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1 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 $Id: integrl.tex,v /04/ 11::04 hk Exp $ Integrlrechnung.1 Ds Riemn Integrl In der letzten Sitzung hben wir verschiedene vorbereitende Begriffe zur Konstruktion des Riemn-Integrls eingeführt, und uch schon einige Beispiele zu ihnen vorgeführt. Als nächsten Schritt wollen wir ein Lemm über Zerlegungen und Zerteilungen von Intervllen beweisen, benötigen zur Formulierung dieses Lemms ber noch zwei kleine Hilfsbegriffe. Sind, b R mit < b und α = (t 0,..., t n ), β = (s 0,..., s m ) zwei Zerlegungen von [, b], so nennen wir β eine Verfeinerung von α, geschrieben ls α β, wenn jeder Zerteilungspunkt us α uch in β ist, wenn lso {t 0,..., t n } {s 0,..., s m } gilt. Dnn ist offenbr δ(β) δ(α). Sind α, β zwei Zerlegungen von [, b], so gibt es offenbr eine Zerlegung γ von [, b] die feiner ls α und β ist. Wir können beispielsweise die Zerlegung α β = (r 0,..., r k ) mit {r 0,..., r k } = {t 0,..., t n } {s 0,..., s m } bilden, bei der die Zerlegungspunkte von α und β zusmmengefsst und korrekt sortiert werden. Es ist k n + m 1. Bechte ds α β keine mengentheoretische Vereinigung sondern ein kleiner Bezeichnungsmißbruch ist. Dmit kommen wir zum ngekündigten Lemm. Lemm.: Seien, b R mit < b und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. () Sind α, β zwei Zerlegungen von [, b] mit α β, so gelten S(f; α) S(f; β) und S(f; α) S(f; β). (b) Sind α, β zwei Zerlegungen von [, b], so gilt S(f; α) S(f; β). (c) Ist ζ eine Zerteilung von [, b] mit zugehöriger Zerlegung α, so ist S(f; α) R(f; ζ) S(f; α). (d) Seien α eine Zerlegung von [, b] und ɛ > 0. Dnn existieren Zerteilungen ζ, ζ von [, b] mit zugehöriger Zerlegung α so, dss gelten. S(f; α) ɛ < R(f; ζ) S(f; α) und S(f; α) R(f; ζ ) < S(f; α) + ɛ (e) Seien α, β zwei Zerlegungen von [, b] und C 0 mit f(x) C für lle x [, b]. Es bezeichne n die Anzhl der Teilintervlle der Zerlegung α. Dnn gelten S(f; β) S(f; α β) S(f; β) + C(n 1)δ(β) 3-1

2 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 und S(f; β) S(f; α β) S(f; β) C(n 1)δ(β). Beweis: () Seien α = (t 0,..., t n ) eine Zerlegung von [, b] und t (, b) ein neuer Zerlegungspunkt, lso t i 1 < t < t i für ein 1 i n. Wir zeigen die Behuptung zunächst für β = (t 0,..., t i 1, t, t i,..., t n ). Für 1 j n schreibe m j := inf f([t j 1, t j ]) und M j := sup f([t j 1, t j ]). Außerdem seien und Dnn hben wir m := inf f([t i 1, t]) m i, m + := inf f([t, t i ]) m i M := sup f([t i 1, t]) M i, M + := sup f([t, t i ]) M i. i 1 S(f; β) = m j (t j t j 1 ) + m (t t i 1 ) + m + (t i t) + j=1 i 1 m j (t j t j 1 ) + m i (t t i 1 ) + m i (t i t) + j=1 = j=i+1 j=i+1 m j (t j t j 1 ) m j (t j t j 1 ) m j (t j t j 1 ) = S(f; α), und nlog folgt uch S(f; β) S(f; α). Dmit ist die Behuptung in diesem Fll bewiesen. Ist β eine beliebige Verfeinerung von α, so entsteht β us α durch sukzessives Hinzufügen einzelner Zerlegungspunkte, und die Behuptung folgt mit Induktion us dem bereits bewiesenen Spezilfll. (b) Ist α = (t 0,..., t n ) eine Zerlegung von [, b], so ist für jedes 1 i n, lso ist uch S(f; α) = j=1 m i = inf f([t i 1, t i ]) sup f([t i 1, t i ]) = M i m i (t i t i 1 ) M i (t i t i 1 ) = S(f; α). Sind lso α, β zwei beliebige Zerlegungen von [, b], so wählen wir eine weitere Zerlegung γ von [, b] mit γ α, β, und erhlten mit Teil () uch S(f; α) S(f; γ) S(f; γ) S(f; β). (c) Schreibe ζ = (t 0,..., t n ; s 1,..., s n ), lso α = (t 0,..., t n ). Für jedes 1 i n ist dnn wegen s i [t i 1, t i ] m i = inf f([t i 1, t i ]) f(s i ) sup f([t i 1, t i ]) = M i, 3-

