2.2 Kollineare und koplanare Vektoren

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1 . Kollineare und koplanare Vektoren Wie wir schon gelernt haben, können wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängern oder verkürzen. In Abbildung 9 haben u und v die gleiche Richtung, aber v ist doppelt so lang wie u. Wenn wir einen Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar in einen anderen überführen können, nennen wir die Vektoren kollinear zueinander. u v Abbildung 9: Kollineare Vektoren Definition.5 (Kollinear). Wir nennen zwei Vektoren u und v kollinear, falls es eine reelle Zahl λ gibt, so dass gilt: u = λ v Bemerkung. Der Nullvektor 0 ist kollinear zu jedem anderen Vektor. Für einen beliebigen Vektor v können wir λ = 0 wählen und es gilt: 0 = 0 v Haben wir zwei zweidimensionale, nicht kollineare Vektoren u 1 und u, so können wir jeden beliebigen dritten Vektor v nach u 1 und u zerlegen. Betrachten wir etwa folgende Situation: u 1 u v So können wir u 1 und u so verlängern (also mit einem Skalar multiplizieren), dass die Addition der verlängerten Vektoren genau den Vektor v gibt, wie in Abbildung 10 aufgezeigt. v v 1 u Abbildung 10: Zerlegen eines Vektors Diese Tatsache können wir mathematisch wie folgt ausdrücken: Satz.4. Seien u 1, u nicht kollineare, zweidimensionale Vektoren. Wir finden für jeden beliebigen Vektor v zwei eindeutig bestimmte reelle Zahlen λ 1 und λ so, dass u = λ 1 v 1 + λ v 13

2 Nun wollen wir dieselbe Situation dreidimensional betrachten. In diesem Fall benötigen wir drei Vektoren u 1, u und u 3 um jeden beliebigen dritten Vektor v nach den ursprünglichen drei Vektoren zu zerlegen. Damit dies funktioniert, dürfen die drei ursprünglichen Vektoren aber nicht in derselben Ebene liegen, sie dürfen also nicht koplanar sein. Definition.6 (Koplanar). Wir nennen drei Vektoren u, v und w koplanar falls es zwei reelle Zahlen λ und µ gibt, so dass gilt: u = λ v + µ w Satz.5. Seien v 1, v und v 3 nicht koplanare Vektoren in drei Dimensionen. Wir finden für jeden beliebigen Vektor u eindeutig bestimmte reelle Zahlen λ 1,..., λ 3 so, dass u = λ 1 v 1 + λ v + λ 3 v 3.3 Vektoren und Punkte Für einen Punkt P bezeichnen wir den Vektor vom Ursprung zum Punkt als Ortsvektor des Punktes P (Abbildung 11). Wir bezeichnen Ortsvektoren normalerweise als den Vektor zwischen dem Ursprung O und dem Punkt P, also OP. Alternativ werden Ortsvektoren of auch mit dem Kleinbuchstaben des Punktes benannt. In unserem Fall also p. Definition.7 (Ortsvektor). Für einen Punkt P mit Koordinaten (p x /p y /p z ) definieren wir den Ortsvektor wie folgt: OP := p x p y oder p := p z p x p y p z y P OP x Abbildung 11: Ortsvektor Wir müssen jeweils klar unterscheiden, ob wir von einem Punkt oder einem Ortsvektor des Punktes sprechen. Für Punkte haben wir keine Addition oder skalare Multiplikation definiert. Für zwei 14

3 Punkte P 1 und P hat es keine Bedeutung, von der Summe von P 1 und P zu sprechen. Wir können aber die Ortsvektoren addieren: OP 1 + OP. Wir wissen schon, dass ein Vektor durch zwei Punkte definiert werden kann. Natürlich können wir auch seine Koordinaten berechnen. Die Abbildung 1 veranschaulicht, dass wir den Vektor zwischen zwei Punkten berechnen können, in dem wir die Koordinaten des Anfangspunktes von den Koordinaten des Endpunktes (bei der Pfeilspitze) abziehen. Wir können uns merken: Endpunkt minus Anfangspunkt. y 5 4 P 3 P x 1.0 Abbildung 1: Berechnen des Vektors zwischen zwei Punkten Satz.6 (Vektor zwischen zwei Punkten). Ein Vektor kann durch zwei Punkte P 1 (x 1 /y 1 /z 1 ) und P (x /y /z 3 ) definiert werden. Seine Komponenten werden wie folgt berechnet. P 1 P = x x 1 y y 1 z z 1 3 Produkte Im folgenden Kapitel werden wir zwei Produkte von Vektoren kennen lernen sowie ihre Eigenschaften untersuchen: Das Skalarprodukt, auch Punktprodukt genannt und das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt. Beide sind Hilfsmittel, mit welchen man verschiedenartige Probleme der Vektorgeometrie lösen kann. Sie werden beide intensiv in Anwendungsbereichen der Vektorgeometrie - wie etwa dreidimensionale Computergrafik - eingesetzt. Dabei kommt auch häufig die Kombination der beiden Produkte, das sogenannte Spatprodukt zum Einsatz. Dieses ist nicht ein weiteres Produkt sondern nur die Kombination der beiden vorangehenden. 15

