3 Deckabbildungen von Figuren - Symmetrie

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1 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER skript05-temp.o 3 ekilungen von Figuren - Symmetrie 3.1 ie Gruppe (K,o) ller Kongruenzilungen einer Eene K ist ie Menge ller Kongruenzilungen E E; o ist ie Hintereinnerusführung von ilungen K ist geshlossen unter o, s ssozitivgesetz gilt : ( f o g ) o h = f o ( g o h ), i ist neutrles Element; i K (i ist ie ientishe ilung) mit jeem f K ist uh s inverse Element f -1 K mit gilt: Stz 3.1 (K,o) ist eine (unenlihe) Gruppe efinition 3.1 Sei h eine Kongruenzilung er Eene E un F E eine Figur in er Eene. Wenn h(f)=f ist,.h. wenn F invrint unter h ist, nn nennt mn F h-symmetrish, un h eine ekilung (Symmetrieilung) von F. Stz 3.2 Sei F E eine (niht notwenig eshränkte) Figur in er Eene. nn ist ie Menge er ekilungen (Symmetrieilungen) von F eine Untergruppe von (K,o). eweis: Üung! 3.2 ie ekilungen eines urts ie Spiegelhsen sin rumfest! S,90 S o,90 = S Shreiweise hier jetzt: 90 sttt,90 un sttt S Wir stellen eine Telle mit en Verknüpfungen er ekilungen es urts uf:

2 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER skript05-temp.o o Stz 3.3 ie Menge er ekilungen eines urts ilet eine Gruppe (mit er Hintereinnerusführung ls Verknüpfung). ufstellen zw. üerprüfen er Verknüpfungstelle: o = 270?... oer einfh: o ist eine rehung um en oppelten Winkel zwishen un,, = 135. Mn knn ie Telle leihter üerprüfen, wenn mn folgene Ttshe üer Verkettung von hsenspiegelung un rehung enutzt (Üung): h Ist g eine Gere urh,,α eine rehung um mit Winkel α, nn ist S g o,α = S h, woei h un g,h = ½α,,α o S g = S k, woei k un k,g = ½α. ½α g

3 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER skript05-temp.o 3.3 Untergruppen er ekilungsgruppe es urts ) { 0, 90, 180, 270, S, S, S, S } ekilungen es urts ) { 0, 90, 180, 270 } ekrehungen es urts ) { 0, 180, S, S } ekilungen er Rute ) { 0, 180, S, S } ekilungen es Rehteks e) { 0, 180 } ekilungen es rllelogrmms f) { 0, S } ekilungen es rhens g) { 0, S } ekilungen es (symmetrishen.) Trpezes h) { 0 } ekilungen eines elieigen Viereks s Hus er Viereke Symmetrie ls Ornungsprinzip emerkung: Will mn s llgemeine Trpez un en shiefen rhen in s Hus ufnehmen, nn muss mn zusätzlih Shrägspiegelsymmetrie erüksihtigen. 3.4 Symmetriehsen - ekrehungen einer (eshränkten) Figur Stz 3.4 lle Figuren seien eshränkt. ) Für jees n N gilt: Es git eine Figur mit genu n Symmetriehsen. Lge ieser Symmetriehsen: lle shneien sih in einem unkt, Shnittwinkel zwishen 2 enhrten hsen: 360 / (2n). ) Ht eine Figur genu n Symmetriehsen, so ist jee rehung um um 360 /n eine ekrehung er Figur. Es git keine ekrehung er Figur mit kleinerem rehwinkel. Jee hsensymmetrishe Figur mit minestens 2 Symmetriehsen ist uh rehsymmetrish ) Niht jee rehsymmetrishe Figur ist uh hsensymmetrish

4 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER skript05-temp.o eispiele:

5 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER skript05-temp.o 3.5 Kreis - weikreisfigur Kreis Ein Kreis esitzt unenlih viele Symmetriehsen (jee Gere urh M ist Symmetriehse) un unenlih viele ekrehungen (jee rehung um M ist ekrehung), weikreisfigur ie Figur ht genu zwei Symmetriehsen. ie Eigenshften ieser Figur ist Grunlge für viele Konstruktionen er Geometrie wie Mittelsenkrehte einer Streke, Winkelhlierene, Konstruktion einer Rute et. Kreisfigur mit Tngente ie Figur ht eine Symmetriehse: en Rius urh en erührpunkt. Folgerung: ie Tngente steht senkreht uf em erührrius. ies ist Grunlge für viele Konstruktionen er Geometrie wie Tngente n einen Kreis von einem unkt ußerhl es Kreises, gemeinsme Tngenten n zwei Kreise. 3.6 ufgen zur Symmetrie ufge S g sei eine hsenspiegelung n g, F 0 E eine elieige Figur, F 1 = S g (F 0 ). eigen Sie, ss F= F 0 F 1 ie kleinste Figur ist, ie F 0 enthält un S g -symmetrish ist. Welhe einfhe geometrishe Tätigkeit us er Grunshule wir hiermit strkt un kompliziert eshrieen? ufge (),120 sei eine rehung um mit rehwinkel 120, F 0 E eine elieige Figur, F 1 =,120 (F 0 ), F 2 =,120 (F 1 ). eigen Sie, ss F= F 0 F 1 F 2 ie kleinste Figur ist, ie F 0 enthält un,120 -symmetrish ist. Welhe einfhe geometrishe Tätigkeit us er Grunshule wir hiermit eshrieen? () Nun sei sttt,120 ie rehung,30 gegeen. eshreien Sie ie Konstruktion er kleinsten Figur, ie F 0 enthält un,30 -symmetrish ist. () entworten Sie Frge () jeweils für ie rehwinkel 50, 17. ufge V, sei eine Vershieung um en Vektor, v r = F 0 E eine elieige Figur, F 0 Ø. eigen Sie, ss es keine eshränkte Figur git, ie V, -symmetrish ist. Wie erhält mn ie kleinste Figur, ie F 0 enthält un V, -symmetrish ist? Welhe einfhe geometrishe Tätigkeit us er Grunshule wir hiermit eshrieen? ufge Geen Sie eine niht eshränkte Figur n, ie Symmetriehsen ht, ie niht urh einen unkt gehen.

