$Id: integral.tex,v /05/05 14:57:29 hk Exp hk $ ln(1 + t) 2 = ln 2 ln 3 + ln 2 = ln

Transkript

1 $Id: integral.tex,v /05/05 4:57:29 hk Exp hk $ 2 Integralrechnung 2.3 Die Integrationsregeln Wir wollen noch eine letzte kleine Anmerkung zur Substitutionsregel machen. Der letzte Schritt bei der Berechnung eines unbestimmten Integrals mittels der Substitutionsregel ist das Rücksubstituieren also das Ersetzen von t durch eine Funktion in x. Bei der Berechnung bestimmter Integrale ist dieses Einsetzen aber nicht nötig. Zum Beispiel haben wir in unserem obigen Beispiel ln e x = 2 dt tt + ) = ln t 2 ln + t) 2 = ln 2 ln 3 + ln 2 = ln ) 4. 3 Die Änderung der Grenzen bei Substitution ist dabei wie in Satz 6 angegeben, wenn x von x = 0 bis x = ln 2 läuft, so durchläuft t = e x die Werte von t = e 0 = bis t = e ln 2 = 2. Wir wollen nun noch ein allerletztes Beispiel unbestimmter Integrale besprechen, nämlich die Integrale cos x mit n N. Hierbei wird ein neues Phänomen auftreten, das wir bisher noch nicht gesehen haben, wir können das Integral nicht geschlossen ausrechnen, sondern werden nur eine Rekursionsformel für diese Integrale herleiten. Im kleinen Fall n =, also cos 2 x haben wir bereits weiter oben cos 2 x = x 2 + sin x cos x 2 gesehen. Nun nehme n > an. Mit der Produktregel rechnen wir dann cos x = sin x cos x + ) sin 2 x cos 2 x = sin x cos x + ) cos 2n ) x ) cos x. Diese Situation kennen wir schon, wir können diese Formel als eine Gleichung für cos x auffassen, und diese durch cos x = sin x cos x + ) 6- cos 2n ) x

2 auflösen. Dies ist leider keine explizite Formel, sondern nur eine Rekursionsformel für diese Integrale. Kennen wir bereits das Integral cos 2n ) x für n statt n, so erlaubt es diese Formel auch das Integral cos x für n selbst auszurechnen. Da wir den Fall n = kennen, können wir durch einmalige Anwendung der Formel cos 4 x berechnen, durch nochmalige Anwendung kriegen wir cos 6 x, durch erneute Anwendung cos 8 x, und immer so weiter. Mit hinreichend viel Geduld können wir also jedes der fraglichen Integrale berechnen. Die Rekursionsformel erlaubt es uns immerhin die prinzipielle Gestalt des Integrals cos x zu erkennen. Wir starten für cos 2 x mit einem linearen Term x/2 plus sin x cos x mal /2. In jedem weiteren Schritt kommt dann ein Vielfaches von sin x cos x = sin cos cos 2n ) x hinzu. Wegen cos 2n ) x = cos 2 x) n sollte das n-te Integral cos x die Gestalt Linearer Teil + sin x Summe ungerader Potenzen von cos x ) haben. Diese Behauptung können wir noch etwas expliziter machen, und auch beweisen, wir behaupten, dass es für jedes n N Zahlen A n R und Polynome Φ n von Grad n gibt so, dass cos x = A n x + sin x cos x Φ n cos 2 x) ist. Für n = ist dies klar mit A = /2 und Φ x) = /2. Ist nun n >, und wissen wir bereits das cos 2n ) x die obige Form hat, so haben wir mit unserer Rekursionsformel auch cos x = sin x cos x + = sin x cos x cos2 x) n + mit A n := ) ) A n x + cos 2n ) x ) sin x cos xφ n cos 2 x) = A n x + sin x cos x Φ n x) ) A n, Φ n x) := xn + ) Φ n x) setzen. Per Induktion haben wir unsere Aussage damit bewiesen, und wir haben auch explizite Rekursionsformeln für die Zahlen A n und die Polynome Φ n. Die ersten dieser Zahlen und Polynome sind A = 2, Φ x) = 2, A 2 = 3 4 A = 3 8, Φ 2x) = 4 x Φ x) = 4 x + 3 8, A 3 = 5 6 A 2 = 5 6, Φ 3x) = 6 x Φ 2x) = 6 x x + 5 6, 6-2