4 3.1 Skalarprodukt Das Skalarprodukt ist ein Produkt von Vektoren, dessen Ergebnis ein Skalar also eine reelle Zahl ist. (Nicht zu verwechseln mit der Skalarmultiplikation, wo ein Vektor durch Multiplikation mit einem Skalar verlängert oder verkürzt wird!) Mit Hilfe des Skalarprodukts werden typischerweise die folgenden Probleme gelöst: Berechnen eines Winkels zwischen zwei Vektoren. Berechnen des Anteils eines Vektors in die Richtung eines anderen Vektors (etwa beim Aufteilen von Kräften in der Physik). Vektoren oder andere geometrische Objekte auf Orthogonalität prüfen. Das heisst, prüfen ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind. Es gibt zwei Möglichkeiten, das Skalarprodukt zu definieren. Es kann einerseits über seine geometrische Interpretation definiert werden. Von dieser kann anschliessend eine Berechnungsformel für das Skalarprodukt hergeleitet werden. Andererseits kann auch die Berechnungsformel als Definition angegeben werden und von dieser die geometrische Bedeutung des Skalarprodukts hergeleitet werden. Wir wollen den ersten Ansatz verfolgen, da wir lieber mit einer geometrisch anschaulichen Definition beginnen statt mit einer abstrakten Rechenregel. Dies führt uns zu der folgenden Definition des Skalarprodukts: Definition 3.1 (Skalarprodukt). Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist definiert als die Länge des einen Vektors multipliziert mit der Länge des (senkrechten) Schattens des zweiten Vektors auf den ersten. Betrachten wir zwei Vektoren a und b, welche einen Winkel α einschliessen, können wir das Skalarprodukt definieren als a b := a b cos(α) b α b cos(α) a Abbildung 13: Skalarprodukt Diese Definition wird in Abbildung 13 veranschaulicht. Das Skalarprodukt wird auch Punktprodukt (oder englisch dot product ) genannt, da es mit einem Punkt geschrieben wird. Aus dieser Definition wollen wir nun eine Berechnungsformel für das Skalarprodukt herleiten. Diese lässt uns das Skalarprodukt nur aus den Komponenten der Vektoren berechnen, ohne den Winkel zu kennen. Dies hilft uns anschliessend, einen Weg zu finden, um mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen. 16

5 Satz 3.1. Wenn die Komponenten zweier Vektoren a und b bekannt sind, kann das Skalarprodukt wie folgt berechnet werden. a b = a y b y = + a y b y + a z b z a z b z Beweis. Seien a und b zwei Vektoren, welche den Winkel α einschliessen. Nun betrachten wir das in Abbildung 14 dargestellte Dreieck mit den Seiten a, b und a b. b a b α a Abbildung 14: Cosinussatz zur Berechnung des Skalarprodukts Der Cosinussatz gibt uns den folgenden Zusammenhang: a + b a b cos(α) = a b Nach Definition 3.1 gilt a b = a b cos(α). Wir können daher in der obigen Gleichung den entsprechenden Term durch das Skalarprodukt von a und b ersetzen. Anschliessend lösen wir die gesamte Gleichung nach dem Skalarprodukt auf, um eine Formel für dessen Berechnung zu erhalten. a y a z a + b a b = a b + b y a b = a y b y b z a z b z (a x + a y + a z) + (b x + b y + b z) a b = ( ) + (a y b y ) + (a z b z ) a x + a y + a z + b x + b y + b z a b = a x + b x + a y a y b y + b y + a z a z b z + b z a b = a y b y a z b z a b = ( + a y b y + a z b z ) a b = + a y b y + a z b z Wir haben also zum Beweis der Berechnungsformel des Skalarprodukts den Cosinussatz, die Definition des Skalarprodukts und binomische Formeln benutzt. Nun haben wir zwei Formeln um das Skalarprodukt der beiden Vektoren 17

6 a = a y und b = b y a z b z zu berechnen. Wir wissen, das a b = + a y b y + a z b z und a b = a b cos(α) gelten. Wenn die zwei Vektoren gegeben sind, aber der Winkel α unbekannt ist, können wir die zweite Berechnung des Skalarprodukts auf α lösen und dann die erste für die Berechnung des Skalarprodukts benutzen. cos(α) = a b a b = + a y b y + a z b z a b Wir erhalten also die folgende Berechnung für den Winkel zwischen zwei Vektoren: Satz 3.. Der Winkel zwischen zwei Vektoren a = a y und b = b y a z b z lässt sich durch berechnen. ( α = cos 1 a b ) ( ) = cos 1 + a y b y + a z b z a b a b Oft sind wir aber nicht am Winkel zwischen zwei Vektoren interessiert sondern wollen nur die Frage beantworten, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Aus Abbildung 13 wird klar, dass für α = 90 der Schatten von Vektor v auf w und somit das Skalarprodukt Null ist. Wir benötigen also in diesem Fall nicht die gesamte Berechnungsformel aus Satz 3.. Satz 3.3. Für zwei Vektoren a 0 und b 0 gilt, dass a b = 0 genau dann, wenn a b. Beweis. Wir nehmen an, dass zwei Vektoren a und b senkrecht zueinander stehen. Sie schliessen also den Winkel 90 ein. Es gilt, dass a b = a b cos(90 ) = a b 0 = 0. In die Gegenrichtung nehmen wir an, dass für a und b gilt, dass a b = a b cos(α) = 0. Da weder a = 0 noch b = 0 ist, muss also cos(α) = 0 sein. Dies ist aber nur für α = 90 der Fall. Aufgaben: 1-0, S