6 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER skript05-temp.o 3.7 rkettieren Ws ist rkettieren? "rkettieren ist s üerlppungsfreie, lükenlose usfüllen er Eene mit einem vorgegeenen enlihen Stz kongruenter Figuren " Womit knn mn prkettieren? Mit welhen regelmäßigen Vieleken knn mn prkettieren? Mit welhen reieken knn mn prkettieren? Mit welhen Viereken knn mn prkettieren? Shwierigere Frgestellung: rkettierungen mit mehr ls einem Typ von Figuren.eispiele zur Gewinnung einer rkettierung: usgngsfigur: Rehtek oer rllelogrmm usgngsfigur n gegenüerliegenen Seiten kongruent veränern Mit em entstehenen 8-Ek knn mn ie Eene wie mit er usgngsfigur urh zwei Wieerholung von 2 Vershieungen prkettieren. usgngsvierek...8-ek wie zuvor: rkettieren urh 2 Vershieungen möglih.

7 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER skript05-temp.o Stz 3.5 ) Mit regelmäßigen n-eken knn mn genu nn prkettieren, wenn n = 3, 4, 6 ist. ) Mn knn mit jeem elieigen reiek oer Vierek prkettieren. eweis zu ): us einem reiek erhält mn urh Spiegelung n einer Seitenmitte ein rllelogrmm ls Grunfigur, us em s gesmte rkett lleine urh mehrfhe Vershieungen erzeugt weren knn. uh ei einem elieigen (konvexen) Vierek knn mn urh Spiegeln n einer Seitenmitte eine Grunfigur erhlten, us er s gesmte rkett lleine urh mehrfhe Vershieungen erzeugt weren knn. Im eispiel oen wure urh Spiegeln n einer Seitenmitte un zusätzlihes Vershieen er eien Viereke eine Grunfigur erzeugt, mit er mn ähnlih wie mit rllelogrmmen prkettieren knn Wrum wir im Mthemtikunterriht prkettiert? rkettieren mit reieken un Viereken ermögliht in er Shule einen experimentellen ugng zu en Sätzen üer ie Winkelsumme. ls eine Forerung n ie Inhlte er Shulmthemtik wir häufig gennnt ie Geometrie (er Grunshule) soll sih n funmentlen geometrishen Ieen orientieren". Relisierung funmentler Ieen er Geometrie eim rkettieren: ) ie Iee es Messens : Vorereitung es egriffs Fläheninhlt ) ie Iee es ssens : Längen, Winkel, Winkelsätze, Winkelsummensätze ) Ästhetik : Einfären; nsprehene Grunusteine (Symmetrien usnützen) rkettieren urh geeignetes Veränern von Grunusteinen.. mit em omputer-rogrmm Tesselmni leiht uh mit Shülern urhführr. Hier zwei eispiele:

8 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER skript05-temp.o s rogrmm finet mn ls emo uf em shwrzen rett Shwrzes rett/mthemtik un Informtik/Geoue/ rkettieren mit mehr ls einem Grunustein eispiele: rkettieren mit zwei vershieen großen urten. ufge für Shülerinnen un Shüler: Lösung Legt mit en vershieenen urtplätthen eures Vorrts ein Muster, s so ussieht: Mht s so lnge weiter, is ihr lle urte us em Vorrt untergerht ht. eihnet s fertige Muster uf. Üer s rkett ist ein rkett us einer Sorte von urten gelegt, s häufig in usmmenhng mit em Stz es ythgors gerht wir. Können Sie en usmmenhng sehen? Mit einer Sorte von niht-regelmäßigen Figuren git es oft vershieene rkettierungen, wie s neenstehene il us einem Shuluh zeigt. Weitere einfhe eispiele: ufge: Suhen Sie im Internet eispiele für interessnte rkettierungsufgen (engl.:tiling).roger enrose ht einfhe rkettierungen er Eene entekt, ie niht- perioish sin,.h. keine Shusymmetrie ufweisen. Es git sogr enlihe Mengen von Grunusteinen, ie nur nihtperioishe rkettierungen zulssen. Neenstehen eine niht-perioishe rkettierung mit zwei Grunusteinen.