3 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 lso hben wir S(f; α) = m i (t i t i 1 ) f(s i )(t i t i 1 ) = R(f; ζ) M i (t i t i 1 ) = S(f; α). (d) Sei α = (t 0,..., t n ). Für jedes 1 i n setze m i := inf f([t i 1, t i ]), M i := sup f([t i 1, t i ]) und wähle s i, s i [t i 1, t i ] mit M i ɛ b < f(s i) M i und m i f(s i) < m i + ɛ b. Wir erhlten die Zerteilungen ζ := (α; s 1,..., s n ), ζ := (α; s 1,..., s n) mit zugehöriger Zerlegung α. Es gilt R(f; ζ) = f(s i )(t i t i 1 ) > = ( M i ɛ ) (t i t i 1 ) b M i (t i t i 1 ) ɛ b (t i t i 1 ) = S(f; α) ɛ, und nlog folgt uch R(f; ζ) < S(f; α) + ɛ. (e) Die Ungleichungen uf der linken Seite sind jeweils nch () klr, wir müssen lso nur noch diejenigen uf der rechten Seite einsehen. Schreibe β = (s 0,..., s m ). Im Fll n = 1 ist α = (, b) und α β = β und die Behuptung ist in diesem Fll klr. Wir behndeln jetzt den Fll n =. Dnn ist α = (, t, b) für ein t (, b). Ist dbei t {s 0,..., s m }, so gilt wieder α β = β und die Aussge ist klr. Wir können lso t / {s 0,..., s m } nnehmen und dnn existiert ein eindeutiges 1 j m mit t (s j 1, s j ). Für 1 i m setze m i := inf f([s i 1, s i ]) und M i := sup f([s i 1, s i ]) und weiter seien m := inf f([s j 1, t]), m := inf f([t, s j ]) M := sup f([s j 1, t]), M := sup f([t, s j ]), lso uch m j = min{m, m } und M j = mx{m, M }. Mit diesen Bezeichnungen ist α β = (s 0,..., s j 1, t, s j,..., s m ) und S(f; α β) S(f; β) = m (t s j 1 ) + m (s j t) m j (s j s j 1 ) Ist m j = m, so ist wegen m C und m j C uch = (m m j )(t s j 1 ) + (m m j )(s j t). S(f; α β) S(f; β) = (m m j )(s j t) Cδ(β), ndernflls ist m j = m und S(f; α β) S(f; β) Cδ(β) folgt nlog. Ebenso ergibt sich S(f; α β) S(f; β) Cδ(β). Dmit ist die Aussge im Fll n = bewiesen. Die llgemeine Aussge beweisen wir nun durch Induktion nch n. 3-3

4 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 Sei lso n N mit n 3 gegeben, und die Behuptung gelte für n 1. Sei α = (t 0,..., t n ) und setze α := (t 0,..., t n, t n ) sowie β := β (, t n 1, b). Mit der Induktionsnnhme und dem schon erledigten Fll ergibt sich S(f; α β) = S(f; α β ) S(f; β ) + C(n )δ(β ) S(f; β) + Cδ(β) + C(n )δ(β) = S(f; β) + C(n 1)δ(β) und nlog folgt uch S(f; α β) S(f; β) C(n 1)δ(β). Dmit ist uch (e) per Induktion bewiesen. Nch Teil (b) des Lemms ist jede Untersumme kleiner ls jede Obersumme. Insbesondere ist die Menge ller Untersummen nch oben beschränkt und die Menge ller Obersummen ist nch unten beschränkt, d.h. wir können definieren: Definition.4 (Ds Riemn Integrl) Seien, b R mit < b und sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn definieren wir ds Riemnsche Unter- beziehungsweise Oberintegrl von f durch f := sup {S(f; α) α ist Zerlegung von [, b]} (Unterintegrl) f := inf { S(f; α) α ist Zerlegung von [, b] } (Oberintegrl). Weiter heißt die Funktion f Riemn-integrierbr wenn ihr Unter- und ihr Oberintegrl gleich sind und in diesem Fll heißt ds Riemn Integrl von f. f := Im llgemeinen Fll gilt nur f f. Meistens verwenden wir die lterntive Schreibweise f = f(x) dx := und entsprechend für ds Unter- und Oberintegrl. Ds x ist hier eine im