8 Blockbild und Hohenlinien
|
|
- Frieda Roth
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Mathematik fur Ingenieure Institut fur Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik Dr. Dirk Windelberg Universitat Hannover Stand: 18. August Blockbild und Hohenlinien Veranschaulichen Sie sich die durch die Funktion z = f(x; y) = y 1 + x beschriebene Flache im Bereich B := f(x; y) j x ; y ; g Aufgabe 8.1a) Veranschaulichung der Flache durch eine Hohenkarte mit den Hohen z = 1, z = 1 und z = 3 Losung von Aufgabe 8.1a): Die Hohenlinien ergeben sich aus der Bedingung z = konstant Hohe denierende Beschreibung Gleichung Normalform z = c = 0 y = 0 x-achse z = c = 1 y = 1 + x Parabel x 1 = (y Onung p = z = c = 1 y = 1 + x Parabel x = 1 (y 1) : Scheitel in (0; 1), Onung p = 1 z = c = 3 3 x Parabel x = (y 3 Onung p = z = c = y = (1 + x ) Parabel x = (y + 1): Scheitel in (0; 1 Onung p = z = c = 1 y = (1 + x ) Parabel x = 1 (y + 1): Scheitel in (0; 1), Onung p = 1 z = c = 3 y = (1 + 3 x ) Parabel x = (y + 3) : Scheitel in (0; 3 ), Onung p = 3 3 Aufgabe 8.1a): Hohenlinien
2 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.1b) Veranschaulichung der Flache durch ein Blockbild Bei der hier gewahlten axonometrischen Darstellung (siehe nebenstehende Darstellung eines Wurfels) werden folgende Winkel verwendet: Die x-achse wird um = um (0; 0; 0) in der x; z-ebene gedreht, die y-achse wird auf die Halfte gekurzt und im Winkel von = gegenuber der positiven x-achse gezeichnet. die z-achse behalt ihre Richtung und Lange. Ein Blockbild\ kann als ein Gipsmodell interpretiert werden, in dem die Geometrie durch " Spanten\ in einen Rahmen mit den Abmessungen des Bereiches B gegeben wird (siehe Bild " unten). Aufgabe 8.1b): Darstellung durch ein Blockbild Es ist daher folgende Projektion f notwendig: f : x y z 1 A! x cos() + y cos() x sin() + y sin() + z Aufgabe 8.1b): Lage der Spanten zur Erzeugung eines Blockbildes Losung von Aufgabe 8.1b): Es werden Spanten eingezogen a) fur x 1 = 1, x = 0 und x 3 = 1. Fur jede Spante und fur den Rand wird jeweils die Hohe z = f(x i ; y) mit i f0; 1; ; 3; 4g und y berechnet. z(x 0 ; y) = f( ; y) = y 5 z(x 1 ; y) = f( 1; y) = y z(x ; y) = f(0; y) = y z(x 3 ; y) = f(1; y) = y z(x 4 ; y) = f(; y) = y 5 b) fur y 1 = 1, y = 0 und y 3 = 1. Fur jede Spante und den Rand wird jeweils die Hohe z = f(x; y i ) mit i f0; 1; ; 3; 4g und x berechnet. z(x; y 0 ) = f(x; ) = 1+x z(x; y 1 ) = f(x; 1) = 1 1+x z(x; y ) = f(x; 0) = 0 z(x; y 3 ) = f(x; 1) = 1 1+x Aufgabe 8.1b): Blockbild z(x; y 4 ) = f(x; ) = 1+x
3 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.1c) Zeichnen Sie in das Blockbild (b) die Hohenlinien aus (a) ein. Losung: Aufgabe 8.1c): Blockbild und Hohenlinien Aufgabe 8.1d) Erzeugen Sie die Flache aus Kurvenscharen z = f(x; y i ) mit y i = + 0:5 i (i = 0; :::; 8) und den Kurvenscharen z = f(x i ; y) x i = + 0:5 i (i = 0; :::; 8). Kennzeichnen Sie den Punkt mit den Koordinaten (1; 1; 0:5). Losung von Aufgabe 8.1d) Aufgabe 8.1d): Erzeugende Kurvenscharen bei = und =
4 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.1e) Erzeugen Sie die Flache aus Kurvenscharen z = f(x; y i ) mit y i = + 0:5 i (i = 0; :::; 8) und den Kurvenscharen z = f(x i ; y) x i = + 0:5 i (i = 0; :::; 8) (wie in Teil d)), aber wahlen Sie zur axonometrischen Darstellung die Winkel = 45 und = 15. Kennzeichnen Sie den Punkt mit den Koordinaten (1; 1; 0:5). Losung 8.1e): Aufgabe 8.1e): Erzeugende Kurvenscharen bei = 45 und = 15
5 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.1f): Tangentialebene Bestimmen Sie die Tangentialebene im Punkt (1; 1) und zeichnen Sie diese in eine der Zeichnungen d) oder e) ein. Versuchen Sie - zeichnerisch - herauszunden, ob bzw. wie die Tangentialebene die Fl ache im Bereich B 1 := f(x; y) j 0 x ; 0 y ; g schneidet. Losung von Aufgabe 8.1f): Es ist f x = x y (1 + x ) f y = x Hier ist f(1; 1) = 1 f x (1; 1) = (1 + 1 ) = 1 f y (1; 1) = 1 und damit fur (x 0 ; y 0 ) = (1; 1) oder z = f(x 0 ; y 0 ) + f x (x 0 ; y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0 ; y 0 ) (y y 0 ) = 1 1 (x 1) + 1 (y 1) z = 1 (x 1) + (y 1) = 1 x + y oder x y + z = 1 Damit lautet hier die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (1; 1) an die Flache z = f(x; y) T = f(x; y; z) j x y + z = 1g Aufgabe 8.1f): Tangentialebene im Punkt (1; 1) an die Flache z = f(x; y) links: = 45 und = 15 rechts: = 45 und = 15
