= ( n x j x j ) 1 / 2

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1 15 Skalarprodukte Skalarprodukte 15.1 Einführung. a) Ab jetzt sei stets K = R oder K = C, da Wurzeln eine wichtige Rolle spielen werden. b) Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge eines Vektors x = (x 1...x n ) R n gegeben durch x = ( n x 2 / 2 j. (1) )1 c) Wegen (7.6) definiert man analog x = ( n x j 2 ) 1 / 2 = ( n x j x j ) 1 / 2 (2) als Länge eines Vektors x = (x 1...x n ) C n. d) Für x = (x 1...x n ), y = (y 1...y n ) K n definiert man das (Standard-) Skalarprodukt als x y := n x j y j K. (3) Für x = (x 1...x n ) K n gilt dann offenbar x = x x. (4) e) Mit y := (y 1...y n ) K n 1 läßt sich das Skalarprodukt als Matrizenprodukt schreiben: x y = y x K. (5) Die folgenden Überlegungen werden gleich für allgemeinere Skalarprodukte durchgeführt: 15.2 Definition. Es sei H ein Vektorraum über K. Eine Abbildung, : H H K heißt Skalarprodukt auf H, falls gilt: αx 1 +x 2,y = α x 1,y + x 2,y, α K, x 1, x 2, y H, (6) x,y = y,x, x, y H, (7) x,x 0 und x,x = 0 x = 0 für x H. (8) 15.3 Beispiele und Bemerkungen. a) Ein Skalarprodukt ist also linear im ersten Faktor und antilinear im zweiten Faktor; es ist eine Sesquilinearform, im Fall K = R eine Bilinearform. Eigenschaft (8) wird als Definitheit bezeichnet. b) Auf K n wird durch (3) ein Skalarprodukt definiert. c) Für eine reguläre Matrix A K n n wird durch x,y A := Ax Ay (9) ein weiteres Skalarprodukt definiert.

2 78 II. Lineare Gleichungssysteme d) Im Vorgriff auf Kapitel III wird auf dem Raum C[a,b] der stetigen Funktionen auf [a, b] ein Skalarprodukt definiert durch f,g := b a f(t)g(t)dt. () e) Für x,y H gilt nach (6) und (7) die binomische Formel x+y,x+y = x,x +2Re x,y + y,y. (11) 15.4 Satz (Schwarzsche Ungleichung). Es sei, ein Skalarprodukt auf H. Für alle x,y H gilt dann x,y 2 x,x y,y. (12) Beweis. Für alle λ K gilt nach (11) 0 λx+y,λx+y = λ 2 x,x +2Re λx,y + y,y. Für x = 0 ist (12) richtig; andernfalls setzt man λ = y,x x,x und erhält (12) aus 0 x,y 2 x,x 2 x,y 2 + y,y. x,x 2 x,x 15.5 Beispiele. a) Für das Standard-Skalarprodukt auf K n besagt (12) n x j y j 2 n x j 2 n y j 2. (13) b) Für das Skalarprodukt () auf C[a, b] erhält man b a f(t)g(t)dt 2 b a f(t) 2 dt b a g(t) 2 dt. (14) 15.6 Normen und Abstände. a) Es sei E ein Vektorraum über K. Eine Abbildung : E [0, ) heißt Norm auf E, falls stets gilt x = 0 x = 0, (15) λx = λ x für λ K und x E, (16) x+y x + y (Dreiecks-Ungleichung). (17) Das Paar (E, ) heißt normierter Raum. b) Für ein Skalarprodukt, auf einem Vektorraum H wird durch x := x,x (18) eine Norm auf H definiert. Zu zeigen ist nur die Dreiecks-Ungleichung (17). Wegen (11) und (12) ergibt sich diese aus x+y 2 x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. c) In einem normierten Raum E heißt d(x,y) := x y (19)