Integrl gebundene formle Vrible, beispielsweise nlog zum Summtionsindex in der Summenschreibweise. Diese Schreibweise ist vor llem prktisch, wenn wir der Funktion gr keinen eigenen Nmen geben sondern nur eine die Abbildungsvorschrift beschreibende Formel hinschreiben. Bechte ds ds dx keinerlei eigenständige inhltliche Bedeutung ht, syntktisch dient es zum einen ls sich schließende Klmmer, mit dem Integrlzeichen ls die zugehörige sich öffnende Klmmer, und zum nderen gibt es n wonch integriert werden soll. Letzteres ist nur von Bedeutung wenn in der Formel 3-4 f f

5 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 noch weitere Vriblen vorkommen. Oft betrchtet mn eine Funktion ls Integrnd die nicht nur uf dem Intervll [, b] sondern uf einer größeren Menge definiert ist. Dnn nennen wir f über [, b] Riemn-integrierbr wenn die Einschränkung f [, b] dies ist und ds Riemn-Integrl dieser Einschränkung nennen wir ds Riemn-Integrl von f über [, b], wieder geschrieben ls f(x) dx. Zunächst behndeln wir zwei gnz einfche Beispiele. Ist f : [, b] R konstnt gleich c R, so htten wir schon gesehen, dss lle Unter- und lle Obersummen von f gleich c(b ) sind, dmit sind uch ds Ober- und ds Unterintegrl gleich c(b ), d.h. konstnte Funktionen sind Riemn-integrierbr mit c dx = c(b ). Als zweites Beispiel schuen wir uns die Dirichlet-Funktion f : [0, 1] R n, lso f(x) = 1 für rtionles x und f(x) = 0 für irrtionles x. Wir htten gesehen, dss lle Untersummen gleich Null und lle Obersummen gleich Eins sind, d.h. es gelten f(x) dx = 0 und 1 0 f(x) dx = 1, und insbesondere ist die Funktion f nicht Riemn-integrierbr. Als ein etws komplizierteres Beispiel betrchten wir jetzt die Funktion f : [, b] R; x x, und behupten ds f Riemn-integrierbr mit x dx = b ist. Ist α eine Zerlegung von [, b], so wissen wir bereits ds S(f; α) S(f; α) + S(f; α) = b und S(f; α) S(f; α) (b )δ(α) sind. Hierus folgt S(f; α) b (b )δ(α) S(f; α) x dx x dx S(f; α) b +(b )δ(α). Ist jetzt ɛ > 0 beliebig, so existiert eine Zerlegung α von [, b] mit δ(α) ɛ/(b ), zum Beispiel eine äquidistnte Zerlegung von [, b] in n Teilintervlle mit n (b ) /ɛ, und setzen wir diese in unsere Abschätzung ein so folgt Dmit hben wir b ɛ x dx x dx = x dx b x dx = b, ɛ.

6 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 und die Behuptung ist bewiesen. Entscheidend für den hier gezeigten Nchweis der Riemn-Integrierbrkeit in diesem Beispiel wr, dss sich Ober- und Untersummen für geeignete Zerlegungen beliebig nhe kmen. Dies ist ein llgemeines Phänomen, ds wir im folgenden Lemm festhlten. Lemm.3 (Chrkterisierung Riemn-integrierbrer Funktionen) Seien, b R mit < b und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: () Die Funktion f ist Riemn-integrierbr. (b) Für jedes ɛ > 0 existiert eine Zerlegung α von [, b] mit S(f; α) S(f; α) < ɛ. (c) Für jedes ɛ > 0 existiert ein δ > 0 so, dss für lle Zerlegungen α, β von [, b] mit δ(α) < δ und δ(β) < δ stets gilt. S(f; α) S(f; β) < ɛ (d) Es gibt eine reelle Zhl A R so, dss es für jedes ɛ > 0 stets ein δ > 0 mit R(f; ζ) A < ɛ für jede Zerteilung ζ von [, b] mit δ(ζ) < δ gibt. (e) Für jedes ɛ > 0 existiert ein δ > 0 so, dss für lle Zerteilungen ζ, ξ von [, b] mit δ(ζ) < δ und δ(ξ) < δ stets R(f; ζ) R(f; ξ) < ɛ gilt. (f) Für jede Folge (ζ n ) n N von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n )) n N 0 ist die Folge (R(f; ζ n )) n N konvergent. Ist f Riemn-integrierbr, so gilt in (d) stets A = f(x) dx und in (f) sind lle diese Folgen gegen f(x) dx konvergent. Beweis: ()= (b). Sei ɛ > 0 gegeben und setze A := f(x) dx. D A ds Unterintegrl von f über [, b] ist, existiert eine Zerlegung β 1 von [, b] mit S(f; β 1 ) > A ɛ/ und d A uch ds Oberintegrl von f über [, b] ist, existiert ebenso eine Zerlegung β von [, b] mit S(f; β ) < A + ɛ/. Wähle eine Zerlegung α von [, b] mit α β 1, β. Nch Lemm.