SBP Mathe Aufbaukurs 2. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck. Winkelfunktionen besonderer Winkel. Zusammenhänge der Winkelfunktionen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "SBP Mathe Aufbaukurs 2. Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck. Winkelfunktionen besonderer Winkel. Zusammenhänge der Winkelfunktionen"

Transkript

1 SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert nur wenn die Inhlte bereits einml verstnden worden sind. Ich wrne dvor diese Lernkrten nur stur uswendig zu lernen. SBP Mthe Aufbukurs Diese und ndere Lernkrten können von heruntergelden werden. Viel Erfolg bei der SBP Mthe Aufbukurs Prüfung! Clifford Wolf <clifford@clifford.t> Diese Lernkrten stehen unter der CC BY-NC-SA Lizenz. SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort C b Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck α A c B sin α = /c... Gegenkthete/Hypotenuse cos α = b/c... Ankthete/Hypotenuse tn α = /b... Gegenkthete/Ankthete... Gegenkthete zu α, b... Ankthete zu α, c... Hypotenuse SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort α rd sin α cos α tn α Winkelfunktionen besonderer Winkel 3 π 6 45 π 4 6 π π SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort sin α = cos(9 α cos α = sin(9 α cos(α = cos( α sin( α = sin(α Zusmmenhänge der Winkelfunktionen tn(α = sin α cos α sin α = sin (8 α = y rc sin y = [8 ] α cos α = cos(36 α = x rc cos x = [36 ] α tn α = tn(8 + α = z rc tn z = [8 +] α ACHTUNG: Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen sind nicht eindeutig!

2 SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort C b h Höhenstz und Kthetenstz Höhenstz: A p c h = p q q B Kthetenstz: = q c, b = p c SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort y r (x; y [r; ϕ] Polrkoordinten und krtesische Koordinten ϕ x x = r cos(ϕ r = x + y y = r sin(ϕ ϕ = rc tn(y/x [+8 ] SBP Mthe Aufbukurs # 6 by Clifford Wolf # 6 Antwort y y = tn ϕ y = sin ϕ Winkelfunktionen m Einheitskreis ϕ x = cos ϕ x r = cos ϕ + sin ϕ = SBP Mthe Aufbukurs # 7 by Clifford Wolf # 7 Antwort sin x Grphen von Sinus und Cosinus cos x π π π π π 3π x π π π π π 3π x

3 SBP Mthe Aufbukurs # 8 by Clifford Wolf # 8 Antwort sin x = cos x Ableitungen der Winkelfunktionen ( π cos x = sin x cos x = sin x tn x = sin x cos x tn x = cos x = + tn x SBP Mthe Aufbukurs # 9 by Clifford Wolf # 9 Antwort In jedem Dreieck gilt: sin α = b sin β = c sin γ Sinusstz Achtung: In mnchen Fällen liefert der Sinusstz keine eindeutige Lösung! Es seien z.b., b und α gegeben und h c < < b: α b c Wenn Seiten und Winkel gegeben sind und die dem Winkel nliegende Seite die längere ist, dnn ist der Sinusstz nicht immer eindeutig. SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Für den Flächeninhlt A eines Dreicks gilt: Trigonometrische Flächeninhltsformel für llgemeine Dreiecke A = b sin γ = c sin β = bc sin α SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort In jedem Dreieck gilt: = b + c bc cos α Cosinusstz b = + c c cos β c = + b b cos γ

4 SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn sie in den drei Winkeln übereinstimmen. In ähnlichen Dreiecken gilt: Ähnliche Dreiecke b = b, = c = c, = b b = c c b c = b c SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort sin(α + β = sin α cos β + cos α sin β. Summenstz der Winkelfunktionen sin(α β = sin α cos β cos α sin β cos(α + β = cos α cos β sin α sin β cos(α β = cos α cos β + sin α sin β SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort. Summenstz der Winkelfunktionen sinα + sinβ = sin α + β sinα sinβ = cos α + β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α β sin α β cos α β sin α β SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Ds Bogenmß eines Winkels ist ds Verhältnis = b r, wobei b die Länge eines zum Winkel gehörenden Kreisbogens mit dem Rdius r ist. Ds Bogenmß Dmit entspricht ds Bogenmß eines Winkels der Länge des zum Winkel gehörenden Kreisbogens im Einheitskreis. Ds Bogenmß ist eine dimensionslose Verhältniszhl. Zur besseren Kennzeichnung wird es jedoch mnchml mit der Benennung Rdint (rd versehen.

5 SBP Mthe Aufbukurs # 6 by Clifford Wolf # 6 Antwort Ein Vektor bezeichnet eine Richtung und eine Länge im Rum. Definition: Vektor Vektoren werden oft ls Pfeile vernschulicht. Alle Pfeile mit gleicher Orientierung und gleicher Länge sind Repräsentnten des gleichen Vektors. Zwei Vektoren heissen gleich (oder äquivlent wenn sie die gleiche Orientierung im Rum und die gleiche Länge hben. SBP Mthe Aufbukurs # 7 by Clifford Wolf Grphische Summe von Vektoren # 7 Antwort b + b b Vektoren werden grphisch ddiert, indem mn die Repräsentnten (Pfeile der Vektoren durch Prllelverschiebung so ngeordnet werden, dss der Anfng eines Pfeils m Ende des vorhergehenden Pfeils zu liegen kommt. Der Pfeil vom Anfng des ersten Vektors zum Ende des letzten Vektors ist ein Repräsentnt des Summenvektors. Die Addition von Vektoren ist Kommuttiv und Assozitiv. In der Physik ist es üblich, die Summnden ls Komponenten und die Summe ls Resultierende zu bezeichnen. SBP Mthe Aufbukurs # 8 by Clifford Wolf Grphische Sklrmultipliktion von Vektoren # 8 Antwort Die Sklrmultipliktion x des Vektors wird grphisch gebildet, indem ein Repräsentnt (Pfeil des Vektors so verlängert oder verkürzt wird, dss seine neue Länge ds x-fche der ursprünglichen Länge ist. Die Orientierung (Richtung des Vektors muss dbei unverändert bleiben. Die Sklrmultipliktion von Vektoren ist distributiv und ssozitiv: r + s = (r + s r( + b = r + r b r(s = (rs Der Vektor zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie. SBP Mthe Aufbukurs # 9 by Clifford Wolf # 9 Antwort A B Häufig werden Vektoren durch ihre Anfngsund Endpunkte ngegeben: = AB Vektoren, Punkte, Ortsvektoren Jedem Punkt X ist der Ortsvektor OX zugeordnet. Häufig wird einfch X geschrieben wenn OX gemeint ist: = AB = OB OA = B A A B O

