es sei I R ein Intervll. Es sei f : I R in x 0 I genu n- ml differenzierbr und P ein Polynom vom Grd höchstens n. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: (i) P (k) (x 0 ) = f (k) (x 0 ) mit 0 k n (ii) P (x) = T (n) f(x 0, x). 69

70 Stz (Stz von Tylor) Es sei n N und I R ein kompktes Intervll. Gegeben sei die Funktion f : I R, welche (n+)- ml stetig differenzierbr uf I sei und n- ml stetig differenzierbr uf I. Dnn gilt die Tylorsche Formel n f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k + f (n+) (ξ) k! (n + )! (x x 0) n+ = T (n) f(x 0, x) + R n+ (x 0, x) k=0 für lle x I und x x 0. Dbei ist ξ = x 0 + t(x x 0 ) für ein t (0, ) und ds Restglied von Lgrnge. R n+ (x 0, x) := f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+ Beweis. ohne Beweis. 3. de L Hopitlsche Regeln f(x) Die Bestimmung des Grenzwertes eines Quotientens lim knn nch den Grenzwertsätzen (Stz x g(x) 3..3) mittels f(x) lim x g(x) = lim x f(x) lim x g(x) erfolgen, flls der Grenzwert des Nenners lim x g(x) 0 ist. Gilt sowohl lim x f(x) = 0 ls uch lim x g(x) = 0, so führen oft die de L Hopitlschen Regeln zum Ziel. Diese können uch in Fällen ngewndt werden, in denen lim x f(x) = lim x g(x) = ist. Stz 3... Die Funktionen f und g seien uf dem offenen Intervll (, b) mit < b differenzierbr. Weiter sei g (x) 0 für x (, b). Es sei ( ) lim f(x) = lim g(x) = 0 0 der Fll x x 0 oder ( lim g(x) = ± der Fll x Außerdem existiere der Grenzwert lim x f (x) g (x) R. Dnn ist g(x) 0 für x (, b), der Limes lim x f(x) g(x) Beweis. Wir beschränken uns uf den Fll 0 0. (i) Zunächst zeigen wir, dß f(x) lim x g(x) = lim f (x) x g (x). gilt. Wir führen diesen Beweis durch Widerspruch: Annhme: x 0 (, b) mit g(x 0 ) = 0. bzw. c ). existiert, und es gilt die de L Hopitlsche Regel g(x) 0 für lle x (, b) () 70

71 () Fll : R (d.h. ): Nch dem Stz von Rolle (Stz 3.9.2) gibt es dnn ein ξ mit g (ξ) = 0, ein Widerspruch. (b) Fll 2: = : Es ist g(x 0 ) 0. Andernflls würde der Stz von Rolle wieder ein ξ (x 0, x 0 ) mit g (ξ) = 0 liefern, wiederum ein Widerspruch. Es folgt die Existenz eines x 2 < x := x 0 mit g(x 2 ) < g(x ). Es gibt lso ein reltives Extremum im Intervll (x 2, x 0 ). Der Stz von Rolle liefert wieder ein ξ (, b) mit g (ξ) = 0, erneut ein Widerspruch. f (x) (ii) Es sei l := lim x g (x). Flls l R { }, dnn sei l > l fest vorgegeben. Dnn gibt es ein > mit f (x) g (x) < l für lle x mit < x <. Für < x < y < folgt us dem zweiten Mittelwertstz f(x) f(y) g(x) g(y) = f (ξ) g (ξ) < l für ein ξ (x, y). Für x folgt für < y <. f(y) g(y) l (2) (iii) Anlog folgt für l l: es existiert ein > mit für lle y mit < y <. f(y) g(y) l Aus (ii) und (iii) folgt die Behuptung. 3.2 Konvexität und reltive Extrem, Kurvendiskussion Die Aufgbe der Kurvendiskussion ist es, die wesentlichen Eigenschften des Grphen einer Funktion f zu ermitteln. Dzu gehört die Lge von bsoluten und reltiven Mxim und Minim. Wir hben mit Stz 3.9. zwr eine notwendige Bedingung für ein reltives Extremum in x = ξ gefunden (f (ξ) = 0), kennen ber noch keine hinreichende Bedingung. Eine solche knn durch Betrchtung der zweiten Ableitung f erhlten werden. Wir beginnen mit einem notwendigen Kriterium, ds die zweite Ableitung benützt. Stz (Notwendiges zweites Ableitungskriterium) Die Funktionen f : I R sei uf I zweiml stetig differenzierbr und besitze in einem Punkt x 0 I ein reltives Mximum bzw. Minimum. Dnn gilt f (x 0 ) 0 bzw. f (x 0 ) 0. 7

