Kapitel 3 Integralrechnung
|
|
- Hennie Dresdner
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kpitel 3 Integrlrechnung Der Ausgngspunkt für die Entwicklung der Integrlrechnung ist ds Problem der Berechnung krummlinig begrenzter Flächen. Bereits in der Antike gelng es Archimedes, den Flächeninhlt eines Kreises und den Flächeninhlt unter einem Prbelbschnitt mithilfe von Ausschöpfungen zu bestimmen. Seit der Antike hben sich viele Mthemtiker (u.. Kepler und Fermt) mit der Berechnung spezieller Flächeninhlte useinndergesetzt. Im 7. Jhrhundert fnden dnn G.W.Leibniz, I.Newton und Johnn Bernoulli unbhängig voneinnder herus, dss mn die Integrtion stetiger Funktionen ls ds Suchen einer Stmmfunktion und dmit ls Umkehrung der Differentition uffssen knn. Ddurch vereinfchte sich die Berechnung der bis dhin beknnten Flächeninhlte rdikl und reduzierte sich uf die Anwendung einiger einfcher Regeln, und es entstnd ds Integrlklkül. Dbei stnd für Newton der Aspekt der Suche nch einer Stmmfunktion im Vordergrund, während Leibniz ds Integrl primär ls eine Approimtion der Fläche unter einem Funktionsgrphen durch eine Summe über geeignete Rechtecke uffsste. Der Anstz von Leibniz wurde im 9. Jhrhundert von Bernhrd Riemnn präzisiert. Wir werden hier den Integrlbegriff vorstellen, wie er im 9. Jhrhundert von Bernhrd Riemnn definiert wurde. 3. Riemnn-Integrl FürdieDefinitiondesIntegrlsbenötigenwireinigeVorbereitungen.Seif:[,b] R eine nch oben und unten beschränkte Funktion. Unter einer Teilung des Intervlls [, b] verstehen wir eine Menge von Stützstellen T = { 0,,..., n } [,b], wobei = 0 < <... < n = b und n N ist. Die Feinheit der Teilung T ist definiert ls T := m{ k k k =,...,n}. Die Riemnn-Summe von f zur Teilung T und den Messpunkten ξ k [ k, k ] lutet R T (f) := f(ξ k )( k k ). k= Hier werden (flls f(ξ k ) 0) die Flächen der Rechtecke über den Teilintervllen I k := [ k, k ] der Höhe f(ξ k ) ufsummiert. Eigentlich müsste mn die Whl der Messpunkte mit in die Abkürzung R T (f) ufnehmen. Wir verzichten hier druf,
2 58 Kpitel 3. Integrlrechnung um die Nottion möglichst einfch zu hlten. Ist f stetig und wählt mn ls Messpunkte jeweils die Stellen ξ k, n denen f sein Mimum (bzw. sein Minimum) uf I k nnimmt, so ist die zugehörige Riemnn-Summe die Obersumme (bzw. die Untersumme) zur Teilung T. Ist jetzt (T n ) n N eine Folge von Teilungen mit lim n T n = 0, so würde mn ds Integrl von f über [,b] gern ls den Grenzwert der zugehörigen Riemnn- Summen, lso ls lim n R T n (f) definieren. Hier ergeben sich ber gleich zwei Frgen: Eistiert dieser Grenzwert überhupt? Und wenn j, hängt der Grenzwert von der Whl der Teilungen und der jeweiligen Messpunkte b? Um die Eistenz und Eindeutigkeit sicherzustellen, muss mn n die Funktion Bedingungen stellen. Dzu definieren wir die Schwnkungssumme von f zur Teilung T ls D T (f) := (f) k ( k k ), k= wobei (f) k := sup{f() I k } inf{f() I k } die grösste Schwnkung von f ufdemintervlli k ngibt.fürstetigefunktionenistdieschwnkungssumme von T gerde die Differenz zwischen Ober- und Untersumme zur Teilung T. Wir können festhlten, dss die Schwnkungssumme bei Verfeinerung der Teilung T höchstens kleiner, ber nie grösser wird. 3.. Definition Eine beschränkte Funktion f:[, b] R heisst Riemnn-integrierbr über [,b], wenn es zu jedem ǫ > 0 eine Teilung T von [,b] gibt mit D T (f) ǫ. Ist dies der Fll, so gibt es eine eindeutig bestimmte Zhl S mit R T (f) S D T (f) für lle Teilungen T und lle Riemnn-Summen R T (f). Die Zhl S gibt ds bestimmte Integrl von f über [, b] n und mn schreibt dfür üblicherweise: S = f(). Die Schreibweise geht uf Leibniz zurück, der dmit n die Summtion über Rechtecksflächen infinitesimler Breite erinnern wollte Stz Ist f Riemnn-integrierbr über [,b] und T n eine Folge von Teilungen von [,b] mit lim n T n = 0, so gilt für die jede Folge zugehöriger Riemnn- Summen (unbhängig von der Whl der Messpunkte): f() = lim n R Tn (f).