6 SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Wie Punkte im Rum können uch Vektoren mit Koordinten ngeschrieben werden: ( A = ( ; = OA = Vektoren und Koordinten Sei = ( ( und b = b b : ( + + b b = + b b = ( b b x = ( x x SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort Der Betrg eines Vektors ist seine Länge, die mit dem Pythgoräischen Lehrstz errechnet werden knn: Betrg eines Vektors =. n = = = + + n Vektoren mit dem Betrg nennt mn Einheitsvektoren. SBP Mthe Aufbukurs # by Clifford Wolf # Antwort ( Mn nennt die Vektoren i = und j = Einheitsvektoren der Ebene. ( krtesische Krtesische Einheitsvektoren = ( = i + j Anlog dzu heißen i =, j = Einheitsvektoren des Rumes. und k = krtesische SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort Ds innere Produkt von und b (uch: Sklrprodukt oder Punktprodukt b ist ds Produkt der Beträge der Prllelen Komponenten der beiden Vektoren: Inneres Produkt zweier Vektoren b = b cos (, b b = b + + n b n b b =

7 SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort Aus der Beziehung b = b cos (, b (Definition des inneren Produkts zweier Vektoren folgt Winkel zwischen zwei Vektoren (, b b = rc cos. b SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Ds innere Produkt ist Kommuttiv und Distributiv: b = b ( b + c = b + c Rechenregeln für ds innere Produkt von Vektoren Ds innere Produkt ist Assozitiv bzgl. der Sklrmultipliktion: x( b = (x b = b (x Aber ds innere Produkt ist selbst nicht Assozitiv:, b, c : ( b c ( b c SBP Mthe Aufbukurs # 6 by Clifford Wolf # 6 Antwort Des vektorielle Produkt v = ω r (uch: Kreuzprodukt ist ein Vektor, der rechtwinkelig uf die von r und ω ufgespnnte Ebene steht und vom Betrg her ds Produkt der Beträge der norml ufeinnder stehenden Komponenten von r und ω ist. Ds vektorielle Produkt ω r v = ω r v, ω und r bilden ein Rechtssystem: v = Dumen ω = Zeigefinger r = Mittelfinger Der Betrg von b ist gleich dem Flächeninhlt des von und b ufgespnnten Prllelogrmms. SBP Mthe Aufbukurs # 7 by Clifford Wolf # 7 Antwort Berechnung von b b 3 3 b b = 3 b b 3 b b b = b sin (, b

8 SBP Mthe Aufbukurs # 8 by Clifford Wolf Definition: Vektorrum # 8 Antwort Sei V eine Menge von Vektoren (n-tupel. V ist ein Vektorrum wenn: eine kommuttive und ssozitive lgebrische Funktion definiert ist, die je zwei Vektoren v, v V einen weiteren Vektor v v V zuordnet. ein neutrler Vektor n definiert ist für den v n = v gilt. fuer jeden Vektor v V ein inverser Vektor v V definiert ist für den v v = n gilt. eine lgebrische Funktion definiert ist die je einer Zhl t R und einem Vektor v V einen weiteren Vektor t v V zuordnet, so dss gilt: t (v v = (t v (t v s (t v = (s t v (s + t v = (s v (t v v = v SBP Mthe Aufbukurs # 9 by Clifford Wolf # 9 Antwort Es sei V ein reeller Vektorrum (R k. Eine Funktion f : V R heisst Norm oder Betrgsfunktion von V wenn: f(v für lle v V Definition: Betrgsfunktion eines reellen Vektorrums f(v = v = n (n = neutrles Element von V f(t v = t f(v f(v v f(v + f(v Sttt f(v wird meist v oder v oder Betrg von v geschrieben. SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort P g Q g Sei g eine Gerde und P, Q g, P Q. Dnn nennt mn g = PQ ( g o einen Richtungsvektor der Gerden g und Prmeterdrstellung einer Gerden oder kurz g = { X X = P + t g g : X = P + t g die Prmeterdrstellung von g (mit dem Prmeter t. Zu jeder Gerden gibt es unendlich viele Prmeterdrstellungen. SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort Prllele Gerden Zwei Gerden g und h sind genu dnn prllel, wenn jeder Richtungsvektor von g uch ein Richtungsvektor von h ist und umgekehrt.

