Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra

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1 A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische Geometrie von Geraden und Ebenen A. Filler Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Sommersemester 2016 Internetseite zur Vorlesung: oder über: filler/

2 Das Skalarprodukt, metrische Geometrie A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 2 /27 Das Skalarprodukt, metrische Geometrie von Geraden und Ebenen Abstand zweier Punkte/ Länge (Betrag) eines Vektors Das Skalarprodukt Wege zum Skalarprodukt Ein geometrisch orientierter Weg zum Skalarprodukt Metrische Geometrie von Geraden und Ebenen Normalengleichungen Abstand eines Punktes von einer Ebene Hesse sche Normalform Weitere Abstände im Raum Winkelberechnungen

3 Abstand zweier Punkte A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 3 /27 Bereits in der Sekundarstufe I mit dem Satz des Pythagoras herleitbar: Abstand zweier Punkte in der Ebene Abstand zweier Punkte des Raumes Abstand zweier Punkte P 1 (x 1 ; y 1 ) und P 2 (x 2 ; y 2 ) der Ebene: P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Abstand zweier Punkte P 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ), P 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) des Raumes: P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2.

4 Betrag eines Vektors a = bzw. Länge (Betrag) eines Vektors ( ) a1 : a 2 a 3 a = a a2 2 + a2 3 a 2 = a 1 a 1 + a 2 a 2 + a 3 a 3 Eigenschaften: a 0 a = 0 a = o λ a = λ a A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 4 /27

5 Das Skalarprodukt, metrische Geometrie A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 5 /27 Abstand zweier Punkte/ Länge (Betrag) eines Vektors Das Skalarprodukt Wege zum Skalarprodukt Ein geometrisch orientierter Weg zum Skalarprodukt Metrische Geometrie von Geraden und Ebenen Normalengleichungen Abstand eines Punktes von einer Ebene Hesse sche Normalform Weitere Abstände im Raum Winkelberechnungen

6 Wege zum Skalarprodukt A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 6 /27 1. Geometrisch orientierte Zugänge: Im Mittelpunkt steht, dass sich das Skalarprodukt u v zweier Vektoren als Produkt ihrer Beträge (Längen) und des Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels ergibt: u v = u v cos ( u, v). 2. Arithmetrisch orientierte Zugänge: Skalarprodukt zweier als u 1 v 1 u 2 n-tupel aufgefasster Vektoren u =. v 2 und v =.. als Summe. der Produkte der einander entsprechenden Komponenten: n u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n = u i v i. 3. Strukturorientierte, axiomatische Zugänge: Skalarprodukt als positiv definite symmetrische Bilinearform auf einem beliebigen (reellen) Vektorraum V. u n i=1 v n

7 Ein geometrisch orientierter Weg zum Skalarprodukt A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 7 /27 Bekannt: Länge (Betrag) eines Vektors a = ( a1 a 2 a 3 ) : a = a a2 2 + a2 3 Gesucht: Maß eines Winkels α = (UOV) mit ( x1 ) OU = x 2 x 3 und ( y1 ) OV = y 2 y 3

8 A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 8 /27 Ein geometrisch orientierter Weg zum Skalarprodukt Kosinussatz a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos γ Beweis: Betrachten die Höhe h auf die Seite c, die c in die Strecken d und e teilt (analoges Vorgehen, wenn der Fußpunkt von h außerhalb der Seite c liegt). Es gilt: h 2 = b 2 d 2 e 2 = (c d) 2 = c 2 2cd + d 2 a 2 = h 2 + e 2 = b 2 d 2 + c 2 2cd + d 2 = c 2 + b 2 2cd Wegen cos α = d b, also d = b cos α, folgt die Behauptung.

