Zusammenfassung: Abstände, Winkel und Spiegelungen

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1 Zusmmenfssung: Astände, Winkel und Spiegelungen Inhltsverzeichnis Astände 1 Winkel 5 Spiegelungen 7 Für Experten 1 Astände Astnd Punkt Punkt: Schreiweise: Den Astnd zweier Punkte A und B ezeichnet mn mit ; eines Punkts A von einer Gerden g mit d A; g usw Beknnt: Der Astnd zweier Punkte A und B (zw die Länge der Strecke AB) ist d A; B AB d A B, den Astnd In der Eene ist die Menge der Punkte, die von zwei Punkten A und B gleich weit entfernt sind, die Mittelsenkrechte der Strecke AB Im Rum ilden diese Punkte eine Eene: Feststellung: Gegeen sind zwei Punkte A und B Die Menge der Punkte, die von A gleich weit entfernt sind wie von B, ist die Eene, ezüglich der A und B symmetrisch sind Sie enthält den Mittelpunkt M der Strecke AB, und ein Normlenvektor ist der Vektor MA (oder MB oder AB ) Aufge: Gegeen sind zwei Punkte A und B und eine Gerde g, die nicht prllel zu der Eene ist, ezüglich der A und B symmetrisch sind Bestimme den Punkt uf g, der von A und B gleich weit entfernt ist Lösung: erste Möglichkeit: Ist P t der llgemeine Punkt der Gerden g, dnn estimme t mithilfe der Gleichung APt BPt zweite Möglichkeit: Bestimme die Eene E, ezüglich der A und B symmetrisch sind Der Schnittpunkt von E und g ist der gesuchte Punkt Bemerkung: Eine llgemeinere Form dieser Aufge, eispielsweise: Bestimme den Punkt uf g, der von A doppelt so weit wie von B entfernt ist knn mn nur nlog zur ersten Möglichkeit lösen Bemerkung: Die Aufge: Gegeen sind zwei Punkte A und B Bestimme die Mittelsenkrechte der Strecke AB ist nicht sinnvoll, d es (im Rum) unendlich viele Lösungen git Aufge: Gegeen sind zwei Punkte A und B sowie eine Eene E, in der A und B liegen Bestimme die Mittelsenkrechte der Strecke AB, die in E liegt Lösung: Ist M der Mittelpunkt der Strecke AB und n ein Normlenvektor von E, dnn ist x m t AB n eine Gleichung der gesuchten Gerden zus_stendewinkelundspiegelungen 1/14

2 Anwendung: Bestimmung der Mittelsenkrechten und des Umkreismittelpunkts eines Dreiecks Hinweise: 1 Die Mittelsenkrechten eines gleichseitigen Dreiecks knn mn einfcher estimmen: Dies sind die Gerden durch die Seitenmittelpunkte und die gegenüerliegenden Eckpunkte 2 Den Umkreismittelpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks knn mn einfcher estimmen: Dies ist der Mittelpunkt der Hypotenuse Astnd Punkt Gerde: Stndrdufge: Bestimme den Astnd eines Punkts Q von einer Gerden g Lösung: erste Möglichkeit (Minimierung des Astnds mit dem GTR): Ist P t der llgemeine Punkt von g, dnn estimme mit dem GTR ds Minimum des Astnds von Q und P t, lso ds Minimum von QP t (ls Funktion von t) zweite Möglichkeit (mit der Orthogonlitätsedingung): Ist P t der llgemeine Punkt von g und u der Richtungsvektor von g, dnn estimme den Fußpunkt F des Lots von Q uf g mithilfe der Bedingung PQ t u dritte Möglichkeit (mit der orthogonlen Hilfseene): Bestimme den Fußpunkt F des Lots von Q uf g mithilfe der orthogonlen Hilfseene Dnn ist d Q; g QF Hinweis: Wenn der GTR verwendet werden drf, ist die erste Möglichkeit m einfchsten Achtung: Dieser Astnd ist nicht der Astnd des Punkts vom Aufpunkt der Gerden! Anwendung: Bestimmung der Höhe eines Dreiecks, eines Prllelogrmms oder eines Trpezes Hinweis: Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks und eines symmetrischen Trpezes knn mn einfcher estimmen Anwendung: Bestimmung des Flächeninhlts eines Dreiecks, eines Prllelogrmms oder eines Trpezes Hinweis: Den Flächeninhlt eines rechtwinkligen Dreiecks knn mn einfcher estimmen, und den Flächeninhlt eines elieigen Dreiecks, eines Prllelogrmms und eines elieigen Vierecks knn mn einfcher mit dem Vektorprodukt estimmen Aufge: Bestimme den Astnd zweier prlleler Gerden Lösung: Bestimme den Astnd des Aufpunkts einer der Gerden von der nderen Gerden Achtung: Dieser Astnd ist nicht der Astnd der Aufpunkte der Gerden! zus_stendewinkelundspiegelungen 2/14