9 SBP Mthe Aufbukurs # 3 by Clifford Wolf # 3 Antwort Seien g : X = A + t g und h: X = B + s h Gerden. Um den Schnittpunkt P von g und h zu ermitteln setzt mn die beiden Prmeterdrstellungen gleich: Schnittpunkt zweier Gerden P = A + t g P = B + s h = A + t g = B + s h Ht dieses Gleichungssystem keine Lösung so gibt es keinen Schnittpunkt. D.h. die Gerden sind dnn prllel oder windschief. Ht dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so heißt ds, dß die beiden Gerden identisch sind. SBP Mthe Aufbukurs # 33 by Clifford Wolf # 33 Antwort Sei g : X eine Gerde in der Ebene, P ein beliebiger Punkt uf g und n ein Normlvektor von g, dnn ist n X = n P die Normlvektorform von g. Normlvektorform einer Gerden Wir setzten für n = ( ( b, X = x ( x und P = p p ein: ( ( b x ( x = ( b p p = x + bx = p + bp {{ const. Die Normlvektorform beschreibt lso die Gerde ls Lösungsmenge einer lineren Gleichung mit den zwei Unbeknnten x und x. SBP Mthe Aufbukurs # 34 by Clifford Wolf # 34 Antwort Sei g : X = P + t g eine Gerde in der Ebene. Anstz : Erweitern mit einem Normlvektor n g Von der Prmeterdrstellung einer Gerden zur Normlvektorform X = P + t g n = X n = P n + t g n {{ = Anstz : Eliminieren von t ( x ( x = ( b + t c x d = + t c x = b + t d t = x b d x = + x b d c = dx cx = d bc SBP Mthe Aufbukurs # 35 by Clifford Wolf # 35 Antwort Sei x + bx = y die Normlvektorform der Gerden g. Gesucht ist die Prmeterdrstellung X = P + t g. Von der Normlvektorform zur Prmeterdrstellung einer Gerden Aus dem Normlvektor n = ( b knn gefolgert werden, dss g = ( b ein Richtungsvektor von g ist. Durch eine willkürliche Whl von x oder x wird der Punkt P entweder ls P = ( ( x (y x /b oder ls P = (y bx / festgelegt. X = ( x (y x /b +t ( b bzw. x X = ( (y bx / x +t ( b Bei = bzw. b = ist nur jene definition von P möglich die nicht zu einer Division durch Null führt.

10 SBP Mthe Aufbukurs # 36 by Clifford Wolf # 36 Antwort Durch drei Punkte des Rums, die nicht uf einer Gerden liegen, geht genu eine Ebene. Ebene, Richtunungsvektor der Ebene, Prmeterdrstellung der Ebene Ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, der Prllel zur Ebene E liegt, heißt ein Richtunungsvektor der Ebene E. Also jeder Vektor, der zwei voneinnder verschiedene Punkte in der Ebene E verbindet, ist ein Richtunungsvektor dieser Ebene E. Seien und b zwei liner unbhänige Richtungsvektoren der Ebene E und sei P ein Punkt in E. Dnn ist E : X = P + u + v b eine Prmeterdrstellung der Ebene E mit den Prmetern u und v. SBP Mthe Aufbukurs # 37 by Clifford Wolf Von der Prmeterdrstellung der Ebene zur Normlvektorform # 37 Antwort Gegeben: X = P + u + v b Gesucht: n X = k Lösungsstrtegie: Die gegebene Prmeterdrstellung wird ls Gleichungssystem mit 3 Gleichungen ngeschrieben. Anschliessend werden die unbeknnten u und v eliminiert und so eine linere Gleichung in X erstellt: x = p + u + v b x = p + u + v b x 3 = p 3 + u 3 + v b 3 = n x + n x + n 3 x 3 = k n X = k SBP Mthe Aufbukurs # 38 by Clifford Wolf Von der Normlvektorform der Ebene zur Prmeterdrstellung # 38 Antwort Gegeben: n X = k Gesucht: X = P + u + v b Anstz : Ermitteln von 3 Punkten Es werden 3 (verschiedene Punkte P, A und B ermittelt: jeweils Koordinten willkürlich festlegen und die dritte durch Einsetzen in die Gleichung errechnen. Eine Prmeterdrstellung ist: X = P + u P A + v P B Anstz : Teilweises festlegen der Richtungsvekotren Die gegebene Gleichung wird in die Form x = + bx + cx 3 umgewndelt. Indem mn u = x und v = x 3 setzt ergibt sich folgende Prmeterdrstellung: ( x x x 3 = ( + u( b + v( c SBP Mthe Aufbukurs # 39 by Clifford Wolf # 39 Antwort Zwei Vektoren im Rum stehen norml ufeinnder, wenn ihr inneres Produkt Null ergibt. Normle Gerden im Rum und Normlvektoren von Ebenen Zwei Gerden im Rum sind dnn norml, wenn ihre Richtungsvektoren norml ufeinnder stehen. Ein Vektor n heißt Normlvektor einer Ebene E, wenn n zu llen Richtungsvektoren von E norml ist. Ds innere Produkt von einem Normlvektor n einer Ebene und jedem Punkt X der Ebene ist konstnt.

11 SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort Ein Vektor x = λ + λ + + λ n n heißt Linerkombintion von,,..., n. Linerkombintionen von Vektoren und linere Abhänigkeit von Vektoren Existiert eine Linerkombintion λ + λ + + λ n n = mit mindestens einem λ k, so heißen die Vektoren liner bhänig, nsonsten liner unbhänig. In einer Liste von liner unbhänigen Vektoren knn mindestens einer der Vektoren ls Linerkombintion der übrigen drgestellt werden. Im n-dimensionlen Rum können mximl n Vektoren liner unbhänig voneinnder sein. SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort Unter einer m n-mtrix versteht mn ein rechteckiges Schem reeller oder komplexer Zhlen mit m Zeilen und n Splten. Mtrix n n A = m m mn Im Fll m = n spricht mn von einer qudrtischen Mtrix. Im Fll ij = ji spricht mn von einer symetrischen Mtrix. Durch Vertuschung von Zeilen und Splten (= kippen um die Huptdigonle erhällt mn die trnsponierte Mtrix A T. SBP Mthe Aufbukurs # 4 by Clifford Wolf # 4 Antwort Addition von Mtrizen: Seien A = ( ij und B = (b ij jeweils m n-mtrizen: A + B = ( ij + b ij Addition von Mtrizen und Multipliktion von Mtrix und Sklr Multipliktion von Mtrix und Sklr: Sei A = ( ij eine m n-mtrix und λ ein Sklr: λ A = (λ ij SBP Mthe Aufbukurs # 43 by Clifford Wolf # 43 Antwort Seien A = ( ij eine m n-mtrix und B = (b jk eine n p- Mtrix: AB = C (C = (c ik ist eine m p-mtrix Multipliktion von Mtrizen n c ik = ij b jk j= Ds heißt die Elemente von C werden gebildet indem jeweils ds innere Produkt des pssenden Zeilenvektors us A und des pssenden Spltenvektors us B gebildet wird.