3 und für unsere Integrale bedeutet dies cos 2 x = 2 x + sin x cos x, 2 cos 4 x = 3 8 x + sin x cos x 4 cos2 x + 3 ), 8 cos 6 x = 5 6 x + sin x cos x 6 cos4 x cos2 x + 5 ) Integration rationaler Funktionen Rationale Funktionen sind Quotienten von zwei Polynomen fx) = px)/qx), wobei wir immer annehmen können, das die beiden Polynome p und q keine gemeinsamen Teiler haben. Wir werden einsehen, dass die Stammfunktion einer rationalen Funktion sich immer aus rationalen Funktionen, Logarithmen und Arcustangens Funktionen zusammensetzt. Viele der einfachen Beispiele kennen wir bereits, nämlich x = ln x, x = n n n > ), xn = arctan x. + x2 Wir werden im folgenden schrittweise immer kompliziertere Typen rationaler Funktionen behandeln, bis wir letztendlich alle rationalen Funktionen integrieren können. In jedem neuen Schritt werden wir die dabei die zu berechnenden Integrale auf die bereits erledigten Fälle des vorigen Schritts zurückführen. Dabei starten wir mit den gerade eben aufgelisteten Integralen. Durch Umskalieren erhalten wir aus diesen für a, b R mit a 0 die unbestimmten Integrale ax + b = ln ax + b und a ax + b) = n an ) n > ). ax + b) n Noch etwas komplizierter sind dann unbestimmte Integrale der Form px) ax + b) n wobei n N und p ein beliebiges Polynom sind. Durch Polynomdivision können wir dann erreichen, dass der Grad des Zählers px) kleiner als n wird. Sind nämlich qx) der Quotient bei der Division von px) durch ax + b) n und rx) der Rest, so haben wir px) = qx)ax + b) n + rx) wobei der Grad von r kleiner als n ist, und es folgen px) ax + b) n = qx)ax + b)n + rx) ax + b) n = qx) + rx) ax + b) n, 6-3

4 also auch px) ax + b) = n qx) + rx) ax + b) n. Die Stammfunktionen von Polynomen kennen wir, wir müssen also nur noch das zweite unbestimmte Integral berechnen, und bei diesem ist der Grad des Zählers kleiner als n. Diese verbleibenden Integrale kann man nun auf die bisher berechneten Integrale zurückführen, indem rx) als ein Polynom in ax + b geschrieben wird, also rx) = sax + b). Ist dann sx) = a n x n + + a 0, so ist rx) ax + b) = a n ax + b) n + + a 0 = a n n ax + b) n ax + b + a n 2 ax + b) + + a 0 2 ax + b) n und damit folgt schließlich rx) ax + b) = a n n a ln ax + b a n 2 a Zur Berechnung des Polynoms sx) muss man dabei nur x = ax + b) b a ax + b a 0 an ) ax + b) n. in rx) einsetzen. Behandeln wir als ein Beispiel einmal das unbestimmte Integral x 3 x 2 + 2x + 2x + ) 2. Hier ist der Grad des Zählers gleich 3, also größer als der Exponent 2 im Nenner. Folgen wir unserem obigen Vorgehen, so beginnen wir daher mit der Polynomdivision. Es ist 2x + ) 2 = 4x 2 + 4x + und d.h. wir haben x 3 x 2 + 2x + : 4x 2 + 4x + = 4 x 2 x 3 + x x) 2x x + 2x 2 2x 2 ) 5 4 x + 3 2, qx) = 4 x 5, rx) = 2 4 x Jetzt schreiben wir rx) als ein Polynom in 2x + x = 2x + ) 2 = rx) = 5 4 x = x + ) 2 ) = 5 8 2x + ) 3 8, also sx) = 5 8 x

5 Damit ist x 3 x 2 + 2x + = 2x + ) 2 8 x2 2 x ln 2x x +. Wir kommen zum nächstkomplizierteren Typ und betrachten Stammfunktionen rationaler Funktionen fx) = px)/qx) bei denen der Nenner in mehrere Linearfaktoren zerfällt. Dabei können wir uns auf die folgende Situation beschränken:. Der Grad des Zählers px) ist kleiner als der Grad des Nenners qx). Denn ist dies nicht so, so können wir zuvor wie oben eine Polynomdivision machen und erhalten ein Polynom plus eine rationale Funktion rx)/qx), deren Zähler einen kleineren Grad als qx) hat. 2. Außerdem können wir annehmen das der Nenner normiert ist, also die Form qx) = x n + mit führenden Koeffizienten hat. Andernfalls können wir den Bruch einfach passend erweitern. Damit hat der Nenner die Form qx) = x a ) n... x a r ) nr, wobei a,..., a r die Nullstellen von qx) sind. Die Exponenten n,..., n r sind die jeweiligen Vielfachheiten der Nullstellen, leider kann qx) ja auch mehrfache Nullstellen haben. Jetzt kann man die rationale Funktion fx) in der Form fx) = px) qx) = p x) x a ) + + p rx) n x a r ) nr schreiben, wobei p,..., p r Polynome mit grad p i < n i für i =,..., r sind. Dies ist eine Variante der sogenannten Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen. Ist uns diese Zerlegung gelungen, so ist fx) = p x) x a ) + + n p r x) nr x a r ) und jeden der einzelnen Summanden haben wir bereits im vorigen Schritt berechnet. Natürlich ist es zur realen Ausführung dieses Verfahrens wichtig, dass wir die Partialbruchzerlegung tatsächlich berechnen können, und zur Beschreibung dieses Rechenverfahrens wollen wir das Beispiel des unbestimmte Integrals 2x 5 + 3x 4 2x 3 x 2 + x + x 3 + x 2 x behandeln. Als ersten Schritt bringen wir den Zähler durch Polynomdivision auf Grad höchstens zwei. Die Rechnung zur Polynomdivision lassen wir diesmal weg, und notieren hier nur das Ergebnis 2x 5 + 3x 4 2x 3 x 2 + x + = 2x 2 + x ) x 3 + x 2 x ) + 3x 2 + x, 6-5