3 Astnd Punkt Eene: Definitionen: 1 Ist n ein normierter Normlenvektor einer Eene (lso n 1) und ist P ein Punkt der Eene, dnn heißt n x p eine Gleichung der Eene in Hesse scher Normlenform (HNF) 2 Die Koordintendrstellung der HNF einer Eene E: nx 1 1 nx 2 2nx 3 3 d ist nx 1 1nx 2 2nx 3 3d n n n Merke: Mn erhält die HNF, indem mn d uf die linke Seite der Gleichung ringt und durch den Betrg des Normlenvektors dividiert Stz (Beweis siehe Für Experten ): Ist eine Eene E durch eine Gleichung n x p in Hesse scher Normlenform gegeen, dnn ht ein Punkt Q von E den Astnd d Q; E n qq Folgerung: Der Astnd eines Punkts nx nx nx d ist Q q1 q2 q 3 von einer Eene E: nq nq nq d ; d Q E n n n Bemerkung: D der Nenner positiv ist, knn mn die Betrgsstriche uch nur um den Zähler setzen Merke: Mn erhält den Astnd eines Punkts von einer Eene, indem mn die Koordinten des Punkts in die linke Seite der HNF einsetzt und den Betrg nimmt Angewndt uf den Fll, dss der Punkt der Ursprung ist, ergit dies die Feststellung: Eine Eene E: nx 1 1nx 2 2nx 3 3 d ht vom Ursprung den Astnd d n n n Als Sonderfll ergit sich die ereits eknnte Ttsche, dss eine Eene E: nx 1 1nx 2 2nx 3 3 d genu dnn den Ursprung enthält, wenn ist Stndrdufge: Bestimme den Astnd eines Punkts Q von einer Eene E zus_stendewinkelundspiegelungen 3/14