12 SBP Mthe Aufbukurs # 44 by Clifford Wolf Zeilenweise Multipliktion von Mtrizen # 44 Antwort 3 b b b 3 c c c 3 3 b b b 3 = c c c {{ 33 b 3 b 3 {{ b 33 c 3 c 3 {{ c 33 A B C Jede Zeile von C ist eine Linerkombintion ller Zeilen us B mit den Koeffizienten us der entsprechenden Zeile us A. c c = b b + b b + 3 b 3 b 3 c 3 b 3 b 3 b 33 SBP Mthe Aufbukurs # 45 by Clifford Wolf Spltenweise Multipliktion von Mtrizen # 45 Antwort 3 b b b 3 c c c 3 3 b b b 3 = c c c {{ 33 b 3 b 3 {{ b 33 c 3 c 3 {{ c 33 A B C Jede Splte von C ist eine Linerkombintion ller Splten us A mit den Koeffizienten us der entsprechenden Splte us B. c c = b + b + b c SBP Mthe Aufbukurs # 46 by Clifford Wolf Nullmtrix und Einheitsmtrix # 46 Antwort Die Nullmtrix O ist jene Mtrix, die mit einer nderen Mtrix ddiert wieder diese ndere Mtrix ls Ergebnis liefert: O =..... Die Einheitsmtrix E ist jene Mtrix, die mit einer nderen Mtrix multipliziert wieder diese ndere Mtrix ls Ergebnis liefert: E = ( SBP Mthe Aufbukurs # 47 by Clifford Wolf # 47 Antwort Sei A = ( ij eine qudrtische n n-mtrix. Dnn ist det(a = A (die Determinnte von A definiert ls: n = : A = Determinnte einer Mtrix n = : A = = n = 3: 3 A = = = =

13 SBP Mthe Aufbukurs # 48 by Clifford Wolf # 48 Antwort Eine Determinnte knn nch jeder beliebigen Zeile oder Splte entwickelt werden. Ds heißt: Entwicklungsstz von Lplce zur Berechnung von Determinnten A = i A i + i A i + + in A in bzw. A = j A j + j A j + + mj A mj i =,..., m j =,..., n Wobei A xy jene Mtrix ist, die mn erhellt wenn mn us A die x-te Zeile und y-te Splte entfernt und die resultierende Mtrix mit multipliziert wenn x + y ungerde ist. Zum Beispiel: = SBP Mthe Aufbukurs # 49 by Clifford Wolf # 49 Antwort Vertuscht mn zwei Zeilen oder Splten, so ändert sich ds Vorzeichen der Determinnte. Multipliziert mn eine Zeile oder Splte mit einem konstnten Fktor, so multipliziert sich uch die Determinnte mit diesem Fktor. Eigenschften von Determinnten Addiert mn ein Vielfches einer Zeile (Splte zu einer nderen Zeile (Splte, so ändert sich die Determinnte nicht. Für die Trnsponierte einer Mtrix gilt A T = A sowie für ds Produkt AB = A B. Für die Inverse einer Mtrix gilt A = A. Wenn die Determinnte einer Mtrix ist so gibt es keine Inverse zu dieser Mtrix. SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Sei A eine qudrtische Mtrix. Wenn (und nur wenn A dnn gibt es eine inverse Mtrix A, so dss ist. A A = A A = E (E = Einheitsmtrix Die inverse Mtrix Die inverse Mtrix wird berechnet indem in die oben stehende Definition eingesetzt wird. Zum Beispiel: ( 5 3 ( b = c d ( + c = = c = c = 5 b + d = b = 5b + 3d = d = SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Linere Gleichungssysteme der Form x + x = k x + x = k Linere Gleichungssysteme und Mtrizen können uch ls Multipliktion einer Mtrix mit einem Spltenvektor ngeschrieben werden: ( ( ( x k = x k Lösung mittels Gußschem Elimintionsverfhren oder der inversen Mtrix: A x = b = x = A - b

14 SBP Mthe Aufbukurs # 5 by Clifford Wolf # 5 Antwort Die Crmersche Regel (Determinntenmethode ist ein Verfhren zum Lösen linerer Gleichungssysteme. Crmersche Regel A x = b = x i = det(a i det(a Wobei A i us der Mtrix A entsteht, wenn mn die i-te Splte durch den Vektor b ersetzt. z.b. x + x = 3 4x + 5x = 6 x = , x = SBP Mthe Aufbukurs # 53 by Clifford Wolf # 53 Antwort Sei A x = b eine linere Gleichung in x. Die Lösungsgesmtheit des lineren Gleichungssystems ändert sich nicht bei: Vertuschen zweier Geichungen (d.h. zweier Zeilen von [A b] Lösungsäquivilente Umformungen in lineren Gleichungssystemen Vertuschen zweier Splten von A (und Umbezeichnung der zugehörigen Vriblen Multipliktion einer Gleichung mit einem Fktor Multipliktion einer Gleichung mit einem Fktor und Addition zu einer nderen Gleichung SBP Mthe Aufbukurs # 54 by Clifford Wolf # 54 Antwort Sei A x = b eine linere Gleichung in x. Durch Lösungsäquivilente Umformungen wird die Gleichung so in A x = b umgewndelt, dß A eine obere Dreiecksmtrix ist. Zum Beispiel: ( ( x x = x 3 ( 4 4 ( ( x x = x 3 ( 4 8 Gußsches Elimintionsverfhren Durch einsetzen von unten nch oben werden die Werte für die Vriblen bestimmt: 4x 3 = 8 x 3 = 3x + 6x 3 = 3x = + 6 = x = /3 x x + 3x 3 = 4 x = 4 + /3 + 3 = 6 /3 SBP Mthe Aufbukurs # 55 by Clifford Wolf # 55 Antwort Ein Kreis k ist die Menge jener Punkte in der Ebene, die den Abstnd r (Rdius zum Punkt M (Mittelpunkt hben. k : { X R X M = r Gleichungen von Kreis und Kugel (x m + (x m = r Eine Kugel s (Sphere ist die Menge jener Punkte im Rum, die den Abstnd r (Rdius zum Punkt M (Mittelpunkt hben. s : { X R 3 X M = r (x m + (x m + (x 3 m 3 = r