6 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.1f): Tangentialebene im Punkt (1; 1) an die Flache z = f(x; y) mit Schnittlinien zwischen Flache und Tangentialebene Naturlich kann die Schnittlinie zwischen Flache und Tangentialebene bestimmt werden: Es muss gelten z = und damit y 1 + x = 1 x + y oder y = (1 + x ) (1 x + y) = 1 x + y + x x 3 + x y y (1 x ) = 1 x + x x 3 oder y = 1 x + x x 3 Folglich ist die Schnittkurve S bestimmt durch S = 1 x (x; y; z) ; x R; y = 1 x + x x 3 ; z = 1 x + y 1 x
7 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Gradient Falls fur einen Punkt (x 0 ; y 0 ) einer Funktion f(x; y) sowohl f(x 0 ; y 0 ) als auch die partiellen Ableitungen f x (x 0 ; y 0 ) und f y (x 0 ; y 0 ) deniert sind, so heit grad f x y der Gradient von f Aufgabe 8.1g) (Gradient): Berechnen Sie fur die Funktion z = f(x; y) = y den Gradient im Punkt 1+x (x 0 ; y 0 ) = (1; 1). - Zeichnen Sie diesen Gradienten in die Hohenkarte dieser Flache ein (der Gradient in (x 0 ; y 0 ) steht senkrecht auf der Hohenlinie durch diesen Punkt) - Zeichnen Sie diesen Gradienten in das Blockbild dieser Flache ein (der Gradient in (x 0 ; y 0 ; z 0 ) zeigt in Richtung der maximalen Steigung) Losung von Aufgabe 8.1g): Es ist nach 8.1f) f(1; 1) = 1 f x (1; 1) = (1 + 1 ) = 1 f y (1; 1) = 1 Also ist der Gradient grad f(1; 1) = 1 ; 1 und der Gradient hat die Steigung m gradient = 1. Andererseits geht durch den Punkt (1; 1) die Hohenlinie zur Hohe z = 1. Die Hohenlinie hat nach 8.1a) die Gleichung y = 1 (1 + x ) Damit kann die Steigung dieser Kurve im Punkt (1; 1) berechnet werden: y 0 = x, alsoy 0 (x=1) = m T angente = 1 Auf der Tangente steht also der Gradient senkrecht, denn es ist m T angente m gradient = 1
8 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August relative Extremwerte 3D: Notwendige Bedingung fur das Auftreten eines relativen Extremwertes: Es seien B IR und f : B! IR eine dierenzierbare Funktion. Wenn der Graph von z = f(x; y) in (x e ; y e ) ein relatives Extremum besitzt, so ist f x (x e ; y e ) = 0 und f y (x e ; y e ) = 0 (1) 3D: Hinreichende Bedingung fur das Auftreten eines relativen Extremwertes: Es ist zunachst die Determinante D(x; y) := f xx f yx f xy f yy () zu berechnen. Dann ist fur jedes mogliche Extremum (x e ; y e ) der Wert D(x e ; y e ) zu berechnen: - wenn D(x e ; y e ) > 0 und f xx < 0, dann besitzt die Flache z = f(x; y) im Punkt (x e ; y e ) ein relatives Maximum - wenn D(x e ; y e ) > 0 und f xx > 0, dann besitzt die Flache z = f(x; y) im Punkt (x e ; y e ) ein relatives Minimum - wenn D(x e ; y e ) < 0, dann besitzt die Flache z = f(x; y) im Punkt (x e ; y e ) ein kein Extremum (es liegt ein Sattelpunkt vor) - wenn D(x e ; y e ) = 0, dann ist keine Aussage uber ein Extremum moglich Aufgabe 8.1h) (Extremwerte): Bestimmen Sie die (relativen und absoluten) Extremwerte von z = f(x; y). Losung von Aufgabe 8.1h): Nach 8.1f) ist f x = Aus der notwendigen Bedingung folgt x y und f (1 + x ) y = x x = 0 oder y = 0 wegen f x = 0 Aus der Zeichung ist ersichtlich, dass weder die x-achse noch die y-achse ein relatives Extremum bildet. Ein absolutes Minimum tritt auf dem Rand im Punkt (0; ) auf. Ein absolutes Maximum tritt auf dem Rand im Punkt (0; ) auf. Zur hinreichenden Bedingung: Es ist f xx = 8 x y y x und f (1 + x ) 3 (1 + x ) xy = (1 + x ) und f yy = 0 und folglich f xx (0; y) = y und f xy (0; y) = 0 und f yy (0; y) = 0 also ist D(0; y) = f xx (x; 0) = 0 und f xy (x; 0) = y = 0 und D(x; 0) = x (1 + x ) und f yy (x; 0) = 0 0 x (1+x ) x (1+x ) 0 = 4 x (1 + x ) 4 Also ist fur zwar (0; y) keine Aussage uber ein Extremum moglich. Fur (x; 0)ist zwar D(x; 0) > 0, aber es ist f xx (x; 0) = 0.