72 Beweis. O.B.d.A. besitze f ein reltives Mximum. Nch Stz 3.9. ist f (x 0 ) = 0. Nch dem Stz von Tylor (Stz 3.0.2) hben wir f(x) = f(x 0 ) + 2 f (ξ)(x x 0 ) 2 () mit ξ zwischen x und x 0. Annhme: f (x 0 ) > 0. Wegen der Stetigkeit von f in x 0 gibt es ein δ > 0, so dß f (ξ) > 0 für lle ξ U δ (x 0 ) ist. Aus () folgt dnn f(x) > f(x 0 ) für lle x U δ (x 0 ), ein Widerspruch. Also folgt f (x 0 ) 0. Ebenso führt die Annhme f (x 0 ) < 0 zu einem Widerspruch dzu, dß f in x 0 ein reltives Minimum besitzt. Stz (Hinreichendes zweites Ableitungskriterium) Es sei f : I R uf I zweiml stetig differenzierbr. In einem inneren Punkt x 0 I sei f (x 0 ) = 0 und f (x 0 ) < 0 bzw. f (x 0 ) > 0. Dnn besitzt f n der Stelle x 0 ein isoliertes reltives Mximum bzw. Minimum. Beweis. Wir betrchten nur den Fll f (x 0 ) < 0. Der Fll f (x 0 ) > 0 verläuft nlog. Wie im Beweis von Stz 3.2. hben wir f(x) = f(x 0 ) + 2 f (ξ)(x x 0 ) 2 () mit ξ zwischen x und x 0. Wegen der Stetigkeit von f gibt es ein δ = δ(ɛ), so dß f (ξ) f (x 0 ) 2 für lle ξ U δ (x 0 ) gilt. Drus und us () folgt f(x) < f(x 0 ) für lle x U δ (x 0 ). Dmit besitzt f ein isoliertes Mximum in x = x 0. Definition Es sei f : I R uf I einml differenzierbr. Dnn besitzt f in x 0 I einen Wendepunkt (x 0, f(x 0 )), wenn die Ableitung f in x 0 ein isoliertes reltives Extremum besitzt. Definition Es sei I ein (endliches oder unendliches) Intervll, ds us mehr ls einem Punkt besteht. Dnn heißt f konvex uf I, wenn die Ungleichung f(( t)x + tx 2 ) ( t)f(x ) + tf(x 2 ) () für lle x, x 2 I und lle t (0, ) gilt. Zudem heißt f streng konvex, wenn die strikte Ungleichung f(( t)x + tx 2 ) < ( t)f(x ) + tf(x 2 ) (2) für lle x x 2 und lle t (0, ) gilt. Gelten () bzw. (2) mit dem - bzw. >- Zeichen, so heißt f konkv bzw. streng konkv. Bemerkung Die Ungleichungen () bzw. (2) hben folgende geometrische Bedeutung: Durchläuft t ds Intervll (0, ), so durchläuft der Punkt (( t)x + tx 2, ( t)f(x ) + tf(x 2 )) die Verbindungsstrecke der Punkte (x, f(x )) und (x 2, f(x 2 )), d.h. die Seknte, während (( t)x + tx 2, f(( t)x + tx 2 )) die Punkte des Grphen (x, f(x)) mit den gleichen Abszissen durchläuft. Die Ungleichungen () bzw. (2) besgen lso, dß ds Segment des Grphen von y = f(x) zwischen zweien seiner Punkte nicht unter bzw. über der Seknte ist. Stz Es sei I ein beliebiges Intervll, f : I R sei uf I stetig und uf I differenzierbr. Dnn gilt: 72

73 (i) Die Funktion f ist uf I genu dnn konvex, wenn die Ableitung f uf I monoton wächst. (ii) Weiter ist f uf I genu dnn streng konvex, wenn die Ableitung f uf I streng monoton wächst. Beweis. ohne Beweis. Stz (Konvexität, zweites Ableitungskriterium) Es sei I R ein beliebiges Intervll, und f : I R sei uf I stetig und uf I differenzierbr. Dnn gilt: (i) Die Funktion f ist uf I genu dnn konvex, wenn f (x) 0 für lle x I gilt. (ii) Ist f (x) > 0 für lle x I, so ist f streng konvex. Beweis. ohne Beweis. 73

74 Kpitel 4 Stetigkeit und Differenzierbrkeit von Grenzfunktionen, Potenzreihen 4. Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit Die Typen der uns bisher beknnten Funktionen sind sehr begrenzt. Sie umfssen lediglich Ausdrücke, die durch Kombintion der vier Grundrechenrten mit der Wurzelbildung erhlten werden. Wichtige ndere elementre Funktionen werden ls Grenzwerte von Funktionenfolgen erhlten, z.b. die Exponentilfunktion E(x) (oder e x ) durch E(x) = k=0 x k k! = lim n Somit ist E(x) der Grenzwert der Folge der Funktionen (T n (x)) n=0 mit T n(x) := Jede Funktion T n (x) dieser Folge ist ls Polynom stetig und differenzierbr. Gilt dies uch für die Grenzfunktion E(x)? Wir werden im folgenden die Grundlgen zur Behndlung dieser Frgen bereitstellen. Ds folgende Beispiel zeigt, dß die Grenzfunktion einer Folge stetiger Funktionen nicht stetig zu sein brucht. Beispiel 4... Für n N sei Es ist n k=0 x k k!. f n : [0, ] R, x f n (x) = x n. { 0 für 0 x < f(x) = lim f n(x) = n für x =. Die Grenzfunktion f(x) ist lso unstetig in x =, obwohl lle Funktionen f n der Folge stetig sind. Die Stetigkeit der Grenzfunktion folgt jedoch, wenn mn die Forderung der Konvergenz durch die stärkere Forderung der gleichmäßigen Konvergenz ersetzt. Definition 4... Es sei D R. Für n N seien f n : D R Funktionen. Außerdem sei f : D R. Mn sgt (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen f (uf D), Schreibweise: f glm. n f, flls gilt: ɛ > 0 n 0 = n 0 (ɛ), so dß n n 0 : f(x) f n (x) < ɛ. n k=0 x k k!. 74

75 Bemerkung 4... Der Unterschied zur punktweisen Konvergenz besteht drin, dß für gegebenes ɛ > 0 ein n 0 existieren muß, ds von x unbhängig ist. In Beispiel 4.. läßt sich zu jedem Pr (ɛ, x) mit ɛ > 0 und x 0 [0, ] ein n 0 = n 0 (ɛ, x 0 ) finden, so dß f(x 0 ) f n (x 0 ) < ɛ für lle n n 0 ist. Es läßt sich jedoch kein solches n 0 finden, ds für lle x 0 funktioniert. Stz 4... Es sei D R, und f n : D R mit n N sei uf D stetig. Die Folge (f n ) konvergiere gleichmäßig gegen f : D R. Dnn ist uch f uf D stetig. Beweis. Es sei x 0 D. Ist x 0 isolierter Punkt von D, so ist f nch Bemerkung 3.2. in x 0 stetig. Wir können lso nnehmen, dß x 0 Häufungspunkt von D ist. Es sei ɛ > 0 gegeben. Dnn gibt es nch der Definition der gleichmäßigen Konvergenz ein n 0 = n 0 (ɛ/3) N, so dß f(x) f n (x) < ɛ/3 für lle n n 0 (ɛ/3) () ist. Wegen der Stetigkeit von f n gibt es nch Definition 3.2. ein δ = δ(ɛ/3) > 0, so dß ist. Aus () und (2) folgt nun für lle x U δ (x 0 ) f n (x) f n (x 0 ) < ɛ/3 für lle x U δ (x 0 ) (2) f(x) f(x 0 ) = f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) Ugl. < ɛ. Dies zeigt nch Definition 3.2. die Stetigkeit von f in x 0. f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) Stz (Cuchykriterium für gleichmäßige Konvergenz) Eine Folge von Funktionen f n : D R ist genu dnn gleichmäßig konvergent, wenn ɛ > 0 n 0 = n 0 (ɛ), so dß für n, n 2 n 0 gilt f n (x) f n2 (x) < ɛ. Beweis. Nch dem Cuchykriterium (Stz 2..5) konvergiert die Folge (f n (x)) für lle x D. Es gibt lso eine Funktion f : D R mit lim n f n(x) = f(x). Es sei ɛ > 0 gegeben. Dnn gibt es n 0 = n 0 (ɛ/2), so dß für n, n 2 n 0 gilt: f n (x) f n2 (x) < ɛ/2. Stz 2..8 (Erhltung von Ungleichungen) ergibt mit dem Grenzübergng n 2 schließlich f n (x) f(x) ɛ/2 < ɛ. 4.2 Differenzierbrkeit der Grenzfunktion Stz Es sei I = [, b] mit < b R. Die Funktionen f n : I R mit n N seien differenzierbr mit den Ableitungen f n : I R. Für x 0 I konvergiere (f n ) und (f n) konvergiere gleichmäßig uf I. Dnn konvergiert (f n ) uf I gleichmäßig gegen eine uf I differenzierbre Funktion f, und es gilt f (x) = lim n f n(x) für lle x I. 75