() gilt dnn S(f; α) S(f; α) S(f; β ) S(f; β 1 ) < A + ɛ ( A ɛ ) = ɛ. (b)= (c). Sei ɛ > 0. Dnn existiert eine Zerlegung γ von [, b] mit S(f; γ) S(f; γ) < ɛ/. Wähle ein C > 0 mit f(x) C für lle x [, b] und bezeichne n 1 die Anzhl 3-6

7 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 der Teilintervlle von γ. Setze δ := ɛ/(8cn). Seien α, β zwei Zerlegungen von [, b] mit δ(α) < δ und δ(β) < δ. Nch Lemm.(,e) gilt dnn S(f; α) S(f; β) S(f; α γ) + C(n 1)δ(α) (S(f; α γ) C(n 1)δ(β)) S(f; γ) S(f; γ) + 4Cnδ < ɛ + ɛ = ɛ. (c)= (e). Sei ɛ > 0. Dnn existiert ein δ > 0 mit S(f; α) S(f; β) < ɛ für lle Zerlegungen α, β von [, b] mit δ(α) < δ und δ(β) < δ. Seien jetzt ζ, ξ zwei Zerteilungen von [, b] mit δ(ζ) < δ und δ(ξ) < δ. Bezeichne α die ζ unterliegende Zerlegung von [, b] und β die ξ unterliegende Zerlegung von [, b]. Dnn gelten uch δ(α) = δ(ζ) < δ und δ(β) = δ(ξ) < δ. Mit Lemm.(c) folgen und nlog uch R(f; ζ) R(f, ξ) S(f; α) S(f; β) < ɛ (R(f; ζ) R(f; ξ)) = R(f; ξ) R(f; ζ) < ɛ, d.h. es ist R(f; ζ) R(f; ξ) < ɛ. (e)= (f). Sei (ζ n ) n N eine Folge von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n )) n N 0. Wir zeigen, dss die Folge (R(f; ζ n )) n N eine Cuchyfolge ist. Sei lso ɛ > 0 gegeben. Dnn existiert ein δ > 0 mit R(f; ζ) R(f; ξ) < ɛ für lle Zerteilungen ζ, ξ von [, b] mit δ(ζ) < δ und δ(ξ) < δ. Weiter existiert ein n 0 N mit δ(ζ n ) < δ für lle n n 0, d.h. für n, m n 0 ist stets R(f; ζ n ) R(f; ζ m ) < ɛ. Dmit ist (R(f; ζ n )) n N ttsächlich eine Cuchyfolge und nch I. 4.Stz 16 uch konvergent. (f)= (d). Wir zeigen zuerst, dss es ein A R gibt so, dss für jede Folge (ζ n ) n N von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n )) n N 0 die Folge (R(f; ζ n )) n N gegen A konvergiert. Angenommen dies wäre nicht der Fll. Dnn gibt es A, A R mit A A und Folgen (ζ n) n N, (ζ n) n N von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n)) n N 0, (δ(ζ n)) n N 0, (R(f; ζ n)) n N A und (R(f; ζ n)) n N A. Durch ζ n := ζ n und ζ n+1 := ζ n für jedes n N hben wir eine weitere Folge von Zerteilungen von [, b] und nch I. 4.Lemm 1.(d) ist uch (δ(ζ n )) n N 0. Dmit ist uch die Folge (R(f; ζ n )) n N konvergent und erneut mit I. 4.Lemm 1.(d) folgt der Widerspruch A = A. Dmit ist diese Zwischenbehuptung bewiesen. Wir behupten jetzt, dss mit diesem Wert von A die Aussge in (d) erfüllt ist. Andernflls existiert ein ɛ > 0 so, dss für jedes δ > 0 eine Zerteilung ζ von [, b] mit δ(ζ) < δ und R(f; ζ) A ɛ existiert. Insbesondere gibt es dnn für jedes n 1 eine Zerteilung ζ n von [, b] mit δ(ζ n ) < 1/n und R(f; ζ n ) A ɛ. Insbesondere ist (δ(ζ n )) n N 0 und es ergibt sich der Widerspruch (R(f; ζ n )) n N A. (d)= (). Sei ɛ > 0. Dnn existiert ein δ > 0 mit R(f; ζ) A < ɛ/ für jede Zerteilung ζ von [, b] mit δ(ζ) < δ. Wähle eine Zerlegung α von [, b] mit δ(α) < δ. 3-7