9 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.: Veranschaulichen Sie sich die durch die Funktion z = f(x; y) = sin(x) sin(y) beschriebene Flache im Bereich B := f(x; y) j x ; y ; g a) durch eine Hohenkarte fur die Hohen z 0 = 0, z 1 = 1, z = 1 p und z 3 = 1 p 3 Losung von Aufgabe 8.a): Die Gleichung z = const: = sin(x) sin(y) lasst sich nach y auosen: y = arcsin z sin(x) und y = arcsin z sin(x) z = 1 p 3! 1 z = p! 1 z =! z = 1! z = 1 p Aufgabe! 8.a): Hohenlinien der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y) z = 1 p 3! b) durch ein Blockbild fur die zylindrischen Spanten f (x; y; z) ; x = cos('); y = sin('); 0 ' g und f (x; y; z) ; x = cos('); y = sin('); 0 ' g Zeichnen Sie jeweils die Kurve z = f(') auf ein Blatt, das ba) zu einem Zylinder f (x; y; z) ; x + y = 1 g bb) zu einem Zylinder f (x; y; z) ; x + y = g geformt werden kann und dann eine Spante des Blockbildes liefert.
10 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Losung 8.b): Aufgabe 8.b): Blockbild der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y) mit x; y Wenn fur x und y jeweils die Zylinderkoordinaten eingesetzt werden, ergibt sich - fur den Zylinder mit Radius 1: z = sin(cos(')) sin(sin(')) fur 0 ' Aufgabe 8.b): Blockbild der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y) mit x; y, geschnitten mit dem Zylinder f (x; y; z) ; x + y = 1 ; 1 z 1 g Die Abwicklung des oben dargestellten Zylinders hat dann folgende Form: Aufgabe 8.b): Abwicklung der zylindrischen Spante f (x; y; z) ; x = cos('); y = sin('); z = sin(cos(')) sin(sin(')); 0 ' g
11 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August fur den Zylinder mit Radius : z = sin(cos( ')) sin(sin( ')) fur 0 ' Aufgabe 8.b): Blockbild der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y), geschnitten mit dem Zylinder f (x; y; z) ; x + y = 4 g Die Abwicklung des oben dargestellten Zylinders hat dann die Form der gestrichelten Linie: Aufgabe 8.b): Abwicklung der zylindrischen Spante f (x; y; z) ; x = cos('); y = sin('); z = sin( cos(')) sin( sin(')) fur 0 ' g
12 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August c) Tangentialebene Berechnen Sie fur die Flache z = sin(x) sin(y) die Tangentialebene in den Punkten P 1 = (x 1 ; y 1 ) = ( ; ) und P 4 4 = (x ; y ) = ( ; ) und zeichnen Sie diese jeweils in die 6 Hohenkarte a) ein. Verwenden Sie dabei folgende Berandungen f ur die Tangentialebene im Punkt P i : x x x i 4 i + und y y y 4 i 4 i + 4 Losung von Aufgabe 8.c): Es ist f x = cos(x) sin(y) und f y = sin(x) cos(y) und daher - fur den Punkt P 1 : f x ( 4 ; 4 ) = 1 f y ( 4 ; 4 ) = 1 f( 4 ; 4 ) = 1 Dann ist die Tangentialebene in dem Punkt P 1 deniert durch T = f(x; y; z) j z = f(x 1 ; y 1 ) + f x (x 1 ; y 1 ) (x x 1 ) + f y (x 1 ; y 1 ) (y y 1 )g also T = (x; y; z) j z = (x 4 ) + 1 (y 4 ) = f(x; y; z) j x + y 4 z = g Aufgabe 8.c): Tangentialebene der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y) im Punkt P 1 = ( 4 ; 4 ) - fur den Punkt P = ( ; 6 ): f x ( ; 6 ) = 0 f y( ; 6 ) = 1 p 3 f( ; 6 ) = 1 Dann ist die Tangentialebene in dem Punkt P deniert durch T = f(x; y; z) j z = f(x ; y ) + f x (x ; y ) (x x ) + f y (x ; y ) (y y )g also T = (x; y; z) j z = p 3 (y n 6 ) = (x; y; z) j 6 p 3 y 1 z = p o 3 6
13 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.c): Tangentialebene der Flache z = f(x; y) = sin(x) sin(y) im Punkt P = ( ; ) 6 (Tangentialebene fur x + und y
