4 Andreas Gathmann. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2

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1 4 Adreas Gathma 1. Komplexe Zahle Bevor wir mit der komplexe Aalysis begie, wolle wir uächst die grudlegede Defiitioe ud Eigeschafte der komplexe Zahle och eimal kur wiederhole. Defiitio 1.1. Die Mege der komplexe Zahle wird defiiert als C := R 2. Auf dieser Mege betrachte wir die beide Verküpfuge (x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 ) := (x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) (Additio) ud (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) := (x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 + x 2 y 1 ) (Multiplikatio) (mit x 1,y 1,x 2,y 2 R). Elemete der Form (x,0) schreibe wir eifach als x: beachte, dass diese Elemete geauso addiert ud multipliiert werde wie reelle Zahle, so dass wir R auf diese Art als Teilmege vo C auffasse köe. Sete wir och i := (0,1), so köe wir also jedes Elemet (x,y) C als x + iy schreibe was die übliche Schreibweise für komplexe Zahle ist. Bemerkug 1.2. (a) Mit der Defiitio 1.1 ergebe sich die Additio ud Multiplikatio komplexer Zahle offesichtlich eifach durch formales Addiere ud Ausmultipliiere vo Ausdrücke der Form x + iy mit x,y R uter Beachtug der Relatio i 2 = 1. (b) Ma rechet leicht ach, dass die komplexe Zahle mit de beide gegebee Verküpfuge eie Körper bilde. Da die Additio komplexer Zahle eifach die Vektoradditio i R 2 ist, ist das additive Iverse vo x + iy gerade x iy. Das multiplikative Iverse u eier 1 komplexe Zahl x + iy 0 ist x+iy = x iy = x y i. x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 Defiitio 1.3. Für eie komplexe Zahl = x + iy (mit C ud x,y R) defiiere wir (a) de Realteil vo als Re := x R; (b) de Imagiärteil vo als Im := y R; (c) die u komplex kojugierte Zahl als := x iy C; (d) de Betrag vo als = x 2 + y 2 R 0 (also geauso wie die ormale euklidische orm eies Vektors i R 2 ). Zwische diese Zahle gelte die folgede elemetare Relatioe: Lemma 1.4. Für alle,w C gilt (a) Re = 1 2 ( + ) ud Im = 2i 1 ( ); (b) + w = +w ud w = w (d. h. die komplexe Kojugatio ist ei Körperisomorphismus); (c) = ; (d) w = w ud + w + w ; (e) 2 =. Beweis. eifaches achreche. Die Ugleichug i (d) ist geau die bekate Dreiecksugleichug für Vektore i R 2. Bemerkug 1.. Da wir C als R 2 defiiert habe, köe wir komplexe Zahle als Pukte i der Ebee, der sogeate komplexe Zahleebee darstelle. Das folgede Bild eigt um Beispiel, welche Zahle ma erhält, we ma eie gegebee Pukt C a der reelle oder imagiäre Achse spiegelt.