3 15 Skalarprodukte 79 der Abstand oder die Distanz der Punkte x E und y E. Weiter heißen d M (x) := inf{d(x,y) y M} (20) Abstand oder Distanz des Punkte x E zur Menge M E und d(n,m) := inf{d(x,y) x N, y M} (21) Abstand oder Distanz der Mengen N,M E. d) Für Punkte im K n liefert das Standard-Skalarprodukt den Euklidischen Abstand d(x,y) = ( n x j y j 2 ) 1 / 2. (22) 15.7 Winkel. a) Es seien v,w R n Einheitsvektoren,d.h. es gelte v = w = 1. Für den Winkel α [0,π] zwischen v und w zeigt eine Skizze sin α 2 = 1 2 v w, und daraus ergibt sich mittels (11) cosα = 1 2 sin 2 α 2 = v w 2 = v w. b) Für Vektoren x,y R n \{0} erhält man nun die Formel x y = x y cosα, (23) wobei α [0,π] der Winkel zwischen x und y ist. Man hat α = π x y = 0. 2 c) Für reelle Vektorräume mit Skalarprodukt kann man Winkel zwischen Vektoren durch (23) definieren. Der Begriff der Orthogonalität ist auch im komplexen Fall sinnvoll: 15.8 Orthonormalsysteme. Es sei H ein Vektorraum über K mit Skalarprodukt. a) Zwei Vektoren x,y H heißen orthogonal, falls x,y = 0 ist. In diesem Fall schreibt man x y. b) Für M H wird durch M := {x H x,a = 0 für alle a M} das Orthogonalkomplement von M definiert. M ist stets ein Unterraum von H. c)zweimengenm,n H heißenorthogonal,fallsm N ist,fallsalso x,y = 0 für alle x M und y N gilt; man schreibt dann M N. d) Eine Menge {v k } k Z H heißt Orthonormalsystem (ONS), falls gilt v k,v l = δ kl := { 1, k = l 0, k l. (24) e) Im K n bilden die Einheitsvektoren {e k },...,n ein Orthonormalsystem. f) Wegen (11) gilt der Satz des Pythagoras x+y 2 = x 2 + y 2 für x y. (25)

4 80 II. Lineare Gleichungssysteme Für ein endliches Orthonormalsystem {v 1,...,v m } in H und α k K ergibt sich induktiv daraus m α k v k 2 = m α k 2. (26) Insbesondere ist ein Orthonormalsystem {v 1,...,v m } linear unabhängig, also eine Basis von F := [v 1,...,v m ]; es heißt daher Orthonormalbasis (ONB) von F. g) Für v F gilt dann v = m λ k v k mit geeigneten λ k K. Man hat v,v l = m λ k v k,v l = m λ k v k,v l = m λ k δ kl = λ l für l = 1,...,m. Für x H heißen die Zahlen x(k) := x,v k (27) Fourier-Koeffizienten von x H bzgl. des Orthonormalsystems {v 1,...,v m }. Für v F = [v 1,...,v m ] gilt dann also v = m v(k)v k = m v,v k v k. (28) 15.9 Orthogonale Projektionen. a) Es seien {v 1,...,v m } ein ONS in H und F = [v 1,...,v m ]. Zu x H gibt es genau einen Vektor Px = P F x F mit der Eigenschaft x Px F. Dieser ist gegeben durch Px := P F x := m x(k)v k = m x,v k v k (29) und heißt orthogonale Projektion von x H auf F. b) Zum Beweis von a) rechnet man x P F x,v l = 0 für l = 1,...,m einfach nach. Ist auch y F mit x y F, so folgt P F x y F und auch P F x y = (P F x x)+(x y) F, also P F x y = 0. c) Für x H und y F gilt auch z := y P F x F. Nach (25) folgt x y 2 = x P F x z 2 = x P F x 2 + z 2, (30) und dies ist genau für z 2 = 0 minimal. Unter allen Vektoren y F wird also der Abstand x y genau für y = P F x minimal. Insbesondere gilt x P F x = d F (x) x y für alle y F. (31) d) Die in (29) definierte orthogonale Projektion P F : H F ist eine lineare Abbildung. Mit y = 0 in (30) ist z = P F x, und man erhält P F x x für alle x H. Wegen (28) gilt hat man P F (x) = x für x F, und weiter gilt R(P F ) = F und N(P F ) = F. 15. Gram-Schmidt-Orthonormalisierung. a) Es seien H ein Vektorraum mit Skalarprodukt und {x 1,x 2,x 3,...} H eine endliche Menge oder eine Folge linear unabhängigervektoren.eswirdinduktiveinorthonormalsystem{v 1,v 2,v 3,...} in H konstruiert mit F k := [x 1,...,x k ] = [v 1,...,v k ] für k = 1,2,3,.... (32)

