kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k

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1 Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1 <... < n := b } des Intervlls [, b] gibt, so dss g in jedem der offenen Intervlle ( i, i+1 ), i = 0, 1,..., n 1, konstnt ist. Die Funktionswerte in den Zerlegungspunkten i sind beliebig. Definition 2 (Integrl für Treppenfunktionen): Sei g : [, b] R eine bzgl. der Zerlegung = { =: 0 < 1 <... < n := b } definierte Treppenfunktion, wobei g() = c i für lle ( ) i, i+1, i = 0, 1,..., n 1 gelte. Unter dem Integrl für die Treppenfunktion versteht mn die Summe g() d := c i ( ) i+1 i b b Abb. 1: Geometrische Interprettion des Integrls unter der Treppenfunktion = g() [, b], dnn knn mn : Gilt g() 0 für lle g() d ls den Flächeninhlt der Fläche deuten, die zwischen der -Achse und dem Grphen von g liegt (schrffierte Fläche im linken Teil der Abbildung). Flls g uf einigen Teilintervllen negtiv ist, dnn sind die entsprechenden Flächen negtiv in Anstz zu bringen (rechts). Definition 3 (Riemnnsche Summe): Sei = { =: 0 < 1 <... < n := b } eine Zerlegung des Intervlls [, b] und f : [, b] R sei eine beschränkte Funktion. Eine Summe der Gestlt R(f, ) := f(ξ i ) ( ) i+1 i, ξi [ ] i, i+1 heißt Riemnnsche Summe zur Zerlegung. Speziell heißt U(f, ) := inf ( f ( ])) ( ) [ i, i+1 i+1 i Untersumme von f zur Zerlegung und V (f, ) := sup ( f ( ])) ( ) [ i, i+1 i+1 i heißt Obersumme von f zur Zerlegung. Dbei ist f ( [ i, i+1 ]) := { f() [i, i+1 ] }. 1

2 f() f() b b Abb. 2: Riemnnsche Unter- und Obersumme. Definition 4 (Riemnn-Integrl): Sei Z[, b] die Menge ller beliebigen Zerlegungen des Intervlls [, b] und f : [, b] R sei eine beschränkte Funktion. Die Grenzwerte u f := sup { U(f, ) Z[, b] } bzw. v f := sup { V (f, ) Z[, b] } heißen Riemnnsches Unter- bzw. Oberintegrl. Die Funktion f heißt (Riemnn-) integrierbr über [, b], flls u f = v f gilt. In diesem Fll heißt f uf dem Intervll [, b] integrierbr und die Zhl f() d := u f = v f heißt ds bestimmte Integrl oder uch Riemnn-Integrl von f über [, b]. Bemerkungen: Es gilt U(f, ) R(f, ) V (f, ). Ist eine feinere Zerlegung ls, so gilt U(f, ) U(f, ) und V (f, ) V (f, ). Dbei entsteht eine feinere Zerlegung z.b. us durch Hinzunhme weiterer Zerlegungspunkte. f() f() b b Abb. 3: Verfeinerung einer Untersumme durch Hinzunhme eines weiteren Zerlegungspunktes. In Lehrbüchern gibt es verschiedene Herngehensweisen und Nottionen bei der Einführung des Riemnn- Integrls. Zum Beispiel mit Hilfe der Mengen U(f) := {g g ist Treppenfunktion zu einer Zerlegung Z[, b] mit g() f() [, b]} V (f) := {g g ist Treppenfunktion zu einer Zerlegung Z[, b] mit g() f() [, b]} 2

3 knn mn ds Riemnnsche Unter- bzw. Oberintegrl uch wie folgt definieren: { } { b u f := sup g() d g U(f) und v f := inf g() d g V (f) }. Zu einer Zerlegung n = { =: 0 < 1 <... < n := b } bezeichne d n := m ( ) k+1 k k {0,1,...,} die Feinheit von n, mit der mn eine weitere äquivlente Definition des bestimmten Integrls erhält: Flls für jede beliebige Folge ( n ) n N von Zerlegungen des Intervlls [, b] mit lim d n = 0 die Grenzwerte n I 1 := lim n U(f, n) und I 2 := lim n V (f, n) eistieren und immer die gleichen Zhlen I 1 bzw. I 2 ergeben, und ußerdem I 1 = I 2 gilt, dnn heißt f uf dem Intervll [, b] integrierbr und die Zhl f() d = I 1 bestimmtes Integrl von f über [, b]. Einige Autoren verzichten uf die Verwendung von Unter- und Oberintegrl, und verwenden sttt dessen die Riemnnsche Summe R(f, n, P n ) := f(ξ i ) ( ) i+1 i, ξi [ ] i, i+1 mit einer Menge P n := { } ξ 0, ξ 1,..., ξ beliebiger Zwischenpunkte ξi [ ] i, i+1, i = 0, 1..., n 1. Dmit ergibt sich dnn folgende Definition des bestimmten Integrls: Flls für jede beliebige Folge ( n ) n N von Zerlegungen des Intervlls [, b] mit lim d n = 0 und beliebige Whl der Zwischenpunkte P n der n Grenzwert I := lim R(f, n, P n ) n eistiert und immer die gleiche Zhl I ergibt, dnn heißt f uf dem Intervll [, b] integrierbr und die Zhl bestimmtes Integrl von f über [, b]. Für > b setzt mn und für = b f() d = I f() d = b f() d = 0. f() d, Die Approimtion bestimmter Integrle durch Zwischensummen stellt die Grundidee für die Konstruktion sogennnter Qudrturformeln für die numerische Integrtion dr, wie z.b. die Rechteck-, Trpez- oder Simpson-Regel. Stz 2 (Linerität und Monotonie) Seien f, g : [, b] R integrierbre Funktionen und λ, µ R seien beliebige Konstnten. Dnn ist uch die Funktion λ f + µ g : [, b] R integrierbr und es gilt [ ] b λ f() + µ g() d = λ f() d + µ g() f. 3