2 1. Komplexe Zahle = x + iy Im = x + iy Re = x iy = x iy Wir komme u um erste Begriff der Aalysis, ämlich der Koverge vo Folge ud Reihe. Wie defiiere diese Begriff wie erwartet, wobei wir etweder die Defiitio aus der eidimesioale Aalysis für de Grudkörper C oder die aus der weidimesioale Aalysis mit dem Grudkörper R (ud der euklidische orm) verwede köe: Defiitio 1.6 (Koverge vo Folge ud Reihe). Eie Folge ( ) komplexer Zahle heißt koverget gege a C, we ε > : a < ε gilt. Wie üblich heißt a da auch der Grewert vo ( ), ud wir schreibe lim = a oder eifach a. Weiterhi sete wir wie üblich für die ugehörige Reihe := lim sofer dieser Grewert existiert. Wir sage i diesem Fall, dass die durch ( ) bestimmte Reihe kovergiert ud ee de Wert dieser uedliche Reihe. Bemerkug 1.7. Wir erier us kur a die wesetliche Kovergekriterie aus de Grudlage der Mathematik: (a) Die Reihe heißt absolut koverget, we die reelle Reihe der ugehörige Beträge kovergiert. Jede absolut kovergete Reihe ist koverget; die Umkehrug dieser Aussage gilt jedoch icht [G2, Lemma 7.12]. (b) Eie Folge ( ) kovergiert geau da gege a, we die reelle Folge (Re ) ud (Im ) gege Rea bw. Ima kovergiere [G2, Lemma 23.18]. Isbesodere vertauscht die Grewertbildug daher mit der komplexe Kojugatio: gilt a, so folgt Re Rea sowie Im Ima ud damit auch a. (c) (Quotietekriterium für Reihe) Es seie komplexe Zahle C für gegebe. Ist da der Grewert lim kleier als 1, so ist die Reihe absolut koverget,, größer als 1, so ist die Reihe diverget [G2, Sat 7.20]. Beachte, dass das Quotietekriterium icht i jedem Fall über Koverge oder Diverge der Reihe etscheide ka;. B. da icht, we die Folge der betrachtete Quotiete gege 1 kovergiert. (d) (Wurelkriterium für Reihe) Aalog um Quotietekriterium gibt es auch das Wurelkriterium [G2, Sat 7.21]: es lautet wörtlich geauso wie das Quotietekriterium, mit dem eiige Uterschied, dass statt des Quotiete +1 der Ausdruck geomme wird ud der Grewert durch de Limes superior, also de größte Häufugspukt, ersett werde darf. Beide Kriterie beruhe lettlich auf dem Vergleich mit der geometrische Reihe. Die wichtigste Awedug der Folgekoverge im Komplexe ist die komplexe Expoetialfuktio, die wir jett eiführe:

3 6 Adreas Gathma Lemma ud Defiitio 1.8 (Komplexe Expoetialfuktio). Für alle C existiert der Grewert e := Beweis. Für = 0 ist die Aussage trivial, ud für alle C\{0} gilt +1 /( + 1)! /! = für. Damit kovergiert die Expoetialreihe ach dem Quotietekriterium aus Bemerkug 1.7 (c) absolut, ud ist ach Bemerkug 1.7 (a) somit auch koverget. Bemerkug 1.9. (a) Die (komplexe) Expoetialfuktio geügt der Fuktioalgleichug e +w = e e w für alle,w C (siehe [G2, Folgerug 7.33]; für de Beweis eigt ma, dass ma das Produkt (! )( m wm m! ) aufgrud der absolute Koverge der Expoetialreihe als Cauchy- Produkt aiv ausmultipliiere ka, ud fasst die Terme geschickt usamme). (b) Die komplexe Expoetialfuktio vertauscht mit der komplexe Kojugatio, d. h. es gilt e = lim!! = lim! = lim = e.!. (ach Lemma 1.4 (b)) (ach Bemerkug 1.7 (b)) Isbesodere gilt also für eie rei imagiäre Zahl = iy mit y R e iy = e iy e iy = e iy e iy = e iy iy = e 0 = 1, d. h. komplexe Zahle der Form e iy liege auf dem Eiheitskreis i der komplexe Zahleebee. Dies köe wir och etwas besser verstehe: (c) Für y R sete wir bekatlich [G2, Defiitio 9.11] cosy := Ree iy = 1 2 (eiy + e iy ) ud siy := Ime iy = 1 2i (eiy e iy ) (siehe Lemma 1.4 (a) für die jeweils weite Formel). Also ist e iy = cosy + i siy geau der Pukt i der komplexe Zahleebee, der mit der positive reelle Halbachse wie im folgede Bild de Wikel y eischließt: Im e iy siy cosy y 1 Re

