SBP Mathe Aufbaukurs 2. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck. Winkelfunktionen besonderer Winkel. Zusammenhänge der Winkelfunktionen
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- Lorenz Junge
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1 SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert nur wenn die Inhlte bereits einml verstnden worden sind. Ich wrne dvor diese Lernkrten nur stur uswendig zu lernen. SBP Mthe Aufbukurs Diese und ndere Lernkrten können von heruntergelden werden. Viel Erfolg bei der SBP Mthe Aufbukurs Prüfung! Clifford Wolf <clifford@clifford.t> Diese Lernkrten stehen unter der CC BY-NC-SA Lizenz. SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort C b Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck α A c B sin α = /c... Gegenkthete/Hypotenuse cos α = b/c... Ankthete/Hypotenuse tn α = /b... Gegenkthete/Ankthete... Gegenkthete zu α, b... Ankthete zu α, c... Hypotenuse SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort α rd sin α cos α tn α Winkelfunktionen besonderer Winkel 3 π 6 45 π 4 6 π π SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort sin α = cos(9 α cos α = sin(9 α cos(α = cos( α sin( α = sin(α Zusmmenhänge der Winkelfunktionen tn(α = sin α cos α sin α = sin (8 α = y rc sin y = [8 ] α cos α = cos(36 α = x rc cos x = [36 ] α tn α = tn(8 + α = z rc tn z = [8 +] α ACHTUNG: Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen sind nicht eindeutig!
2 SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort C b h Höhenstz und Kthetenstz Höhenstz: A p c h = p q q B Kthetenstz: = q c, b = p c SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort y r (x; y [r; ϕ] Polrkoordinten und krtesische Koordinten ϕ x x = r cos(ϕ r = x + y y = r sin(ϕ ϕ = rc tn(y/x [+8 ] SBP Mthe Aufbukurs # 6 by Clifford Wolf # 6 Antwort y y = tn ϕ y = sin ϕ Winkelfunktionen m Einheitskreis ϕ x = cos ϕ x r = cos ϕ + sin ϕ = SBP Mthe Aufbukurs # 7 by Clifford Wolf # 7 Antwort sin x Grphen von Sinus und Cosinus cos x π π π π π 3π x π π π π π 3π x
3 SBP Mthe Aufbukurs # 8 by Clifford Wolf # 8 Antwort sin x = cos x Ableitungen der Winkelfunktionen ( π cos x = sin x cos x = sin x tn x = sin x cos x tn x = cos x = + tn x SBP Mthe Aufbukurs # 9 by Clifford Wolf # 9 Antwort In jedem Dreieck gilt: sin α = b sin β = c sin γ Sinusstz Achtung: In mnchen Fällen liefert der Sinusstz keine eindeutige Lösung! Es seien z.b., b und α gegeben und h c < < b: α b c Wenn Seiten und Winkel gegeben sind und die dem Winkel nliegende Seite die längere ist, dnn ist der Sinusstz nicht immer eindeutig. SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Für den Flächeninhlt A eines Dreicks gilt: Trigonometrische Flächeninhltsformel für llgemeine Dreiecke A = b sin γ = c sin β = bc sin α SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort In jedem Dreieck gilt: = b + c bc cos α Cosinusstz b = + c c cos β c = + b b cos γ
4 SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn sie in den drei Winkeln übereinstimmen. In ähnlichen Dreiecken gilt: Ähnliche Dreiecke b = b, = c = c, = b b = c c b c = b c SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort sin(α + β = sin α cos β + cos α sin β. Summenstz der Winkelfunktionen sin(α β = sin α cos β cos α sin β cos(α + β = cos α cos β sin α sin β cos(α β = cos α cos β + sin α sin β SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort. Summenstz der Winkelfunktionen sinα + sinβ = sin α + β sinα sinβ = cos α + β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α β sin α β cos α β sin α β SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Ds Bogenmß eines Winkels ist ds Verhältnis = b r, wobei b die Länge eines zum Winkel gehörenden Kreisbogens mit dem Rdius r ist. Ds Bogenmß Dmit entspricht ds Bogenmß eines Winkels der Länge des zum Winkel gehörenden Kreisbogens im Einheitskreis. Ds Bogenmß ist eine dimensionslose Verhältniszhl. Zur besseren Kennzeichnung wird es jedoch mnchml mit der Benennung Rdint (rd versehen.
