Aufgabe 1 (12 Punkte)

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1 Aufgabe ( Punkte) Ein Medikament wirkt in drei Organen O, O, O 3. Seine Menge zur Zeit t im Organ O k wird mit x k (t) bezeichnet, und die Wechselwirkung wird durch folgendes System von Differentialgleichungen beschrieben: x = a x + a 3 x 3 x = a x + a x x 3 = a 3 x 3 + a x ( ) (b) Zeichnen Sie ein Box-Modell der drei Organe und beschriften Sie es mit Pfeilen und den Parametern a i, so dass es dem System ( ) entspricht. Verwenden Sie ab hier die Werte a =, a = und a 3 = 6 und schrei- ben Sie das System ( ) in Matrixform als x = Ax, wobei x = Schreiben Sie die Matrix A explizit hin. Zeigen Sie dass x := Eigenvektor von A ist. x x x 3. ein (c) Berechnen Sie die Eigenwerte von A. (d) (e) Bestimmen Sie diejenige Lösung x(t) des Systems ( ), für welche x(0) = x gilt. ( x ist der Eigenvektor aus Teilaufgabe (b).) Die Summe x (t) + x (t) + x 3 (t) von Lösungen von ( ) ist exponentiell wachsend in t, exponentiell fallend in t, konstant, oszillierend in t. (Zutreffendes bitte ankreuzen.) The box system associated is: a x x a 3 a x 3

2 (b) We can represent the system as: a 0 a 3 A = a a 0 = 0 a a Additionally we have that x is an eigenvector because A x = = (c) The characteristic polynomial is given by λ 0 6 p(λ) = det λ λ = ( + λ)( + λ)(6 + λ) + = λ 3 9λ 0λ + = λ(λ + 9λ + 0) = λ(λ + 4)(λ + 5). Hence the eigenvalues are 0, 4 and 5 (see also part (b)). (d) We have that the solution of the system is given by x(t) = C v + C e 5t v + C 3 e 4t x, = 4 x where v and v are the eigenvectors associated with the eigenvalues 0 and -5 respectively. Given that x(0) = x we have C = C = 0, and the solution is given by x(t) = e 4(t 0) x. (e) The sum of the rows in A is zero, hence x + x + x 3 is constant because (x + x + x 3 ) = a x + a 3 x 3 a x + a x a 3 x 3 + a x = 0. Aufgabe ( Punkte) Wir betrachten die lineare Differentialgleichung 4y (x) + y(x) = x für x [ π, π] (ODE) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung 4y (x) + y(x) = 0.

3 (b) Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung y p von (ODE) mit Hilfe des Ansatzes y p (x) = A n cos(nx), indem Sie die Funktion x auf dem Intervall [ π, π] in eine π-periodische Fourier-Reihe entwickeln. (c) Bestimmen Sie diejenige Lösung von (ODE), für welche y( π ) = y( π ) = 0 gilt. Obviously y H (x) = A sin(x/) + B cos(x/). (b) First write the Fourier series for the function x (as in Vorlesung 7): Note that x is even, so all b n are zero. For n = 0, a 0 = π For n 0 we use integration by parts: 0 xdx = π. a n = x cos(nx)dx = x cos(nx)dx π 0 π 0 = ( x sin(nx) π sin(nx) ) π n dx 0 0 n }{{} = π =0 cos(nx) n π 0 { = 0 if n > 0 even n (cos(nπ) ) = π if n odd Then write both sides of (ODE) as Fourrier series: n= 4 n π 4 n A n cos(nx) + A n cos(nx) = a 0 + a n cos(nx). Identify the Fourrier coefficients of both sides by paying special attention to the n = 0 term: (c) The general solution writes: A n = a n/( 4n ) for n 0 A 0 = a 0/ = π/. y(x) = y H (x) + y P (x) = A sin x + B cos x + π + A n+ cos((n + )x). n= 3

4 Note that cos ( ) (n + ) π = 0 for all n. Therefore condition y( π ) = ) = 0 implies that y( π A + B + π = 0 A + B + π = 0 Solve the linear system and get A = 0 and B = π/. To conclude, y(x) = π/ cos(x/) + y P (x). Aufgabe 3 ( Punkte) Die Schwingungen eines Stimmbandes (Ligamentum vocale) werden modelliert durch die Wellengleichung u xx (x, t) = u tt (x, t) für x (0, π), t R (PDE) Die Enden des Stimmbandes sind fixiert bei x = 0 und x = π, das heisst es gelten die Randbedingungen u(0, t) = 0 und u(π, t) = 0 für t R (RB) (b) Bestimmen Sie durch den Separationsansatz u(x, t) = f(x)g(t) alle solchen Lösungen von (PDE), welche in der x-variable π-periodisch sind und den Randbedingungen (RB) genügen. Durch Superposition bestimmen Sie nun diejenige Lösung von (PDE) und (RB), welche die Anfangsbedingungen u(x, 0) = sin(x) + sin(4x) u t (x, 0) = 3 sin(3x) + sin(5x) erfüllt. If u(x, t) = f(x)g(t) is a solution then f (x)g(t) = f(x)g (t) and hence f (x) f(x) = g (t) g(t) = κ with κ constant. Only κ = n < 0 leads to periodic solutions for f, namely f(x) = C cos(nx) + C sin(nx). The boundary condition f(0) = 0 gives C = 0, and f(π) = 0 implies n N. The corresponding solution for g(t) is g(t) = A n cos(nt) + B n sin(nt). Finally we have u(x, t) = f(x)g(t) = sin(nx) (A n cos(nt) + B n sin(nt)). 4

5 (b) Using the superposition principle we can write the solution u as u(x, t) = n N sin(nx) (A n cos(nt) + B n sin(nt)). Given the first initial condition: A n sin(nx) = u(x, 0) = sin(x) + sin(4x), n N we can conclude that A =, A 4 = and A n = 0 if n 4. And using the second initial condition nb n sin(nx) = u t (x, 0) = 3 sin(3x) + sin(5x), n N we can conclude that B 3 =, B 5 = 5 and B n = 0 if 3 n 5. Then the solution is u(x, t) = sin(x) cos(t)+sin(3x) sin(3t)+ sin(4x) cos(4t)+ sin(5x) sin(5t). 5 5

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