und Gleichungen der PlättVerändertdie GrößedesMustersund beschreibtftir jedezählweisedie Gesamtanzahl ooooooo ooooooo ooooooo ooooooo co oo oo

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1 H m...g e d a c h th a b ' i c h mir 6. die Hällle von 6 i s t 3. A l s o = 7... Du brauchstnichts zu sagsn. lch sehe i n d e i ng e h i r n. Die Zahl ist 4l I /? o OOOOOOO o o o-o-o -o o öö öö OO OO OOOOOOj o Terme oco o und Gleichungen co oc o 29. Juni 2010 o o o Das Muster links kann o o o o o o o P man auf verschiedene Arten abzählen;rechts o o Nolden Astrid Merling & Susanne s e h ti h r e i n i g eb e i s p i e l e. o o o o o der PlättVerändertdie GrößedesMustersund beschreibtftir jedezählweisedie Gesamtanzahl

2 Welche Inhalte zum Thema Terme & Gleichungen werden in der Sekundarstufe I am Gymnasium vermittelt?

3 Variablen Terme lin. Gleichungssysteme Äquivalenzumformung Lösungsmenge Grundbereich quadratische Gleichungen Satz von Vieta Lineare Gleichungen Lineare Ungleichungen Polynomdividion Umstellen nach einer Variable Bruchterme Bruchgleichungen Binomische Formeln Terme mit meheren Variablen Terme & Gleichungen in der Sekundarstufe I

4 Variablen Terme lin. Gleichungssysteme Äquivalenzumformung Lösungsmenge Grundbereich quadratische Gleichungen Satz von Vieta Lineare Gleichungen Lineare Ungleichungen Polynomdividion Umstellen nach einer Variable Bruchterme Bruchgleichungen Binomische Formeln Terme mit mehreren Variablen Terme & Gleichungen in der Sekundarstufe I

5 Variablen Terme lin. Gleichungssysteme Äquivalenzumformung Lösungsmenge Grundbereich quadratische Gleichungen Satz von Vieta Lineare Gleichungen Lineare Ungleichungen Polynomdivision Umstellen nach einer Variable Bruchterme Bruchgleichungen Binomische Formeln Terme mit mehreren Variablen Terme & Gleichungen in der Sekundarstufe I

6 Terme und Gleichungen: Bildungsstandards (9:;<=<>?<>! $ *>@AB=<$ * $ )-.1-$&'4$3!-*52&'3-'$)-*!$**!c>*F%%@H&%'%*A%(D@$'@$GA%*5@")$B@''%"K*='D#'%S H@%&*(&,*2D@&M@V@%&*M(B*2DJT"%B"R$%&* #($NYA"%&*(&,*#&N%&,%&*!.>*1@'*Q#D@#T"%&*(&,*;%DB%&*#DT%@'%&* K ;%DB%*M(*=#GAVDJT"%B%&*#()$'%""%&K*,%D%&* ='D(C'(D*%D)#$$%&*(&,*)XD*H%H%T%&%*P%D'%* #($D%GA&%&* Auszug aus dem Rahmenlehrplan von Rheinland-Pfalz 2007 Klasse 7/8 K1: math. Argumentieren!01*23'*4#53#6"%&*(&,*7%58%&*#56%3'%&* 7 93&)#:;%*7%58%*3&*<=(3>#"%&'%*(8)?58%&*!01*23'*4#53#6"%&@*7%58%&*(&,*A"%3:;(&B%&* #56%3'%&*!C1*DE$(&B$F%B%*6%$:;5%36%&*(&,*6%B5G&H,%&*!01*DE$(&B$H*(&,*!?&'5?"">%5)#;5%&*#($)G;5%&* ) 93&)#:;%*"3&%#5%*A"%3:;(&B%&*"E$%&@*#(:;*83'* I=(3>#"%&J(8)?58(&B%&* K2: math. Problemlösen K3: math. Modellieren K4: math. Darstellungen verwenden!01*um86?"3$:;%*(&,*)?58#"%*uq5#:;%*3&*&#h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mit symbol., formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen K6: Kommunizieren L4: Funktionaler Zusammenhang

7 Ich kann kaum mit Zahlen rechnen, wie soll ich dann mit Buchstaben umgehen? Wozu sollen Terme und Gleichungen gut sein?