5 SBP Mthe Aufbukurs # 6 by Clifford Wolf # 6 Antwort Ein Vektor bezeichnet eine Richtung und eine Länge im Rum. Definition: Vektor Vektoren werden oft ls Pfeile vernschulicht. Alle Pfeile mit gleicher Orientierung und gleicher Länge sind Repräsentnten des gleichen Vektors. Zwei Vektoren heissen gleich (oder äquivlent wenn sie die gleiche Orientierung im Rum und die gleiche Länge hben. SBP Mthe Aufbukurs # 7 by Clifford Wolf Grphische Summe von Vektoren # 7 Antwort b + b b Vektoren werden grphisch ddiert, indem mn die Repräsentnten (Pfeile der Vektoren durch Prllelverschiebung so ngeordnet werden, dss der Anfng eines Pfeils m Ende des vorhergehenden Pfeils zu liegen kommt. Der Pfeil vom Anfng des ersten Vektors zum Ende des letzten Vektors ist ein Repräsentnt des Summenvektors. Die Addition von Vektoren ist Kommuttiv und Assozitiv. In der Physik ist es üblich, die Summnden ls Komponenten und die Summe ls Resultierende zu bezeichnen. SBP Mthe Aufbukurs # 8 by Clifford Wolf Grphische Sklrmultipliktion von Vektoren # 8 Antwort Die Sklrmultipliktion x des Vektors wird grphisch gebildet, indem ein Repräsentnt (Pfeil des Vektors so verlängert oder verkürzt wird, dss seine neue Länge ds x-fche der ursprünglichen Länge ist. Die Orientierung (Richtung des Vektors muss dbei unverändert bleiben. Die Sklrmultipliktion von Vektoren ist distributiv und ssozitiv: r + s = (r + s r( + b = r + r b r(s = (rs Der Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie. SBP Mthe Aufbukurs # 9 by Clifford Wolf # 9 Antwort A B Häufig werden Vektoren durch ihre Anfngsund Endpunkte ngegeben: = AB Vektoren, Punkte, Ortsvektoren Jedem Punkt X ist der Ortsvektor OX zugeordnet. Häufig wird einfch X geschrieben wenn OX gemeint ist: = AB = OB OA = B A A B O
6 SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Wie Punkte im Rum können uch Vektoren mit Koordinten ngeschrieben werden: ( A = ( ; = OA = Vektoren und Koordinten Sei = ( ( und b = b b : ( + + b b = + b b = ( b b x = ( x x SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Der Betrg eines Vektors ist seine Länge, die mit dem Pythgoräischen Lehrstz errechnet werden knn: Betrg eines Vektors =. n = = = + + n Vektoren mit dem Betrg nennt mn Einheitsvektoren. SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort ( Mn nennt die Vektoren i = und j = Einheitsvektoren der Ebene. ( krtesische Krtesische Einheitsvektoren = ( = i + j Anlog dzu heißen i =, j = Einheitsvektoren des Rumes. und k = krtesische SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort Ds innere Produkt von und b (uch: Sklrprodukt oder Punktprodukt b ist ds Produkt der Beträge der Prllelen Komponenten der beiden Vektoren: Inneres Produkt zweier Vektoren b = b cos (, b b = b + + n b n b b =
7 SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort Aus der Beziehung b = b cos (, b (Definition des inneren Produkts zweier Vektoren folgt Winkel zwischen zwei Vektoren (, b b = rc cos. b SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Ds innere Produkt ist Kommuttiv und Distributiv: b = b ( b + c = b + c Rechenregeln für ds innere Produkt von Vektoren Ds innere Produkt ist Assozitiv bzgl. der Sklrmultipliktion: x( b = (x b = b (x Aber ds innere Produkt ist selbst nicht Assozitiv:, b, c : ( b c ( b c SBP Mthe Aufbukurs # 6 by Clifford Wolf # 6 Antwort Des vektorielle Produkt v = ω r (uch: Kreuzprodukt ist ein Vektor, der rechtwinkelig uf die von r und ω ufgespnnte Ebene steht und vom Betrg her ds Produkt der Beträge der norml ufeinnder stehenden Komponenten von r und ω ist. Ds vektorielle Produkt ω r v = ω r v, ω und r bilden ein Rechtssystem: v = Dumen ω = Zeigefinger r = Mittelfinger Der Betrg von b ist gleich dem Flächeninhlt des von und b ufgespnnten Prllelogrmms. SBP Mthe Aufbukurs # 7 by Clifford Wolf # 7 Antwort Berechnung von b b 3 3 b b = 3 b b 3 b b b = b sin (, b