4 Lösung: erste Möglichkeit: Setze die Koordinten des Punkts in die linke Seite der Koordintendrstellung der HNF von E ein und nimm den Betrg zweite Möglichkeit: Bestimme den Fußpunkt F des Lots von Q uf E mithilfe der Lotgerden Dnn ist d Q; E QF Hinweis: Wenn nur der Astnd gefrgt ist, dnn ist die erste Möglichkeit einfcher Wenn uch der Lotfußpunkt gefrgt ist, dnn muss mn die zweite Möglichkeit verwenden Anwendung: Bestimmung der Höhe einer Pyrmide oder eines Prisms Anwendung: Bestimmung des Volumens einer Pyrmide oder eines Prisms Aufge: Bestimme den Astnd einer Gerden von einer zu der Gerden prllelen Eene Lösung: Bestimme den Astnd des Aufpunkts der Gerden von der Eene Aufge: Bestimme den Astnd zweier prlleler Eenen Lösung: erste Möglichkeit: Wähle einen Punkt in einer der Eenen und estimme seinen Astnd von der nderen Eene zweite Möglichkeit: Sind die Eenen durch Koordintengleichungen mit derselen linken Seite gegeen: E: nx 1 1nx 2 2nx 3 3 de und F: nx 1 1 nx 2 2nx 3 3 df, de df dnn ist de; F n n n Aufge: Gegeen sind eine Eene E, eine Gerde g, die nicht prllel zu E ist, und eine positive Zhl d Bestimme die eiden Punkte uf der Gerden g, die von der Eene E den Astnd d hen Lösung: erste Möglichkeit: Setze in die linke Seite der Koordintendrstellung der HNF von E die Koordinten des llgemeinen Punkts P t von g ein und nimm den Betrg; dies ist dpt ; E Die Bedingung d P E d ergit eine Betrgsgleichung für den Prmeter r zus_stendewinkelundspiegelungen 4/14 ; t Hinweis: Diese Betrgsgleichung knn mn ohne weitere Umformungen mit dem GTR lösen; der Betrg ist der Befehl s (von Asolutetrg) im MATH-NUM-Menü Löst mn die Gleichung ohne GTR, dnn muss mn echten, dss eine Gleichung der Form x y äquivlent zu den Gleichungen x y oder x y ist zweite Möglichkeit: Bestimme die eiden zu E prllelen Eenen, die von E den Astnd d hen Die gesuchten Punkte sind die Schnittpunkte von g und diesen Eenen Hinweis: Die Aufge ist einfcher, wenn g orthogonl zu E ist

5 Aufge: Gegeen sind zwei Eenen E und F, die nicht prllel sind, und eine Gerde g, die zu keiner der eiden winkelhlierenden Eenen von E und F prllel ist und die die Schnittgerde von E und F nicht schneidet Bestimme die eiden Punkte uf der Gerden g, die denselen Astnd von E wie von F hen Lösung: Setze in die linke Seite der Koordintendrstellungen der HNF von E zw F die Koordinten des llgemeinen Punkts P t von g ein und nimm den Betrg; dies ist dpt ; E zw dpt ; F Die Bedingung dpt; E dpt; F ergit eine Betrgsgleichung für den Prmeter t Hinweis: Diese Betrgsgleichung knn mn ohne weitere Umformungen mit dem GTR lösen Löst mn die Gleichung ohne GTR, dnn muss mn echten, dss eine Gleichung der Form x y äquivlent zu den Gleichungen x y oder x y ist Stndrdufge: Bestimme den Mittelpunkt und den Rdius der Inkugel einer regelmäßigen Pyrmide Lösung: Bestimme die zu der Eene G, in der die Grundfläche der Pyrmide liegt, orthogonle Gerde g durch den Mittelpunkt der Grundfläche Wähle eine Seitenfläche E der Pyrmide Der Mittelpunkt der Inkugel ist einer der eiden Punkte uf der Gerden g, die denselen Astnd von G wie von E hen Der Rdius der Inkugel ist der Astnd des Mittelpunkts von der Grundfläche G (oder von der Seitenfläche E) Winkel Wiederholung Trigonometrie: G sin H H A G A cos H G tn A Winkel zwischen zwei Vektoren Definition: Gegeen sind zwei Vektoren o und o Derjenige Winkel, den zwei zugehörige Pfeile mit demselen Anfngspunkt ilden und der kleiner oder gleich 18 ist, heißt der Winkel zwischen den Vektoren und Stz (Beweis siehe Für Experten ): Ist der Winkel zwischen zwei Vektoren und, dnn gilt cos D der Kosinus eines Winkels mit 18 genu dnn Null ist, wenn 9 ist, folgt drus die eknnte Ttsche, dss ds Sklrprodukt zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren genu dnn Null ist, wenn die Vektoren orthogonl sind zus_stendewinkelundspiegelungen 5/14