8 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 Nch Lemm.(d) existieren Zerteilungen ζ, ζ von [, b] mit unterliegender Zerlegung α so, dss S(f; α) ɛ < R(f; ζ) S(f; α) und S(f; α) R(f; ζ ) < S(f; α) + ɛ gelten. Wegen δ(ζ) = δ(ζ ) = δ(α) < δ folgt A ɛ < R(f; ζ ) ɛ < S(f; α) f(x) dx f(x) dx S(f; α) < R(f; ζ) + ɛ < A + ɛ. D dies für jedes ɛ > 0 gilt, ist folglich f(x) dx = f(x) dx = A, d.h. f ist Riemn-integrierbr mit f(x) dx = A. Im Beweis der Impliktion von (d) nch () hben wir insbesondere gezeigt, dss die Konstnte A in (d) gleich dem Riemn-Integrl f(x) dx ist. Außerdem wurde beim Beweis von (f) nch (d) bewiesen, dss jede der Folgen (R(f; ζ n )) n N us (f) gegen ds A us (d), lso gegen f(x) dx, konvergiert. Die Bedingung (b) des Lemms ist eine Forderung n die Oszilltion der Funktion f über ds Intervll [, b], die wir jetzt noch etws expliziter formulieren wollen. Angenommen wir hben, b R mit < b und eine beschränkte Funktion f : [, b] R. Wie bei Unter- und Obersummen betrchten wir dnn ds Infimum m von f über [, b] und ds Supremum M von f über [, b], lso m := inf f(x) und M := sup f(x). x b x b Wir behupten ds wir die Differenz M m dnn ebenflls ls ein Supremum schreiben können, nämlich M m = (f; [, b]) := sup f(x) f(y), x,y [,b] dies ist die Oszilltion von f über ds Intervll [, b]. Diese Formel folgt mit den Rechenregeln für Supremum und Infimum, wir wollen sie uns hier ber ruhig einml direkt überlegen. Zunächst gilt für lle x, y [, b] stets f(x) f(y) M m und (f(x) f(y)) = f(y) f(x) M m, lso uch f(x) f(y) M m, und wir hben (f; [, b]) M m eingesehen. Für die ndere Ungleichung sei zunächst ein 3-8

9 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 ɛ > 0 gegeben. Dnn finden wir x, y [, b] mit f(x) < m + ɛ/ und f(y) > M ɛ/, lso ist uch (f; [, b]) f(y) f(x) f(y) f(x) > M ɛ ( m + ɛ ) = M m ɛ. D dies für jedes ɛ > 0 gilt ist dmit uch (f; [, b]) M m und wir hben insgesmt (f; [, b]) = M m, wie behuptet. Ist lso α = (t 0,..., t n ) eine Zerlegung von [, b] und setzen wir wieder m i := inf f([t i 1, t i ]), M i := sup f([t i 1, t i ]) für jedes 1 i n, so ergibt sich (f; α) := S(f; α) S(f; α) = (M i m i ) (t i t i 1 ) = (f; [t i 1, t i ]) (t i t i 1 ), diese Differenz ist lso so etws wie die Oszilltion von f bezüglich der Zerlegung α von [, b]. Dss f Riemn-integrierbr ist bedeutet nch dem Lemm lso ds es für jedes ɛ > 0 stets eine Zerlegung α von [, b] mit Oszilltion (f; α) < ɛ gibt. Wir schuen uns ein weiteres einfches Beispiel n ds wir direkt mit dem Lemm behndeln können. Gegeben seien, b, c, d R mit c < d b, d.h. wir hben die beiden Intervlle [, b] und [c, d] mit [c, d] [, b]. Als beschränkte Funktion verwenden wir { 1, x [c, d], f : [, b] R; x 0, x / [c, d]. Angenommen ζ = (t 0,..., t n ; s 1,..., s n ) ist eine Zerteilung von [, b] mit δ(ζ) < (d c)/. Dnn gibt es ein 1 i n mit t i 1 c < t i und weiter ein i j n mit t j 1 < d t j. Bechte ds sogr i+1 j 1 sein muss, denn ndernflls gilt j i+1, lso hben wir im Fll i = j stets d c t j t i 1 = t j t j 1 δ(ζ) und im Fll j = i + 1 ist d c t j t i 1 = t i+1 t i + t i t i 1 δ(ζ), d.h. in beiden Fällen ist d c δ(ζ), im Widerspruch zu δ(ζ) < (d c)/. Wir hben lso ttsächlich i + 1 j 1. Für jedes 1 k < i 1 ist s k t k < t i 1 c, lso f(s k ) = 0 und für jedes j + 1 < k n ist wegen d t j < t k 1 s k ebenflls f(s k ) = 0. Für i < k < j ist dgegen c < t i t k 1 s k t k t j 1 < d, lso f(s k ) = 1. Dmit hben wir R(f; ζ) = f(s k ) (t k t k 1 ) = j 1 k=i+1 (t k t k 1 ) + = t j 1 t i + 1 k n k {i 1,i,j,j+1} 1 k n k {i 1,i,j,j+1} f(s k ) (t k t k 1 ) f(s k ) (t k t k 1 ), und somit uch R(f; ζ) (t j 1 t i ) 4δ(ζ). Weiter ist d c (t j 1 t i ) d t j 1 + c t i t j t j 1 + t i t i 1 δ(ζ), lso R(f; ζ) (d c) R(f; ζ) (t j 1 t i ) + t j 1 t i (d c) 6δ(ζ). 3-9

