10 Numerische Methoden

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1 0 Nmersche Methode 0. Mathematsche K lassf z erg der D fferetalgle - chge artelle Dfferetalglechge lasse sch klassfzere ahad vo charakterstsche Krve oder Charakterstke. Charakterstke sd de Krve, etlag dee Iformato über de Lösg sch asbretet. Für qasleare, homogee Dfferetalglechge zweter Ordg zwe Varable gbt es daz ee exakte Theore. Wr betrachte als Modellglechg: A B C (0.) y y (e belebges System vo qasleare, homogee DGL erster Ordg lässt sch af de Form 0. trasformere). Wr sche Lösge der Form = f ( y mx) (0.) De Krve y mx = cost. sd da de Charakterstke der Glechg. m bestmmt sch als Lösg der qadratsche Glechg Am Bm C (0.3) Wr terschede de Fälle es exstere zwe reelle Lösge für m d damt zwe Krveschare für de Charakterstke. De Dfferetalglechg hesst hyperbolsch. - B 4AC > 0 : de bede Lösge für m sd komplex. De Dfferetalglechg hesst ellptsch. - B 4AC < 0 : es exstert ee reelle Lösge für m. De Dfferetalglechg hesst parabolsch. - B 4AC : Ellptsche Glechge beschrebe Glechgewchtszstäde (B espel: Laplace-Glechg), hyperbolsche Glechge Schwgge d Asbretgszstäde (B espel: Welleglechg), der Grezfall der parabolsche Glechge beschrebt Dffsosprobleme (Bespel: Wärmeletgs- oder Dffsosglechg). 78 Je ach Typs der Dfferetalglechg ädert sch der Typ der erlabte Radbedgge: - Für ellptsche Glechge müsse de Radbedgge af dem Rad ees geschlossee Gebetes vorgegebe werde. - für hyperbolsche d parabolsche Glechge dürfe Radbedgge r af solche Krve vorgegebe werde, vo dee Charakterstke s Gebet heführe We de Koeffzete A, B, C kee Kostate sd, st der Typs der Glechg m Ram varabel: e ach Gebet st de Glechg ellptsch, parabolsch oder hyperbolsch. Für Dfferetalglechge höherer Ordg d solche mehr als zwe abhägge Varable exstert kee geschlossee Theore mehr. Klassfzerg de dre Type st aber ach we vor möglch d svoll. Radbedgge d Lösgsmethode müsse de Charakter der Dfferetalglechg berückschtge. 0. Nmersche Lösg: Dskretserg Für ee mersche Lösg eer Dfferetalglechg F ( (),...,',,x) (0.4) wrd de Fkto drch hre Werte a eer edlche Azahl vo dskrete kte approxmert: = ( x ) (0.5) De kte x lege af eem (mehr oder weger regelmässge) Gtter. De Dfferetalasdrücke werde drch de Werte a de Gtterpkte approxmert, d de Dfferetalglechge werde drch e System vo algebrasche Dfferezeglechge ersetzt. De Abstad vo beachbarte Gtterpkte bezeche wr als Maschewete des Gtters (egl. mesh sze ). Ma terschedet zwsche Lösgsmethode für fte Elemete, fte Dffereze d fte Volme. Fte Elemete Der Berech wrd ee Azahl Elemete, typscherwese Dreecke oder Rechtecke ( D) bezehgswese Tetraeder oder Qader ( 3D) afgelöst. De Fkto wrd drch hre Werte af de K ote (Ecke der Elemete) dargestellt. Itegrale über de Elemete werde als Fkto- 79

2 e der Werte a de Kote mt Hlfe vo Gewchtsfktoe approxmert. De Methode der fte Elemete st vor allem für mechasche robleme sehr verbretet. Fte Dffer eze De Methode der fte Dffereze verwedet e rämlches Gtter d approxmert de Dfferetaloperatore de Glechge drch Dffereze der Werte a de Gtterpkte (Dfferezeglechge). x x x y Der Dfferetaloperator d/dx lässt sch verschedeer Wese approxmere, z.b. d, (0.6a) dx x d (0.6b) dx x d, (0.6c) dx x e achdem sprcht ma vo lkssetger, rechtssetger oder zetraler Dfferez. I der Regel st de Approxmato mso geaer, e höher de Ordg der Approxmato (d. h. de Azahl kte, de dafür verwedet werde). Für zwete Abletge verwedet ma mest de Approxmato (0.7) y de Werte der Lösg gegebe sd. Für de Lösg müsse Volmed Oberflächetegrale approxmert werde., v, v,, Bespelswese wrd de Glechg mt der Dskretserg für das fte Volme obger Fgr (mt Höhe z )z (,, ) z ( v, v, ) z (0.8) I serem (efache) Fall st des formal dasselbe we ee Formel, de wr drch fte Dffereze gewe würde,, v, v, De Methode der fte Volme hat de Vortel, dass se Erhaltgssätze atürlcher Wese respektert. (0.9) Für leare Dfferetalglechge sd de dskretserte Dfferezeglechge ebefalls lear. Be chtleare Dfferetalglechge werde ach de Dfferezeglechge chtlear. Um de Lösg z fde, mss da mest de Glechg (bzw. das Glechgssystem) learsert d teratv gelöst werde. Fte V olm e De Methode der fte Volme verwedet de Erhaltgssätze Itegralform. Der Lösgsberech wrd dabe afgetelt edlch grosse Zelle bzw. Kotroll-V olme. Jede Zelle bldet ee Kote, af dem 80 8