76 Beweis. dß i) Es sei ɛ > 0 gegeben. Nch dem Cuchykriterium (Stz 2..5) gibt es ein n 0 N, so f k (x 0 ) f l (x 0 ) < ɛ/2 für lle k, l n 0. () Weiter folgt wegen der gleichmäßigen Konvergenz von (f n(x)) uf I die Existenz von n N, so dß für k, l n f k (ξ) f l (ξ) < ɛ für lle ξ I (2) 2 I gilt. Es sei n 2 = mx{n 0, n } mit k, l n 2 und x I. Nch dem Mittelwertstz (Stz 3.9.3) gibt es ein ξ zwischen x 0 und x, so dß Aus (), (2) und (3) folgt (f k (x) f l (x)) (f k (x 0 ) f l (x 0 )) = (f k (ξ) f l (ξ))(x x 0). (3) f k (x) f l (x) < ɛ für lle k, l n 2. Dmit erfüllt die Folge (f n ) ds Cuchykriterium für gleichmäßige Konvergenz und konvergiert nch Stz 4..2 gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f: für lle x I. Nch Stz 4.. ist f stetig. ii) Für n N sei g n (x) = lim f n(x) = f(x) (4) n f n (x) f n (x 0 ), x x 0 flls x x 0 f n(x 0 ), flls x = x 0. Nch der Definition der Ableitung (Definition 3.7.) ist g n uf I stetig. Nch dem Mittelwertstz (Stz 3.9.3) folgt für lle x x 0 : g k (x) g l (x) = f k (ξ) f l (ξ) für ein ξ (x 0, x). Wegen der gleichmäßigen Konvergenz von (f n) uf I erfüllt uch die Folge (g n ) ds Cuchykriterium der gleichmäßigen Konvergenz und konvergiert nch Stz 4..2 gegen eine Grenzfunktion g. Nch Stz 4.. ist g stetig und dmit f(x) f(x 0 ) lim = lim g(x) = g(x 0 ) = lim x x 0 x x f 0 x x 0 n n(x 0 ). Nch Definition 3.7. ist dmit f in x 0 differenzierbr und f (x 0 ) = lim f n n(x 0 ). D nch (4) die Vorussetzung lim f n(x 0 ) = f(x 0 ) für lle x I erfüllt ist, ist f für lle x I differenzierbr, n und es gilt f (x) = lim f n n(x). 4.3 Stetigkeit und Differenzierbrkeit durch unendliche Reihen definierter Funktionen Wie schon in Abschnitt 4. usgeführt wurde, sind unendliche Reihen von Funktionen Spezilfälle von Grenzfunktionen von Funktionenfolgen. Betrchtet mn die Sätze 4.. und 4..2 für diesen Spezilfll, so erhält mn sofort 76

77 Stz i) Es sei D R. Die Funktionen g n : D R mit n N seien uf D stetig. Die unendliche Reihe g n (x) konvergiere uf D gleichmäßig gegen f(x). Dnn ist uch f uf D stetig. ii) Es sei I = [, b] mit < b R. Die Funktionen h n : I R mit n N seien differenzierbr mit den Ableitungen h n : I R. Für x 0 I konvergiere h n (x 0 ) und h n(x 0 ) konvergiere gleichmäßig uf I. Dnn konvergiert h(x) = I differenzierbr, und es gilt h (x) = h n (x) uf I gleichmäßig. Weiter ist h(x) uf h n(x) für lle x I. Wir geben noch ein Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz von unendlichen Reihen: Stz (Weierstrßscher M- Test) Es sei D R und f n : D R mit n N Funktionen. Es gebe Zhlen M n R, so dß f n (x) M n für lle x D und n N 0 mit M n <. Dnn konvergiert die Reihe f n uf D gleichmäßig. n Beweis. Es sei ɛ > 0. Nch dem Cuchykriterium (Stz 2..5) existiert ein n 0, so dß M k < ɛ für k=m n lle m, n mit n 0 m n. Dnn ist uch f k (x) < ɛ. Die gleichmäßige Konvergenz der Reihe folgt us Stz k=m 4.4 Potenzreihen Definition Es sei ( n ) n=0 eine Folge reeller Zhlen und x, x 0 R. Die unendliche Reihe p(x) := n (x x 0 ) n n=0 heißt Potenzreihe (in x) mit Entwicklungspunkt x 0 und Koeffizienten n. Bemerkung Zur Bezeichnung der Folge ( n ) können uch ndere Symbole verwendet werden, ebenso n Stelle von x, z. B. ist b n (w w 0 ) n eine Potenzreihe in w mit Entwicklungspunkt w 0 und Koeffizienten b n. n=0 Die grundlegende Frge betrifft den Konvergenzbereich der Potenzreihe, die Menge ller x, für die p(x) konvergiert. Beispiel Die geometrische Reihe x n konvergiert nch Stz 2.3. für x < und divergiert n=0 für x. Der Konvergenzbereich ist lso ds Intervll (, ). 77