8 SBP Mthe Aufbukurs # 8 by Clifford Wolf Definition: Vektorrum # 8 Antwort Sei V eine Menge von Vektoren (n-tupel. V ist ein Vektorrum wenn: eine kommuttive und ssozitive lgebrische Funktion definiert ist, die je zwei Vektoren v, v V einen weiteren Vektor v v V zuordnet. ein neutrler Vektor n definiert ist für den v n = v gilt. fuer jeden Vektor v V ein inverser Vektor v V definiert ist für den v v = n gilt. eine lgebrische Funktion definiert ist die je einer Zhl t R und einem Vektor v V einen weiteren Vektor t v V zuordnet, so dss gilt: t (v v = (t v (t v s (t v = (s t v (s + t v = (s v (t v v = v SBP Mthe Aufbukurs # 9 by Clifford Wolf # 9 Antwort Es sei V ein reeller Vektorrum (R k. Eine Funktion f : V R heisst Norm oder Betrgsfunktion von V wenn: f(v für lle v V Definition: Betrgsfunktion eines reellen Vektorrums f(v = v = n (n = neutrles Element von V f(t v = t f(v f(v v f(v + f(v Sttt f(v wird meist v oder v oder Betrg von v geschrieben. SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort P g Q g Sei g eine Gerde und P, Q g, P Q. Dnn nennt mn g = PQ ( g o einen Richtungsvektor der Gerden g und Prmeterdrstellung einer Gerden oder kurz g = { X X = P + t g g : X = P + t g die Prmeterdrstellung von g (mit dem Prmeter t. Zu jeder Gerden gibt es unendlich viele Prmeterdrstellungen. SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort Prllele Gerden Zwei Gerden g und h sind genu dnn prllel, wenn jeder Richtungsvektor von g uch ein Richtungsvektor von h ist und umgekehrt.
9 SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort Seien g : X = A + t g und h: X = B + s h Gerden. Um den Schnittpunkt P von g und h zu ermitteln setzt mn die beiden Prmeterdrstellungen gleich: Schnittpunkt zweier Gerden P = A + t g P = B + s h = A + t g = B + s h Ht dieses Gleichungssystem keine Lösung so gibt es keinen Schnittpunkt. D.h. die Gerden sind dnn prllel oder windschief. Ht dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so heißt ds, dß die beiden Gerden identisch sind. SBP Mthe Aufbukurs # 33 by Clifford Wolf # 33 Antwort Sei g : X eine Gerde in der Ebene, P ein beliebiger Punkt uf g und n ein Normlvektor von g, dnn ist n X = n P die Normlvektorform von g. Normlvektorform einer Gerden Wir setzten für n = ( ( b, X = x ( x und P = p p ein: ( ( b x ( x = ( b p p = x + bx = p + bp {{ const. Die Normlvektorform beschreibt lso die Gerde ls Lösungsmenge einer lineren Gleichung mit den zwei Unbeknnten x und x. SBP Mthe Aufbukurs # 34 by Clifford Wolf # 34 Antwort Sei g : X = P + t g eine Gerde in der Ebene. Anstz : Erweitern mit einem Normlvektor n g Von der Prmeterdrstellung einer Gerden zur Normlvektorform X = P + t g n = X n = P n + t g n {{ = Anstz : Eliminieren von t ( x ( x = ( b + t c x d = + t c x = b + t d t = x b d x = + x b d c = dx cx = d bc SBP Mthe Aufbukurs # 35 by Clifford Wolf # 35 Antwort Sei x + bx = y die Normlvektorform der Gerden g. Gesucht ist die Prmeterdrstellung X = P + t g. Von der Normlvektorform zur Prmeterdrstellung einer Gerden Aus dem Normlvektor n = ( b knn gefolgert werden, dss g = ( b ein Richtungsvektor von g ist. Durch eine willkürliche Whl von x oder x wird der Punkt P entweder ls P = ( ( x (y x /b oder ls P = (y bx / festgelegt. X = ( x (y x /b +t ( b bzw. x X = ( (y bx / x +t ( b Bei = bzw. b = ist nur jene definition von P möglich die nicht zu einer Division durch Null führt.