5 15 Skalarprodukte 81 b) Dazu setzt man zunächst einfach v 1 := x 1 x 1. Sind {v 1,...,v n } mit (32) für k = 1,...,n schon konstruiert, so ist 0 w := x n+1 P Fn (x n+1 ) F n+1 F n, und man definiert v n+1 = w w. c) Somit besitzt jeder endlichdimensionale Unterraum F von H eine Orthonormalbasis, und nach 15.9 existiert die orthogonale Projektion P F : H F. d) Nun seien dimh < und F ein Unterraum von H. Sind {v 1,...,v m } eine ONB von F und {v m+1,...,v n } eine ONB von F, so ist {v 1,...,v n } eine ONB von H. Folglich gilt dimh = dimf +dimf. (33) e) Stets gilt F F. Im Fall dimh < stimmen nach (33) die Dimensionen von F und F überein, und man hat sogar F = F Beispiel.OrthonormalisierungderVektorenx 1 = (1,i,0,0), x 2 = (0,1,i,0) und x 3 = (0,0,1,i) in C 4 liefert das ONS v 1 = 1 2 (1,i,0,0), v 2 = 1 6 (i,1,2i,0) und v 3 = ( 1,i,1,3i) Hessesche Normalform. a) Es sei F eine Hyperebene in R n, d.h. ein Unterraum von R n mit dimf = n 1. Für n = 2 ist F eine Gerade, für n = 3 eine Ebene. Man hat F = {x = (x 1...x n ) R n a 1 x 1 + a n x n = 0} (34) mit 0 a = (a 1...a n ) R n. Dies bedeutet F = {x R n a x = 0}, und nach Division durch a erhält man eine Hessesche Normalform F = {x R n N x = 0}, N = 1. (35) Wegen (33) muß F = [N] gelten. b) Für y R n gilt d F (y) = y P F y für den Abstand von y zu F. Wegen y P F y F hat man y P F y = λn für ein λ R. Multiplikation mit N liefert λ = (y P F y) N, und man erhält d F (y) = y P F y = λ = (y P F y) N = y N. (36) Der Abstand läßt sich also sofort aus der Hesseschen Normalform (35) bestimmen, ohne daß die Projektion P F y wirklich berechnet werden muß. c) Die Aussage von b) läßt sich auf verschobene Hyperebenen M = {x R n N x = d} = dn +F, N = 1, d R, (37) erweitern. Für y R n ist in der Tat d M (y) = y ỹ mit ỹ = dn + P F y M. Wie in b) ist y ỹ = ± y ỹ N, und es folgt d M (y) = y ỹ = N (y ỹ) = N y N ỹ = N y d. (38) Insbesondere ist d = d M (0) der Abstand von 0 zu M.

6 82 II. Lineare Gleichungssysteme d) Die Gerade G = {(x 1,x 2 ) T R 2 x 2 = 3x 1 1} hat die Hessesche Normalform G = {(x 1,x 2 ) T R 2 3 x 1 1 x 2 = 1 }. Für den Punkt y = ( 8,5) T R 2 ergibt sich d G (y) = N y d = = (3, 1) T ( 8,5) T 1 = 1 30 Weiter ist ỹ = y +d G (y)n = ( 8,5) T + (9, 3) T = (1,2) T G der Fußpunkt des Lots von y auf G. Aufgaben: 1. Wie findet man den Abstand zweier Geraden im R 2, zweier Ebenen im R 3 und zweier Geraden im R 3? 2. Zu A = (a ij ) K n n finden Sie eine Konstante C > 0 mit Ax C x für alle x K n. Schätzen Sie C mit Hilfe der a ij nach oben ab. Wann gibt es auch c > 0 mit c x Ax für alle x K n?