10 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 Ist lso (ζ n ) n N eine Folge von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n )) n N 0, so gibt es ein n 0 N mit δ(ζ n ) < (d c)/, lso uch R(f; ζ n ) (d c) 6δ(ζ n ), für lle n N mit n n 0, und dmit ist lim n R(f; ζ n) = d c. Dies beweist ds f Riemn-integrierbr mit f(x) dx = d c ist. Wir kommen nun zu Rechenregeln für ds Riemnintegrl, ll diese folgen recht direkt us dem vorigen Lemm. Lemm.4 (Grundeigenschften des Riemn-Integrls) Seien, b R mit < b und seien f, g : [, b] R zwei Riemn-integrierbre Funktionen. () Die Funktion f + g ist Riemn-integrierbr mit (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx. (b) Für jedes c R ist die Funktion cf : [, b] R Riemn-integrierbr mit cf(x) dx = c (c) Gilt f(x) g(x) für lle x [, b], so ist uch f(x) dx f(x) dx. g(x) dx. (d) Der Betrg f ist wieder Riemn-integrierbr mit f(x) dx f(x) dx. (e) Ds Produkt f g ist wieder Riemn-integrierbr. (f) Ist h : [, b] R eine weitere Funktion die sich nur n endlich vielen Stellen von f unterscheidet, so ist uch h Riemn-integrierbr mit h(x) dx = f(x) dx. Beweis: () Ist (ζ n ) n N eine Folge von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n )) n N 0, so gelten nch Lemm 3 lim R(f; ζ n) = n f(x) dx und lim n R(g; ζ n ) = 3-10 g(x) dx.

11 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 Für jedes n N gilt offenbr R(f + g; ζ n ) = R(f; ζ n ) + R(g; ζ n ) und mit den Grenzwertsätzen für Folgen I. 4.Stz 6 folgt uch lim R(f + g; ζ n) = n f(x) dx + g(x) dx. Mit Lemm 3 folgt die Behuptung. (b) D für jede Zerteilung ζ von [, b] offenbr uch R(cf; ζ) = cr(f; ζ) gilt, folgt dies nlog zu (). (c) Für jede Zerteilung ζ = (t 0,..., t n ; s 1,..., s n ) von [, b] gilt R(f; ζ) = f(s k )(t k t k 1 ) g(s k )(t k t k 1 ) = R(g; ζ), und mit Lemm 3 und den Ordnungsregeln für die Folgenkonvergenz I. 4.Lemm 5.() folgt die Behuptung. (d) Sei ɛ > 0 gegeben. Nch Lemm 3 existiert eine Zerlegung α = (t 0,..., t n ) von [, b] mit (f; α) < ɛ. Ist nun 1 k n, so hben wir für lle x, y [t k 1, t k ] stets f(x) f(y) f(x) f(y) (f; [tk 1, t k ]), lso ist uch ( f ; [t k 1, t k ]) (f; [t k 1, t k ]). Addieren wir diese Ungleichungen, so folgt uch ( f ; α) = ( f ; [t k 1, t k ]) (t k t k 1 ) (f; [t k 1, t k ]) (t k t k 1 ) = (f; α) < ɛ. Erneut nch Lemm 3 ist der Betrg f Riemn-integrierbr. Für lle x [, b] gelten f(x) f(x) und f(x) f(x), lso hben wir nch (b,c) uch f(x) dx und folglich ist insgesmt f(x) dx und f(x) dx = f(x) dx f(x) dx. ( f(x)) dx f(x) dx, (e) Sei ɛ > 0 gegeben. D f und g beschränkt sind existieren Konstnten A, B > 0 mit f(x) A und g(x) B für lle x [, b]. Weiter gibt es nch Lemm 3 ein δ 1 > 0 mit (f; α) < ɛ/(b) für jede Zerlegung α von [, b] mit δ(α) < δ 1 und ein δ > 0 mit (g; α) < ɛ/(a) für jede Zerlegung α von [, b] mit δ(α) < δ. Wähle eine Zerlegung 3-11