8 Wozu können Terme und Gleichungen gut sein? Dienen der mathematischen Beschreibung und Erfassung von Zusammenhängen Darstellung unterschiedlicher Sachverhalte Sind kürzer und klarer als eine Beschreibung mit Worten Vereinfachtes Problemlösen Terme: Einsatz von CAS, Berechnung am Computer

9 wicstelaublen hritt uen, des igt, rde en. Lön und enen or- uts solenass TERME I BASISARTIKEL Verschiedene Darstellungsformen fördern den Lernprozess Wechsel der Darstellung sprachlich und situativ (Zusammenhang mit Erfahrungen) Numerisch, tabellarisch Graphisch, visuell Symbolisch, Formeln Abb.1: Bewusster Wechselder Darstellungsarten lördert den Lernprozess

10 Bewertet die Aufgaben nach folgenden Kriterien: Welcher Inhalt könnte damit vermittelt werden? In welcher Unterrichtsphase (MO, TV, F) würdet Ihr die Aufgabe einsetzen? Welche Kompetenzen und Leitideen (Bildungsstandards) werden vermittelt? Mit welchen Methoden kann gearbeitet werden? Was sind die Vor- und Nachteile dieser Aufgabenstellung?

11 Streichholzquadrate 1. Für diese Aufgabe benötigt ihr eine Schachtel Streichhölzer. Legt vier Quadrate wie in Abbildung a. Wie viele Streichhölzer benötigt Ihr dafür? 2. Legt nun die vier Quadrate wie in Abbildung b. Wieso benötigt ihr jetzt ein Streichholz mehr? Wie viele Streichhölzer benötigt ihr für die Lösung in Abbildung c mehr? 6. Wie viele Quadrate könnt Ihr mit 100, 1000,... Streichhölzer legen? 7. Zu guter Letzt: Legt drei gleichseitige Dreiecke mit möglichst wenigen Streichhölzern. a) b) 3. Könnt Ihr eine Regel bilden, mit der man die benötigte Anzahl der Streichhölzer für die Legebeispiele in a, b und c berechnen kann? 4. Findet heraus wie man fünf, sechs, sieben, acht,... Quadrate mit möglichst wenig Streichhölzer legen kann. Zeichnet euch auch eine Skizze in eure Hefte. c) 5. Wie viele Streichhölzer benötigt Ihr mindestens um 100, 1000,... Quadrate zu legen? Wie viele höchstens?

12 Das Geburtstagsgeschenk Großvater schenkt Christa zum 8. Geburtstag Geld. Er lässt ihr die Wahl zwischen zwei Umschlägen mit diesen Aufschriften: Für Christa: Inhalt: Fünfmal soviel Euro wie Du Jahre alt wirst! Für Christa: Inhalt: Doppelt soviel Euro wie Du Jahre alt wirst und noch 15 Euro dazu! A) Für welchen Umschlag wird sich Christa wohl entscheiden? B) Welchen Umschlag würde Christa wählen, wenn sie 15 Jahre alt werden würde? C) Schreibe auf wann der blaue Umschlag mehr Geld erhält als der rote Umschlag? D) Gibt es auch ein Alter, in dem in beiden Umschlägen gleich viel Geld ist?

13 Eine Fläche - viele Möglichkeiten Der Flächeninhalt und der Umfang der folgenden Figur kann auf verschiedene Arten berechnet werden. Gib verschiedene Möglichkeiten an und vergleiche diese. b c d a

14 Zu vermittelndes Grundwissen TERME Begriffe: Variable, Term (Summen-, Differenz-, Produkt-, Quotiententerm) Grundmenge, gleichwertig Termumformung: Zusammenfassen Distributivgesetz: Kommutativ- und Assoziativgesetz Produktterm ausmultiplizieren ausklammern Summenterm GLEICHUNGEN / UNGLEICHUNGEN Begriffe: Gleichung, Ungleichung, Lösungsmenge, Probe Lösen von Gleichungen: Klammern auflösen zusammenfassen ordnen x isolieren Einsetzprobe Äquivalenzumformung: Term durch gleichwertigen ersetzen Seiten vertauschen auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe addieren/subtrahieren mit derselben Zahl ( 0) multiplizieren oder durch diese dividieren ( Umkehrung des Relationszeichens)