78 Wir werden sofort sehen, dß der Konvergenzbereich einer Potenzreihe stets ein Intervll ist. Zur Vorbereitung zeigen wir Stz Es sei p(x) = 0 < ɛ < x x 0. Dnn konvergiert n (x x 0 ) n eine Potenzreihe, und p(x) konvergiere für x = x. Es sei n=0 n (x x 0 ) n gleichmäßig uf der Menge {x x x 0 x x 0 ɛ}. n=0 Beweis. Nch Stz 2.4. folgt us der Konvergenz für x = x n x x 0 n 0 (n ). Insbesondere ist n x x 0 n M für ein (von n unbhängiges) M. Es ist ) n x x 0 n n ( x x 0 ɛ) n = n x x 0 ( n ɛ n Mq n x x 0 ɛ mit q = x x 0 <. Die Behuptung folgt nch dem Weierstrßschen M- Test (Stz 4.3.2). Stz Es sei p(x) = drei Fälle ein: n (x x 0 ) n eine Potenzreihe. Dnn tritt genu einer der folgenden n=0 i) Die Potenzreihe p(x) konvergiert nur für x = x 0. ii) Es gibt eine Zhl r > 0, so dß p(x) für x x 0 < r konvergiert und für x x 0 > r divergiert. iii) Die Potenzreihe p(x) konvergiert für lle x. Beweis. Die drei Fälle schließen sich offenbr gegenseitig us. Wir nehmen n, dß die Fälle (i) und (iii) nicht eintreten. Zu zeigen ist, dß dnn der Fll (ii) eintritt. Es sei und K = {x : p(x) konvergiert für x (x 0 x x 0, x 0 + x x 0 )} () r = inf{ x x 0 : x K C }. (2) D Fll (i) nicht eintritt, existiert ein x x 0, so dß p(x ) konvergiert. Nch Stz 4.4. ist dnn (x 0 x x 0, x 0 + x x 0 ) K und dmit r > 0. D Fll (iii) nicht eintritt ist K C und dmit r <. i) Es sei x (x 0 r, x 0 + r). Nch den Definitionen () und (2) existiert ein x (x 0 r, x 0 + r) so dß p(x ) konvergiert. Nch Stz 4.4. konvergiert uch p(x). ii) Es sei x / [x 0 r, x 0 + r]. Nch den Definitionen () und (2) gibt es ein x mit x 0 x < x 0 x, so dß p(x ) divergiert. Annhme: p(x) ist konvergent. Dnn ist nch Stz 4.4. uch p(x ) konvergent, ein Widerspruch. 78

79 Definition Trifft uf eine Potenzreihe der Fll (ii) us Stz zu, so nennen wir den Wert r den Konverenzrdius der Potenzreihe. Im Fll (i) sgen wir: p ht den Konvergenzrdius r = 0 und im Fll (iii): p ht den Konvergenzrdius r =. Stz (Formel für den Konvergenzrdius) Es gilt r = Hierbei ist 0 := und := 0 zu setzen. ( lim sup n ) n n. Beweis. Es sei l := lim sup n n n. Nch dem Wurzelkriterium (Stz 2.4.7) ist n (x x 0 ) n konvergent, wenn n=0 l x x 0 <, lso für x x 0 < l, und divergent für l x x 0 >, lso für x x 0 > l. Die Behuptung folgt nch Definition Bei der Behndlung einiger wichtiger Beispiele hiflt Stz Es ist Beweis. Nch Stz 2.4. ist und lim n lim sup n lim inf n n n = und lim n n n lim sup n n n! lim inf n n n! =. n n + = (n + )! n! =. Beispiel Es sei Nch Stz ist lim n p(x) = 2 n n xn. n 2 n n = 2 lim n Nch Stz ht p(x) den Konvergenzrdius r = /2. n n = 2. Bemerkung Stz (ii) mcht keine Aussge über die Konvergenz der Potenzreihe in den Endpunkten des Intervlls (x 0 r, x 0 + r). Es können lle vier Fälle uftreten: Konvergenz in keinem der beiden Endpunkte, nur in dem rechten, nur in dem linken oder in beiden Endpunkten. 79

80 Beispiel Es sei p(x) = ( n Nch Stz ist r = lim n n) =. Weiter ergibt Stz Konvergenz in (, ) und Divergenz ußerhlb von [, ]. Für den Endpunkt x = erhlten wir p(x ) =, die hrmonische Reihe, lso Divergenz nch n ( ) n Stz Für den Endpunkt x 2 = erhlten wir p(x 2 ) =, lso Konvergenz nch dem n Leibnizkriterium (Stz 2.4.3). x n n. Stz (Stetigkeit und Differenzierbrkeit von Potenzreihen) Es sei p(x) = n (x x 0 ) n eine Potenzreihe mit Konvergenzrdius r > 0. Dnn ist p(x) stetig und n=0 in (x 0 r, x 0 + r) unendlich oft differenzierbr, flls r < bzw. uf R unendlich oft differenzierbr, flls r = ist. Die Ableitungen können durch gliedweise Differentition erhlten werden, d.h. p (x) = n n (x x 0 ) n. Die Potenzreihen für lle Ableitungen p (k) (x) mit k N hben denselben Konvergenzrdius wie p(x). Beweis. Wir behndeln nur den Fll r <. Den Fll r = erhält mn durch kleine Änderungen. Wegen lim n n = ist lim sup n n n = lim sup n n = r. n n n Dmit hben p(x) = n (x x 0 ) n und p (x) = n n (x x 0 ) n denselben Konvergenzrdius r. n=0 Nch Stz 4.4. konvergieren sie beide gleichmäßig in [x 0 r + ɛ, x 0 + r ɛ] für jedes ɛ > 0. Nch Stz 4.3. ist p(x) in (x 0 r, x 0 + r) stetig und differenzierbr, und es ist p (x) = n n (x x 0 ) n. Stz (Identitätsstz für Polynome) Es sei x R. Es seien p (x) = n (x x 0 ) n bzw. p 2 (x) = n=0 b n (x x 0 ) n Potenzreihen mit Entwicklungspunkt x 0 und Konvergenzrdius r > 0 bzw. r 2 > 0. Es existiere ein r 3 > 0, so dß p (x) = p 2 (x) für lle x (x 0 r 3, x 0 + r 3 ) ist. Dnn ist n = b n für lle n N 0. n=0 Beweis. Wegen p (x) = p 2 (x) für lle x (x 0 r 3, x 0 + r 3 ) gilt uch p (k) (x) = p(k) 2 (x) für lle x (x 0 r 3, x 0 + r 3 ) und für lle k N, insbesondere uch p (k) (x 0) = p (k) 2 (x 0) für lle k N. Durch k- fche gliedweise Differentition nch Stz erhlten wir Also ist n = b n. p (k) (x 0) = k! n und p (k) 2 (x 0) = k! b n. 80