14 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August d) (Extremwerte) Bestimmen Sie (relative und absolute) Extremwerte im Bereich B := f(x; y) j x ; y ; g und vergleichen das Ergebnis mit Ihrer Zeichung. Losung 8.d): Zunachst sollen die relativen Extrema in B gesucht werden: Es ist Folglich fuhrt f x = cos(x) sin(y) und f y = sin(x) cos(y) 1. die Bedingung f x (x e ; y e ) = 0 zu den Losungen ( ; y) oder (x; ) oder (x; 0). die Bedingung f x (x e ; y e ) = 0 zu den Losungen ( ; y) oder (0; y) oder (x; ) Es sollen beide Bedingungen gleichzeitig gelten, also gibt es 13 mogliche Extremwerte: (x 1 ; y 1 ) = ( ; ) (x ; y ) = ( ; ) (x 3; y 3 ) = (; ) (x 4 ; y 4 ) = (; ) (x 5 ; y 5 ) = ( ; ) (x 6 ; y 6 ) = ( ; ) (x 7 ; y 7 ) = (; 0) (x 8 ; y 8 ) = ( ; 0) (x 9 ; y 9 ) = (0; ) (x 10 ; y 10 ) = (0; ) (x 11 ; y 11 ) = (0; 0) (x 1 ; y 1 ) = ( ; ) (x 13 ; y 13 ) = ( ; ) Nun soll fur jeden dieser Punkte gepruft werden, ob die hinreichende Bedingung erkennen lat, ob es sich wirklich um ein Extremum handelt - und wenn ja, dann um welches. Es ist nach () D(x; y) = f xx f yx f xy f yy = sin(x) sin(y) cos(x) cos(y) cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) D(x 1 ; y 1 ) = 1, f xx < 0: Max D(x ; y ) = 1, f xx > 0: Min D(x 3 ; y 3 ) = 1: SP D(x 4 ; y 4 ) = 1: SP D(x 5 ; y 5 ) = 1: SP D(x 6 ; y 6 ) = 1: SP D(x 7 ; y 7 ) = 1: SP D(x 8 ; y 8 ) = 1: SP D(x 9 ; y 9 ) = 1: SP D(x 10 ; y 10 ) = 1: SP D(x 11 ; y 11 ) 1: SP D(x 1 ; y 1 ) = 1, f xx > 0: Min D(x 13 ; y 13 ) = 1, f xx > 0: Max SP = Sattelpunkt Also gibt es nur die vier relativen Extrema (x 1 ; y 1 ), (x ; y ), (x 1 ; y 1 ) und (x 13 ; y 13 ); die maximale Hohe ist +1 und die minimale Hohe ist -1. Auf den Randern gilt: fur x = ist z = 0, also kein absolutes Extremum. fur x = ist z = 0, also kein absolutes Extremum. fur y = ist z = 0, also kein absolutes Extremum. fur y = ist z = 0, also kein absolutes Extremum.
15 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.3: Veranschaulichen Sie sich die durch die Funktion z = f(x; y) = x y x + y beschriebene Flache im Bereich B := f(x; y) j x ; y ; g 8.3a) durch eine Hohenkarte fur die Hohen z 0 = 0 und z 1 = 1 4 Losung 8.3a): Aufgabe 8.3: Flache z = f(x; y) = x y x +y z 0 = 0 liefert x = 0 oder y = 0 - im Punkt (0; 0) ist die Flache nicht deniert.
16 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August z 1 = 1 4 liefert die Kurven 1 4 = x y x + y oder x + y = 4 x y Aufgabe 8.3a): Hohenlinien der Hohe z 1 = 1 x y der Flache z = f(x; y) = 4 x +y fur x und y 8.3b) durch ein Blockbild Erzeugen Sie die Spanten aus den Kurvenscharen z = f(x; y i ) mit y i = + i (i = 0; :::; 4) und z = f(x i ; y) mit x i = + i (i = 0; :::; 4). Losung 8.3b): In der Gleichung der Flache z = f(x; y) = x y werden zunachst die Ebenen x +y y i betrachtet: z = f(x; y 0 ) mit y 0 = : z = x (durchgezogene Linie) x +4 z = f(x; y 1 ) mit y 1 = 1: z = x 1 x +1 (100 Striche) z = f(x; y ) mit y = 0: z = 0 (im Punkt (0; 0) ist die Flache nicht deniert) z = f(x; y 3 ) mit y 3 = 1: z = x 1 x +1 z = f(x; y 4 ) mit y 4 = : z = x x +4 (30 Striche) (15 Striche) Diese einzelnen Spanten sind im folgenden Bild fur x + dargestellt.
17 Windelberg: Mathematik fur Ingenieure, Kapitel 8 Stand: 18. August Aufgabe 8.3b): Spanten-Kurven der Flache z = f(x; y) = x y x +y 8.3c) Untersuchen Sie die Flache in der Umgebung des Nullpunktes (0; 0), indem Sie zunachst f(0; 0) denieren und dann versuchen, eine Tangentialebene in (0; 0) zu bestimmen.
