8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt

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1 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren! In der nlytischen Geometrie gibt es zwei Arten der Vektor-Mulitpliktion. Ds Sklrprodukt und ds Vektorprodukt (siehe später!). Jedes dieser beiden Produkte besitzt eine eigene Schreibweise, jedes ht seine eigene Bedeutung. bzw. subtrhiert 8. Länge eines Vektors Wir betrchten in einem krtesischen Koordintensystem den Ortsvektor IR des Punktes A. x x d x Die Länge eines Vektors bezeichnet mn llgemein mit oder kurz : Die Länge des Vektors entspricht der Länge der Rumdigonlen im eingezeichneten Quder. Somit folgt: d Definition: (Länge eines Vektors) Der gibt die Länge des Vektors n. Somit gilt im IR : IR : W. Strk; Berufliche Oberschule Freising

2 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Beispiele: Berechne die Länge der Vektoren, b, 4 c und d... 9 b... c... Einheitsvektoren d... Definition: (Einheitsvektoren) Ht ein Vektor die Länge, so nennt mn ihn uch einen Einheitsvektor. Dfür schreibt mn: Es gilt: Möchte mn den Einheitsvektor eines beliebigen Vektors b, so gilt für diesen: b b Ds ist ein Vektor der Länge in Richtung des Vektors b. b 6 Beispiel: Gib den Einheitsvektor des Vektors 6 6 ( ) 7 7 n. 8. Abstnd zweier Punkte Den Abstnd der Punkte A und B erhält mn us der Länge des Vektors AB. A 4 B. Beispiel: Bestimme den Abstnd der Punkt und ( 4) 4 AB AB 4 ( ) W. Strk; Berufliche Oberschule Freising

3 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Aufgben:. Berechne die Länge der Vektoren 4 4 ; b ; c 5 ; d 6 ( ). Zeige, dss die Punkte uf einer Kugel um den Ursprung liegen: A 6 7 ; B 5 ; C 4 ; D 7 4 ) b) A 4 9 ; B 4 4 ; C 9 4 ; D 4 ; E 4 4. Berechne IR so, dss gilt: ) 6 4 b) 7 c) 5 5 d) e) 4. ) Berechne die Einheitsvektoren 7,5 8 ; b 4 ; c ; d ; e ; f,4 4 4, b) Berechne IR, dss folgende Vektoren zu Einheitsvektoren werden. ; b ; c 5. Berechne den Umfng des Dreiecks ABC: A 6 4, B 8 6, C 9 8 ) b) A 6 6, B, C 6. Weise nch, dss M der Mittelpunkt einer Kugel ist, uf der die Punkte A, B 4 und C 4 liegen. 7. Berechne den Mittelpunkt der Kugel durch die vier Punkte A 4, B7 5 5 C4 und D 4. (Setze dzu Mx x x llgemein n und stelle drei Gleichungen uf!) 8. Gegeben sind die Punkte P 8 und T4 4 t 6 t mit t IR dss die beiden Punkte einen Abstnd von 5 LE hben. Gib T n!,. Bestimme t IR so, W. Strk; Berufliche Oberschule Freising

4 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8. Winkelberechnungen Zwei Vektoren und b schließen einen Winkel ;b ein. b Sind die Vektoren und b b gegeben, so benötigen wir jetzt noch den Vektor b b c b b b c b Nch dem Kosinusstz gilt dnn: c b b cos c b b cos b b b b b b b cos b b b b b b b b b b cos b b b b cos b b b b cos Definition: Die Zhl und b. b b b : b b b b heißt Sklrprodukt der Vektoren Somit gilt: b b b b cos cos b b Und mit Hilfe der Einheitsvektoren von und b : b b cos b b b W. Strk; Berufliche Oberschule Freising 4

5 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Aufgben: 9. Berechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren ) 4 b b) b 8 4 c) b 4 d) 5 b 4 Stz: Zwei Vektoren und b stehen genu dnn ufeinnder senkrecht (sind zueinnder orthogonl), wenn gilt: b. Zeige, dss die gegebenen Vektoren einen Würfel ufspnnen und berechne sein Volumen. ) b c b) 5 b c 4 5 ( ) c) b ( ) c ( ). Für welche Werte von u sind die Vektoren und b orthogonl? u ) u b 4 u u u u b) u b u u 4 W. Strk; Berufliche Oberschule Freising 5

6 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt. Gegeben sind die Vektoren und dss ;b folgende Werte nnimmt: ) 9 b) 6 c) d) 45. Berechne die Winkel des Dreiecks ABC A 6 4, B 8 6, C 9 8 ) b) A 6 6, B, C k b k 4. Gegeben sind die beiden Vektoren und 5 b. Berechnen Sie die orthogonle Projektion b von b uf. mit k IR. Bestimme k IR so, b b 8.4 Winkelhlbierender Vektor Gegeben sind die Vektoren und b, die einen beliebigen Winkel einschließen. Für einen winkelhlbierenden Vektor w gilt: o w b Bemerkung: Für die Länge eines Vektors gilt uch: Rechengesetze für ds Sklrprodukt: () Kommuttivgesetz: b b () Distributivgesetz: b c b c () Gemischtes Assozitivgesetz: r br b mit r IR (4) Für jeden Vektor V mit gilt: Ein Vektorrum in dem ein Sklrprodukt definiert ist, heißt euklidisch. Ein Assozitivgesetz gibt es für ds Sklrprodukt nicht. o W. Strk; Berufliche Oberschule Freising 6

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