6 Folgerung: Für den Winkel zwischen zwei Vektoren o und o gilt cos Aufge: Bestimme den Innenwinkel, den zwei Seiten eines Vielecks einschließen zw den Winkel, den zwei Knten eines Körpers einschließen Setze vorus, dss ds Vieleck zw der Körper keine einspringende Ecke zw Knte ht Lösung: Sind die Seiten zw Knten die Strecken AB und AC, dnn ist der gesuchte Winkel der Winkel zwischen den Vektoren AB und AC, d h es gilt AB AC cos AB AC C A B Definition: Schneiden sich zwei Gerden, so entstehen vier Winkel, je zwei der Größe und je zwei der Größe 18 Der Schnittwinkel der Gerden ist derjenige Winkel, der kleiner oder gleich 9 ist Stz (ohne Beweis): Für den Schnittwinkel zweier Gerden mit den Richtungsvektoren u 1 und u 2 gilt cos u1 u2 u u 1 2 Definition: Gegeen sind eine Gerde g und eine Eene E, die sich schneiden 1 Ist g orthogonl zu E, dnn ist der Schnittwinkel von g und E 9 2 Ist g nicht orthogonl zu E, dnn ist der Schnittwinkel von g und E der Schnittwinkel der Gerden g und ihrer senkrechten Projektion uf die Eene E Der Schnittwinkel einer Gerden und einer Eene ist lso stets kleiner oder gleich 9 Stz (ohne Beweis): Für den Schnittwinkel einer Gerden mit dem Richtungsvektor u und einer Eene mit dem Normlenvektor n gilt u n sin u n Aufge: Bestimme den Winkel, den eine Knte und eine Fläche eines Körpers einschließen Setze vorus, dss der Körper keine einspringende Knte ht Lösung: Der gesuchte Winkel ist entweder der Schnittwinkel der Knte und der Fläche (eigentlich: der Schnittwinkel der Trägergerden der Knte und der Trägereene der Fläche), oder 18 minus diesem Winkel Bemerkung: Mn enötigt eine Zeichnung des Körpers, um dies entscheiden zu können zus_stendewinkelundspiegelungen 6/14

7 Definition: Gegeen sind zwei sich schneidende Eenen Mn knn jede der Eenen um die Schnittgerde in die ndere Eene hineindrehen, und zwr um einen Winkel oder um einen Winkel 18 Der Schnittwinkel der Eenen ist derjenige Winkel, der kleiner oder gleich 9 ist Stz (ohne Beweis): Für den Schnittwinkel zweier Eenen mit den Normlenvektoren n 1 und n 2 gilt n1 n2 cos n n 1 2 Aufge: Bestimme den Winkel, den zwei Flächen eines Körpers einschließen Setze vorus, dss der Körper keine einspringende Knte ht Lösung: Der gesuchte Winkel ist entweder der Schnittwinkel der eiden Flächen (eigentlich: der Schnittwinkel der eiden Trägereenen der Flächen), oder 18 minus diesem Winkel Bemerkung: Mn enötigt eine Zeichnung des Körpers, um dies entscheiden zu können Achtung: Bei den Formeln für den Schnittwinkel zweier Gerden zw einer Gerden und einer Eene zw zweier Eenen steht im Zähler der Betrg des Sklrprodukts, während ei der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren ds Sklrprodukt ohne Betrg im Zähler steht! Spiegelungen (Senkrechte) Projektionen: (Senkrechte) Projektion eines Punkts P uf eine Eene E: Der Bildpunkt ist der Fußpunkt des Lots von P uf E Sonderfll: Der Punkt Pp1 p2 p 3 ht ei der Projektion uf die x1 - x 2 -Eene den Bildpunkt P p1 p2 uf eine Gerde g: Der Bildpunkt ist der Fußpunkt des Lots von P uf g Sonderfll: Der Punkt Pp1 p2 p 3 ht ei der Projektion uf die x1 -Achse den Bildpunkt P p 1 (Senkrechte) Projektion einer Gerden g: x ptu uf eine Eene E: Bestimme den Fußpunkt F des Lots von P uf g Prüfe, o g und E prllel sind Flls j: g : x f tu (d g g) Flls nein: Bestimme den Schnittpunkt S von g und E g : x f tfs zus_stendewinkelundspiegelungen 7/14