81 4.5 Tylorreihen Wir erinnern n den Stz von Tylor (Stz 3.0.2): Es sei n N und I R ein kompktes Intervll. Gegeben sei die Funktion f : I R, welche (n + )- ml stetig differenzierbr uf I sei und n- ml stetig differenzierbr uf I. Dnn gilt die Tylorsche Formel f(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + f (n+) (ξ) k! (n + )! (x x 0) n+ = T (n) f(x 0, x) + R n+ (x 0, x) () für lle x I und x x 0. Dbei ist ξ = x 0 + t(x x 0 ) für ein t (0, ) und R n+ (x 0, x) := f (n+) (ξ) (n + )! (x x 0) n+ ds Restglied von Lgrnge. Ist f uf I unendlich oft differenzierbr, so knn () für jeden Wert von n berechnet werden. Die Folge der Tylorpolynome (T (n) f(x 0, x)) bildet dnn eine Potenzreihe, die Tylorreihe T (n) f(x 0, x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! Definition Es sei f uf I unendlich oft differenzierbr und x 0 I. Unter der Tylorreihe T f(x 0, x) von f mit Entwicklungspunkt x 0 versteht mn T f(x 0, x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! Es stellt sich die Frge: Für welche x gilt T f(x 0, x) = f(x)? Stz Es gilt genu dnn wenn lim n R n+(x 0, x) = 0 ist. f(x) = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, k! Beweis. Dies folgt sofort us der Tylorschen Formel (). Bemerkung Eine Potenzreihe p(x) = k (x x 0 ) k mit positivem Konvergenzrdius ist k=0 ihre eigene Tylorreihe. Denn k- fche gliedweise Differenzierung ergibt, wie im Beweis von Stz k = p(k) (x 0 ). k! 8

82 Kpitel 5 Die elementren trnszendenten Funktionen 5. Die Exponentilfunktion Stz 5... Die Potenzreihe n=0 x n n! ist für lle x R konvergent. ( ) /n Beweis. Nch Stz ist lim = 0. Nch Stz ht die Potenzreihe den Konvergenzrdius n n!. Definition 5... Die nch Stz 5.. für lle x R definierte Funktion E(x) := heißt Exponentilfunktion. Andere Schreibweisen sind e x oder exp(x). n=0 Stz Die Exponentilfunktion ht folgende Eigenschften: x n n! i) (Differenzierbrkeit) Die Funktion E(x) ist unendlich oft differenzierbr, und es gilt E (n) (x) = E(x) für lle n N und für lle x R, insbesondere lso E (x) = E(x) für lle x R. ii) (Funktionlgleichung) Es gilt E(x + x 2 ) = E(x ) E(x 2 ) für lle x, x 2 R, E( x) = E(x) und E(0) =, E(x) > 0 für lle x. iii) (Monotonie, Konvexität) E(x) ist streng monoton wchsend und streng konvex. 82

83 iv) (Asymptotik) Es gilt v) (Wchstum) Es gilt lim E(x) = und lim E(x) = 0 x x lim x x n = 0 für lle n N. E(x) vi) (Wertebereich) E ht den Wertebereich E(R) = (0, ). Beweis. i) Nch Stz ist die Potenzreihe E(x) = n=0 E (x) knn durch gliedweise Differentition erhlten werden: E (x) = n=0 ( d x n ) = dx n! ( n x n ) = n! x n n! x n (n )! differenzierbr, und die Ableitung = Index verschiebung Durch vollständige Induktion nch n folgt E (n) (x) = E(x) für lle n N. ii) Es seien x, x 2 R. Dnn ist n=0 x n n! = E(x). E(x ) E(x 2 ) = m=0 x m m! n=0 x n 2 n!. Nch Stz (Cuchyprodukt) ist E(x ) E(x 2 ) = = l l=0 m=0 l=0 l! x m m! l m=0 x l m 2 (l m)! = ( ) l x m x l m m l=0 l! l m=0 l! m!(l m)! xm x l m 2 2 = S..5.0 Binom.Lehrstz l=0 l! (x + x 2 ) l = E(x + x 2 ). Es ist weiter E(0) = n=0 0 n 0! = ! +... = 00 =. Mit x = x und x 2 = x folgt E(x) E( x) = E(x + ( x)) = E(0) = und dmit ist E( x) = E(x). Für x 0 ist x n E(x) = + n!, und für x < 0 ist E(x) = E( x) > 0. iii) Es ist E (x) = E(x) > 0 und E (x) = E(x) > 0. iv) und v) Für x > 0 ist E(x) = + x xn n! + xn+ (n + )! +... xn+ (n + )! 83

84 für lle n. Dmit ist x n E(x) x n x n+ /(n + )! Es folgt E(x) x n für lle x x 0 (n) und dmit (n + )! =, lso lim x x x n E(x) = 0. lim E(x) = und lim E(x) = lim x x x E( x) = 0. vi) Zu jedem y > 0 gibt es nch iv) x, x 2 R mit E(x ) < y < E(x 2 ). Nch dem Zwischenwertstz (Stz 3.5.4) existiert ein x zwischen x und x 2 mit E(x) = y. Definition (Hyperbelfunktionen) Die Funktionen sinh und cosh (Sprechweise: Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus) sind durch definiert. Stz Es ist sinh x := ex e x 2 cosh x := ex + e x 2 (= (E(x) E( x))) 2 (= (E(x) + E( x))) 2 i) cosh( x) = cosh x und sinh( x) = sinh x für lle x R ii) sinh x = cosh x und cosh x = sinh x. iii) cosh 2 x sinh 2 x = iv) lim x cosh x = lim x cosh x = und lim x sinh x = bzw. lim x sinh x =. Beweis. Durch Nchrechnen. 5.2 Der Logrithmus Stz Die Exponentilfunktion E : R R besitzt eine Inverse E : R + R. Beweis. Dies folgt us den Eigenschften (iii) und (vi) der Exponentilfunktion (nch Stz 5..2) und Stz Definition Die Funktion E (ntürliche) Logrithmus von x. Sie ht die folgenden Eigenschften: von Stz 5.2. wird mit log bezeichnet und heißt der i) E(log x) = x und log(e(x)) = x für lle x > 0 log = 0 ii) log ist differenzierbr, und es ist d dx (log x) = x 84 für lle x > 0