9 Ein geometrisch orientierter Weg zum Skalarprodukt A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 9 /27 Winkelberechnung: Setzen u = OU, v = OV, w = UV Kosinussatz: w 2 = u 2 + v 2 2 u v cos α Nach cos α auflösen: cos α = u2 + v 2 w 2 2 u v Zähler des obigen Bruchs durch die Koordinaten von U und V ausdrücken: u 2 + v 2 w 2 = ( x1 2 + x2 2 + ( 3) x2 + y y ) y2 3 [(y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + (y 3 x 3 ) 2] Erhalten: cos α = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 u v = 2 (x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x x2 2 + x2 3 y y2 2 + y2 3

10 Ein geometrisch orientierter Weg zum Skalarprodukt A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 10 /27 Winkelberechnung: cos α = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x x2 2 + x2 3 y y2 2 + y2 3 Diese Formel berechnet den unorientierten Winkel: Sind β = 180 α und γ = 360 α, so gilt cos β = cos α und cos γ = cos α. α = (AOB) und γ = (BOA) haben denselben Kosinuswert. Um β zu berechnen, muss man z. B. die Vektoren a und b benutzen.

11 Ein geometrisch orientierter Weg zum Skalarprodukt A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 11 /27 Zusammenfassung/ Einführung des Skalarprodukts Winkelberechnung: cos α = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 x x2 2 + x2 3 y y2 2 + y2 3 Wir definieren: a b = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 Dabei sind x 1, x 2, x 3 und y 1, y 2, y 3 die Koordinaten von a bzw. b bezüglich eines kartesischen Koordinatensystems. Damit ist: Wichtiger Spezialfall: cos α = a b a b a b = 0 ( a, b) = 90.

12 Das Skalarprodukt, metrische Geometrie A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 12 /27 Abstand zweier Punkte/ Länge (Betrag) eines Vektors Das Skalarprodukt Wege zum Skalarprodukt Ein geometrisch orientierter Weg zum Skalarprodukt Metrische Geometrie von Geraden und Ebenen Normalengleichungen Abstand eines Punktes von einer Ebene Hesse sche Normalform Weitere Abstände im Raum Winkelberechnungen

13 Normalengleichungen A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 13 /27 Normalengleichungen von Geraden in der Ebene Alle Punkte P der Ebene, deren Verbindungsvektoren P 0 P mit einem Punkt P 0 zu einem Vektor n ( n o) orthogonal sind, liegen auf einer Geraden. Ein zu einer Geraden g orthogonaler Vektor n (mit n o) heißt Normalenvektor der Geraden g. Ist g eine Gerade, P 0 ein Punkt und n ein Normalenvektor von g, so ist die Gleichung n P 0 P = 0 eine Normalengleichung der Geraden g.

14 Normalengleichungen Normalengleichungen von Geraden in der Ebene Beispiel: Eine Gerade g ist durch die Parametergleichung g: x = gegeben. Gesucht ist eine Normalengleichung von g. Normalengleichung Koordinatengleichung ( ) ( ) 56 + t 34 A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 14 /27

15 Normalengleichungen A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 15 /27 Normalengleichungen von Ebenen Alle Punkte P des Raumes, deren Verbindungsvektoren P 0 P mit einem Punkt P 0 zu einem Vektor n ( n o) orthogonal sind, liegen in einer Ebene. Vektor n, der zu einer Ebene ε senkrecht ist: Normalenvektor von ε. Die Lage einer Ebene ε im Raum ist durch einen Punkt P 0 ε und einen Normalenvektor n eindeutig bestimmt. Ein Punkt P liegt genau dann in ε, wenn P 0 P zu n orthogonal ist, also n P 0 P = 0. Ist ε eine Ebene, P 0 ein Punkt und n ein Normalenvektor von ε, so heißt n P 0 P = 0 Normalengleichung der Ebene ε.

16 Normalengleichungen A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 16 /27 Normalengleichungen von Ebenen Beispiel: Bestimmung einer Normalengleichung aus einer Parametergleichung einer Ebene Gegeben ist die Parametergleichung einer Ebene ( ) ( ) ( ε: p = + s + t 3 ), gesucht eine Normalengleichung. Mit oder ohne Vektorprodukt? Satz: Ist a x ( + ) b y + c z = d eine Gleichung einer Ebene ε, so ist der ab Vektor n = ein Normalenvektor von ε. c

17 Abstand eines Punktes von einer Ebene A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 17 /27 Wie würde man den Abstand eines Punktes von einer Ebene messen? Normalengleichung einer Ebene: E : n PX = 0 Das Lot von Q auf E schneidet E in einem Punkt R. Damit ist d (Q, E) = RQ der gesuchte Abstand. Es gilt QR = λ n, also d (Q, E) = QR = λ n. Da R in der Ebene E liegt, gilt 0 = n ( ) PR = PQ + λ n n = PQ n + λ n 2, also λ = PQ n n 2 Damit folgt für den gesuchten Abstand: d (Q, E) = QR = λ n = λ n = PQ n n = PQ n n 2 n