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen
MehrMathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen
Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Funktionen mit mehreren reellen Variablen 18.11.08 Beispiel: Funktionsgebirge Das Beispiel zeigt die Funktion z = y sin(x 2 ) Schnittkurven: Beispiel
Mehr3. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)
Technische Universität München Zentrum Mathematik PD Dr. Christian Karpfinger http://www.ma.tum.de/mathematik/g8vorkurs 3. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 0/) Aufgabe 3.: Gehen Sie die Inhalte der
MehrMathematik I ITB. Funktionen mit mehreren reellen Variablen. Prof. Dr. Karin Melzer
Funktionen mit mehreren reellen Variablen 11.05.09 Beispiel: Funktionsgebirge Das Beispiel zeigt die Funktion z = y sin(x 2 ) Schnittkurven: Beispiel Kegelschnitte Schnittkurve: Kurve, die aus dem Schnitt
MehrMathematik 2 SS 2016
Mathematik 2 SS 2016 2. Übungsblatt Gruppe 1 18. Man zeige, dass die Gleichung f(x, y) = y 5 e y (2x 2 + 3) sin y + x 2 y 2 x cos x = 0 in einer Umgebung des Punktes P (0, 0) nach y aufgelöst werden kann,
MehrMusterlösungen Aufgabenblatt 2
Jonas Kindervater Ferienkurs - Höhere Mathematik III für Physiker Musterlösungen Aufgabenblatt Dienstag 17. Februar 009 Aufgabe 1 (Implizite Funktionen) f(x, y) = x 1 xy 1 y4 = 0 Man bestimme die lokale
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen 3. Mai 203 *Aufgabe. Bestimmen Sie alle Punkte (x 0, y 0 ), an denen der Gradient der Funktion f(x, y) = (xy 2 8)e x+y Null ist. Untersuchen Sie, ob diese Punkte lokale
Mehr2 Kegelschnitte, Normalformen und Konstruktion
Mathematik fur Ingenieure Institut fur Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik Dr. Dirk Windelberg Universitat Hannover Stand: 8. August 008 http://www.iazd.uni-hannover.de/windelberg/teach/ing
MehrMultivariate Analysis
Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
Mehr12 Integralrechnung, Schwerpunkt
Dr. Dirk Windelberg Leibniz Universität Hannover Mathematik für Ingenieure Mathematik http://www.windelberg.de/agq Integralrechnung, Schwerpunkt Schwerpunkt Es sei ϱ die Dichte innerhalb der zu untersuchenden
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz Dr P C Kunstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive Komplexe
MehrHTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt. Mathematik II für Bauingenieure. (f) 4 sin x cos 5 x dx. 3 x e x2 dx (i) e 2x 1 dx.
HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik II Mathematik II für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben zur Prüfungsklausur im Juli 2007 1 Integralrechnung Aufgabe 1 : Berechnen Sie die folgenden
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen 7. Juni 201 *Aufgabe 1. Gegeben seien fx, y = xy 2 8e x+y und P = 1, 2. Der Gradient von f ist genau an der Stelle P Null. a Untersuchen Sie mit Hilfe der Hesse-Matrix,
MehrMATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Differentialrechnung für Funktionen mehrerer
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 13. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.de Department Biologie II Telefon: 89-8-748 Großhadernerstr. Fax:
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 8. Funktionen von mehreren Variablen Kapitel 8.3 Anwendungen der partiellen Differentiation (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung
MehrSerie 3. z = f(x, y) = 9 (x 2) 2 (y 3) 2 z 2 = 9 (x 2) 2 (y 3) 2, z 0 9 = (x 2) 2 + (y 3) 2 + z 2, z 0.
Analysis D-BAUG Dr Cornelia Busch FS 2016 Serie 3 1 a) Zeigen Sie, dass der Graph von f(x, y) = 9 (x 2) 2 (y 3) 2 eine Halbkugel beschreibt und bestimmen Sie ihren Radius und ihr Zentrum z = f(x, y) =
MehrTechnische Universität Berlin
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS /5 G. Bärwol, A. Gündel-vom-Hofe..5 Februar Klausur Analysis II für Ingenieurswissenschaften Lösungsskizze. Aufgabe 6Punkte Bestimmen
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung
MehrMathematik III für MB, MPE, LaB, WI(MB) Übung 1, Lösungsvorschlag
Gruppenübung Mathematik III für MB, MPE, LaB, WI(MB) Übung 1, Lösungsvorschlag G 11 (Klassifikation von Differentialgleichungen) Klassifizieren Sie die folgenden Differentialgleichungen: x 2 y + x y +
MehrMusterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2
Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die
MehrAnalysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007
Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.
MehrMathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I. f(x) := e x + x.
Technische Universität München WS 009/0 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. J. Edenhofer Dipl.-Ing. W. Schultz Übung Lösungsvorschlag Mathematische Behandlung der Natur- und Wirtschaftswissenschaften I Aufgabe
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7 7.1 (Herbst 2015, Thema 1, Aufgabe 4) Gegeben sei das Dreieck und die Funktion f : R mit Bestimmen Sie f(
MehrExtrema von Funktionen mit zwei Variablen
Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Es gilt der Satz: Ist an einer Stelle x,y ) f x x,y ) = und f y x,y ) = und besteht außerdem die Ungleichung f xx x,y )f yy x,y ) f xy x,y ) >, so liegt an dieser
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.3 Anwendungen (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.3 Anwendungen (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 10
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt Hausaufgaben Aufgabe. Sei f : R 2 R gegeben durch x 2 y für (x, y)
MehrLösung zur Klausur zur Analysis II
Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes
MehrHeinrich-Hertz-Oberschule, Berlin
Reellwertige Funktionen mehrerer Variabler Teilnehmer: Maximilian Ringleb Jakob Napiontek Kay Makowsky Mallku Schlagowski Trung Duc Nguyen Alexander Reinecke Herder-Oberschule, Berlin Heinrich-Hertz-Oberschule,
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen 24. Mai 2013 *Aufgabe 1. Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die Gleichung der Tangentialebene für alle Punkte auf der Fläche. Wann ist die Tangentialebene
MehrSerie 4: Gradient und Linearisierung
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Gradient und Linearisierung Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 4 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7./9. März.. Wir betrachten die
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 23 (5.8.23). Gegeben seien die Matrizen A = 2 3 3 und B = 5 2 5 (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die
MehrMathematik. für das Ingenieurstudium. 10 Funktionen mit mehreren Variablen. Jürgen Koch Martin Stämpfle.