85 iii) log ist streng monoton und streng konkv iv) Es ist lim x log x = und lim x 0 + log x = Beweis. ohne Beweis. Stz Für x < gilt die Tylorentwicklung: log( + x) = ( ) n+ x n. ( ) n Beweis. Wir berechnen zuerst ds n- te Tylorpolynom für f(x) := log(+x) mit Entwicklungspunkt 0. Die Folge der Ableitungen f (n) ergibt sich wie folgt: Durch vollständige Induktion nch k zeigt mn: Also ist f (x) = ( + x). f (k) (x) = ( ) k+ (k )!( + x) k. { f (k) (0) = Dmit hben wir nch Definition T (n) f(0, x) = 0 für k = 0 ( ) k+ (k )! für k. n k=0 f (k) (0) x k = k! n ( ) k+ x k. k k= Nch Stz 4.5. gilt genu dnn wenn R n+ (0, x) = f (n+) (ξ n+ ) (n + )! f(x) = k=0 f (k) (0) x k, k! = ( + ξ n+) (n+) x n+ 0 n + Dbei liegen die ξ n+ zwischen 0 und x. Es sei zunächst /2 < x <. Dnn folgt + ξ n+ x und R n+ (0, x) = x + ξ n+ n+ 0 (n ). (n ). Dmit folgt ( ) für /2 < x <. Nch Stz und ht die Potenzreihe in ( ) den Konvergenzrdius r =. Mn knn nun uf nderem Wege zeigen, dß ( ) für den weiteren Bereich x < gilt. Es sei ( ) n+ p(x) = x n. n Es ist d log( + x) = dx + x 85

86 und nch Stz Also ist d dx p(x) = ( x) n = + x. n=0 d (log( + x) p(x)) = 0 dx und nch Stz ist dnn log(+x) p(x) = const uf I. Für /2 < x < ist log(+x) p(x) = 0, lso ist const. = Allgemeine Exponentilfunktionen, Logrithmus- und Potenzfunktionen In Definition.5.9 htten wir für R und n N die Potenzen n rekursiv definiert. Für festes ist dnn die Abbildung N R, n n eine Funktion mit Definitionsbereich N, d.h. eine Zhlenfolge. Es stellt sich die Frge, wie dieser Definitionsbereich erweitert werden knn, wenn lle Potenzgesetze nch wie vor gelten sollen. Eine erste Erweiterung zu einer Abbildung Z R erhält mn durch die Definition n := für n > 0 und 0 und 0 = für R. Für > 0 und rtionle Exponenten n x = r s läßt sich r/s durch r/s := s r definieren. Ein Weg, den Definitionsbereich für > 0 uf gnz R zu erweitern, lso x für beliebiges x R zu definieren, ist, eine Folge x n = rn s n rtionler Zhlen mit lim n x n = x zu wählen und x durch x := lim n rn/sn zu definieren. Es ist dnn zu zeigen, dß dieser Grenzwert existiert und nur von x und nicht von der gewählten Folge (r n /s n ) bhängt. Die Definition der Exponentilfunktion x x knn ttsächlich uf diese Weise durchgeführt. Wir werden jedoch einen einfcheren Weg wählen, der uf der bereits definierten Exponentilfunktion x E(x) von Abschnitt 5. beruht. Definition (Allgemeine Exponentil-, Logrithmus- und Potenzfunktion) i) Für > 0 und x R ist x := exp(x log ). ii) e := E() iii) Für b > 0, b und x > 0 ist log b x := log x log b. iv) Für x > 0 und s R ist x s := exp(s log x). Stz Für lle, b > 0 und lle x, y R gelten die Potenzgesetze: i) x y = x+y ii) x b x = (b) x iii) ( x ) y = xy Beweis. ohne Beweis. 86

87 Stz Es sei s R. Die llgemeine Potenzfunktion (0, ) R, x x s ist unendlich oft differenzierbr, für s > 0 streng monoton wchsend, lim x x s =, für s < 0 streng monoton fllend, lim x 0 + x s =, lim x x s = 0, für x > und x < 0 streng konvex und für 0 < x < streng konkv. Außerdem gilt d dx xs = s x s. Beweis. ohne Beweis. Definition (llgemeiner Binomilkoeffizient) Für s R und k N sei ( ) s s (s ) (s k + ) := k k! und ( ) s =. 0 Stz (Binomilreihe) Für s R und x < gilt ( + x) s = k=0 ( ) s x k. k Beweis. ohne Beweis. 5.4 Die trigonometrischen Funktionen Stz Die Potenzreihen n=0 ( ) n (2n + )! x2n+ und n=0 ( ) n (2n)! x2n konvergieren für lle x R. Beweis. Dies folgt unmittelbr us Stz und Stz Definition Die nch Stz 5.4. für lle x R definierte Funktion x sin x := n=0 (Sprechweise: sinus x) heißt Sinusfunktion. Die nch Stz 5.4. für lle x R definierte Funktion x cos x := (Sprechweise: cosinus x) heißt Kosinusfunktion. ( ) n (2n + )! x2n+ n=0 ( ) n (2n)! x2n Stz Die Funktionen sin x und cos x sind unendlich oft differenzierbr, und es gilt sin x = cos x und cos x = sin x. Beweis. Dies folgt us Stz mittels gliedweiser Differentition. 87