10 SBP Mthe Aufbukurs # 36 by Clifford Wolf # 36 Antwort Durch drei Punkte des Rums, die nicht uf einer Gerden liegen, geht genu eine Ebene. Ebene, Richtunungsvektor der Ebene, Prmeterdrstellung der Ebene Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der Prllel zur Ebene E liegt, heißt ein Richtunungsvektor der Ebene E. Also jeder Vektor, der zwei voneinnder verschiedene Punkte in der Ebene E verbindet, ist ein Richtunungsvektor dieser Ebene E. Seien und b zwei liner unbhänige Richtungsvektoren der Ebene E und sei P ein Punkt in E. Dnn ist E : X = P + u + v b eine Prmeterdrstellung der Ebene E mit den Prmetern u und v. SBP Mthe Aufbukurs # 37 by Clifford Wolf Von der Prmeterdrstellung der Ebene zur Normlvektorform # 37 Antwort Gegeben: X = P + u + v b Gesucht: n X = k Lösungsstrtegie: Die gegebene Prmeterdrstellung wird ls Gleichungssystem mit 3 Gleichungen ngeschrieben. Anschliessend werden die unbeknnten u und v eliminiert und so eine linere Gleichung in X erstellt: x = p + u + v b x = p + u + v b x 3 = p 3 + u 3 + v b 3 = n x + n x + n 3 x 3 = k n X = k SBP Mthe Aufbukurs # 38 by Clifford Wolf Von der Normlvektorform der Ebene zur Prmeterdrstellung # 38 Antwort Gegeben: n X = k Gesucht: X = P + u + v b Anstz : Ermitteln von 3 Punkten Es werden 3 (verschiedene Punkte P, A und B ermittelt: jeweils Koordinten willkürlich festlegen und die dritte durch Einsetzen in die Gleichung errechnen. Eine Prmeterdrstellung ist: X = P + u P A + v P B Anstz : Teilweises festlegen der Richtungsvekotren Die gegebene Gleichung wird in die Form x = + bx + cx 3 umgewndelt. Indem mn u = x und v = x 3 setzt ergibt sich folgende Prmeterdrstellung: ( x x x 3 = ( + u( b + v( c SBP Mthe Aufbukurs # 39 by Clifford Wolf # 39 Antwort Zwei Vektoren im Rum stehen norml ufeinnder, wenn ihr inneres Produkt Null ergibt. Normle Gerden im Rum und Normlvektoren von Ebenen Zwei Gerden im Rum sind dnn norml, wenn ihre Richtungsvektoren norml ufeinnder stehen. Ein Vektor n heißt Normlvektor einer Ebene E, wenn n zu llen Richtungsvektoren von E norml ist. Ds innere Produkt von einem Normlvektor n einer Ebene und jedem Punkt X der Ebene ist konstnt.
