2.1.2 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben auf der Basis des Lehrwerks

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1 Qualifikationsphase GRUNDKURS QII Konkretisierte Unterrichtsvorhaben auf der Basis des Lehrwerks Buch: Elemente der Mathematik, Qualifikationsphase NRW Grundkurs, Braunschweig 2015, Westermann Schroedel Diesterweg Verlag, ISBN Unterrichtsvorhaben IV Vektoren, Geraden, Ebenen und Winkel im Raum Fortführung aus QI 4.3 Winkel im Raum Orthogonalität zweier Vektoren Skalarprodukt (Orthogonalitätsprüfungen, Orthogonale Vektoren finden, Argumentieren mit dem Skalarprodukt) Winkel zwischen Vektoren und Geraden (Winkel zwischen zwei Vektoren, Untersuchungen an geometrischen Figuren, Winkel zwischen zwei Geraden im Raum) Blickpunkt: Abstand zwischen Punkten und Geraden 4.4 Ebenen im Raum Parameterdarstellung einer Ebene (Punkte einer Ebene bestimmen Punktprobe; Parameterdarstellung einer Ebene aus drei Punkten deuten das Skalarprodukt geometrisch und berechnen es arbeiten mit rechnerischen Eigenschaften des Skalarprodukts untersuchen mit Hilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung) stellen Ebenen in Koordinaten- und in Parameterform dar stellen geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform dar Strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe math. Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des math. Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen, aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung verbessern Geodreiecke, geometrische Modelle und dynamische Geometrie-Software nutzen; Digitale zum grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden Problemlösen Erkunden wählen heuristische Hilfsmittel (z. B. Skizze, informative Figur, Tabelle, experimentelle Verfahren) aus, um die

2 Unterrichtsvorhaben IV Vektoren, Geraden, Ebenen und Winkel im Raum Fortführung aus QI bestimmen; Parameterdarstellung von Ebenen durch Situation zu erfassen Lösen Ideen für mögliche Lösungswege Geraden und Punkte bestimmen; Parameterdarstellung entwickeln von Ebenen in Figuren bestimmen; Ebenen mit besonderer Lage im Koordinatensystem) Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, heuristische Strategien und Prinzipien Ebenen zeichnen Spurpunkte und Spurgeraden - zeichnen Ebenen in einem Schrägbild mit Hilfe der (z. B. [...]Darstellungswechsel, Zerlegen und Ergänzen, Symmetrien verwenden, Spurpunkte (Ebenen mit unterschiedlich vielen Spurpunkten und durch Invarianten finden, Zurückführen auf den Ursprung zeichnen) Bekanntes, Zerlegen in Teilprobleme, Fallunterscheidungen, Vorwärts- und Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene - untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden Rückwärtsarbeiten, [ ])nutzen, einen Lösungsplan zielgerichtet und Ebenen (gemeinsame Punkte von Geraden und Ebenen ausführen, Reflektieren verschiedene Lösungswege bezüglich bestimmen; Geraden und Ebenen mit zueinander berechnen Durchstoßpunkte von Geraden mit Ebenen und Unterschieden und Gemeinsamkeiten vorgegebener Lage bestimmen, Geraden und Ebenen in deuten sie im Sachkontext vergleichen, geometrischen Figuren) Lösungswege mit Blick auf Richtigkeit stellen lineare Gleichungssysteme in Matrix-Vektor- und Effizienz beurteilen und optimieren, Schreibweise dar Ursachen von Fehlern analysieren und reflektieren. nutzen den Gauß-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme wenden den Gauß-Algorithmus ohne digitale Werkzeuge auf Gleichungssysteme mit maximal drei Unbekannten an, die Kommunizieren Produzieren die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang verwenden, mit geringem Rechenaufwand lösbar sind begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, interpretieren die Lösungsmenge von linearen Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Gleichungssystemen Ausarbeitungen erstellen und verwenden digitale Werkzeuge zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen präsentieren Diskutieren ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität vergleichen untersuchen Lagebeziehungen zwischen Geraden und und beurteilen. Ebenen Digitale zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen

3 Unterrichtsvorhaben IV Vektoren, Geraden, Ebenen und Winkel im Raum Fortführung aus QI Das Wichtigste im Überblick Klausurtraining Unterrichtsvorhaben V Wahrscheinlichkeitsverteilungen 5.1 Lage- und Streuungsmaße von Stichproben Häufigkeitsverteilungen Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung (Häufigkeitsverteilungen Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung, Arithmetisches Mittel einer Häufigkeitsverteilung mit zusammengefassten Daten) Streuung um den Mittelwert einer Stichprobe die empirische Standardabweichung Selbst lernen (Berechnung der empirischen Standardabweichung von Häufigkeitsverteilungen) Blickpunkt: Vergleich von Häufigkeitsverteilungen mithilfe von Boxplots untersuchen Lage- und Streumaße von Stichproben verwenden digitale Werkzeuge zum Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten (Mittelwert, Standardabweichung) Strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf konkrete Fragestellungen erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter [ ] Modelle für die Fragestellung beurteilen, die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen reflektieren. Wiederholung: Noch fit in Wahrscheinlichkeitsrechnung? (Zufallsversuche, LAPLACE-Versuch, Mehrstufiger Zufallsversuch, Baumdiagramme und Pfadregeln, Komplementärregel) 5.2 Zufallsgröße Erwartungswert einer Zufallsgröße (Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen durch Abzählen der zugehörigen Ergebnisse, Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mithilfe von erläutern den Begriff der Zufallsgröße an geeigneten Beispielen bestimmen den Erwartungswert μ von Zufallsgrößen und Digitale zum Generieren von Zufallszahlen, Ermitteln der Kennzahlen statistischer Daten, Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeits-verteilungen Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeits-verteilungen Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeits-verteilungen Berechnen von Wahrscheinlichkeiten

4 Unterrichtsvorhaben V Wahrscheinlichkeitsverteilungen Baumdiagrammen, Berechnen des Erwartungswerts für eine gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung) treffen damit prognostische Aussagen bei binomial-verteilten Zufallsgrößen. 5.3 Binomialverteilung Bernoulli-Ketten verwenden Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufalls-experimente (Überprüfen, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt, erste Wahrscheinlichkeitsberechnungen bei Bernoulli-Ketten) Blickpunkt: Binomialkoeffizient Pascal sches Dreieck Berechnen von Wahrscheinlichkeiten Bernoulli- Formel (Anwenden der Bernoulli-Formel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, Anwenden der Bernoulli-Formel zur Berechnung von zu erwartenden Werten, von Ziehvorgängen ohne Zurücklegen mithilfe eines Binomialansatzes, Eigenschaften von Binomialverteilungen, Darstellung der Binomialkoeffizienten mit Hilfe der Fakultätenschreibweise) erklären die Binomialverteilung einschließlich der kombinatorischen Bedeutung der Binomialkoeffizienten und berechnen damit Wahrscheinlichkeiten Blickpunkt: Simulation von BERNOULLI-Ketten mithilfe eines GTR Kumulierte Binomialverteilung ein Auslastungsmodell ( der Auslastung von Maschinen, Simulation einer Auslastung) Berechnen von Intervall-Wahrscheinlichkeiten Selbst lernen (Bestimmen von Intervall-Wahrscheinlichkeiten, Modellierung Erkennen, dass sich Auslastungsprobleme mit Hilfe kumulierter Binomialverteilungen lösen lassen Nutzen Tabellen oder digitale Werkzeuge, um mit Hilfe kumulierter Wahrscheinlichkeiten Auslastungsprobleme zu lösen