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

SBP Mathe Aufbaukurs 2 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Aufbaukurs 2

SBP Mathe Aufbaukurs 2 # 0 by Clifford Wolf. SBP Mathe Aufbaukurs 2 SBP Mathe Aufbaukurs 2 # 0 by Clifford Wolf SBP Mathe Aufbaukurs 2 # 0 Antwort Diese Lernkarten sind sorgfältig erstellt worden, erheben aber weder Anspruch auf Richtigkeit noch auf Vollständigkeit. Das

Mehr

(3) a x a x a x... a x b n n 1. (2) a x a x a x... a x b n n n n (m) a x a x a x...

(3) a x a x a x... a x b n n 1. (2) a x a x a x... a x b n n n n (m) a x a x a x... LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME () x x x... x b n n () x x x... x b n n () x x x... x b n n.............. (m) x x x... x b m m m mn n m Inhltsverzeichnis Kpitel Inhlt Seite Bestimmung von Funktionstermen Ds

Mehr

SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.

SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c. SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik Lineare Algebra / Analytische Geometrie. Copyright 2013 Ralph Werner

Abiturvorbereitung Mathematik Lineare Algebra / Analytische Geometrie. Copyright 2013 Ralph Werner Abiturvorbereitung Mthemtik Linere Algebr / Anlytische Geometrie Copyright 2013 Rlph Werner 1 Linere Gleichungssysteme Ein lineres Gleichungssystem (LGS) besteht us einer Anzhl linerer Gleichungen. (m,n)-lgs

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

Mathematik 1, Teil B

Mathematik 1, Teil B FH Oldenurg/Ostfrieslnd/Wilhelmshven Fch. Technik, At. Elektrotechnik u. Informtik Prof. Dr. J. Wiee www.et-inf.fho-emden.de/~wiee Mthemtik, Teil B Inhlt:.) Grundegriffe der Mengenlehre.) Mtrizen, Determinnten

Mehr

Einführung in die Vektorrechnung (GK)

Einführung in die Vektorrechnung (GK) Einführung in die Vektorrechnung (GK) Michel Spielmnn Inhltsverzeichnis Grundlegende Definitionen Geometrische Vernschulichung. Punkte..................................... Pfeile.....................................

Mehr

P RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ

P RS S. Definition : Beispiel : PQ und RS sind Repräsentanten des gleichen Vektors v. Man schreibt kurz, aber leider nicht ganz richtig : v = PQ I. Vektorräume ================================================================== 1. Geometrische Definition von Vektoren -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

G2 Grundlagen der Vektorrechnung

G2 Grundlagen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G Grundlgen der Vektorrechnung G. Die Vektorräume R und R Vektoren Beispiel: Physiklische Größen wie Krft und Geschwindigkeit werden nicht nur durch ihre Mßzhl und ihre Einheit,

Mehr

Mathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM

Mathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Bisher hben wir die Lge von Punkten und Gerden lediglich in der Ebene betrchtet. Nun wollen wir die Lge dieser

Mehr

6.1. Matrizenrechnung

6.1. Matrizenrechnung 6 Mtrizenrechnung 6 Mtrizen und Vektoren Definition Eine Tbelle in der Drstellung A (m,n) n n m m mn heißt m,n-mtrix ( n ) ( ) mit den Zeilenvektoren ( m m mn ) und den Sltenvektoren m, m,, n n mn Mtrizen

Mehr

hat genau eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn für die Determinante der Koeffizientenmatrix gilt:

hat genau eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn für die Determinante der Koeffizientenmatrix gilt: 1 Determinnten Die Determinnte einer qudrtischen Mtrix ist eine reelle Zhl. Sie ermöglicht insbesondere eine Aussge über die Existenz der inversen Mtrix bzw. über die Lösbrkeit von lineren leichungssystemen.

Mehr

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i, Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i

Mehr

Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag

Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 017 Bltt 8 0.06.017 Tutorium zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Berbeitungsvorschlg 9. Zu betrchten ist ein gleichseitiges Dreieck

Mehr

Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2017/2018 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck:

Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2017/2018 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck: Prof. Dr. J. Pnnek Dynmics in Logistics Vorkurs Mthemtik für Ingenieur Innen WS 207/208 Übung 3 Aufgbe : Trigonometrie () Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck:

Mehr

Lineare Abbildung des Einheitskreises

Lineare Abbildung des Einheitskreises Linere Abbildung des Einheitskreises Peter Stender 27.06.2017 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises 27.06.2017 1 / 14 Mtrix und Dynmik m Kreis Fälle, bei denen B nicht uf der berechneten Prbel

Mehr

Übungsaufgaben zu Mathematik 2

Übungsaufgaben zu Mathematik 2 Ü F-Studiengng Angewndte lektronik SS 8 Üungsufgen zu Mthemtik Vektor- und Mtrizenrechnung 9 Die ckpunkte des Dreiecks ABC seien durch ihre Ortsvektoren OA ( ) OB (7) und OC (8) gegeen Berechnen Sie die