88 Lemm Es ist i) cos x > 0 für x (0, 2) ii) cos 2 < 0 Beweis. i) Es ist cos x = l=0 ( ) x 4l (4l)! x4l+2 = (4l + 2)! l=0 x 4l ( x 2 ) (4l)! (4l + ) (4l + 2) Für 0 < x < x 2 ist 2 (4l+) (4l+2) > 0 für lle l N. ii) Es gilt ( ) cos 2 = 22 2! ! 6! ! 2! ! = = 3 < 0. Definition Die Zhl π (sprich: pi) ist durch definiert. π 2 := inf{x 0 > 0: cos x 0 = 0} Stz Es gilt sin 2 x + cos 2 x = für lle x R. Beweis. Es sei f(x) = sin 2 x + cos 2 x. Nch Stz und Stz (Kettenregel) erhlten wir f (x) = 2 sin x cos x 2 sin x cos x = 0. Nch Stz folgt f(x) const.. Einsetzen von x = 0 ergibt f(x). Stz Es gilt i) 2 2 < π < 4 ii) cos π 2 = 0 und sin π 2 =. iii) Auf [ 0, π 2 ] ist sin x streng monoton wchsend und cos x streng monoton fllend. Beweis. i) Nch Definition und Lemm 5.4. folgt 2 < π 2 < 2. ii) und (iii) Nch Definition folgt wegen der Stetigkeit von cos x, dß cos π 2 = 0 ist. Es ist cos x > 0 für x [ 0, π ] [ ] 2. Nch Stz (Monotonietest) folgt, dß sin x uf 0, π 2 streng monoton wchsend ist. Wegen sin 0 = 0 folgt sin x > 0 für x [ 0, π ] 2. Aus (cos x) = sin x und Stz folgt, dß cos x uf [ 0, π ] 2 streng monoton fllend ist. Aus cos 2 π 2 + sin2 π 2 = und cos π 2 = 0 folgt dnn sin π 2 =. Stz (Additionstheoreme) Für x, x R gilt: 88

89 i) sin(x + x) = cos x sin x + sin x cos x ii) cos(x + x) = cos x cos x sin x sin x Beweis. i) Für festes x R setzen wir: f(x) = sin(x + x) und bestimmen die Tylorreihe von f um x 0 = 0. Die Folge der Ableitungen f (k) (0) ergibt sich ls und llgemein für lle m N 0 Die Tylorreihe ergibt sich ls T f(0, x) = Für ds Restglied gilt k=0 f (k) (0) x k k! f(0) = = sin x f (0) = = cos x f (0) = = sin x f (3) (0) = = cos x f (4m) (0) = = sin x f (4m+) (0) = = cos x f (4m+2) (0) = = sin x f (4m+3) (0) = = cos x = cos x ( x x3 3! + x5 5! x7 7! ±... = cos x sin x + sin x cos x. ) + sin x ( x2 R n+ (0, x) = f (n+) (ξ) (n + )! xn+ ) 2! + x4 4! x6 6! ±... mit ξ zwischen 0 und x. Es ist f (n+) (ξ) = ± sin(x + ξ) oder f (n+) (ξ) = ± cos(x + ξ), lso f (n+) (ξ). Dmit gilt R n+ (0, x) 0 für n 0. Es folgt sin(x + x ) = f(x) = T f(0, x) = cos x sin x + sin x cos x. ii) folgt us (i) durch Differentition beider Seiten nch x. Stz (Periodizität) i) sin ( x + π 2 ) = cos x und cos ( x + π 2 ) = sin x ii) sin (x + π) = sin x und cos (x + π) = cos x iii) sin (x + 2kπ) = sin x und cos (x + 2kπ) = cos x für lle k Z. Beweis. i) Dies folgt us Stz mit x = π 2. ii) Dies folgt durch zweimlige Anwendung von (i). 89

90 iii) Durch zweimlige Anwendung von (ii) folgt zunächst sin(x + 2π) = sin x und cos(x + 2π) = cos x. Durch vollständige Induktion nch k folgt die Behuptung für lle k N. Ersetzt mn x durch x 2kπ, ergibt sich die Behuptung für lle k Z. Stz i) Die Funktion sin x ist in (0, π) positiv und streng konkv; in (π, 2π) negtiv und streng konvex, jeweils zwischen den Nullstellen 0 und π bzw. π und 2π, welche uch Wendepunkte sind. ii) Die Funktion sin x ist im Intervll ( π 2, π 2 ) vom Minimum sin ( π ) 2 = bis zum Mximum sin π 2 = streng monoton wchsend und im Intervll ( π 2, 3π 2 ) vom Mximum sin π 2 = bis zum Minimum sin 3π 2 = streng monoton fllend. iii) Die Funktion sin x ht die Periode 2π. Die Nullstellen sind durch sin x = 0 x = kπ, k Z gegeben. Beweis. Dies folgt us den Sätzen und Stz i) Die Funktion cos x ist im Intervll ( π 2, π 2 ) positiv und streng konkv und in ( π 2, 3π 2 ) negtiv und streng konvex, jeweils zwischen den Nullstellen π 2 und π 2 bzw. π 2 und 3π 2, welche uch Wendepunkte sind. ii) Die Funktion cos x ist im Intervll (0, π) streng monoton fllend vom Mximum cos 0 = bis zum Minimum cos π = und in (π, 2π) streng monoton wchsend vom Minimum cos π = bis zum Mximum cos 2π =. iii) Die Funktion cos x ht die Periode 2π. Die Nullstellen sind durch ( cos x = 0 x = k + ) π, k Z 2 gegeben. Definition (Tngens, Cotngens) i) Die Funktion tn: x tn x (Sprechweise: Tngens x) ist durch definiert. tn x := sin x ( cos x für x k + ) π, k Z 2 ii) Die Funktion cot: x cot x (Sprechweise: Kotngens x) ist durch definiert. cot x := cos x sin x für x kπ, k Z 90

91 Stz Die Funktionen tn x und cot x sind in ihren Definitionsbereichen unendlich oft differenzierbr, und es gilt tn x = + tn 2 x = ( cos 2 x für x k + ) π, k Z und 2 cot x = ( + cot 2 x) = sin 2 für x kπ, k Z. x Beweis. Dies folgt us der Quotientenregel und den Differentitionsregeln für sin x und cos x (Stz 5.4.2). Stz (Additionstheoreme) Es gilt i) tn(x + x ) = ( tn x + tn x tn x tn x für x, x, x + x k + ) π, k Z 2 ii) cot(x + x ) = cot x cot x cot x + cot x für x, x, x + x kπ, k Z Beweis. Wir beweisen nur (i): Aus Stz folgt: tn(x + x ) = sin(x + x ) cos(x + x ) = sin x cos x + cos x sin x cos x cos x sin x sin x = tn x + tn x tn x tn x. Stz (Periodizität) Für x ( k + 2) π und x kπ mit k Z gilt: ( tn x + π ) ( = cot x, cot x + π ) = tn x 2 2 tn(x + π) = tn x, cot(x + π) = cot x. Beweis. Dies folgt us den entsprechenden Gleichungen für sin x und cos x (Stz 5.4.6). Stz i) Die Funktion tn x ist in ( π 2, π 2 ) streng monoton wchsend von bis, in ( π 2, 0) streng konkv und in [ 0, π 2 ) streng konvex mit tn 0 = 0, d.h. 0 ist Nullstelle und Wendepunkt. ii) Die Funktion cot x ist in (0, π) streng monoton fllend von bis, in ( 0, π ] 2 streng konvex und in [ π 2, π] streng konkv mit cot π 2 = 0, d.h. π 2 ist Nullstelle und Wendepunkt. Beweis. Dies folgt us den Sätzen bis