11 SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort Ein Vektor x = λ + λ + + λ n n heißt Linerkombintion von,,..., n. Linerkombintionen von Vektoren und linere Abhänigkeit von Vektoren Existiert eine Linerkombintion λ + λ + + λ n n = mit mindestens einem λ k, so heißen die Vektoren liner bhänig, nsonsten liner unbhänig. In einer Liste von liner unbhänigen Vektoren knn mindestens einer der Vektoren ls Linerkombintion der übrigen drgestellt werden. Im n-dimensionlen Rum können mximl n Vektoren liner unbhänig voneinnder sein. SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort Unter einer m n-mtrix versteht mn ein rechteckiges Schem reeller oder komplexer Zhlen mit m Zeilen und n Splten. Mtrix n n A = m m mn Im Fll m = n spricht mn von einer qudrtischen Mtrix. Im Fll ij = ji spricht mn von einer symetrischen Mtrix. Durch Vertuschung von Zeilen und Splten (= kippen um die Huptdigonle erhällt mn die trnsponierte Mtrix A T. SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort Addition von Mtrizen: Seien A = ( ij und B = (b ij jeweils m n-mtrizen: A + B = ( ij + b ij Addition von Mtrizen und Multipliktion von Mtrix und Sklr Multipliktion von Mtrix und Sklr: Sei A = ( ij eine m n-mtrix und λ ein Sklr: λ A = (λ ij SBP Mthe Aufbukurs # 43 by Clifford Wolf # 43 Antwort Seien A = ( ij eine m n-mtrix und B = (b jk eine n p- Mtrix: AB = C (C = (c ik ist eine m p-mtrix Multipliktion von Mtrizen n c ik = ij b jk j= Ds heißt die Elemente von C werden gebildet indem jeweils ds innere Produkt des pssenden Zeilenvektors us A und des pssenden Spltenvektors us B gebildet wird.
12 SBP Mthe Aufbukurs # 44 by Clifford Wolf Zeilenweise Multipliktion von Mtrizen # 44 Antwort 3 b b b 3 c c c 3 3 b b b 3 = c c c {{ 33 b 3 b 3 {{ b 33 c 3 c 3 {{ c 33 A B C Jede Zeile von C ist eine Linerkombintion ller Zeilen us B mit den Koeffizienten us der entsprechenden Zeile us A. c c = b b + b b + 3 b 3 b 3 c 3 b 3 b 3 b 33 SBP Mthe Aufbukurs # 45 by Clifford Wolf Spltenweise Multipliktion von Mtrizen # 45 Antwort 3 b b b 3 c c c 3 3 b b b 3 = c c c {{ 33 b 3 b 3 {{ b 33 c 3 c 3 {{ c 33 A B C Jede Splte von C ist eine Linerkombintion ller Splten us A mit den Koeffizienten us der entsprechenden Splte us B. c c = b + b + b c SBP Mthe Aufbukurs # 46 by Clifford Wolf Nullmtrix und Einheitsmtrix # 46 Antwort Die Nullmtrix O ist jene Mtrix, die mit einer nderen Mtrix ddiert wieder diese ndere Mtrix ls Ergebnis liefert: O =..... Die Einheitsmtrix E ist jene Mtrix, die mit einer nderen Mtrix multipliziert wieder diese ndere Mtrix ls Ergebnis liefert: E = ( SBP Mthe Aufbukurs # 47 by Clifford Wolf # 47 Antwort Sei A = ( ij eine qudrtische n n-mtrix. Dnn ist det(a = A (die Determinnte von A definiert ls: n = : A = Determinnte einer Mtrix n = : A = = n = 3: 3 A = = = =