Mehr

a) x 0, (Nichtnegativität) b) x = 0 x = 0, (Eindeutigkeit) c) αx = α x, (Skalierung)

a) x 0, (Nichtnegativität) b) x = 0 x = 0, (Eindeutigkeit) c) αx = α x, (Skalierung) Definition 1.20 Ein metrischer Rum besteht us einer Menge X und einer Abbildung d : X X R, die jedem geordneten Pr von Elementen us X eine reelle Zhl zuordnet, d.h. (x,y) X X d(x,y) R. Diese Abbildung

Mehr

Grundwissen Mathematik 9

Grundwissen Mathematik 9 Grundwissen Mthemtik 9 Die binomischen Formeln ( + b) + b + b ( - b) - b + b ( + b) ( - b) - b Insbesondere benutzt mn die binomischen Formeln um Summen und Differenzen in Produkte umzuwndeln Die Qudrtwurzel

Mehr

Vektoren. Karin Haenelt

Vektoren. Karin Haenelt Vektoren Grundbegriffe für ds Informtion Retrievl Krin Henelt 13.10.2013 Anltische Geometrie und Linere Algebr Geometrie: Konstruktionsverfhren mit Zirkel und Linel Anltische Geometrie: Umsetzung geometrischer

Mehr

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z

Eine Relation R in einer Menge M ist transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (x R y y R z) x R z Reltionen, 11 Reltionen Reltion ist einfch gesgt eine Beziehung zwischen Elementen von Mengen. In der Geometrie sind z.b. die Reltionen "ist gleich", "ist senkrecht zu", "ist prllel zu" eknnt. Die letzten

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Mtrizen und eterminnten efinition einer Mtri: Ein us m Zeilen und n Splten bestehendes rechteckiges Zhlenschem heißt Mtri vom Typ (m; n) oder (m n)-mtri. m m m n n n mn izeileninde; jsplteninde Schreibweise:

Mehr

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie -

Für den Mathe GK, Henß. - Lineare Algebra und analytische Geometrie - Für den Mthe GK, Henß - Linere Alger und nlytische Geometrie - Bis uf die Astände ist jetzt lles drin.. Ich h noch ne tolle Seite entdeckt mit vielen Beispielen und vor llem Aufgen zum Üen mit Lösungen..

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

Algebra - Lineare Abbildungen

Algebra - Lineare Abbildungen Algebr - Linere Abbildungen oger Burkhrdt (roger.burkhrdt@fhnw.ch) 8 Hochschule für Technik . Der Vektorrum Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4 Vektorrum Definition: Ein Vektorrum über einen

Mehr

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung Anltische Geometrie Anltischen Geometrie in vektorieller Drstellung Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Mit Hilfe von Vektoren lssen sich geometrische Ojekte wie Gerden und Eenen eschreien

Mehr

G2.3 Produkte von Vektoren

G2.3 Produkte von Vektoren G Grundlgen der Vektorrechnung G. Produkte von Vektoren Ds Sklrprodukt Beispiel: Ein Schienenfhrzeug soll von einem Triler ein Stück s gezogen werden, der neen den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren.

1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren. .. Orthogonle Bsen und Schmistsche Orthogonlisierungsverfhren. Definition.. Eine Bsis B = { b, b,..., b n } heit orthogonl, wenn die Vektoren b i, i =,,..., n, prweise orthogonl sind, d.h. bi b j = fur

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof Dr H Brenner Osnbrück WS 2015/2016 Linere Algebr und nlytische Geometrie I Vorlesung 4 In der lineren Algebr wird stets ein Körper K zugrunde gelegt, wobei mn dbei grundsätzlich n die reellen Zhlen

Mehr

AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα.

AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα. Trigonometrie Wenn mn die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tngens berechnen will, ist es wichtig, uf welchen Winkel sie sich beziehen. Die Kthete, die direkt m Winkel nliegt, heißt Ankthete

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG R Käppeli L Herrmnn W Wu Herbstsemester 206 Linere Algebr und Numerische Mthemtik für D-BAUG Beispiellösung für Serie 5 ETH Zürich D-MATH Aufgbe 5 5) Seien u und v Lösungen des LGS Ax = b mit n Unbeknnten

Mehr

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!

Mehr

Lineare Algebra I 5. Tutorium mit Lösungshinweisen

Lineare Algebra I 5. Tutorium mit Lösungshinweisen Fchbereich Mthemtik Prof Dr JH Bruinier Mrtin Fuchssteiner Ky Schwieger TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT AWS 07/08 0607 (T ) Linere Algebr I 5 Tutorium mit Lösungshinweisen Welche Gruppen kennen Sie? Welche

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion

Mehr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber

Mehr

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln 5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag

Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs

Mehr

Fachbereich Mathematik

Fachbereich Mathematik Oberstufenzentrum Krftfhrzeugtechnik Berufsschule, Berufsfchschule, Fchoberschule und Berufsoberschule Berlin, Bezirk Chrlottenburg-Wilmersdorf Fchbereich Mthemtik Arbeits- und Informtionsblätter zum Fch

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Brückenkurs Mthemtik WS 0/ us und überrbeitet von B. Eng. Sevd Hppel und Dipl.Ing. Jun Rojs Prof. Dr.Ing. W. Scheideler Inhltsverzeichnis Brüche, Potenzen und Wurzeln. Brüche..

Mehr

Inhaltsübersicht. Vektorrechnung in der Ebene. Ungleichungen in zwei Variablen. Der Vektorraum R n, Vektoroperationen.