10 Funktionen mit mehreren Variablen www.mathematik-fuer-ingenieure.de 2010 und, Esslingen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 9
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x
MehrKurzzusammenstellung der in der Vorlesung behandelten impliziten Gleichungen und deren Ableitungen
Kurzzusammenstellung der in der Vorlesung behandelten impliziten Gleichungen und deren Ableitungen Einleitung: Funktion mit einer Veränderlichen Als Einleitung haben wir folgende Funktion besprochen: y
MehrDifferenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. Graphentheorie
Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Graphentheorie Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Def.: eine Funktion n f :D mit D,x (x,...x
MehrReellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher
Reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher Teilnehmer: Philipp Besel Joschka Braun Robert Courant Florens Greÿner Tim Jaschek Leroy Odunlami Gloria Xiao Heinrich-Hertz-Oberschule, Berlin Ludwigs-Georgs-Gymnasium,
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.4 Anwendungen (Teil 2): Extremwerte
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.4 Anwendungen (Teil 2): Extremwerte www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr.
MehrAbiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A Für jedes a > ist eine Funktion f a definiert durch fa (x) = x (x a) mit x R a Das Schaubild von f
MehrÜbungsaufgaben zur Kurvendiskussion
SZ Neustadt Mathematik Torsten Warncke FOS 12c 30.01.2008 Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion 1. Gegeben ist die Funktion f(x) = x(x 3) 2. (a) Untersuchen Sie die Funktion auf Symmetrie. (b) Bestimmen
MehrStroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimmen Sie die Determinante der Matrix
Stroppel Musterlösung 7.., 8min Aufgabe Punkte Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A =. Geben Sie alle Lösungen x des homogenen Gleichungssystems Ax = an. Entwicklung nach der ersten Spalte: deta
MehrExtremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler
Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II 2014
Übungen zum Ferienkurs Analysis II 4 Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar zu begründen. Schreiben
MehrKlausur Mathematik I
Klausur Mathematik I E-Techniker/Mechatroniker/Informatiker/W-Ingenieure). März 007 Hans-Georg Rück) Aufgabe 6 Punkte): a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft z z = und z ) z ) =.
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt. ). 12x 3 Die Hessematrix von f ist gegeben durch H f (x, y) =
Karlsruher Institut für Technologie (KIT Institut für Analysis Priv-Doz Dr P C Kunstmann Dipl-Math D Roth SS 0 7060 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 8 Übungsblatt
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 15
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 15 1. Der Wert einer Funktion f : R R fällt am schnellsten in die Richtung (a) (b) (c) der minimalen partiellen Ableitung. entgegengesetzt
MehrSelbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung
Selbsteinschätzungstest Auswertung und Lösung Abgaben: 46 / 587 Maximal erreichte Punktzahl: 8 Minimal erreichte Punktzahl: Durchschnitt: 7 Frage (Diese Frage haben ca. 0% nicht beantwortet.) Welcher Vektor
MehrFunktionen in zwei (und mehreren) Veränderlichen
Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstsemester 8 Funktionen in zwei (und mehreren) Veränderlichen Inhalt: 1. Definition und Beispiele.
Mehra) Im Berührungspunkt müssen die y-werte und die Steigungen übereinstimmen:
. ANALYSIS Gegeben ist die kubische Parabel f: y = x 3 6x + 8x + a) Die Gerade g: y = k x + berührt die Parabel an der Stelle x = x 0 > 0. Bestimmen Sie den Parameter k. b) Berechnen Sie den Inhalt der
Mehr10. Übungsblatt zur Analysis II
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Nada Sissouno WS 2009/2010 17.12.2009 10. Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Aufgabe G1 Gegeben sei die Funktion g : R 2 R, g(x,y) = sin 2 y + x 3 1.
Mehr4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion.
4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion. Definition 4.3. Es sei f : R D R eine auf D erklarte Funktion. Die Funktion f hat in a D eine globales oder
MehrFunktionen mehrerer Veränderlicher
Funktionen mehrerer Veränderlicher Betrachtet werden Funktionen f : D R mit Denitionsbereich D R n und Wertebereich R, d. h. man hat die Funktionsgleichung y = f (x) = f (x, x 2,..., x n ) Beispiele: f
Mehr2 Funktionen mehrerer Veränderlicher
2 Funktionen mehrerer Veränderlicher 4 2 Funktionen mehrerer Veränderlicher Wir betrachten nun Funktionen, die auf einer Teilmenge des R n definiert sind. Wir betrachten eine Funktion f, deren Definitionsbereich
MehrMathematik III - Blatt 6
Mathematik III - Blatt Christopher Bronner, Frank Essenberger 8. November Aufgabe Wir suchen erstmal im inneren des Vierecks nach Punkten, die für einen Extremwert in Frage kommen, danach auf den Rändern
Mehrcos(x)cos(2x)cos(4x) cos(2 n x) = sin(2n+1 x) 2 n+1 sin(x) = sin(2n+2 x) 2 n+2 sin(x).