8 Sonderfll: Die Gerde g: p1 u1 x p t u p1 u1 Bildgerde g : x p2 t u2 2 2 p 3 u 3 ht ei der Projektion uf die x1 - x 2 -Eene die Spiegelungen: Spiegelung eines Punkts P n einem Punkt Z: Der Bildpunkt P ht den Ortsvektor p zpz oder p p2 PZ n einer Gerden g: Bestimme den Fußpunkt F des Lots von P uf g und spiegle P n F Achtung: Nicht m Aufpunkt von g spiegeln! n einer Eene E: Bestimme den Fußpunkt F des Lots von P uf E und spiegle P n F P p p p ht ei der Spiegelung Sonderfälle: Der Punkt m Ursprung den Bildpunkt Pp1 p2 p3 ; n der x1 -Achse den Bildpunkt P p1 p2 p3 ; x -Eene den Bildpunkt P p p p n der x Spiegelung einer Gerden g: x ptu n einem Punkt Z: Spiegle den Aufpunkt P von g n Z g : x p tu (d g g) n einer zu g prllelen Gerden h: Spiegle den Aufpunkt P von g m Aufpunkt von h g : x p tu (d g g) n einer Eene E: Spiegle den Aufpunkt P von g n E Prüfe, o g und E prllel sind Flls j: g : x p tu (d g g) Flls nein: Bestimme den Schnittpunkt S von g und E g : x ptps Immer möglich, er ungeschickt: Spiegle den Aufpunkt P und einen weiteren Punkt Q von g n dem Ojekt Dnn ist g : x ptpq zus_stendewinkelundspiegelungen 8/14

9 Spiegelung einer Eene E mit dem Normlenvektor n n einem Punkt Z: Wähle einen Punkt P, der in E liegt, und spiegle ihn n Z E : nx p (d E E) n einer zu E prllelen Gerden g: Wähle einen Punkt P, der in E liegt, und spiegle ihn m Aufpunkt von g n x p (d E E) E : n einer zu E prllelen Eene F: Wähle einen Punkt P, der in E liegt, und wähle einen Punkt Q, der in F liegt Spiegle P n Q E : nx p (d E E) Immer möglich, er ungeschickt: Wähle drei Punkte P, Q und R in E und spiegle sie n dem Ojekt Dnn ist E : x prpq spr Bestimmung des Ojekts, n dem gespiegelt wird: Der Punkt, ezüglich dem zwei Punkte P und Q symmetrisch sind, ist der Mittelpunkt der Strecke PQ Die Eene, ezüglich der zwei Punkte P und Q symmetrisch sind, ht die Gleichung MP x m oder MQ x m oder PQ x m Dei ist m der Ortsvektor des Mittelpunkts der Strecke PQ Die Gerde, ezüglich der zwei prllele Gerden g: x ptu und h: x qtu symmetrisch sind, lso die Mittelprllele von g und h, ht die Gleichung x mtu Dei ist m der Ortsvektor des Mittelpunkts der Strecke PQ Die Eene, ezüglich der zwei prllele Eenen E: n x p und F: nxq symmetrisch sind, ht die Gleichung n xm Dei ist m der Ortsvektor des Mittelpunkts der Strecke PQ Die Eene, ezüglich der zwei prllele Eenen E: nx 1 1 nx 2 2nx 3 3 e und e f F: nx 1 1nx 2 2nx 3 3 f symmetrisch sind, ht die Gleichung nx 1 1nx 2 2nx Nchweis der Symmetrie: Zeige, dss zwei Punkte P und Q symmetrisch zu einem Punkt Z sind: Zeige, dss der Mittelpunkt der Strecke PQ der Punkt Z ist einer Gerden g mit dem Richtungsvektor u sind: 1 Zeige, dss PQ u ist 2 Zeige, dss der Mittelpunkt der Strecke PQ uf g liegt einer Eene E mit dem Normlenvektor n sind: 1 Zeige, dss PQ und n liner hängig sind 2 Zeige, dss der Mittelpunkt der Strecke PQ in E liegt Immer möglich, er ungeschickt: Spiegle P n dem Ojekt und zeige, dss der Bildpunkt der Punkt Q ist zus_stendewinkelundspiegelungen 9/14