12 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 α = (t 0,..., t n ) von [, b] mit δ(α) < min{δ 1, δ }. Ist dnn 1 i n, so gilt für lle x, y [t i 1, t i ] stets f(x)g(x) f(y)g(y) f(x) f(y) g(x) + f(y) g(x) g(y) B (f; [t i 1, t i ]) + A (g; [t i 1, t i ]), und somit ist uch (fg; [t i 1, t i ]) B (f; [t i 1, t i ])+A (g; [t i 1, t i ]). Eine Summtion dieser Ungleichungen liefert (fg; α) = B (fg; [t i 1, t i ]) (t i t i 1 ) (f; [t i 1, t i ]) (t i t i 1 ) + A (g; [t i 1, t i ]) (t i t i 1 ) = B (f; α) + A (g; α) < ɛ + ɛ = ɛ. Nch Lemm 3 ist f g dmit Riemn-integrierbr. (f) Nch unserer Annhme ist die Menge E := {x [, b] h(x) f(x)} endlich, und insbesondere h zumindest beschränkt und es gibt ein A 0 mit h(x) f(x) A für lle x E. Sei m := E die Anzhl der Elemente von E. Ist jetzt ζ = (t 0,..., t n ; s 1,..., s n ) eine Zerteilung von [, b], so schreiben wir I := {1 k n s k E} mit I E = m und hben R(h; ζ) R(f; ζ) = (h(s k ) f(s k )) (t k t k 1 ) k I k I h(s k ) f(s k ) (t k t k 1 ) maδ(ζ). Ist lso (ζ n ) n N eine Folge von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n )) n N 0, so folgt mit Lemm 3 zunächst (R(f; ζ n )) n N f(x) dx und wegen R(h; ζ n) R(f; ζ n ) maδ(ζ n ) für lle n N ist uch (R(h; ζ n )) n N f(x) dx. Wieder nch Lemm 3 ist h dmit Riemn-integrierbr mit h(x) dx = f(x) dx. Dmit ist ds Lemm vollständig bewiesen. Die Ungleichung in Teil (d) des Lemms wird mnchml uch ls die Dreiecksungleichung für Integrle bezeichnet. Es gibt noch einen zweiten Typ elementrer Rechenregeln für ds Riemnintegrl bei dem nicht der Integrnd sondern der Integrtionsbereich verändert wird. Lemm.5: Seien, b R mit < b gegeben und sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn gelten: 3-1

13 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 () Ist f Riemn-integrierbr und sind c, d R mit c < d b, so ist uch die Einschränkung f [c, d] von f uf [c, d] Riemn-integrierbr. (b) Ist c (, b), so ist f genu dnn Riemn-integrierbr wenn die beiden Einschränkungen f [, c] und f [c, b] Riemn-integrierbr sind, und in diesem Fll gilt f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Beweis: (b) = Sei f ls Riemn-integrierbr vorusgesetzt. Sei ɛ > 0. Nch Lemm 3 gibt es eine Zerlegung α von [, b] mit (f; α) < ɛ. Durch eventuelles Einfügen eines weiteren Unterteilungspunktes erhlten wir eine Zerlegung β von [, b] mit α β die c ls Zerteilungspunkt besitzt, und nch Lemm.() ist uch (f; β) = S(f; β) S(f; β) S(f; α) S(f; α) = (f; α) < ɛ. Schreibe nun β = (t 0,..., t n ) und d c ls Unterteilungspunkt in β vorkommt existiert ein 1 i n 1 mit t i = c. Wir erhlten die Zerlegungen γ := (t 0,..., t i ) von [, c] und γ := (t i,..., t n ) von [c, b] mit (f; γ ) + (f; γ ) = i (f; [t k 1, t k ]) (t k t k 1 ) + (f; [t k 1, t k ]) (t k t k 1 ) = k=i+1 (f; [t k 1, t k ]) (t k t k 1 ) = (f; β), und insbesondere sind uch (f; γ ), (f; γ ) (f; β) < ɛ. Nch Lemm 3 sind f [, c] und f [c, b] beide Riemn-integrierbr. = Nehme nun n ds f über [, c] und über [c, b] Riemn-integrierbr ist und setze A := c f(x) dx + c f(x) dx. Sei ɛ > 0. D f beschränkt ist existiert eine Konstnte C > 0 mit f(x) C für lle x [, b]. Nch Lemm 3 gibt es δ, δ > 0 so, dss für jede Zerteilung ζ von [, c] und jede Zerteilung ζ von [c, b] mit δ(ζ ) < δ und δ(ζ ) < δ stets R(f; ζ ) gelten. Setze schließlich c f(x) dx < ɛ 3 und R(f; ζ ) { δ := min c, b c, δ, δ ɛ }, > 0. 9C 3-13 c f(x) dx < ɛ 3