3 3.. Riemnn-Integrl 59 Zur Berechnung des Integrls einer integrierbren Funktion kommen lso zum Beispiel Obersummen oder Untersummen in Frge, mn könnte ber ls Messpunkte uch jeweils die Mittelpunkte der Teilintervlle wählen. Entscheidend ist nur, dss die Feinheit der betrchteten Teilungen gegen Null konvergiert Beispiele () Betrchten wir ls erstes konstnte Funktionen. Sei lso f() = c für lle [,b] (c > 0 konstnt). Dnn ist D T (f) = 0 für lle Teilungen und dher f trivilerweise Riemnn-integrierbr. Weiter ist R T (f) = c (b ) für jede Teilung T, und dher folgt: f() = c (b ). Ds Integrl gibt lso wie gewünscht den Flächeninhlt unter dem Grphen von f n, der in diesem Fll ein Rechteck der Breite (b ) und der Höhe c ist. (2) Sei > 0 fest gewählt und bezeichne f die Prbelfunktion uf [0,], gegeben durchf() = 2.DiePrbelfunktioniststetigunddherintegrierbr,wiewirgleich llgemein begründen werden. Zur Berechnung des Integrls wählen wir Teilungen in jeweils gleichbreite Abschnitte. Die Teilung T n (für n N) bestehe us den Stützstellen k := k für k = 0,,...,n. n Im Intervll I k wählen wir jeweils den rechten Rndpunkt ls Messpunkt. Dnn lutet die dzugehörige Riemnn-Summe: k= n f( k) = k= n (k n )2 = 3 n 3 k 2 = 3 3 n(n+)(2n+) = n (+ n )(2+ n ). k= Drus ergibt sich = lim R Tn (f) = lim n n 6 (+ n )(2+ n ) = 3 3. (3) Betrchten wir nun die Hyperbelfunktion. Sei > fest gewählt. Die Funktion f() = für [,] ist stetig und dher mit dem später folgenden Stz integrierbr. Wir wollen zeigen: = ln(). Mn knn diese Ttsche sogr ls Definition des ntürlichen Logrithmus verwenden, und so ist es uch historisch gewesen. Der Mthemtiker Npier entdeckte bei dem Versuch, die Hyperbel zu integrieren, dss die Fläche unter der Hyperbel uf dem Abschnitt [, ] übereinstimmt mit der Fläche unter der Hyperbel uf dem Abschnitt [c,c] für lle c >. (Die Streckung des Abschnitts [,] uf der -Achse
4 60 Kpitel 3. Integrlrechnung wird wettgemcht durch die entsprechende Stuchung der Funktionswerte.) In Integrlnottion heisst ds: c c =. Denn ist T = {,,..., n } eine Teilung von [,], dnn liefert Multipliktion mit dem Fktor c eine Teilung ct = {c,c,...,c n } von [c,c]. Die entsprechenden Riemnn-Untersummen stimmen überein, denn: R ct (f) = n k= c k (c k c k ) = R T (f). Die Behuptung folgt jetzt durch Grenzübergng T 0. Die Beobchtung von Npier ist eigentlich nichts nderes ls ds Logrithmengesetz: ln(c) ln(c) = c c = = ln(). Ausserdem gilt offenbr = 0 = ln(). Durch diese Eigenschften ist der ntürliche Logrithmus bereits (bis uf Konstnte) eindeutig festgelegt. Jetzt wollen wir ds Integrl für > mithilfe von Riemnnsummen eplizit bestimmen. Dzu sei T n die Teilung mit den Stützstellen k = ( n ) k (k =,...,n). Wählen wir ls Messpunkte jeweils die Punkte k, so erhlten wir folgende Riemnn-Obersumme: R Tn (f) = k= k ( k k ) = k= ( k k ) = n( n ). Nun ergibt sich us der l Hospitlschen Regel: lim n n( n ) = lim 0 e ln() = ln()e 0. Also ist wie behuptet: = ln(). (4) Und hier ist schliesslich noch ein Beispiel einer Funktion, die nicht Riemnnintegrierbr ist. Sei f:[0,] R definiert durch { flls Q f() = 0 flls / Q. Es gilt f() = lim k (lim n (cos(k!π)) 2n ) für lle. Jedes Teilintervll von [0, ] enthält sowohl rtionle ls uch irrtionle Punkte, die ls Messpunkte zur Auswhl stehen. Also beträgt die Schwnkungssumme D T (f) = für jede Teilung T von [0, ]. Deshlb ist f uf dem Intervll [0, ] nicht Riemnn-integrierbr.