10 Für Experten Stz (Beweis siehe unten): Gegeen sind zwei windschiefe Gerden g: x ptu und h: x qtv Ist n ein Vektor mit n u und n v und n 1, dnn hen g und h den Astnd d g h n q p ; Aufge: Bestimme den Astnd zweier windschiefer Gerden g: x ptu und h: x qtv Lösung: 1 Berechne n uv 2 Normiere n, d h erechne n und notiere n 3 Berechne q p 4 Berechne n q p d g; h n q p 5 1 n n Anwendung: Berechnung des minimlen Astnds der Bhnen zweier Körper, eispielsweise zweier Flugzeuge, die sich gleichförmig längs windschiefer Gerden ewegen Achtung: Ds ist etws nderes ls der minimle Astnd der eiden Körper! Feststellung und Definition: Sind g und h windschiefe Gerden, dnn git es einen eindeutig estimmten Punkt F g uf g und einen eindeutig estimmten Punkt F h uf h mit der Eigenschft, dss die Strecke FF g h orthogonl zu g und zu h ist Die Strecke FF g h heißt ds gemeinsme Lot von g und h, und die Punkte F g und F h heißen die Lotfußpunkte Ihr Astnd ist der kürzeste Astnd zwischen einem Punkt von g und einem Punkt von h, lso gleich dem Astnd von g und h: d g h F F zus_stendewinkelundspiegelungen 1/14 ; g h Aufge: Bestimme die Fußpunkte des gemeinsmen Lots zweier windschiefer Gerden g: x ptu und h: x qtv Lösung: 1 Notiere den llgemeinen Punkt P r von g und den llgemeinen Punkt Q s von h Achtung: Die Prmeter (hier: r und s) müssen verschieden ezeichnet werden! 2 Die Bedingungen upq r s und v PQ r s führen uf ein eindeutig lösres LGS mit zwei Gleichungen und den Uneknnten r und s Aus den Lösungen für r und s erhält mn die Punkte F g und F h Bemerkung: Mn knn den Astnd zweier windschiefer Gerden erechnen, indem mn die Fußpunkte des gemeinsmen Lots estimmt und deren Astnd erechnet Die Formel zur Berechnung des Astnds ist er einfcher

11 Aufge: Bestimme die zu zwei windschiefen Gerden g und h orthogonle Gerde, die g und h schneidet Lösung: Bestimme die Fußpunkte F g und F h des gemeinsmen Lots von g und h Die Gerde durch diese eiden Punkte ist die gesuchte Gerde Zusmmenhng zwischen Sklrprodukt und Winkel: Kosinusstz: Schließen in einem Dreieck die Seiten und den Winkel ein, dnn gilt für die dritte Seite c: c 2 cos c Also gilt in neenstehendem Dreieck: c 2 cos cos c c Drus folgt cos c Ergenis: cos Geometrische Bedeutung des Sklrprodukts: Feststellung und Definition: Gegeen sind zwei Vektoren o und o Dnn git es zwei eindeutig estimmte Vektoren und mit folgenden Eigenschften: 1 und sind liner hängig 2 3 Der Vektor heißt die (senkrechte) Projektion von uf zus_stendewinkelundspiegelungen 11/14