3 0.3 Egeschafte vo Lösgsmethode Kosstez: de Dfferezeglechge solle für klee Gtterabstäde gege de Dfferetalglechge kovergere Stabltät: de Lösgsmethode soll mersche Fehler cht verstärke Kovergez: de mersche Lösg soll für klee Gtterabstäde gege de exakte Lösg kovergere Koservatvtät: De mersche Lösg soll de Erhaltgssätze der terlegede Glechge respektere Geagket: de mersche Lösg terschedet sch vo der exakte Lösg drch ee Fehler, der terschede werde ka ach Modellfehler: Utersched zwsche mathematschem Modell d Wrklchket Dskretsergsfehler: Utersched zwsche merscher Lösg af edlch grobem Gtter d exakter Lösg Kovergezfehler: Utersched zwsche teratver d exakter Lösg Begrezthet: vele physkalsche Grösse habe atürlche Greze, so müsse etwa Dchte, Eergedchte oder (absolte) Temperatr mmer postv se. De Lösgsmethode soll solche Begrezge respektere. Geschwdgket: de Lösg sollte ert ützlcher Frst berechet werde köe Krtsch für ede Methode sd Stabltät d Kovergez 0.4 Explz te Methode Als Bespel betrachte wr de Advektos-Dffsosglechg Γ φ = (0.0) t Dese Glechg det s als Modellglechg für de Naver-Stokes- Glechge. De Werte a de Gtterpkte schrebe wr als φ φ x, t ) (0.) ( 8 Explzte Methode verwede zr Berechg vo φ de Dfferetaloperatore (asser der Zetabletg) r de bekate Werte zr Zet t. De explzte Eler Methode verwedet ee Vorwärtsschrtt der Zetabletg: φ φ = ( φ φ ) Γ φ φ φ x ( ) (0.) Für bede Ortsabletge (. d. Ordg) habe wr her zetrale Dffereze verwedet. Afgelöst ach der Ubekate: c c φ = ( d ) φ d d φ φ (0.3) Γ d (0.4) ( ) c (0.5) Damt de Methode stabl d begrezt st, müsse de Koeffzete vo φ af der rechte Sete vo (0.3) postv se (ee postve Grösse behält hr Vorzeche ter Dffso d Advekto), also c d <, d ± > 0 (0.6) Be gegebeer Maschewete lefert des Bedgge für de maxmal erlabte Zetschrtt, z.b. as (0.4) ( ) (0.7) t < Γ We Advekto domert ( Γ ), st de Methode (0.3) edem Fall stabl. Da st es vo Vortel, de kovektve Abletg af der stromafwärts gelegee Sete aszwerte ( pwd dfferecg ). Damt wrd (für >0): φ = ( d c) φ d φ ( d c) φ (0.8) Stabltät verlagt da Γ < ( ) oder für verachlässgbare Dffso ( Γ ): (0.9) t < (0.0) 83

4 Bedgg (0.0) hesst Corat-Bedgg. Se bedetet ach, dass der Zetschrtt cht läger se darf als de Zet, der de Flüssgket m ee Maschewete vorwärts kommt. 0.5 Implz te Methode Explzte Methode lasse besoders af fee Gtter r klee Zetschrtte z (vgl. 0.7, 0.9, 0.0). Grössere Zetschrtte sd hgege mplzte Methode erlabt. Her werde de Dfferetalasdrücke mt de ee (bekate) Werte asgewertet. Für de mplzte Eler-Methode mt zetrale Dffereze wrd da as (0.0) ( φ φ ) φ φ Γ φ φ φ = ( ) Des gbt e Glechgssystem de ee Varable E W (0.) A φ A φ A φ = Q (0.) A E A W A Γ = (0.3) x ( ) Γ = x = ( A A ) E W ( ) (0.4) (0.5) Q = φ (0.6) (der Idex bezechet de kt, E steht für east, W für west ). Dese Methode st für belebge Zetschrtte stabl, für redzert se sch af ee Methode für das zetabhägge roblem Γ φ = (0.7) Der Nachtel mplzter Methode st, dass (sehr) grosse Glechgssysteme gelöst werde müsse. Allerdgs sd dese Glechgssysteme schwach besetzt (egl. sparse ), d.h., de meste Elemete der Matrx sd detsch Nll. Mt besodere der Regel teratve Lösgsmethode lässt sch dese Egeschaft astze. Wetere robleme, de ach be mplzte Methode aftrete, sd Oszllatoe (be Verwedg vo zetrale Dffereze), d mersche Dffso be Verwedg vo pwd-dffereze, vor allem af grobe Gtter, vgl. de Fgr as (Ferzger d erč): Fgr as Ferzger d erč, e = L / Γ, statoäre Lösg vo (0.7) mt mplzter Methode, lks mt zetrale Dffereze, rechts mt pwd -Dffereze

5 0.6 Bespe l: U mströmg e es Würfels Das Bespel zegt de (zetlch gemttelte) Lösg für de trblete Umströmg ees af ee latte moterte Würfels (as Ferzger d erč): (Fgr as Ferzger d erč) Detlch erkebar sd der Hfesewrbel vor dem Würfel d setlch davo, d de Wrbel, de drch Ablösg der Strömg a de Würfelkate etstehe. Wetere Lteratr: - Ferzger d erč (d Refereze dar) - Refereze Whte, Kap. 8.9 (Nmercal Aalyss) 86 87