5 Unterrichtsvorhaben V Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Vorgängen mithilfe eines Binomialansatzes, Bestimmen von Intervallen mit vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten) Simulieren eine Auslastung mit Hilfe von digital erzeugten Zufallszahlen Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg bei einem n-stufigen BERNOULLI-Experiment (Notwendiger Stichprobenumfang für mindestens einen Erfolg) Berechnen mit Hilfe digitaler Werkzeuge Intervall- Wahrscheinlichkeiten Nutzen die Formel für die kumulierte Wahrscheinlichkeit, um den nötigen Stichprobenumfang zu bestimmen Das Wichtigste im Überblick Klausurtraining Unterrichtsvorhaben VI Beurteilende Statistik 6.1 Erwartungswert und Standardabweichung von Binomialverteilungen Erwartungswert einer Binomialverteilung (Erwartungswert einer Binomialverteilung, Maximum einer Binomialverteilung, Eigenschaften von Umgebungen um den Erwartungswert einer Binomialverteilung) Standardabweichung von binomialverteilten Zufallsgrößen (Entdecken einer Formel für die mittlere quadratische Abweichung einer Binomialverteilung, Überprüfen der Berechnungsformel für die Standardabweichung, Vergleich von Binomialverteilungen mit gleichem Erwartungswert, Binomialverteilungen mit gleicher Standardabweichung, Binomialverteilung mit maximaler Streuung, Bestimmen einer Binomialverteilung zu gegebenen Werten von bestimmen den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von Zufallsgrößen und treffen damit prognostische Aussagen nutzen die -Regeln für prognostische Aussagen verwenden digitale Werkzeuge zum Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert, Standardabweichung) beschreiben den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre graphische Darstellung verwenden digitale Werkzeuge zum Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf konkrete Fragestellungen erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter [ ] Modelle für die Fragestellung beurteilen, die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen Annahmen reflektieren.

6 Unterrichtsvorhaben VI Beurteilende Statistik Erwartungswert und Standardabweichung) Umgebungen um den Erwartungswert einer Binomialverteilung σ-regeln (Sigma-Regeln überprüfen, Boxplots und Sigma- Umgebungen) 6.2 Einführung in Schlussverfahren der beurteilenden Statistik Prognose über zu erwartende Häufigkeiten verwenden digitale Werkzeuge zum Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen nutzen Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen Digitale zum Generieren von Zufallszahlen,, Variieren der Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Erstellen der Histogramme von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Berechnen der Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen. Prognosen über zu erwartende absolute Häufigkeiten, signifikante Abweichungen, Prognose über zu erwartende relative Häufigkeiten, Ausnutzen der Symmetrie der Binomialverteilung) Mit Hilfe einer Entscheidungsregel von der Stichprobe auf die Gesamtheit schließen (zweiseitiger Hypothesentest) Nutzen die -Regeln in umgekehrter Richtung als Prognosewerkzeug Formulieren Regeln, nach denen Hypothesen über Wahrscheinlichkeiten überprüft werden können, und wenden sie an. Unterrichtsvorhaben VIII Stochastische Prozesse

7 6.3 Untersuchung stochastischer Prozesse Bestimmung von Zuständen mithilfe von Übergangsmatrizen (Übergangsdiagramme und Übergangsmatrizen, Berechnen eines veränderten Zustandsvektors) Untersuchung stochastischer Prozesse mithilfe der Matrizenmultiplikation (Bestimmung zukünftiger Zustände, Bestimmung zurückliegender Zustände) Stabilisieren von Zuständen stationäre Zustände (Stationäre Verteilung Fixvektor) beschreiben stochastische Prozesse mithilfe von Zustandsvektoren und stochastischen Übergangsmatrizen verwenden die Matrizenmultiplikation zur Untersuchung stochastischer Prozesse (Vorhersage nachfolgender Zustände, numerisches Bestimmen sich stabilisierender Zustände) verwenden digitale Werkzeuge zum Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen Strukturieren Annahmen treffen und begründet Mathematisieren einem mathematischen Modell verschiedene passende Sachsituationen zuordnen Digitale zum Durchführen von Operationen mit Vektoren und Matrizen Die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge reflektieren und begründen. Das Wichtigste im Überblick Klausurtraining