Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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1 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen: Berechnung von Integrlen Bisher wurden Differentilrechnung und Integrlrechnung getrennt behndelt; beide Klküle entflten llerdings erst ihre volle Stärke, wenn sie zusmmen ngewendet werden. Der fundmentle Zusmmenhng, der zwischen Differentition und Integrtion besteht, ist ls sogennnter Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung beknnt. Sein Beweis ergibt sich leicht us den Mittelwertsätzen beider Klküle. Beispiel und Konvention. ) Für die Funktion F : x x 0 t2 dt, x 0, (1) gilt nch Beispiel 16b) die explizite Formel F(x) = 1 3 x3, und es folgt F (x) = x 2, x 0. (2) Für x < 0 sieht mn leicht 0 x t2 dt = x 0 t 2 dt = 1 3 ( x)3 = 1 3 x3, d j p 2 : t t 2 eine gerde Funktion ist. Unter Verwendung der Konvention b f(t)dt := f(t)dt für < b und f C[,b] (3) knn (1) sogr für lle x R definiert werden, und (2) gilt dnn uf gnz R. b) In ) wurden lso für eine stetige Funktion f C(I) die Integrle F(x) := x f(t)dt, x I, mit vribler oberer Grenze x untersucht, und dbei ergb sich die Aussge F (x) = f(x) für lle x I. Der Huptstzes 17.1 besgt, dß diese uch llgemein richtig ist.

2 Stmmfunktionen. ) Es sei I R ein Intervll. Eine differenzierbre Funktion F : I R heißt Stmmfunktion von f : I R, flls F = f gilt. b) Sind F, Φ : I R Stmmfunktionen von f : I R, so ist F Φ konstnt. Wegen (F Φ) = F Φ = f f = 0 ist dies eine Konsequenz von Folgerung 10.10, die in Abschnitt 14 us dem Mittelwertstz der Differentilrechnung gefolgert wurde Theorem (Huptstz). ) Es seien I R ein Intervll und I. Für eine stetige Funktion f C(I) wird durch F(x) := x f(t)dt, x I, (4) eine Stmmfunktion F zu f definiert. b) Ist f C[,b] und Φ eine Stmmfunktion von f uf [,b], so gilt f(t)dt = Φ(b) Φ(). (5) Beweis s. [A1], Bedeutung des Huptstzes. ) Der Huptstz ist von großer theoretischer Bedeutung, d er die Existenz von Stmmfunktionen zu llen stetigen Funktionen grntiert. Für spezielle Funktionen knn es schwierig oder sogr unmöglich sein, Stmmfunktionen mit Hilfe bereits beknnter Funktionen explizit uszudrücken. b) Als Beispiel für dieses Phänomen diene die rtionle Funktion j : x 1 / x über (0, ). Mit Hilfe der bisher in diesem Buch behndelten Funktionen läßt sich keine Stmmfunktion von j explizit ngeben. Wir werden ber im nächsten Abschnitt logx := x 1 1 dt, x > 0, (6) t ls Definition des Logrithmus verwenden. Anlog dzu werden wir in Abschnitt 19 in Übereinstimmung mit (12.9) die Umkehrfunktion des Sinus uf ( 1, 1) durch rcsinx := x 0 dt 1 t 2, 1 < x < 1, (7) definieren und dmit die exkte Einführung der trigonometrischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen nchholen. c) Andererseits ist für viele Funktionen ufgrund der Ergebnisse in Kpitel II die explizite Angbe von Stmmfunktionen möglich. In diesen Fällen erlubt (5) die bequeme Berechnung von Integrlen; hieruf beruht die große prktische Bedeutung des Huptstzes. Wir können bereits eine erste Tbelle von Funktionen und Stmmfunktionen ufstellen: 17.2 Tbelle.

