Skalarprodukt, Norm & Metrik
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- Daniela Geier
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1 Skalarprodukt, Norm & Metrik Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 11. Mai 2016 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
2 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis und Dimension 5 Skalarprodukt, Norm und Metrik Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
3 Motivation Aus der Schule bekannt: Im R-Vektorraum R 2 bzw. R 3 können Winkel und Abstände gemessen werden. Der Begriff der Orthogonalität wurde ebenfalls eingeführt. Geht das auch bei allgemeinen Vektorräumen? Messe Winkel und Abstände in Vektorräumen! Dazu: Führe den Begriff des Skalarprodukts ein. Dieses stellt ein Hilfsmittel zur Verfügung, um Längen und Winkel zu messen. Dieses wollen wir dann im R n bzw. C n genauer betrachten. Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
4 Skalarprodukt Definition 1 Sei V ein R-Vektorraum. Ein (euklidisches) Skalarprodukt.,. ist eine Abbildung von V V nach R, d. h..,. : V V R (v, w) v, w so dass für all u, v, w V und alle λ R gilt: S1 u, u 0 und: u, u = 0 u = 0 S2 u, v = v, u S3 λu, v = λ u, v S4 u + v, w = u, w + v, w Beispiel 2 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
5 Norm Definition 3 Sei V ein R-Vektorraum. Unter einer Norm. auf V verstehen wir eine Abbildung von V nach R mit den folgenden drei Eigenschaften: N1 v = 0 genau dann, wenn v = 0.. : V R x x N2 λv = λ v für alle v V und λ R. N3 v + w v + w für alle v, w V. Notation 4 Das Paar (V,. ) bestehend aus einem R-Vektorraum V und einer Norm. auf V nennen wir normierten Vektorraum. Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
6 Metrik Definition 5 Sei V ein Vektorraum a. Unter einer Metrik versteht man eine Abbildung mit den folgenden Eigenschaften d : V V R (v, w) d(v, w) M1 d(v, w) = 0 genau dann, wenn v = w. M2 Für alle v, w V gilt: d(v, w) = d(w, v). M3 Für alle u, v, w V d(u, w) d(u, v) + d(v, w). a Die Bedingung, dass V ein Vektorraum ist, ist bei dieser Definition eigentlich nicht nötig: Metriken kann man auch auf Mengen definieren. Beispiel 6 (Metrik und Norm) Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
7 Kanonisches Skalarprodukt und euklidische Norm Nachfolgend wollen wir vor allem im R-Vektorraum R n mit dem euklidischen Skalarprodukt und der euklidischen Norm, die in den vorhergehenden Beispielen eingeführten wurden, arbeiten. Zusammenfassend seien beide hier nochmals kurz aufgeführt: Definition 7 (Kanonisches Skalarprodukt) Seien v, w R n. v, w := Definition 8 (Euklidische Norm) n v i w i = v w i=1 Sei v R n und.,. das kanonische Skalarprodukt. v := v, v = v, v 1 2 = ( n i=1 v 2 i ) 1 2 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
8 Normierte Vektoren Definition 9 Ein Vektor v V heißt normiert, wenn er die Länge 1 hat, d. h., wenn v = 1. Lemma 10 (Normierung) Sei 0 v V. Dann ist der Vektor w := 1 v v normiert, d. h. 1 w = v v = 1 v v = 1 v v = 1 Beispiel 11 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
9 Eigenschaften Satz 12 Im R-Vektorraum R n gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, d. h. für alle u, v R n gilt: u, v u v. Diese ist genau dann mit Gleichheit erfüllt, wenn u und v linear abhängig sind. Beweis. Satz 13 Für alle u, v R n gilt: u v u v Beweis. Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
10 Winkel Definition 14 Der Winkel α (0 α π) zwischen zwei Vektoren u und v mit u 0 und v 0 ist gegeben durch: u, v α = arccos u v, d. h. es gilt also Beispiel 15 cos α = u, v u v. Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
11 Orthogonalität Definition 16 Sei V ein Vektorraum mit Skalarprodukt. 1 Zwei Vektoren u, v V heißen orthogonal (bzw. senkrecht), wenn u, v = 0. Wir schreiben dann u v. 2 Eine Familie B = (x i ) i I von Vektoren heißt Orthogonalsystem, wenn x i 0 für alle i I und x i x j für alle i, j I mit i j (also wenn die Vektoren paarweise senkrecht stehen). 3 Ist B = (x i ) i I ein Orthogonalsystem und gilt zusätzlich noch x i = 1 für alle i I (d. h. alle Vektoren sind normiert), so nennt man B auch Orthonormalsystem. 4 Ist B = (x i ) i I ein Orthonormalsystem und zusätzlich noch eine Basis von V, dann heißt B Orthonormalbasis von V. Beispiel 17 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
12 Eine hübsche Eigenschaft... Lemma 18 Jedes Orthogonalsystem ist linear unabhängig. Beweis. Bemerkung 18.1 Jedes Orthogonalsystem kann man durch Normieren der Vektoren in ein Orthonormalsystem überführen. Beispiel 19 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
13 Existenz von Orthonormalbasen Gram-Schmidt Satz 20 Sei V endlich erzeugter Vektorraum mit Skalarprodukt. Sei U V ein Untervektorraum. Dann lässt sich jede Orthogonalbasis von U zu einer Orthogonalbasis von V ergänzen. Eine entsprechende Aussage gilt für Orthonormalbasen. Insbesondere besitzt jeder endlich erzeugte Vektorraum mit Skalarprodukt eine Orthonormalbasis. Beweis. Beispiel 21 Stefan Ruzika 5: Skalarprodukt, Norm & Metrik 11. Mai / 13
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