6 d.h. der Quotient ist 2x 2 + x und der Rest ist 3x 2 + x. Damit ist 2x 5 + 3x 4 2x 3 x 2 + x + = 2 x 3 + x 2 x 3 x3 + 3x 2 + x 2 x2 x + x 3 + x 2 x. Der Nenner ist ein Produkt x 3 + x 2 x = x 2 )x + ) = x )x + ) 2, und wir setzen die Partialbruchzerlegung in der Form 3x 2 + x x 3 + x 2 x = A x + Bx + C x + ) 2 an. Bringen wir hier die rechte Seite der Gleichung auf den Hauptnenner, so erhalten wir die Bedingung 3x 2 + x x 3 + x 2 x = Ax + )2 + Bx + C))x ) x 3 + x 2 x = A + B)x2 + 2A B + C)x + A C. x 3 + x 2 x Da beide Brüche denselben Nenner haben müssen die Zähler übereinstimmen, und dies heißt das alle Koeffizienten jeweils gleich sind. Wir haben also drei Bedingungen an die Unbekannten A, B, C A + B = 3, 2A B + C =, A C = 0. Dieses lineare Gleichungssystem kann man leicht direkt lösen, es sind C = A, B = 3 A, also = 2A B + C = 2A 3 + A + A = 4A 3, und somit A =, B = 3 A = 2 und C = A =. Als unsere Partialbruchzerlegung ergibt sich somit 3x 2 + x x 3 + x 2 x = x + 2x + x + ) 2. Folglich ist 3x 2 + x x 3 + x 2 x = 2x + x + = ln x + 2 ln x + + x + ) 2 x +, wobei wir den letzten Schritt mit der schon behandelten Methode zur Lösung von Integralen px)/ax + b) n gerechnet haben. Insgesamt ist damit 2x 5 + 3x 4 2x 3 x 2 + x + x 3 + x 2 x = 2 3 x3 + 2 x2 x + ln x + 2 ln x + + x +. Die Methode zur Berechnung der Partialbruchzerlegung läuft also in drei Schritten ab, 6-6

7 . rechte Seite auf Hauptnenner bringen, 2. die entstehenden Koeffizienten im Zähler vergleichen, 3. und dann das entstehende lineare Gleichunssystem lösen. Diese Rechenmethode ist immer möglich, aber in der praktischen Durchführung oft etwas mühsam. Im Spezialfall das unser Nenner keine mehrfachen Nullstellen hat, gibt es auch eine alternative, deutlich einfacherere Rechenmethode. Nehme also an, wir wollen die Partialbruchzerlegung von px)/qx) berechnen, wobei der Nenner die Form qx) = x a )... x a n ) hat, und p ein Polynom von Grad kleiner als n ist. Unser Nenner soll also in Linearfaktoren zerfallen, aber keine mehrfachen Nullstellen haben. Die Zähler in der Partialbruchzerlegung haben dann Grad 0, sind also Konstanten, die wir als ansetzen. Ist für i n nun px) x a )... x a n ) = A x a + + A n x a n q i x) := x a )... x ai )... x a n ) das Produkt aller Linearfaktoren mit Ausnahme des i-ten, so haben wir A + + A n = A q x) + + A n q n x) x a x a n x a )... x a n ). Setzen wir nun x = a i ein, so ist q j x) = q j a i ) = 0 für j n mit j i, da unter den Faktoren des Produkts insbesondere a i a i = 0 vorkommt, und wir erhalten die Gleichung A i a i a j ) = A i q i a i ) = A q a i ) + + A n q n a i ) = pa i ). j n j i Damit ergeben sich die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung direkt als A i = j n j i pa i ) a i a j ). Hat der Nenner also keine mehrfachen Nullstellen, so müssen wir nichts ausmultiplizieren und keine linearen Gleichungssysteme lösen, sondern können die Partialbruchzerlegung einfach hinschreiben. Rechnen wir als ein Beispiel zu dieser Methode der Partialbruchzerlegung die Funktion fx) = 298x2 078x x 3 2x 2 x

8 Hier ist x 3 2x 2 x + 2 = x 2 )x 2) = x + )x )x 2), und die Partialbruchzerlegung hat die Form Unsere obige Formel besagt fx) = A x + + B x + C x 2. also A = B = ) 3) = 833 2, ) = 343 2, C = 59 3 = 53, fx) = 298x2 078x + 23 x 3 2x 2 x + 2 = x x + 53 x