4 1. Komplexe Zahle 7 I der Fuktioetheorie betrachtet ma allerdigs i der Regel Fuktioe vo komplexe Variable. Daher wolle wir die Wikelfuktioe auch für alle komplexe Zahle festlege. Erwartugsgemäß defiiere wir daher Kosius ud Sius für alle C durch cos := 1 2 (ei + e i ) ud si := 1 2i (ei e i ). Beachte jedoch, dass für allgemeie komplexe Zahle icht die Formel cos = Ree i ud si = Ime i gelte: i der Regel werde cos ud si icht eimal reelle Zahle sei. Wir köe die Wikelfuktioe aber wie im Reelle als eie Potereihe schreibe,. B. für de Kosius cos = 1 2 (1 + (i) + (i)2 2! = 1 2 2! + 4 4! = ( 1) 2 (2)! + (i)3 3! ( i) + ( i)2 2! + ( i)3 3! ) + (beachte, dass wir die Terme i de Reihe wege der absolute Koverge der Expoetialreihe beliebig umorde köe). Aalog gilt für de Sius si = ( 1) alle C. 2+1 (2+1)! für Bemerkug 1.10 (Polarkoordiate). Ist 0 wie im Bild ute liks eie komplexe Zahl mit Betrag r =, die mit der positive reelle Halbachse de Wikel ϕ ( π,π] eischließt, so köe wir ach Bemerkug 1.9 (c) schreibe als = r cosϕ + ir siϕ = r e iϕ. Wir ee ϕ de Wikel oder das Argumet arg vo ; die Größe r ud ϕ heiße die Polarkoordiate vo. r siϕ r = r e iϕ i ϕ r cosϕ π 2 Aus der Polarkoordiatedarstellug erhalte wir eie sehr eifache geometrische Iterpretatio der Multiplikatio komplexer Zahle: für 1 = r 1 e iϕ 1 ud 2 = r 2 e iϕ 2 ist ach Bemerkug 1.9 (a) 1 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ), d. h. bei der Multiplikatio komplexer Zahle werde die Beträge multipliiert ud die Wikel addiert. Ei eifaches Beispiel davo eigt das Bild obe rechts: da i = e i π 2 die Zahl mit Betrag 1 ud Wikel π 2 ist, etspricht die Drehug eier komplexe Zahl C um π 2 um de ullpukt gerade eier Multiplikatio mit i. Beispiel 1.11 (Eiheitswurel). Wir betrachte die Polyomgleichug 1 = 0 für ei fest gegebees 1. Welche Lösuge hat diese Gleichug über C? Wir wisse aus der lieare Algebra, dass ei solches Polyom höchstes ullstelle habe ka. Adererseits köe wir jett aber auch verschiedee Lösuge dieser Gleichug agebe: die Zahle e 2πik für k = 0,..., 1, also ach userer Iterpretatio aus Bemerkug 1.9 (c) die Eckpukte eies regelmäßige -Ecks wie i dem Bild ute, erfülle die gegebee Gleichug, de ( e 2πik ) = e 2πik = (e 2πi ) k = 1 k = 1.

5 8 Adreas Gathma e 4πi e 2πi = e 0 = 1 e 6πi e 8πi Wir ee diese Zahle die -te Eiheitswurel. Aus der übliche Zerlegug eies Polyoms i Liearfaktore folgt da also isbesodere die Polyomgleichug ( ) ) 1 = ( 1) e 2πi ( e 2πi( 1). Aalog ka ma auch die Gleichug = c für ei beliebiges c C mit c 0 löse: ist c = r e iϕ die Polarkoordiatedarstellug vo c, so erhalte wir offesichtlich die Lösuge also eie speielle Lösug r e iϕ r e iϕ e 2πik für k = 0,..., 1, dieser Gleichug multipliiert mit alle -te Eiheitswurel. Aufgabe Stelle die folgede komplexe Zahle i der Form x + iy mit x,y R dar: (a) = 2+i 1 i ; ( ) (b) = 1+i 137; 2 (c) alle Lösuge der Gleichug = 0; (d) alle C mit 1 < 1; i Aufgabe Welche der folgede bekate Eigeschafte der reelle Wikelfuktioe sid auch für alle komplexe Zahle gültig? (a) cos 2 + si 2 = 1 für alle ; (b) cos 1 für alle ; (c) die Gleichug si = 0 hat geau die Lösuge π mit Z; (d) si2 = 2 si cos für alle. Aufgabe (a) Zeige, dass drei verschiedee Pukte a,b,c C i der komplexe Zahleebee geau da die etgege dem Uhreigersi beate Eckpukte eies gleichseitige Dreiecks sid, we die Gleichug a + ωb + ω 2 c = 0 mit ω := e 2πi 3 gilt. (b) Gegebe sei ei Dreieck D i der Ebee (im Bild rechts grau geeichet). Wir errichte u über jeder Seite vo D ei gleichseitiges Dreieck. Zeige uter Beutug vo (a), dass die Mittelpukte dieser gleichseitige Dreiecke selbst wieder ei gleichseitiges Dreieck bilde (im Bild gestrichelt eigeeichet). D

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