Inhaltsübersicht. Vektorrechnung in der Ebene. Ungleichungen in zwei Variablen. Der Vektorraum R n, Vektoroperationen. Inhltsüersicht Kpitel 5: evil forces: Vektorrechnung Vektorrechnung in der Eene Ungleichungen in zwei Vrilen Der Vektorrum R n, Vektoropertionen Eenen im Rum Linere Gleichungssysteme Gußsche Elimintion

Mehr

Grundwissen Mathematik 8

Grundwissen Mathematik 8 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die

Mehr

a Z1 a 1 a 1,2 Diese Matrix hat genau dann Rang 2, ist also genau dann invertierbar, wenn a 2,2 a 1,2a 2,1

a Z1 a 1 a 1,2 Diese Matrix hat genau dann Rang 2, ist also genau dann invertierbar, wenn a 2,2 a 1,2a 2,1 18 Determinnten 207 18 Determinnten Nchdem wir nun schon recht usführlich Mtrizen und linere Gleichungssysteme studiert hben, wollen wir jetzt die sogennnten Determinnten einführen, die beim Rechnen mit

Mehr

2. Grundgleichungen der linearen FEM

2. Grundgleichungen der linearen FEM . Grundgleichungen der lineren FEM Fchbereich Prof. Dr.-Ing. Mschinenbu Abteilung Mschinenbu. Ekurs Mtrizenrechnung Zum weiteren Verständnis der FEM sind einige Grundkenntnisse in der Mtrizenlgebr erforderlich!

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

BRÜCKENKURS MATHEMATIK

BRÜCKENKURS MATHEMATIK Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig

Mehr

Darstellung von Ebenen

Darstellung von Ebenen Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor

Mehr

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2 R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise

Mehr

Aufgabensammlung der höheren Mathematik

Aufgabensammlung der höheren Mathematik Aufgbensmmlung der höheren Mthemtik von Vsili P. Minorski 5., ktulisierte Auflge Hnser München 2008 Verlg C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 466 Zu Inhltsverzeichnis schnell und portofrei

Mehr

Kapitel 1 : Mathematische Grundlagen und Stöchiometrie

Kapitel 1 : Mathematische Grundlagen und Stöchiometrie pitel : Mthemtische Grundlgen und Stöchiometrie Elementre Rechenumformungen. Dreistzrechnung : Immer dnn, wenn zwei Meßgrößen zueinnder proportionl bzw. indirekt proportionl (d.h. die eine proportionl

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Vektoren

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Vektoren Einführung in die Vektor- und Mtrizenrechnung Vektoren Sklr und Vektor Größen, deren Werte durch reelle Zhlen usgedrückt werden können, heißen Sklre. Beispiele: Msse, Ldung, Tempertur, etc. Größen, die

Mehr

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen. Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,

Mehr

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

Mehr

( ) ( 4) I. Reelle Zahlen LÖSUNGEN L9_01. o Rationale Zahlen: 5; ; 2,8. o Irrationale Zahlen: 7 ; ; 6 5 ; L9_02 = = o 48 3.

( ) ( 4) I. Reelle Zahlen LÖSUNGEN L9_01. o Rationale Zahlen: 5; ; 2,8. o Irrationale Zahlen: 7 ; ; 6 5 ; L9_02 = = o 48 3. I. Reelle Zhlen L9_0 Rtinle Zhlen: ; ;,8 ;, ; 9 7 L9_0 Irrtinle Zhlen: 7 ; + ; ; 8 8 8 L9_0 L9_0 L9_0 L9_0 8 + ist bereits vllständig vereinfcht! (Achtung: + +, vgl. Tschenrechner,, und,, ls +, ), : +

Mehr

KAPITEL 11. Determinanten

KAPITEL 11. Determinanten KAPITEL Determinnten Determinnten 8 echenregeln für Determinnten 86 Prktische Determintenerechnung 9 4 Vektorprodukte 5 Sklrprodukt für Vektoren im n 4 6 Vektorprodukt 8 7 Sptprodukt 5 Lernziele Definition

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine

Mehr

6. Quadratische Gleichungen

6. Quadratische Gleichungen 6. Qudrtische Gleichungen 6. Vorbemerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Opertionen. Sie heben sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel

Mehr

20 1 Zahlen und Vektoren. d = d( 0, E) = u n. E = { x R 3 : x n = d }

20 1 Zahlen und Vektoren. d = d( 0, E) = u n. E = { x R 3 : x n = d } 0 1 Zhlen und Vektoren St 1.4.6 (i) Seien L = u + R v, u, v R 3 und v 0. Dnn gilt d( x 0, L) = ( u x 0) v, x 0 R 3. v (ii) Seien E = u + R v + R w, u, v, w R 3 und v w 0, und n ein Einheitsnormlenvektor

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr

v P Vektorrechnung k 1

v P Vektorrechnung k 1 Vektorrechnung () Vektorielle Größen in der hysik: Sklren Größen wie Zeit, Msse, Energie oder Tempertur werden in der hysik mit einer Mßzhl und einer Mßeinheit ngegeen: 7 sec, 4.5 kg. Wichtige physiklische

Mehr

7 Bewegung von Punkten

7 Bewegung von Punkten 81 7 Bewegung von Punkten 7.1 Übersicht Bewegung von Punkten Differenzierbrkeit. Wo liegt die Ableitung Tylorreihe, Vektordreieck Physiklische Bezeichnungen Abstnd zu einer Kurve Geschwindigkeit Bogenlänge

Mehr

Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie

Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - rückenkurs Mthemtik 2016 Modul: Mthemtik Dtum: 2016

Mehr

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b

Vektoren. b b. R heißt der Vektor. des. und b. . a b 6 Vektoren 66 Ds Vektorprodukt Definition des Vektorprodukts Wir etrchten im dreidimensionlen Rum zwei nicht kollinere Vektoren R, \{0} Gesucht ist ein Vektor x R, der uf jedem der eiden Vektoren und senkrecht