5 3.2. Eigenschften des Riemnn-Integrls Eigenschften des Riemnn-Integrls Wir wollen zunächst festhlten, dss lle uf einem bgeschlossenen Intervll stetigen Funktionen dort uch Riemnn-integrierbr sind. Dzu bruchen wir folgende Ttsche, die wir hier ohne Beweis ngeben: 3.2. Stz Ist f:[,b] R stetig, dnn ist f uf [,b] sogr gleichmässig stetig. Ds heisst, zu jedem ǫ > 0 eistiert ein δ > 0, so dss für lle,y [,b]. y < δ f() f(y) < ǫ Stz Jede uf einem bgeschlossenen Intervll [, b] stetige Funktion ist uf [, b] uch Riemnn-integrierbr. Beweis. Sei ǫ > 0 vorgegeben. Dnn setzen wir ǫ 0 := ǫ und wählen δ > 0 so dss b f() f(y) < ǫ 0 für lle,y mit y < δ. Sei weiter T = { 0,..., n } eine Teilung des Intervlls [,b] mit T < δ. Dnn gilt k k < δ für lle k, und dher (f) k = sup{f() k k } inf{f() k k } < ǫ 0. Drus folgt für die Schwnkungssumme D T (f) = n k= (f) k( k k ) ǫ 0 (b ) = ǫ. Also erfüllt f die Definition der Riemnn-Integrierbrkeit. q.e.d. Wir hlten nun einige wichtige Eigenschften fest, die mehr oder weniger direkt us den Definitionen folgen Stz Seien f,g:[,b] R uf [,b] Riemnn-integrierbr. Dnn sind uch f +g, λ f (λ R fest), f g und f Riemnn-integrierbr. Ausserdem gelten die folgenden Aussgen: Linerität: (f()+g()) = f()+ g(). Monotonie: Aus f() g() für lle [,b] folgt Betrgsregel: f() f(). Additivität der Intervlle: Ist t (,b), so gilt t f()+ t f() = f() f(). g(). Mn trifft deshlb uch die Vereinbrung f() = 0. Die Integrierbrkeit von f folgt zum Beispiel drus, dss D T ( f ) D T (f) für lle Teilungen T von [,b]. Und die Monotonie des Integrls ergibt sich drus, dss R T (f) R T (g) für jede Teilung T, flls f() g() für lle. Die übrigen
6 62 Kpitel 3. Integrlrechnung Aussgen sind ähnlich einfch einzusehen. Nur die Integrierbrkeit von Produkten erfordert eine etws längere Argumenttion. Nch Konstruktion misst ds Integrl über [, b] einer Funktion, deren Grph gnz oberhlb der -Achse verläuft, den Inhlt der Fläche zwischen Funktionsgrph und -Achse über dem Abschnitt [, b]. Bei einer beliebigen Funktion f gibt ds Integrl über f die Gesmtfläche zwischen Funktionsgrph und -Achse n, lso die Summe der Teilflächen oberhlb und unterhlb der -Achse. Ds Integrl über f dgegen gibt die Differenz der Teilflächen oberhlb der -Achse und unterhlb der -Achse n. Aus der Linerität und Additivität des Integrls folgt, dss uch Funktionen mit endlich vielen Sprungstellen integrierbr sind. Genuer gilt folgendes: Folgerung : Ändert mn den Funktionswert einer Riemnn-integrierbren Funktion n endlich vielen Stellen, so erhält mn wieder eine Riemnn-integrierbre Funktion, und der Wert des Integrls bleibt dbei unverändert. Beweis. Nehmen wir n, wir wollen den Wert der Funktion f:[,b] R n der Stelle t (,b) durch den Wert f(t) + λ ersetzen {(λ R). Dnn können wir die für = t neue Funktion schreiben ls f +λ g, wobei g() =. Die Funktion g 0 für t ist integrierbr uf [,b]. Dennzu ǫ > 0 können wir die Teilung T = {,t ǫ,t+ ǫ,b} 2 2 wählenunderhltend T (g) = ǫ.fürdiezugehörigenriemnn-summengiltr T (g) ǫ, und deshlb g() = 0. Also ist uch die Funktion f +λ g integrierbr, und b (f()+λg()) = f(). q.e.d. Folgerung 2: Sei T = { 0,,..., n } eine Teilung des Intervlls [,b]. Ist die Funktion f:[,b] R uf [,b]\t stetig und eistieren endliche rechts- und linksseitige Grenzwerte lim i,> i f() und lim i,< i f() für lle i, so ist f uf [,b] Riemnn-integrierbr. Beweis. Wir betrchten die Funktion f uf den Teilintervllen I k = [ k, k ]. Auf dem Inneren von I k ist f stetig, und ufgrund der Vorussetzung über ds Verhlten m Rnd können wir f stetig uf die Rndpunkte fortsetzen und die resultierende Funktion f k über I k integrieren. D es für ds Integrl uf die Funktionswerte n den Rndpunkten nicht nkommt, ist uch f uf I k integrierbr. Mit der Additivität der Intervlle folgt jetzt die Behuptung. q.e.d. 3.3 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Auch in der Integrlrechnung gibt es einen Mittelwertstz: 3.3. Stz Ist f:[,b] R stetig, dnn eistiert ein τ [,b] mit b f() = f(τ).
7 3.3. Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung 63 Beweis. Bezeichne m den minimlen und M den mimlen Wert, den f uf [,b] nnimmt. Dnnistm f() M fürlle [,b].drusfolgtmitdermonotonie des Integrls m (b ) f() M (b ). Also ist η := f() ein Wert zwischen m und M, und nch dem Zwischenwertstz eistiert ein τ [,b] mit f(τ) = η. b q.e.d. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung lutet folgendermssen: Stz Sei f:[,b] R stetig. Dnn ist die Funktion U, definiert durch U() = f(t)dt (für lle [,b]) eine Stmmfunktion von f, ds heisst U = f. Ist umgekehrt F eine Stmmfunktion von f, lso F = f, so gilt f(t)dt = F(b) F(). Mn verwendet für ds Einsetzen der Grenzen in die Stmmfunktion uch die Nottion: F() := F(b) F(). b Die Menge ller Stmmfunktionen von f wird ls ds unbestimmte Integrl von f bezeichnet, und mn schreibt dfür f() = F()+C. Beweis. Sei zunächst h > 0. Dnn ist U(+h) U() h = h ( +h f(t)dt ) f(t)dt = h +h f(t)dt = f(τ h ) für ein τ h [,+h] (nch dem Mittelwertstz der Integrlrechnung). D f stetig ist, folgt weiter lim h 0,h>0 f(τ h ) = f(). Entsprechendes gilt für h < 0. Dies zeigt, dss U () = f() für lle. Sei jetzt F eine weitere Stmmfunktion von f. Dnn ist (F U) = 0 und dher F U konstnt. Es gibt lso eine Konstnte C R mit F() = U() +C für lle. Also folgt F(b) F() = U(b) U() = f(t)dt. q.e.d. Hier finden Sie eine Zusmmenstellung der wichtigsten Stmmfunktionen.