Stroppel/Sändig Musterlösung 8. 3., min Aufgabe 5 Punkte Beweisen Sie für alle x R {zπ z Z} die Formel für n N mit Hilfe der vollständigen Induktion. cosxcosxcosx cos n x = sinn+ x n+ sinx Dabei dürfen
MehrSkripten für die Oberstufe. Kurvendiskussion. f (x) f (x)dx = e x.
Skripten für die Oberstufe Kurvendiskussion x 3 f (x) x f (x)dx = e x H. Drothler 0 www.drothler.net Kurvendiskussion Zusammenfassung Seite Um Funktionsgraphen möglichst genau zeichnen zu können, werden
MehrMusterlösung zu Blatt 1
Musterlösung zu Blatt Analysis III für Lehramt Gymnasium Wintersemester 0/4 Überprüfe zunächst die notwendige Bedingung Dfx y z = 0 für die Existenz lokaler Extrema Mit x fx y z = 8x und y fx y z = + z
MehrExtrema von Funktionen mit Nebenbedingung
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
MehrGymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2016 Mathematik Profile A und B
Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2016 Mathematik Profile A und B Name, Vorname:... Hinweise: Klasse:... Die Prüfung dauert 4 Stunden. Es können maximal 48 Punkte erreicht werden. Es werden alle Aufgaben
MehrAbb lokales Maximum und Minimum
.13 Lokale Extrema, Monotonie und Konvexität Wir kommen nun zu den ersten Anwendungen der Dierentialrechnung. Zwischen den Eigenschaten einer Funktion, dem Verlau des zugehörigen Graphen und den Ableitungen
MehrMathematik I für MB und ME
Übungsaufgaben Aufgaben zur Wiederholung Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 06/07 a) Stellen Sie die Gleichung a b 3+c = a +c, a, b > 0, nach
MehrProbeklausur. 1 Stetigkeit [7 Punkte] 2 Differenzierbarkeit [10 Punkte] Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS Karolina Stoiber Aileen Wolf
Karolina Stoiber Aileen Wolf Ferienkurs Analysis 2 für Physiker SS 26 A Probeklausur Allgemein Hinweise: Die Arbeitszeit beträgt 9 Minuten. Falls nicht anders angegeben, sind alle en ausführlich und nachvollziehbar
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 3 Anwendungen der Differentialrechnung 3.1 Lokale Maxima und Minima Definition 16: Sei f : D R eine Funktion von n Veränderlichen. Ein Punkt x heißt lokale oder relative Maximalstelle bzw. Minimalstelle
MehrVorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker
Technische Universität Ilmenau SS 2010 Institut für Mathematik Inf Prof. Dr. Michael Stiebitz Vorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker 1 Lineare Algebra Aufgabe 1 Schauen Sie sich die
MehrPartielle Ableitungen & Tangentialebenen. Folie 1
Partielle Ableitungen & Tangentialebenen Folie 1 Bei Funktionen mit einer Variable, gibt die Ableitung f () die Steigung an. Bei mehreren Variablen, z(,), gibt es keine eindeutige Steigung. Die Steigung
MehrTK II Mathematik 2. Feststellungsprüfung Nachprüfung Arbeitszeit: 120 Minuten
. Feststellungsprüfung Nachprüfung 19.0.005 1. Untersuchen Sie die Funktion p ( ) = + 16 auf Monotonie und geben Sie auf Grund dieses Ergebnisses die Lage des Scheitels an. (10. Der Graph einer ganz rationalen
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrMathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 2017/18. Grundlagentutorium 4 Lösungen
Mathematik für Studierende der Biologie Wintersemester 207/8 Grundlagentutorium 4 Lösungen Sebastian Groß Termin Mittwochs 5:45 7:45 Großer Hörsaal Biozentrum (B00.09) E-Mail gross@bio.lmu.de Sprechzeiten
MehrAbitur 2014 Mathematik Infinitesimalrechnung I
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 204 Mathematik Infinitesimalrechnung I Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. Teilaufgabe Teil A (5 BE) Gegeben ist die Funktion f : x x ln
MehrAbiturprüfung Mathematik 2015 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 1 Lösungen
1 Abiturprüfung Mathematik 2015 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 1 Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de 2 Aufgabe A 1 Der Laderaum eines Lastkahns ist
MehrMusterlösung zur Klausur zur Vorlesung Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II. am , Zeit: 120 Minuten
Musterlösung zur Klausur zur Vorlesung Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II am 5.8.25, Zeit: 2 Minuten Aufgabe (3 Punkte Eine Bakterienkultur hat eine stetige Wachstumsrate von % pro Stunde. Wie
MehrÜbungen zu Funktionen mehrerer Veränderlicher. Lösungen zu Übung Betrachten Sie die durch. y 1 + x 2. z = gegebene Fläche.