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 9

Grundwissen Jahrgangsstufe 9 Grundwissen Jhrgngsstufe 9 GM 9. Qudrtwurzeln und die Menge der reellen Zhlen QUADRATWURZELN Unter der Qudrtwurzel us einer Zhl (kurz: Wurzel us, Schreibweise ) versteht mn diejenige nichtnegtive Zhl,

Mehr

10: Lineare Abbildungen

10: Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert

Mehr

Crashkurs - Integration

Crashkurs - Integration Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten

Lernkarten. Analysis. 11 Seiten Lernkrten Anlysis Seiten Zum Ausdrucken muss mn jeweils eine Vorderseite drucken, dnn ds Bltt wenden, nochmls einlegen und die Rückseite drucken. Am esten druckt mn die Krten uf festem Ppier oder uf Visitenkrten-

Mehr

5 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren

5 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren 5 Linere Ahängigeit und linere Unhängigeit von Vetoren 5 Linere Ahängigeit und linere Unhängigeit von Vetoren 5.1 Linere Ahängigeit/Unhängigeit von Vetoren Eine esondere Rolle in der nlytischen Geometrie

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie

Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - Brückenkurs Mthemtik 016 Winkelbeziehugen

Mehr

Integrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration

Integrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration Integrieren Regeln (f() + g())d = f()d + g()d c f()d = c f()d b f()d = f()d b Einige Integrle die mn uswendig kennen sollte s d = s + s+ + C (für s ) d = ln + C cos d = sin + C sin d = cos + C sinh d =

Mehr

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14

ARBEITSBLATT 14 ARBEITSBLATT 14 Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng reitsltt. Semester RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT RBEITSBLTT DS VEKTORPRODUKT Definition: Ds vektorielle Produkt (oder Kreuprodukt) weier Vektoren und ist ein Vektor mit

Mehr

R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen

R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen Die ntürlichen Zhlen (zusmmen mit der Addition und der Multipliktion) wurden in Kpitel 3 xiomtisch eingeführt. Aus den ntürlichen Zhlen knn mn nun die gnzen Zhlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die rtionlen

Mehr

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für

Mehr

Fachhochschule Jena Fachbereich GW. Serie Nr.: 2 Semester: 1

Fachhochschule Jena Fachbereich GW. Serie Nr.: 2 Semester: 1 Fchhochschule Jen Fchbereich GW Tutorium Mthemtik I Studiengng: BT/MT - Bchelor Serie Nr.: 2 Semester: Them: Vektorrechnung und Geometrie Auf die Lehrmterilien im Internet ( Zum selbständigen Üben ) empfehle

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln $Id: trig.tex,v 1.8 015/05/04 10:16:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir begonnen die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zu besprechen.

Mehr

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3 Deprtment Mthemtik Dr. rer. nt. Lrs Schewe Mthis Sirvent Wintersemester 013/014 Probeklusur Mthemtik für Ingenieure C3 Anmerkungen zur Klusur: Die Arbeitszeit wird 90 Minuten betrgen. Sie können sämtliche

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade

3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade 3 3 ANALYSIS 3.3 Extrem I: Winkel Eene/Gerde In diesem Aschnitt gehen wir von einer Gerde g und einer g nicht enthltenden Eene ε us und wollen unter llen möglichen spitzen Schnittwinkeln zwischen g und

Mehr

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen 1 Rechenregeln Betrg einer Zhl Subtrktion Kommuttivität der Addition (Vertuschungsgesetz) Assozitivgesetz der Addition (Verbindungsgesetz) Vorzeichenregeln Vorzeichen vor Klmmern Definition der Multipliktion

Mehr

Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale

Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrale Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Übungen mit dem Applet Grundfunktionen und ihre Integrle 1 Ziele des Applets... 2 2 Begriffe und ihre Drstellung mit dem Applet... 2 b 2.1 Bestimmtes Integrl I (b) =

Mehr

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen. Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten

Mehr

Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015

Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015 Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler

Mehr

Formelsammlung MAT 182 Analysis für Naturwissenschaften

Formelsammlung MAT 182 Analysis für Naturwissenschaften Formelsmmlung MAT 8 Anlysis für Nturwissenschften Contents Einfche Zhlenwerte und Funktionen 3. Potenzen............................... 3. Wurzeln............................... 3.3 Logrithmen.............................

Mehr

03. Vektoren im R 2, R 3 und R n

03. Vektoren im R 2, R 3 und R n 03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 $Id: trig.tex,v 1.11 015/05/19 17:1:13 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.17 015/05/18 11:15:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.3 Spezielle Werte der trigonometrischen

Mehr

Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie

Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie Jens Wirth, Freiberg wirth@mth.tu-freiberg.de 1 Definition y Es sei P ein Punkt uf dem Einheitskreis, 10P = φ. Dnn besitzt 1 P P die Koordinten (cos(φ), sin(φ)).

Mehr

03. Vektoren im R 2, R 3 und R n

03. Vektoren im R 2, R 3 und R n 03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen

Mehr

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen.

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen. 10. Riemnnsche Geometrie I: Riemnnsche Metrik Wir können in der hyperbolischen Geometrie noch nicht wirklich messen. Hierfür bruchen wir ein Riemnnsches Längen- und Winkelmß, d.h. eine Riemnnsche Geometrie.

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Verfhren Mthemtik für Studierende der Biologie und des Lehrmtes Chemie Dominik Shillo Universität des Srlndes 6. Vorlesung, 4..7 (Stnd: 4..7, 4:5 Uhr) Shreibe,,n.......... n, n,n Führe den Guÿlgorithmus

Mehr

Lineare DGL zweiter Ordnung

Lineare DGL zweiter Ordnung Universität Duisburg-Essen Essen, 03.06.01 Fkultät für Mthemtik S. Buer C. Hubcsek C. Thiel Linere DGL zweiter Ordnung Betrchten wir ds AWP { x + x + bx = 0 mit, b, t 0, x 0, v 0 R. Der Anstz xt 0 = x

Mehr