8 64 Kpitel 3. Integrlrechnung f() F() = f() α, α R\{ }, 0 α+ α+ e λ, λ R\{0} λ eλ, 0 cos() sin(), cos() 0 cos 2 () 2, < c+ 2, c > 0 ln( ) sin() cos() tn() rcsin() c rctn( c ), 2 + ln 2 2 sinh() cosh() 2 + cosh() sinh() rsinh() = ln(+ 2 +) Beispiel Die Funktionsgrphen von f() = und g() = schneiden 2 sich im Nullpunkt und in dem Punkt mit den Koordinten = 4 und y = 2. Die dzwischen liegende, von den Grphen umschlossene Fläche können wir folgendermssen berechnen: 4 ( /2 ) = (3/2 2 3/2 4 2 ) 4 = Integrtionsregeln 0 Aus den Rechenregeln für ds Differenzieren ergeben sich weitere Regeln für ds Integrieren. Hier ist die Folgerung us der Produktregel: 3.4. Stz (Regel der prtiellen Integrtion) Für f,g C [,b] gilt: f()g () = f ()g()+f()g(). b
9 Dbei ist f()g() b = f(b)g(b) f()g() Integrtionsregeln 65 Beweis. Nch der Produktregel für Ableitungen gilt: (f g) = f g+fg. Ds heisst, f g ist eine Stmmfunktion für f g +fg. Drus folgt: (f g +fg )() = f()g() b. Durch Umformung ergibt sich drus die Behuptung. q.e.d Beispiele. 2 e = 2 e + 2 e b = 2 e 2e b + 2 e b. Also ist F() = ( 2 2+2)e eine Stmmfunktion für f() = 2 e. 2. Für 0 < < b: ln() = ln() = +ln() b = (ln() ) b. 3. sin 2 () = cos()( cos()) sin()cos() b. Wegen cos 2 () = sin 2 () folgt hierus: Insbesondere ist lso: sin 2 () = 2 ( cos()sin()) b. π 0 sin 2 () = π 2. Aus der Kettenregel für ds Differenzieren ergibt sich folgendes Prinzip für die Integrtion: Stz (Substitutionsregel) Sei f:[,b] R stetig und ϕ:[r,s] [,b] stetig differenzierbr mit ϕ(r) = und ϕ(s) = b. Dnn gilt: f(u)du = s r f(ϕ())ϕ (). Beweis. Sei F eine Stmmfunktion von f. Dnn folgt mit der Kettenregel (F ϕ) () = F (ϕ()) ϕ () = f(ϕ()) ϕ () für [r,s]. Also ist F ϕ eine Stmmfunktion von (f ϕ) ϕ und dher gilt s r f(ϕ())ϕ () = F(ϕ()) s r = F(ϕ(s)) F(ϕ(r)) = F(b) F(). q.e.d.
10 66 Kpitel 3. Integrlrechnung Mn knn sich die Substitutionsregel leichter merken, wenn mn die Leibniznottion für Ableitungen verwendet. Setzen wir im Stz u = ϕ() und schreiben ϕ () = du, dnn lutet jetzt die Substitutionsregel: dt f(u)du = Noch kürzer dürfen wir schreiben: Dies ist gleichbedeutend mit s r du = du. = du du, f(ϕ()) du. denn wir können j umgekehrt in dem durch u usgedrückten Integrl = ϕ (u) substituieren, und nch der Regel für die Ableitungen von Umkehrfunktionen ist du = (ϕ ) (u) = ϕ () =. du Beispiele. Zur Bestimmung des Integrls 2(2 3) 4 verwenden wir die Substitution u = ϕ() = 2 3. Hier ist du = 3 und dher du = 3 oder = du. Also liefert die Substitutionsregel: (2 3) 4 = u 4 du = 5 (2 3)5. 2. Um ds Integrl 2 (für c / [ 2 c, 2 ]) zu bestimmen, substitutieren wir u = ϕ() = 2 c. Dnn ist du = 2, und die Substitutionsregel liefert: 2 2 c = 22 c du 2 2 c u = 2 (ln 2 c ) =2. = 3. Im folgenden Beispiel liefert die Substitution u = ϕ() = für / [, 2 ] ds Resultt: 2 2 ( ) = du 3 u = =2. 3 2( ) 2 = 4. Wir untersuchen jetzt ds Integrl 2 e 2 2 dt. Hier eignet sich die Substitution u = ϕ() = 2 2. Wegen ϕ () = ist du = und es folgt 2 e 2 2 = e u du = e 2 2 e
11 3.4. Integrtionsregeln Ist g:[,b] R stetig differenzierbr und ht g uf [,b] keine Nullstellen, so gilt: g () g(b) g() = du g(b) = ln g() u g(). Dies ergibt sich us der Substitution u = g(). Wendet mn dies Prinzip uf g() = cos() n, so erhält mn beispielsweise: sin() cos() tn() = = ln ( cos()) cos(b) Beispiel Wir wollen jetzt die Fläche F eines Kreises von Rdius r berechnen. Dzu wählen wir ds Koordintensystem so, dss der Nullpunkt der Mittelpunkt des vorgegebenen Kreises ist. Für die Punkte (,y) uf der Kreislinie gilt 2 +y 2 = r 2 und dher y = r 2 2, flls y 0. Also ist r F = 2 r2 2. r Substituieren wir ϕ(t) = r cos(t) für, so liefert die Substitutionsregel wegen ϕ (t) = rsin(t): π F = 2 r 2 sin 2 (t)dt = r 2 π. 0 Hier ist noch ein Beispiel, bei dem sowohl die Substitutionsregel ls uch die prtielle Integrtion zur Anwendung kommt Beispiel Um eine Stmmfunktion für rctn zu finden, beginnen wir mit einer prtiellen Integrtion und erhlten: rctn() = rctn() = + 2 +rctn() b. Nun substituieren wir im Integrl uf der rechten Seite der Gleichung u = + 2. = 2 ist, liefert dies ds folgendes Resultt: Weil du rctn() = 2 +b 2 du + u +rctn() b = ( 2 2 ln(+2 )+rctn()) b.
Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.
Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn
Mehrkann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k
Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1
MehrProf. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG
Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung
MehrResultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:
Mehr6. Integration 6.1 Das Riemann-Integral
6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Mthemtik für Chemiker 6. Integrtion 6. Ds Riemnn-Integrl Flächenberechnung: Problemstellung und Lösungsidee Sei f : [, b] [0, ) eine
MehrAnalysis I. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 3/4 Anlysis I Vorlesung 5 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
MehrMathematik Rechenfertigkeiten
26 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 9. August
Mehrnennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei
Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0
MehrMathematik II. Partielle Integration. f (t)g(t)dt =
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 1 Mthemtik II Vorlesung 33 Wir besprechen nun die wesentlichen Rechenregeln, mit denen mn Stmmfunktionen finden bzw. bestimmte Integrle berechnen knn. Sie beruhen uf Ableitungsregeln.
MehrIntegration. Kapitel 8: Integration Informationen zur Vorlesung: wengenroth/ J. Wengenroth () 17.
Integrtion Kpitel 8: Integrtion Informtionen zur Vorlesung: http://www.mthemtik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 17. Juli 2009 1 / 22 8.1 Motivtion Kpitel 8: Integrtion 8.1 Motivtion Ist die
Mehrf(ξ k )(x k x k 1 ) k=1
Integrlrechnung Definition des bestimmten Integrls Die Integrtion ist die Umkehropertion zur Differentition. Grundufgbe der Integrlrechnung ist die Bestimmung von Flächen. Will mn beispielsweise den Inhlt
MehrAnalysis I. Vorlesung 24. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. b a
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 203/204 Anlysis I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f: [, b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe der Funktion
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrMathematik für Anwender I
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 20/202 Mthemtik für Anwender I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f :[,b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe
MehrZum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2
Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes
Mehr, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung
. INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich
MehrCrashkurs - Integration
Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).
Mehr3 Uneigentliche Integrale
Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,
Mehrπ 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x
Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei
MehrEinführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
MehrMathematik II. Vorlesung 31
Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 2010 Mthemtik II Vorlesung 31 In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrtionstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die durch
MehrKAPITEL 18 UND 19 H. KOCH. Kapitel 18. x>a. x<y
KAPITEL 18 UND 19 H. KOCH 1. VORLESUNG VOM 08.01.2018 Kpitel 18 Definition 1 (Zerlegungen, Treppenfunktionen, Regelfunktionen) Sei < b. 1. Eine Zerlegung τ von [, b] besteht us einer Zhl N N und (N + 1)
MehrVI. Das Riemann-Stieltjes Integral.
VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition
MehrRiemann-integrierbare Funktionen
Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn-
MehrMathematik LK 12 M1, 1. Kursarbeit Integration Lösung f (x)dx=lim S n. a I. Dann heißt. a, x I. Dann gilt:
Mthemtik LK M,. Kursrbeit Integrtion Lösung..3 Aufgbe :. Erkläre mit Hilfe der Definition des Integrls den Unterschied zwischen dem Integrl einer Funktion und dem Flächeninhlt der Fläche zwischen dem Grphen
MehrKapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35
Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mthemtik und Nturwissenschften Fchrichtung Mthemtik, Institut für Numerische Mthemtik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 5. Integrlrechnung Prof. Dr. Gunr Mtthies Wintersemester 2015/16 G. Mtthies Grundlgen Mthemtik
Mehr10 Integrationstechniken
Integrtionstechniken. Wichtige Stmmfunktionen α d = α + α+, d = log e d = e cos d = sin sin d = cos d = rcsin d = rctn + cosh d = sinh sinh d = cosh + d = sinh d = cosh α R, α. Linerität der Integrtion
MehrIntegrationsmethoden
Universität Perborn Dezember 8 Institut für Mthemtik C. Kiser Integrtionsmethoen Prtielle Integrtion (Prouktintegrtion) Unbestimmte Integrtion er Prouktregel (u v) () = u ()v() + u()v () liefert (u v)()
Mehr21. Das bestimmte Integral
1. Ds bestimmte Integrl Wir betrchten eine Kurve y = f(x) mit f(x) 0 uf dem Intervll [, b]. Obwohl der Flächeninhlt eines Rechteces (und in weiterer Folge eines Dreieces und nderer elementrer geometrischer
MehrDer Hauptsatz der Differential und Integralrechnung
Kpitel 4 Der Huptstz der Differentil und Integrlrechnung Bemerkung 4. Motivtion. Die Integrtionstheorie wurde im letzten Kpitel recht weit entwickelt. Nun wird ein Werkzeug bereitgestellt, mit welchem
Mehr3 Uneigentliche Integrale
Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 $Id: uneigentlich.te,v.7 2/5/2 :49:7 hk Ep $ $Id: norm.te,v.3 2/5/2 2:2:45 hk Ep hk $ 3 Uneigentliche Integrle Am Ende der letzten Sitzung htten wir ds Mjorntenkriterium
Mehr6.6 Integrationsregeln
50 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Beispiel 6.5.4 (Differenzierbreit und gleichmäßige Konvergenz) Die Funtionenfolge {f n (x)} n N definiert durch f n (x) = n sin(nx) onvergiert uf jedem Intervll gleichmäßig
MehrMathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt
Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,
MehrLösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.
Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x
Mehr4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis
4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der
MehrMathematik Rechenfertigkeiten
27 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dr. Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Skript: Dr. Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dr. Dominik Tsndy) 8. August
MehrInfinitesimalrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen
Vorlesung 16 Infinitesimlrechnung, Mengenlehre und logische Verknüpfungen 16.1 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Wir verknüpfen nun Differentil- mit Integrlrechnung. Definition 16.1.1. Eine
Mehr12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrUneigentliche Riemann-Integrale
Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
MehrMusterlösung der 1. Klausur zur Vorlesung
Prof. Dr. M. Röger Dipl.-Mth. C. Zwilling Fkultät für Mthemtik TU Dortmund Musterlösung der. Klusur zur Vorlesung Anlysis I (24.02.206) Wintersemester 205/6 Aufgbe. Sei R mit sin() 0. Der Beweis erfolgt
Mehr9.3 Der Hauptsatz und Anwendungen
9.3 Der Huptstz und Anwendungen Definition: Seien Funktionen F, f : [, b] R Funktionen mit F (x) = f(x), x b. Dnn heißt F(x) Stmmfunktion von f(x). Bemerkung: Ist F(x) eine Stmmfunktion von f(x), so sind
MehrSBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.
SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert
MehrAnalysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen
Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).
Mehr12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrAnalysis I (HS 2016): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL
Anlysis I (HS 216): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL Dietmr A. Slmon ETH-Zürich 12. Dezember 216 Zusmmenfssung Dieses Mnuskript dient der Einführung in ds Riemnnsche Integrl für Funktionen einer reellen Vriblen.
Mehr6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals
Kpitel 6 Ds Riemnn-Integrl In diesem Abschnitt wollen wir einen Integrlbegriff einführen. Dieser Integrlbegriff geht uf Riemnn 1 zurück und beruht uf einer nheliegenden Anschuung. Es wird sich zeigen,
MehrÜbungsaufgaben. Achtung(!):
Übungsufgben 8. Übung: Woche vom 5.12.-9.12.16 (Int.-R. I): Heft Ü1: 11.1 (,b,g,j); 11.2 (e,g,l,m,p); 11.3 (,c-e,q,r) Achtung(!): 2. Test (relle Fkt., Diff.-rechng.) wird m 2.12. freigeschlten (Duer: bis
Mehr10 Das Riemannsche Integral
10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t
Mehr$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ
Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des
Mehr9.6 Parameterabhängige Integrale
Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes
Mehr2. Flächenberechnungen
Anlysis Integrlrechnung. Flächenberechnungen.. Die Flächenfunktion ) Flächenfunktionen ufzeichnen Skizziere zur gegebenen Funktion diejenige Funktion, welche die Fläche unterhlb der Funktionskurve misst.
MehrKlausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014
Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24
Mehr13-1 Funktionen
3- Funktionen 3 Integrle: Flächeninhlte Seien < reelle Zhlen, sei I = [, ] = { R } ds Intervll der Zhlen zwischen und Wir etrchten eine stetige Funktion f : I R und ds zugehörige Integrl f() d (dies ist
Mehr4.6 Integralrechnung III. Inhaltsverzeichnis
4.6 Integrlrechnung III Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 10.03.2010 Theorie und Übungen 2 1 Exponentilfunktionen Aus der Differentilrechnung wissen wir, dss gilt: f(x)=e x f (x)=e x Stz 1 Für die ntürliche
Mehr$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $
Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun
MehrUnter einer Partition oder Zerlegung eines Intervalls [a, b] verstehen wir eine endliche Menge P = {x 0, x 1,..., x n } mit der Eigenschaft ...