18 A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 18 /27 Hesse sche Normalform Abstand eines Punktes von einer Ebene: d (Q, E) = PQ n n Hesse sche Normalform der Ebenengleichung Besonders einfach wird die Formel für den Abstand eines Punktes von einer Ebene, mit einem Einheitsvektor als Normalenvektor, d. h. n = 1: Normaleneinheitsvektor. Damit heißt die Normalengleichung n P 0 P = 0 Ebenengleichung in Hesse scher Normalform. Die Abstandsformel vereinfacht sich damit zu d (Q, E) = PQ n In der Hesse schen Normalform muss man also nur die Koordinaten von Q in die Gleichung einsetzen und erhält (eventuell bis auf das Vorzeichen) den Abstand d (Q, E)).

19 Weitere Abstände im Raum A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 19 /27 Weitere Abstandsberechnungen im Raum lassen sich mithilfe anschaulich-geometrischer Überlegungen auf Abstände von Punkten zu Ebenen zurückführen. Abstand zweier paralleler Ebenen

20 Weitere Abstände im Raum A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 20 /27 Abstand einer Geraden von einer parallelen Ebene

21 A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 21 /27 Weitere Abstände im Raum Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum Abstand d(q, g) eines Punktes Q von einer Geraden g: Länge QL des Lotes von Q auf g Um den Fußpunkt L des Lotes von Q auf g zu bestimmen, ermittelt man die Gleichung derjenigen Ebene E, die Q enthält sowie zu g senkrecht ist.

22 Weitere Abstände im Raum A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 22 /27 Abstand zweier windschiefer Geraden

23 Winkelberechnungen A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 23 /27 Winkel zweier sich schneidender Geraden in der Ebene oder im Raum Zwei sich schneidende Geraden g und h schließen zwei Winkel miteinander ein, die sich zu 180 ergänzen. Derjenige dieser beiden Winkel, der nicht größer als 90 ist, heißt Schnittwinkel der Geraden g und h.

24 Winkelberechnungen A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 24 /27 Winkel zweier sich schneidender Geraden in der Ebene oder im Raum g: x = cos α = ( 0, 5 2 3, 5 ) + t ( ) ( ) 1,25 0,5 0,5, h: x = 1 + s 1 0 ( ) 0,75 1 0,75 1,25 0,75 0, ,75 0, 1278 α 97, 3 1, ,5 +1 0, ,752 (g, h) ,3 = 82,7.

25 Winkelberechnungen Winkel zweier sich schneidender Geraden in der Ebene oder im Raum Alternative: Absolutbetrag des Skalarproduktes für die Berechnung nutzen: Für den Schnittwinkel (g, h) zweier sich schneidender Geraden g: X = P 1 + t a und h: X = P 2 + s b gilt: cos (g, h) = cos ( a, b) = a b a b A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 25 /27

26 Winkelberechnungen Schnittwinkel zweier Ebenen Schnittwinkel zweier Ebenen E 1 und E 2 mit der Schnittgeraden g: Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden g 1 und g 2, die in E 1 bzw. E 2 liegen und auf der Schnittgeraden g senkrecht stehen Für den Schnittwinkel α zweier sich schneidender Ebenen E 1 und E 2 mit den Normalenvektoren n 1 und n 2 gilt: cos α = n 1 n 2 n 1 n 2. A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 26 /27

27 Winkelberechnungen Schnittwinkel zwischen einer Geraden g und einer Ebene E: Winkel α zwischen g und derjenigen Geraden h in der Ebene E, die von allen in E liegenden Geraden den kleinsten Winkel mit g einschließt α ergänzt sich mit dem Winkel β zwischen g und einer zu E senkrechten Geraden zu 90. Falls eine Gerade g mit dem Richtungsvektor a eine Ebene E mit dem Normalenvektor n schneidet, so gilt für den Winkel α zwischen g und ε: sin α = n a n a. A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 27 /27