3 Funktion f Stmmfunktion F Definitionsbereich x n (n N 0 ) x n+1 n+1 R x α (α 1) x α+1 α+1 x > 0 cosx sinx R sinx cosx R 1 1+x 2 rctnx R 1 1 x 2 rcsinx x < 1 Beispiele. ) Für die rechte Seite von (5) verwendet mn oft die Abkürzung Φ(x) b := Φ(b) Φ(). (8) b) Aus d d sinx = cosx und dx dx xα+1 = (α+1)x α bzw. Tbelle 17.2 ergibt sich sofort cosxdx = sinx b, (9) xα dx = 1 α+1 xα+1 b, α 1,, b > 0, (10) letzteres in Übereinstimmung mit (16.19). Im Fll α > 0 gilt (10) uch für, b 0, im Fll α N sogr für lle, b R. Unbestimmte Integrle. Für eine Stmmfunktion F von f verwendet mn oft die Nottion f(x)dx = F(x). (11) Ds unbestimmte Integrl f(x)dx bezeichnet hiernichteinefunktion,sonderndie Menge ller Stmmfunktionen zu f, wegen Folgerung lso die Funktionenmenge {F+C C R}. Formeln wie (11) sind stets so zu lesen, dß die Funktion F Element der Menge f(x)dx ist. Ntürlich lssen sich Stmmfunktionen meist nicht so unmittelbr ngeben wie in (9) oder(10).zurberechnung von f(x)dx versucht mndnn,denintegrndengeeignet umzuformen. Zwei wichtige Methoden dfür ergeben sich us der Produktregel und der Kettenregel der Differentilrechnung: 17.3 Stz (Prtielle Integrtion). Es seien f C(I), F eine Stmmfunktion von f und g C 1 (I). Dnn gilt f(x)g(x)dx = F(x)g(x) F(x)g (x)dx. (12) Beweis s. [A1], Im Fll I = [,b] ergibt sich us (12) und (5) sofort f(x)g(x)dx = F(x)g(x) b F(x)g (x)dx. (13)

4 Beispiele. ) Zur Berechnung des Integrls x cosxdx wählen wir f(x) = cosx und g(x) = x; mit F(x) = sinx folgt dnn x cosxdx = x sinx 1 sinxdx = x sinx+cosx. b) Zur Berechnung von sin 2 xdx wählen wir f(x) = g(x) = sinx; mit F(x) = cosx folgt dnn sin 2 xdx = sinx cosx+ cos 2 xdx = sinx cosx+ (1 sin 2 x)dx, lso sin 2 xdx = 1 (x sinx cosx) Stz (Substitutionsregel). Gegeben seien Funktionen f C[c, d] und g C 1 [,b] mit g([,b]) [c,d]. Dnn gilt (mit Nottion (3)) f(g(x))g (x)dx = g(b) g() f(t)dt. (14) Beweis s. [A1], Bemerkungen. ) In Stz 17.4 muß g weder monoton noch bijektiv sein. Ist jedoch g : [,b] [c,d] bijektiv mit g (x) 0 uf [,b], so gilt ufgrund des Zwischenwertstzes g > 0 oder g < 0 uf [,b], d.h. g ist streng monoton (vgl. Theorem 10.9), und mn ht g() = c, g(b) = d oder g() = d, g(b) = c. Für h := g 1 : [c,d] [,b] gilt dnn uch d c f(t)dt = g 1 (d) g 1 (c) f(g(x))g (x)dx = h(d) h(c) f(h 1 dx (x)), (15) h (h 1 (x)) wobei wieder Nottion (3) verwendet wurde. b) Bechten Sie bitte, dß bei der Substitutionsregel die Integrtionsgrenzen mittrnsformiert werden müssen. Für unbestimmte Integrle lutet (14) so: f(g(x))g (x)dx = ( f(t)dt) g. (16) Beispiele. ) Um ds Integrl (cx+d)n dx zu berechnen (n N, c 0), setzen wir g(x) := cx+d; dnn ist g (x) = c, und wir erhlten (cx+d)n dx = 1 c (g(x))n g (x)dx = 1 c g(b) g() tn dt = 1 c t n+1 cb+d. n+1 c+d b) Zur Berechnung des Integrls x sin(x 2 1)dx setzen wir g(x) := x 2 1; dnn ist g (x) = 2x, und mit f(t) := sint ergibt sich x sin(x 2 1)dx = 1 2 f(g(x))g (x)dx = 1 2 ( sintdt) g = 1 2 cos g = 1 2 cos(x2 1).

5 Nottionen. ) Es ist eine bkürzende Formulierung von (14), im linken Integrl t = g(x) zu substituieren und die Regel g (x)dx = dt zu verwenden. Mit der Nottion dt = dx g dt (x) erhält mn dfür die suggestive Schreibweise dx = dt. Ist dx g bijektiv wie in 17 ), so knn mn im linken Integrl von (15) uch x = h(t) substituieren und ht dx = dx dt zu bechten. Ntürlich müssen die Grenzen stets dt mittrnsformiert werden. b) Ds obige Beispiel b) wird mit diesen Nottionen folgendemßen gerechnet: In dem Integrl x sin(x2 1)dx substituiert mn t = x 2 1; dnn ist dt = 2xdx, lso x sin(x2 1)dx = sintdt. Mn knn uch x = 1+t setzen und erhält dnn dx = 1 2 dt = 1 dt. 1+t 2x c) Formeln wie dt = dt dx werden hier nur ls bequeme Schreibweise für (14), (15) dx oder (16) gelegentlich verwendet. Die präzise Bedeutung der Symbole dx oder dt findet mn etw in [A2], Abschnitt 30 oder [A3], Kpitel V.