Kpitel 7 Ds Riemnn Integrl 7.1 Unter und Obersummen 7.2 Riemnn Integrl 7.3 Riemnnsche Summen 7.4 Rechenregeln 7.5 Differentition und Integrtion 7.6 Die L p Normen 7.1 Unter und Obersummen Unter einer Prtition
Mehr2.4 Elementare Substitution
.4 Elementre Substitution 7.4 Elementre Substitution Im Übungsteil finden Sie folgende Aufgben zum Trining der in diesem Abschnitt behndelten Themen: Linere Substitution (LSub): Aufgbe 4.5 (S.4) und Aufgbe
Mehr5.5. Integralrechnung
.. Integrlrechnung... Berechnung von Integrlen mit der Streifenmethode Definition: Gegeen seien, R mit < und eine uf [; ] stetige Funktion f. Der orientierte Inhlt der Fläche, die durch die -Achse, ds
MehrElementare Integrationstechniken
Elementre Integrtionstechniken Zusmmenfssung Wir wiederholen einfche und häufig benutzte Integrtionstechniken und geben zu jedem Kpitel uch einige Übungsbeispiele n. Die Menge n guten Anlysisbüchern ist
MehrFur das unbestimmte Integral gilt. f(x) dx + b
. Integrtionsregeln.. Linerität. Fur ds unbestimmte Integrl gilt (f(x) bg(x)) = f(x) b g(x),, b R... Prtielle Integrtion. Fur je zwei uf einem Intervll I = (, b) stetig differenzierbre Funktionen u und
Mehr8.4 Integrationsmethoden
8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung
MehrIntegrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration
Integrieren Regeln (f() + g())d = f()d + g()d c f()d = c f()d b f()d = f()d b Einige Integrle die mn uswendig kennen sollte s d = s + s+ + C (für s ) d = ln + C cos d = sin + C sin d = cos + C sinh d =
Mehrc a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 =
3. Uneigentliche Integrle Die Funktion f sei uf dem rechts oenen Intervll x < b erklrt und uf jedem bgeschlossenen Teilintervll [, c], c < b, stuckweise stetig, b R { }. Dnn der Integrlbegri erweitert
MehrIntegralrechnung 29. f(x) dx = F (x) + C
Integrlrechnung 9 5 Integrlrechnung 5. Ds unbestimmte Integrl Wird eine Funktion f bgeleitet, so erhält mn die Ableitungsfunktion f. Nun knn mn sich frgen, ob es einen Weg zurück gibt, d.h. ob mn us der
MehrAnwendungen der Integralrechnung
Anwendungen der Integrlrechnung 8. Flächeninhlt und Flächenschwerpunkt............... 4 8. Kurvenlänge............................. 7 8. Rottionskörper........................... 9 8.3 Whrscheinlichkeitsverteilungen
MehrIntegration von Funktionen einer Variablen
Integrtion von Funktionen einer Vriblen Ds Riemnnintegrl Motivtion: Wie knn mn den Weg w berechnen, den ein Fhrzeug zwischen den Zeitpunkten und b zurückgelegt ht, wenn mn seine Geschwindigkeit v(t) für
Mehr8 Integralrechnung. 8.1 Das Riemann-Integral
8 Integrlrechnung Der Integrlbegriff ist wie der Ableitungsbegriff motiviert durch die physiklische Beschreibung von Bewegungsbläufen (Geschwindigkeit, Beschleunigung). Er ist u.. uch von Bedeutung bei
MehrMathematik-Tutorium: Handwerkszeug und Kochrezepte für Maschinenbauer
Vektorrechnung Differentilrechnung Integrlrechnung Mthemtik-Tutorium: Hndwerkszeug und Kochrezepte für Mschinenbuer Johnnes Wiedersich 7. Dezember 007 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/ Vektorrechnung
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen
MehrÜbungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale
Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Ziele des Applets... 2 2 Begriffe und ihre Drstellung mit dem Applet... 2 b 2.1 Bestimmtes Integrl I (b) =
MehrGrundlagen der Integralrechnung
Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe
Mehr1 Ergänzungen zur Differentialrechnung
$Id: nlytisch.te,v 1.3 2011/04/13 11:01:11 hk Ep $ 1 Ergänzungen zur Differentilrechnung Dieses einleitende Kpitel wollen wir verwenden um den Anschluss n ds vorige Semester herzustellen. Eine direkte
Mehr3 Differential- und Integralrechnung
3 Differentil- und Integrlrechnung 3. Differenzierbre Funktionen Gegeben sei eine beliebige Funktion f : I = [, b] R und ein fester Punkt x 0 I. Außerdem sei h R so klein, dss uch noch x 0 + h in I liegt.