14 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 Sei ζ = (t 0,..., t n ; s 1,..., s n ) eine Zerteilung von [, b] mit δ(ζ) < δ. Es gibt ein 1 i n mit t i 1 c < t i. Wäre dbei i = 1 so uch c = c t 0 < t 1 t 0 δ(ζ) < δ c und wäre i = n so b c = t n c t n t n 1 δ(ζ) < δ b c, lso muss 1 < i < n sein. Ist t i 1 = c, so setzen wir ζ := (t 0,..., t i 1, s 1,..., s i 1 ) und ist t i 1 < c so sei ζ := (t 0,..., t i 1, c; s 1,..., s i 1, c). In beiden Fällen ist ζ eine Zerteilung von [, c] mit δ(ζ ) δ(ζ) < δ δ d im Fll t i 1 < c uch c t i 1 < t i t i 1 δ(ζ) ist. Im Fll t i 1 < c ist ußerdem f(c) (c t i 1 ) C(t i t i 1 ) Cδ(ζ), lso ist in beiden Fällen R(f; i 1 ζ ) f(s k ) (t k t k 1 ) Cδ(ζ) < Cδ und wir erhlten i 1 c f(s k ) (t k t k 1 ) f(x) dx R(f; i 1 ζ ) f(s k ) (t k t k 1 ) + R(f; ζ ) c f(x) dx < ɛ 3 + Cδ. Weiter ist ζ := (c, t i,..., t n ; c, s i+1,..., s n ) eine Zerteilung von [c, b] und wegen t i c t i t i 1 δ(ζ) ist uch δ(ζ ) δ(ζ) < δ δ. Bechten wir R(f; ζ ) f(s k ) (t k t k 1 ) = f(c) (t i c) f(s i ) (t i t i 1 ) k=i f(c) (t i c) + f(s i ) (t i t i 1 ) Cδ(ζ) < Cδ so wird f(s k ) (t k t k 1 ) f(x) dx k=i c R(f; ζ ) f(s k ) (t k t k 1 ) + R(f; ζ ) Insgesmt ist dmit k=i R(f; ζ) A i 1 f(s k ) (t k t k 1 ) c c f(x) dx + f(s k ) (t k t k 1 ) 3-14 k=i f(x) dx < ɛ 3 + Cδ. < ɛ 3 c f(x) dx + 3Cδ ɛ.

15 Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 Nch Lemm 3 ist f Riemn-integrierbr mit f(x) dx = A. () Zunächst sei c =. Ist dnn uch d = b, lso [c, d] = [, b], so sind wir sofort fertig. Ist d < b, so ist f nch (b) über [c, d] = [, d] Riemn-integrierbr. Nun sei c >. Ist d = b so f wieder nch (b) über [c, d] = [c, b] Riemn-integrierbr. Im verbleibenden Huptfll < c < d < b ist f zunächst nch (b) über [, d] und dnn wieder nch (b) uch über [c, d] Riemn-integrierbr. Bisher kennen wir nur recht wenige Beispiele Riemn-integrierbrer Funktionen. Als letztes Resultt in diesem Abschnitt wollen wir dies drstisch ändern, und beweisen ds jede stetige Funktion Riemn-integrierbr ist. Hierzu benötigen wir einige vorbereitende Beobchtungen und wollen zunächst ein Überdeckungslemm für Intervlle beweisen. Zur späteren Verwendung in diesem Semester, beweisen wir ds folgende Lemm gleich in einer recht llgemeinen Form und werden dbei eine kleine mengentheoretische Nottion verwenden, die bisher noch nicht ufgetucht ist, und jetzt eingeführt werden soll. Wir kennen die Vereinigung A B zweier Mengen A und B, dies wr die Menge ller mthemtischen Objekte die in A oder B liegen. Dies dehnen wir uf Vereinigungen von mehr ls zwei Mengen us. Sind A 1,..., A n Mengen, so sei n A i := A 1... A n = {x (1 i n) : x A i } die Menge ller mthemtischen Objekte, die in mindestens einer diese Mengen liegen. Entsprechend sind dnn uch Durchschnitte von mehr ls zwei Mengen definiert. Lemm.6 (Überdeckungslemm für Intervlle) Seien, b R mit < b und sei δ : [, b] R >0 eine Funktion. Dnn existieren n N und Punkte t 1,..., t n [, b] mit n [, b] (t i δ(t i ), t i + δ(t i )). Beweis: Wir betrchten die Menge { M := c [, b] (n N) (t 1,..., t n [, b]) : [, c] } n (t i δ(t i ), t i + δ(t i )). Es ist M und b ist eine obere Schrnke von M, d.h. wir hben s := sup M [, b]. Wegen [, + δ()) [, b] M ist s >. Dmit existiert ein d M mit d > mx{s δ(s), }, und weiter existieren n N und t 1,..., t n [, b] mit [, d] n (t i δ(t i ), t i + δ(t i )). Setzen wir t n+1 := s [, b], so ist dmit uch [, s + δ(s)) n+1 (t i δ(t i ), t i + δ(t i )). Es folgen s = b und [, b] n+1 (t i δ(t i ), t i + δ(t i )). 3-15