13 SBP Mthe Aufbukurs # 48 by Clifford Wolf # 48 Antwort Eine Determinnte knn nch jeder beliebigen Zeile oder Splte entwickelt werden. Ds heißt: Entwicklungsstz von Lplce zur Berechnung von Determinnten A = i A i + i A i + + in A in bzw. A = j A j + j A j + + mj A mj i =,..., m j =,..., n Wobei A xy jene Mtrix ist, die mn erhellt wenn mn us A die x-te Zeile und y-te Splte entfernt und die resultierende Mtrix mit multipliziert wenn x + y ungerde ist. Zum Beispiel: = SBP Mthe Aufbukurs # 49 by Clifford Wolf # 49 Antwort Vertuscht mn zwei Zeilen oder Splten, so ändert sich ds Vorzeichen der Determinnte. Multipliziert mn eine Zeile oder Splte mit einem konstnten Fktor, so multipliziert sich uch die Determinnte mit diesem Fktor. Eigenschften von Determinnten Addiert mn ein Vielfches einer Zeile (Splte zu einer nderen Zeile (Splte, so ändert sich die Determinnte nicht. Für die Trnsponierte einer Mtrix gilt A T = A sowie für ds Produkt AB = A B. Für die Inverse einer Mtrix gilt A = A. Wenn die Determinnte einer Mtrix ist so gibt es keine Inverse zu dieser Mtrix. SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Sei A eine qudrtische Mtrix. Wenn (und nur wenn A dnn gibt es eine inverse Mtrix A, so dss ist. A A = A A = E (E = Einheitsmtrix Die inverse Mtrix Die inverse Mtrix wird berechnet indem in die oben stehende Definition eingesetzt wird. Zum Beispiel: ( 5 3 ( b = c d ( + c = = c = c = 5 b + d = b = 5b + 3d = d = SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Linere Gleichungssysteme der Form x + x = k x + x = k Linere Gleichungssysteme und Mtrizen können uch ls Multipliktion einer Mtrix mit einem Spltenvektor ngeschrieben werden: ( ( ( x k = x k Lösung mittels Gußschem Elimintionsverfhren oder der inversen Mtrix: A x = b = x = A - b
14 SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Die Crmersche Regel (Determinntenmethode ist ein Verfhren zum Lösen linerer Gleichungssysteme. Crmersche Regel A x = b = x i = det(a i det(a Wobei A i us der Mtrix A entsteht, wenn mn die i-te Splte durch den Vektor b ersetzt. z.b. x + x = 3 4x + 5x = 6 x = , x = SBP Mthe Aufbukurs # 53 by Clifford Wolf # 53 Antwort Sei A x = b eine linere Gleichung in x. Die Lösungsgesmtheit des lineren Gleichungssystems ändert sich nicht bei: Vertuschen zweier Geichungen (d.h. zweier Zeilen von [A b] Lösungsäquivilente Umformungen in lineren Gleichungssystemen Vertuschen zweier Splten von A (und Umbezeichnung der zugehörigen Vriblen Multipliktion einer Gleichung mit einem Fktor Multipliktion einer Gleichung mit einem Fktor und Addition zu einer nderen Gleichung SBP Mthe Aufbukurs # 54 by Clifford Wolf # 54 Antwort Sei A x = b eine linere Gleichung in x. Durch Lösungsäquivilente Umformungen wird die Gleichung so in A x = b umgewndelt, dß A eine obere Dreiecksmtrix ist. Zum Beispiel: ( ( x x = x 3 ( 4 4 ( ( x x = x 3 ( 4 8 Gußsches Elimintionsverfhren Durch einsetzen von unten nch oben werden die Werte für die Vriblen bestimmt: 4x 3 = 8 x 3 = 3x + 6x 3 = 3x = + 6 = x = /3 x x + 3x 3 = 4 x = 4 + /3 + 3 = 6 /3 SBP Mthe Aufbukurs # 55 by Clifford Wolf # 55 Antwort Ein Kreis k ist die Menge jener Punkte in der Ebene, die den Abstnd r (Rdius zum Punkt M (Mittelpunkt hben. k : { X R X M = r Gleichungen von Kreis und Kugel (x m + (x m = r Eine Kugel s (Sphere ist die Menge jener Punkte im Rum, die den Abstnd r (Rdius zum Punkt M (Mittelpunkt hben. s : { X R 3 X M = r (x m + (x m + (x 3 m 3 = r
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