Mehr7.9A. Nullstellensuche nach Newton
7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren
MehrDifferenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
MehrFormelsammlung für die Klausur: Mathematik für Chemiker I
Universität-Duisburg-Essen / Cmpus Essen 15. 1. 2004 FB 6 - Mthemtik Prof. Dr. D. Lutz / Dr. G. Wolf Formelsmmlung für die Klusur: Mthemtik für Chemiker I Binomilkoezienten, binomische Formel: n! = 1 2
MehrMathematik I ITB. Integralrechnung. Prof. Dr. Karin Melzer
Integrlrechnung 20.05.09 Ds unbestimmte Integrl/Stmmfunktion Ds bestimmte Integrl/Flächenberechnung Integrl ls Umkehrung der Ableitung Idee: kehre den Prozess des Dierenzierens um. f sei eine reelle Funktion
MehrKapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
MehrIntegralrechnung. www.mathe-total.de. Aufgabe 1
Integrlrechnung Aufgbe Bestimme die Fläche zwischen der Kurve der Funktion f() = und -Achse über dem Intervll I = [; 3] näherungsweise. Bestimme die Obersumme und Teile ds Intervll I in drei gleich große
MehrMC-Serie 12 - Integrationstechniken
Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016)
1 Vorlesung Mthemtik 1 für Ingenieure (Sommersemester 2016) Kpitel 10: Integrlrechnung einer Veränderlichen Prof. Miles Simon Nch Folienvorlge von Prof. Dr. Volker Kibel Otto-von-Guericke Universität Mgdeburg.
MehrVorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
MehrAnalysis II. 5 Integration. Inhaltsverzeichnis. 5.1 Das Riemann-Integral. Walter Bergweiler. Sommersemester 2007 Fassung vom 6.
5 Integrtion Anlysis II Wlter Bergweiler Sommersemester 7 Fssung vom 6. Juli 7 Diese Vorlesung ist eine Fortsetzung der Vorlesung Anlysis I us dem Wintersemester 6/7. Die Nummerierung dieser Vorlesung
MehrGrundlagen der Integralrechnung
Grundlgen der Integrlrechnung Wolfgng Kippels 8. April 018 Inhltsverzeichnis 1 Vorwort Ds unbestimmte Integrl Ds bestimmte Integrl 5 4 Beispielufgben 8 4.1 Beispielufgbe 1...............................
Mehr27 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nebst Folgerungen
27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrehnung nebst Folgerungen 27.2 Additivität des Riemnn-Integrls bzgl. Intervllen 27.3 Formle Erweiterung des Riemnn-Integrls 27.6 Ds Integrl ls Funktion der oberen
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere
Mehr1 Folgen von Funktionen
Folgen von Funktionen Wir etrchten Folgen von reell-wertigen Funktionen f n U R mit Definitionsereicht U R und interessieren uns für ntürliche Konvergenzegriffe. Genuer setzen wir uns mit folgenden Frgen
MehrJ.M. Sullivan, TU Berlin A: Integration Analysis II, WS 2008/09
J.M. Sullivn, TU Berlin A: Integrtion Anlysis II, WS 8/9 A. INTEGRATION A1. Einleitung In diesem Semester fngen wir mit Integrtion n. Es gibt viele Möglichkeiten, ds Integrl einer Funktion genu zu definieren;
MehrBestimmtes (Riemannsches) Integral / Integral als Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhalb bestimmter Grenzen
III. Integrlrechnung : Bestimmtes (Riemnnsches Integrl / Integrl ls Grenzwert einer Summe : Bedeutung: Fläche unter einer Funktion innerhl estimmter Grenzen yf( y n y n ( Δ Berechnung der Fläche A unter
Mehrf : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.
Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,
MehrDefinition 3.33 (Oberintegral und Unterintegral). Es sei f : [a,b] R eine beschränkte Funktion. Weiter sei
8. Integrierbre Funktionen Definition 3.3 (Treppenfunktionen). Eine Funktion t : [,b] R heißt Treppenfunktion, flls es endlih viele Punkte x < x 1 < < x n mit x = und x n = b gibt, so dss f uf jedem der
Mehr( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )
4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion
Mehr$Id: integral.tex,v /04/22 11:22:04 hk Exp $
Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 $Id: integrl.tex,v 1.35 015/04/ 11::04 hk Exp $ Integrlrechnung.1 Ds Riemn Integrl In der letzten Sitzung hben wir verschiedene vorbereitende Begriffe zur Konstruktion
Mehr4 Die Integralfunktion*
Übungsmteril 1 Die Integrlfuntion* In den vorigen Kpiteln hben wir bereits ds unbestimmte und ds bestimmte Integrl und deren Eigenschften ennengelernt. Ersteres liefert die Menge der Stmmfuntionen einer
MehrAnalysis II. Alexander Grigorian Universität Bielefeld WS 2014/15
Anlysis II Alexnder Grigorin Universität Bielefeld WS 204/5 2 Contents 4 Integrlrechnung 4. Unbestimmtes Integrl.......................... 4.2 Linerität des unbestimmten Integrls................. 7 4.3
MehrAbiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1
www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)
MehrIntegrierbarkeit und Integral
Integrierbrkeit und Integrl Klus-R. Löffler Inhltsverzeichnis 1 Die Definition des (Riemnnschen) Integrls 1.1 Hinführung.......................................... 1. Grundlegende Begriffe und Zusmmenänge........................
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Krlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Anlysis 943 Prof Dr Tobis Lmm Dr Ptrick Breuning Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Physik 3 Übungsbltt Aufgbe Sei K ein Kreis im R vom Rdius
Mehr9 Eindimensionale Integralrechnung
9 Eindimensionle Integrlrechnung 9. Flächeninhlt und Stmmfunktionen 9.. Flächeninhlt Beispiel 9.. Wir betrchten eine Menge G(f,,b) im R 2, die nch unten durch die Abszisse, nch oben durch den Grphen einer
Mehr