92 5.5 Die Arcusfunktionen Stz i) Die Funktion sin: [ π 2, π ] 2 [, ], x sin x besitzt eine Inverse: [ sin : [, ] π 2, π ]. 2 ii) Die Funktion cos: [0, π] [, ], x cos x besitzt eine Inverse: cos : [, ] [0, π]. iii) Die Funktion tn: ( π 2, π ) 2 R, x tn x besitzt eine Inverse: ( tn : R π 2, π ). 2 iv) Die Funktion cot: (0, π) R, x cot x besitzt eine Inverse: cot : R (0, π). Beweis. Dies folgt us der strengen Monotonie der Funktionen in den ngegebenen Intervllen (Sätze 5.4.7, 5.4.8, 5.4.2). Definition (Arcusfunktionen) i) Die Inverse des Sinus uf dem Intervll [ π 2, π 2 ] ist der rcsin (Sprechweise: Arcussinus), d.h. für lle x [, ] und y [ π 2, π 2 ] gilt rcsin x = y x = sin y. ii) Die Inverse des Kosinus uf dem Intervll [0, π] ist der rccos (Sprechweise: Arcuskosinus), d.h. für lle x [, ] und y [0, π] gilt rccos x = y x = cos y. iii) Die Inverse des Tngens uf ( π 2, π 2 ) ist der rctn (Sprechweise: Arcustngens), d.h. für lle x R und y ( π 2, π 2 ) gilt rctn x = y x = tn y. iv) Die Inverse des Kotngens uf (0, π) ist der rccot (Sprechweise: Arcuskotngens), d.h. für lle x R und y (0, π) gilt rccot x = y x = cot y. Stz Die Arcusfunktionen sind in ihren Definitionsbereichen unendlich oft differenzierbr, und es gilt i) rcsin x = x 2 für x (, ) ii) rccos x = x 2 für x (, ) iii) rctn x = + x 2 für x R 92

93 iv) rccot x = für x R. + x2 Beweis. Wir beweisen nur (i). Der Beweis der nderen Teile verläuft ähnlich. i) Nch Stz (Differenzierbrkeit der Umkehrfunktion) ist die Arcussinusfunktion ls Umkehrfunktion der Sinusfunktion im Intervll (, ) differenzierbr, und es gilt rcsin x = sin (rcsin x) = cos(rcsin x) = sin 2 (rcsin x) = x 2. Stz (Tylorreihe) i) Für x < ist ii) Für x < ist rcsin x = ( ) /2 x ( ) k 2k+ k 2k +. k=0 rctn x = k=0 ( ) k x2k+ 2k +. Beweis. Wir gehen nlog zur Herleitung der Tylorentwicklung für log( + x) vor (Stz 5.2.2): Für die Ableitungen rcsin x und rctn x sind die Tylorreihen p (x) und p 2 (x) leicht zu finden. Für die ursprüngliche Funktionen ergeben sich die Tylorreihen durch Integrtion (mehr drüber im nächsten Kpitel). Mn findet Potenzreihen, deren Ableitungen p (x) bzw. p 2 (x) sind. Wir beschreiben die Detils: i) Es ist rcsin x = x 2 = ( x2 ) /2. Nch Stz (Binomilreihe) ist ( u) /2 = Die Substitution u = x 2 ergibt rcsin x = Es sei ( ) /2 ( ) k u k für u <. k k=0 ( ) /2 ( ) k x 2k für x <. k k=0 p (x) := ( ) /2 x ( ) k 2k+ k 2k +. k=0 Mn sieht leicht, dß p (x) den Konvergenzrdius ht. Nch Stz knn p (x) gliedweise differenziert werden: ( ) /2 p (x) = ( ) k x 2k für x <, k k=0 93

94 lso d dx (rcsin x p (x)) = 0. Nch Stz ist rcsin x p (x) = const. uf (, ). Einsetzen von x = 0 ergibt schließlich p (x) = rcsin x. ii) Es ist Nch Stz 2.3. ist ergibt Es sei k=0 q k = q rctn x = + x 2. für q < (geometrische Reihe). Die Substitution q = x2 + x 2 = ( ) k x 2k für x <. k=0 p 2 (x) := k=0 ( ) k x2k+ 2k +. Nch Stz und Stz ht p 2 (x) den Konvergenzrdius. Nch Stz knn p 2 (x) gliedweise differenziert werden: p 2(x) = ( ) k x 2k für x <, k=0 lso d dx (rctn x p 2(x)) = 0. Nch Stz ist rctn x p 2 (x) = const. uf (, ). Einsetzen von x = 0 ergibt wiederum p 2 (x) = rctn x. 94

95 Kpitel 6 Integrlrechnung 6. Ds Flächenproblem So wie sich die Differentilrechnung historisch us dem Tngentenproblem entwickelt ht, ht sich die Integrlrechnung us dem Flächenproblem entwickelt. Newtons Entdeckung, dß die Probleme Umkehrungen voneinnder sind, knn ls Geburtsstunde der modernen Anlysis ngesehen werden. Wir beschreiben ds Flächenproblem: Es sei f : [, b] R und f(x) 0 für lle x [, b]. Wir wollen die Fläche S = F bestimmen, die von der x- Achse, den Vertiklen x = und x = b sowie der Kurve y = f(x) begrenzt wird. Diese Aufgbe besteht nicht im Beweis eines mthemtischen Lehrstzes, sondern in der Erstellung einer Definition. Flächen sind zunächst Eigenschften von in der Ntur vorkommenden Objekten: Diese Anschuung führt uns zu Forderungen n die Eigenschften, welche der Begriff Fläche erfüllen muß: i) Die Fläche soll dditiv sein: sind zwei Teilmengen M, M 2 R 2 disjunkt, d.h. M M 2 =, so sollte die Fläche der Vereinigung M = M M 2 die Summe der Flächen von M und M 2 sein: F(M) = F(M ) + F(M 2 ). 95