15 Wie sollte die Übungsphase aussehen? Aufgaben zu Termumformungen Aufgabe 1: Klammern mit negativen Vorzeichen Löse die Klammern auf und berechne a) (+6) + (+3) b) (+4a) + (+11a) c) (+6)! (+3) d) (+4a)! (+11a) e) (+5a)! (!7b) + (!4a) (+7) + (!5) (!2c) + (+ 23c) (+7)! (!5) (!2c)! (+ 23c) (!8x) + (!3z)! (!2x) (!3) + (+2) (!5x) + (!8x) (!3)! (+2) (!5x)! (!8x) (+4u)! (+2u)! (!6v) (!2) + (!8) (+y) + (!8y) (!2)! (!8) (+y)! (!8y) (!9t)! (+6s) + (!t) Aufgabe 2: Klammern mit negativen Vorzeichen Löse die Klammern auf und fasse zusammen: a) 7x (3y + 4x) b) (5a! 3b)! (8a + 5b) c) (8p! 13q)! (6p! 7q) + (11p + 4q)! (9p + 5q) 19k (7k 2m) (3x + 3y)! (3x! 3y) (7m! 4n)! (9m + 7n) + (!m + 4n)! (!3m + 7n) 8a (!a + 2b) (!4u + v)! (8u + 5v) (11x + 9y) + (!3x! 4y)! (7x + 8y)! (!x! 2y) 6v (!3w! v) (!4s + 2t)! (!s + t) (8x! 7y + 9)! (!3x + 4y! 5) + (!6x + 8y! 15) Aufgabe 3: Klammern mit negativen Vorzeichen Löse die Klammern auf und fasse zusammen: a) [a! (b + c)]! [(a! c) + (b! c)! (a + b)] b) [7m! (5n + 3)]! [!(6n + 7) + 5m! (3n! 2)] c) (9r! 7s) + [!5r! (3s! 5)]! [2r + 3)! (4s! 7)] d) 4p! [(5q! 7)! (!3p + 8q)]! [9 + (!6p! 7q + 5)] e) [8x! (5y + 3z! 6)]! [(7x! 4y)! (8z + 9)]! [!(5x! 8y)] Aufgabe 4: Distributivgesetz Löse die Klammern auf: a) 2 (x + y) b) (a + b) 2 c) 3x (2 + 4) d) 2x (5x + 3) e) 3(a! 4b) f) (!3) (x + 3z) 2 (3a + b) (3a + 4b) 3 3a (2 + 4b) (2a + 5b) 4x 3(!a + 2b) (!2) (x! 3z) 3 (2u + 4v) (a + 3) 2 3s (2s + 4t) (2a + 5b) 4a 4(!4d! 7f) (!1) (!x + 3z)

16 Termdomino A Rechteck 3a -6b 3*(a-2b) (r+s)-(r+s) 38x-8 (x+4)(y+3) 2s a*b x x(1+y)-y(x-1)-y -10t-6s 7x+a Gruppenarbeit Während des Spiels keine schriftlichen Nebenrechnungen Variation: Schüler denken sich selber Dominokarten aus

17 Eure Ideen? - Termumformung - Umformen von Gleichungen - Lösen von Gleichungen/Ungleichungen

18 VIELEN DANK FÜRS MITMACHEN UND EURE AUFMERKSAMKEIT

19 Verwendete Literatur BÄRBEL BARZEL und WILFRIED HERGET: Zahlen, Symbole, Variablen abstrakt und konkret. Plaedoyer fuer einen lebendigen Umgang mit Termen. Mathematik lehren (2006) 136, S. 4-9 JUTTA CUKROWICZ, JOACHIM THEILENBERG und BERND ZIMMERMANN (Hrsg.): MatheNetz 7 - Gymnasium (2003) Westermann Schulbuchverlag GmbH, Braunschweig WOLFGANG BENTZINGER und GERHARD HOFSÄß (Hrsg..) Kurs Mathematik 7 (1989) 2. Auflage, Verlag Moritz Diesterweg GmbH & Co., Frankfurt am Main Thüringer Lehrplan für das Gymnasium - Mathematik (1999) Rahmenlehrplan Mathematik Rheinland-Pfalz (Klassenstufe 5-9/10) (2007) S. Hilger, Didaktik der Algebra (Script: Wintersemester 2007/08) siehe BLK-Modellversuchs Programm: Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregung zu einer veränderten Aufgabenkultur (5) Zum Themengebiet Terme und Variablen, siehe