12 Bemerkung: In Physik nennt mn dies die Zerlegung des Vektors in eine Komponente prllel zu und in eine hierzu orthogonle Komponente Ds Sklrprodukt zweier Vektoren hängt mit der Projektion eines Vektors uf den nderen folgendermßen zusmmen: Ist der Winkel zwischen den Vektoren o und o, dnn, gilt 1 im Fll 9: cos cos Also cos cos cos Also cos Im Fll ist cos 1 und und ; lso gilt uch in diesem Fll 2 im Fll 9 (Bechte, dss cos18 cos ist): cos18 cos cos Also cos cos18 cos cos Also cos Im Fll 18 ist cos18 1 und und ; lso gilt uch in diesem Fll zus_stendewinkelundspiegelungen 12/14

13 Ergenis: Ist der Winkel zwischen den Vektoren o und o, dnn, gilt 1 im Fll 9: ; 2 im Fll 9: Merke: Ist der Winkel zwischen zwei Vektoren kleiner ls 9, dnn ist ds Sklrprodukt der Vektoren gleich dem Betrg der Projektion des einen Vektors uf den nderen Vektor ml dem Betrg des nderen Vektors Ist der Winkel größer ls 9, dnn ist ds Sklrprodukt ds Negtive hiervon Beweis des Stzes: Ist eine Eene E durch eine Gleichung n x p E: in Hesse scher Normlenform gegeen, dnn ht ein Punkt Q mit dem Ortsvektor q von E den Astnd d Q; E n r q Beweis: Die geometrische Deutung des Sklrprodukts zweier Vektoren o und o esgt: oder Ist ein Einheitsvektor, lso 1, dnn gilt lso oder Diese eiden Fälle knn mn zusmmenfssen: Stets gilt Betrchte eine Eene E mit einem Normlenvektor n Q mit n 1 und einem Punkt P E Aus neenstehendem Bild ersieht mn: PQ n d Q E PQ E P ; n Nch oiger Üerlegung ist PQn PQ n n PQ Aus PQ q p folgt die Behuptung Beweis des Stzes: Gegeen sind zwei windschiefe Gerden g und h Ist P ein (elieiger) Punkt von g mit dem Ortsvektor p und Q ein (elieiger) Punkt von h mit dem Ortsvektor q und ist n ein Vektor mit n g und n h und n 1, dnn hen g und h den Astnd d g; h n q p zus_stendewinkelundspiegelungen 13/14

14 Beweis: Betrchte die Eene E, die die Gerde g enthält und prllel zur Gerden h ist Der gesuchte Astnd der Gerden g und h ist gleich dem Astnd der Eene E und der Gerden h: dg; h de; h D h prllel zu E ist, gilt: Ist Q ein Punkt von h, dnn ist d E; h d Q; E Ist n ein Vektor mit n g und n von g, dnn liegt P uch in E Ist n 1 h, dnn ist n ein Normlenvektor von E Ist P ein Punkt, dnn ist n x p eine Gleichung von E in Hesse scher Normlenform Also ist d Q; E n q p Teilverhältnisse: Definition: Liegt der Punkt T uf der Strecke AB und gilt AT t TB, dnn heißt die Zhl t ds Teilverhältnis des Punkts T ezüglich der Strecke AB z Ist ds Teilverhältnis rtionl, lso t (vollständig gekürzt), dnn sgt mn, der Punkt T teilt die n Strecke AB im Verhältnis z: n Hlräume: Aus der geometrischen Bedeutung des Sklrprodukts folgt, dss für eine Eene E: E g n x p und einen Punkt R mit dem Ortsvektor r gilt: Ist nr p, dnn liegt R in E (klr); ist nr p, dnn liegt R uf derjenigen Seite von E, in die ein zu n gehörender Pfeil von E us zeigt; ist nr p, dnn liegt R uf der nderen Seite von E Angewndt uf den Fll, dss der Punkt der Ursprung ist, folgt drus: n1 Für eine Eene E: nx 1 1nx 2 2nx 3 3 d mit dem Normlenvektor n n2 gilt: n 3 Ist d, dnn liegt der Ursprung uf derjenigen Seite von E, in die ein zu n gehörender Pfeil von E us zeigt; ist d, dnn liegt der Ursprung uf der nderen Seite von E h zus_stendewinkelundspiegelungen 14/14

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