Übungen zu Funktionen mehrerer Veränderlicher 5.1 Betrachten Sie die durch Lösungen zu Übung 5 gegebene Fläche. z = y 1 + x 2 (a) Zeichnen Sie die Höhenlinien in ein Koordinatensystem. (b) Veranschaulichen
MehrHausaufgaben und Lösungen
Hausaufgaben und Lösungen Die folgenden Seiten sind nicht thematisch, sondern chronologisch geordnet. Die Lösungen der Hausaufgaben werden hier erst nach der Besprechung der Hausaufgaben veröffentlicht.
MehrBasisprüfung, Gruppe A Analysis I/II
Offene Aufgaben. Jeder der folgenden sieben offenen Aufgaben ist eine einzelne thematisch verwandte Single Choice-Aufgabe vorangestellt. Beantworten Sie die Single Choice Aufgabe auf dem Antwortzettel.
MehrLösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis)
Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Mathematik PD Dr. L. Strüngmann Informationen zur Veranstaltung unter: http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml SS 7 Lösung zu den Testaufgaben
MehrKapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen
Kapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen 6.1 Funktionen von mehreren Variablen Eine Abbildung f : D R, D R n, ordnet jedem n-tupel x = (x 1, x 2,...,x n ) D (eindeutig) eine
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+
MehrSolutions I Publication:
WS 215/16 Solutions I Publication: 28.1.15 1 Vektor I 4 2 Ein Objekt A befindet sich bei a = 5. Das zweite Objekt B befindet sich bei b = 4. 2 3 (a) Die Entfernung von Objekt A zum Ursprung ist die Länge
MehrAufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1
Aufgaben zum Grundwissen Mathematik 11. Jahrgangstufe Teil 1 Lehrplan: M 11.1.1 Graphen gebrochen-rationaler Funktionen M 11.1.2 Lokales Differenzieren Passende Kapitel im Schulbuch Fokus Mathematik 11:
MehrKarlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 03 6.06.03 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik
Mehrf(x) f(a) f (a) := lim x a Es existiert ein Polynom ersten Grades l(x) = f(a) + c (x a) derart, dass gilt lim x a x a lim
A Analysis, Woche 8 Partielle Ableitungen A 8. Partielle Ableitungen Wir haben vorhin Existenzkriterien für Extrema betrachtet, aber wo liegen sie genau? Anders gesagt, wie berechnet man sie? In einer
MehrMathematik für Biologen und Chemiker Prof. Scheltho - Übungen Mathe 2
Mathematik für Biologen und Chemiker Prof. Scheltho - Übungen Mathe 2 Fortsetzung der komlexen Zahlen : 9. Radizieren und Potenzen a) Berechnen Sie (1+i) 20 und geben Sie das Resultat als Polarkoordinaten
MehrThema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen
Thema14 Der Satz über inverse Funktionen und der Satz über implizite Funktionen In diesem Kapitel betrachten wir die Invertierbarkeit von glatten Abbildungen bzw. die Auflösbarkeit von impliziten Gleichungen.
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 25. November 2010 1 Differentialrechnung Kurvendiskussion Trigonometrische Funktionen Bedeutung der Ableitung in
MehrTU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik 1. Dr. M. Herrich SS 2017
TU Dresden Fachrichtung Mathematik Institut für Numerische Mathematik Prof. Dr. K. Eppler Institut für Numerische Mathematik Dr. M. Herrich SS 207 Aufgabe Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit Übungen
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen
MehrProf. Dr. Rolf Linn
Prof. Dr. Rolf Linn 6.4.5 Übungsaufgaben zu Mathematik Analysis. Einführung. Gegeben seien die Punkte P=(;) und Q=(5;5). a) Berechnen Sie den Anstieg m der Verbindungsgeraden von P und Q. b) Berechnen
MehrDer metrische Raum (X, d) ist gegeben. Zeigen Sie, dass auch
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 07 Institut für Mathematik Stand: 3. Juli 007 Ferus / Garcke Lösungsskizzen zur Klausur vom 6.07.07 Analysis II. Aufgabe (5 Punkte Der metrische Raum (X, d ist gegeben.
MehrVorlesung: Analysis I für Ingenieure
Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Michael Karow Thema: Satz von Taylor Die Taylor-Entwicklung I Satz von Taylor. Sei f : R D R an der Stelle x n-mal differenzierbar. Dann gilt für x D, n f (k) (x )
MehrFH- Kurs Mathematik. Übungsaufgaben zur Vorbereitung der 1. Klausur
. Leiten Sie die folgenden Funktionen f jeweils dreimal ab:. a) b) f ( x) = x x + 5x f ( x) = x ( x + 5) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit f ( x) = x x 5x + 6 mittels Polynomdivision. Die
MehrTangentialebene. Sei f eine stetig differenzierbare Funktion und p = (p 1,..., p n ) die Koordinaten eines Punktes P auf der durch
Tangentialebene Sei f eine stetig differenzierbare Funktion und p = (p 1,..., p n ) die Koordinaten eines Punktes P auf der durch implizit definierten Fläche. f (x 1,..., x n ) = c Tangentialebene 1-1
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 8. Funktionen von mehreren Variablen 8.2 Partielle Differentiation Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 8.2 Part. Diff.
MehrAufgaben für die 14. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010
Aufgaben für die 4. Übung zur Vorlesung Mathematik für Informatiker: Analysis Sommersemester 4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dreiblättrigen Kleeblattkurve γ für ein Kleeblatt. Die Polarkoordinaten-
Mehr