4 Gilt f() g() für lle [, b], dnn folgt f() d g() d. Stz 3 (Integrlbschätzungen) Sei f : [, b] R eine integrierbre Funktion. Dnn gilt: () f() d f() d (b) Aus α f() β für lle [, b] folgt α (b ) f() d β (b ). Stz 4 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R eine stetige Funktion. Dnn eistiert ein ξ [, b], so dss f() d = f(ξ) (b ). f(ξ) 0 ξ b Abb. 4: Geometrisch bedeutet der Mittelwertstz der Integrlrechnung für eine positive Funktion f, dss die Fläche unter dem Grphen von f gleich der Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen b und f(ξ)ist. Definition 5 (Stmmfunktion): Sei D R und f : D R eine Funktion. Jede uf D differenzierbre Funktion F : D R heißt Stmmfunktion der Funktion f, flls gilt: F () = f() für lle D Stz 5: Sei D R und f : D R eine stetige Funktion und R. Die durch ds bestimmte Integrl F () := f(z) dz, D definierte Funktion ist eine Stmmfunktion von f. Jede ndere Stmmfunktion F von f ht die Gestlt F () = F () + c, c R. 4

5 Stz 6 (Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung) Sei f : [, b] R eine stetige Funktion und F : [, b] R eine Stmmfunktion von f. Dnn gilt f() d = F (b) F (). Bemerkungen: Ds bestimmte Integrl f() d ist eine reelle Zhl, während ds unbestimmte Integrl eine Menge von Funktionen ist, nämlich die Menge ller Stmmfunktionen von f. Für den Huptstz der Differentilrechnung ist uch folgende Schreibweise üblich: f() d = F () b := F (b) F () f() d Eine Vielzhl von Grundintegrlen findet mn in Formelsmmlungen, hier einige einfche Beispiele, wobei c R beliebig ist: n d = n+1 n c für n R \ { 1} 1 d = ln + c e d = e + c sin() d = cos() + c cos() d = sin() + c Stz 7 (Substitutionsregel 1) Es seien f : [, b] R eine stetige Funktion und g : [c, d] [, b] eine stetig differenzierbre Funktion. Dnn gilt mit der Substitution z = g() und dem Differentil dz = g () d f ( g() ) g () d = f(z) dz. Bemerkungen: Es ist zu bechten, dss beim bestimmten Integrl die Integrtionsgrenzen mit zu trnsformieren sind: f ( g() ) g () d = g(b) g() f(z) dz Wichtige Spezilfälle der Subsitutionsregel sind: linere Substitution: f( + b) d = 1 F ( + b), wobei F eine Stmmfunktion von f ist ( ) n+1 (f() ) n f() f () d = + c, c R für n R \ { 1} n + 1 f () f() d = ln f() + c, c R 5

6 Stz 8 (Substitutionsregel 2) Es seien f : [, b] R eine stetige Funktion und g : [c, d] [, b] eine stetig differenzierbre und umkehrbre (!) Funktion. Weiter sei S(z) eine Stmmfunktion von f ( g(z) ) g (z). Dnn gilt mit der Substitution = g(z) und dem Differentil d = g (z) dz f() d = f ( g(z) ) g (z) dz = S(z) + k = S ( g 1 () ) + k, k R. Stz 9 (Prtielle Integrtion) Sei D R. Sind u, v : D R stetig differenzierbre Funktionen, dnn gilt u() v () d = u() v() u () v() d. Definition 10 (Uneigentliches Integrl) Sei f : (, b] R eine stetige Funktion, die über jedem Intervll [ε, b] für < ε < b integrierbr ist. Flls der Grenzwert Ds Integrl lim ε ε f() d eistiert, dnn setzen wir f() d := lim ε ε f() d. f() d heißt uneigentliches Integrl. Anlog definiert mn für f : [, ) R f() d := lim b f() d, flls f uf jedem der Intervlle [, b] für b > integrierbr ist und der Grenzwert lim b f() d eistiert. Litertur: Diese Zusmmenstellung ersetzt nicht die Vorlesung. Für Zusmmenhänge zwischen den Aussgen und insbesondere für die Beweise der gennnten Aussgen sei uf die Vorlesung sowie uf eine Vielzhl von Lehrbüchern verwiesen! Im Rhmen dieser Vorlesung sind zum Beispiel die Lehrbücher Kreußler, B.; Pfister, G.: Mthemtik für Informtiker. Algebr, Anlsis, diskrete Strukturen., exmen.press., Springer, Berlin 2009 Hrtmnn, P: Mthemtik für Informtiker, Vieweg, Wiesbden zu empfehlen. Drüber hinusgehende Informtionen erhält mn zum Beispiel in Forster, O.: Anlsis 1 - Differentil- und Integrlrechnung einer Veränderlichen, Vieweg, Wiesbden 2001 Heuser, H.: Lehrbruch der Anlsis, Teil 1, Teubner, Stuttgrt 2009 Wlter, W.: Anlsis I, Springer, Berlin 2004 BTU Cottbus-Senftenberg, Lehrstuhl Numerische und Angewndete Mthemtik, Letzte Berbeitung: 22. Jnur

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