5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt"

Transkript

1 5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale Vektoren im physikalischen Raum R auch Längen haben und miteinander Winkel einschließen, dies ist Folge einer zusätzlichen Struktur dieses Vektorraums, die wir bis jetzt noch nicht erfaßt haben. Wir benötigen dazu den Begriff des Skalarprodukts zweier Vektoren. 5. Geometrische Definition Im physikalischen Raum R wird für je zwei Vektoren a und b, mit Längen a, b R und Zwischenwinkel γ (mit γ π), ein Skalarprodukt a b definiert als a b := a b cosγ. (268) Das Skalarprodukt ist also offensichtlich kommutativ (Eigenschaft S), und positiv definit (S3), a b = b a, (269) a a a 2, wobei a a = genau dann, wenn a =. (27) Außerdem ist es im rechten (und somit auch im linken) Argument linear (S2), a (λb + µc) = a (λb) + a (µc) λa b + µa c (λ, µ R). (27) Um letzteres eizusehen, schreiben wir a b := a b a sgn(cosγ), (272) mit der Länge b a des Vektors b a der Projektion von b auf die Richtung von a, b a := a a b cosγ b a = b cosγ. (273) Die Linearität folgt dann aus (b + c) a = b a + c a (Beweis durch Anschauung). Die Eigenschaften (S 3) werden der Definition von Skalarprodukten in abstrakten Vektorräumen zugrunde gelegt (Anhang A). Hierzu ein einfaches Beispiel: Bsp. a: Im Vektorraum P 2 (R) aller reellen Polynome vom Grad 2, P 2 (R) := { f(x) = c x 2 + c 2 x + c 3 c, c 2, c 3 R }, (274) 48

2 wird ein Skalarprodukt, das die genannten Eigenschaften hat (Übungen!), erklärt durch (f, g) := dxf(x)g(x). (275) Das Skalarprodukt etwa von a(x) = x 2 4x + 3 mit b(x) = 2x 2 + x 5 ist also die Zahl (a, b) = dx (x 2 4x+3)(2x 2 +x 5) = dx (2x 4 7x 3 3x 2 +23x 5) = 7 2.(276) 5.2 Wahl einer Basis 5.2. Beliebige Wahl Drei Vektoren v,v 2 und v 3, die nicht in einer Ebene liegen, bilden eine Basis von R, denn jeder beliebige Vektor a R hat eine eindeutige Darstellung a = a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 3 a i v i. (277) i= Damit wird jedem Vektor a R eine Spalte a = (a, a 2, a 3 ) R 3 zugeordnet, a a. Mit b b und c = λa + µb c gilt dabei c = λa + µb. (278) Eine solche umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen zwei Vektorräumen heißt Isomorphismus. Die Vektorräume R und R 3 heißen daher isomorph ( von gleicher Form ). Das Skalarprodukt von a a mit b b ist a b = (a v + a 2 v 2 + a 3 v 3 ) (b v + b 2 v 2 + b 3 v 3 ) = a b (v v ) + a b 2 (v v 2 ) a 3 b 3 (v 3 v 3 ) 3 3 = g ij a i b j. (279) i= j= Diese Doppelsumme hat neun Summanden, mit den Elementen g ij := (v i v j ) (i, j =, 2, 3) (28) einer (3 3)-Matrix (g ij ), die als metrischer Tensor bezeichnet wird. Ehe wir dieses komplizierte Resultat vereinfachen werden, wollen wir ein Beispiel betrachten 49

3 Bsp. b: Im Vektorraum P 2 (R) ist eine Basis gegeben durch v (x) =, v 2 (x) = x, v 3 (x) = x 2. (28) Mit dem Skalarprodukt aus Bsp. a ergibt sich der zugehörige metrische Tensor als g g 2 g g ij = dxv i (x)v j (x) g 2 g 22 g 23 = g 3 g 32 g 33 Damit ergibt sich das Skalarprodukt der beiden Polynome aus Bsp. a zu (282) (a, b) = g a b + g 2 a b g 33 a 3 b 3, (283) mit (a, a 2, a 3 ) = (3, 4, ) und (b, b 2, b 3 ) = ( 5,, 2) also (a, b) = a b + a b 2 + a 2 b 2 = a b 3 + a 2 b 2 + a 3 b a 2b 3 + a 3 b a 3b = 7 2. (284) Orthonormierte Basis (ON Basis) Um die Formel für das Skalarprodukt zu vereinfachen, wählen wir statt {v,v 2,v 3 } eine Basis aus drei paarweise zueinander senkrechte Einheitsvektoren e,e 2 und e 3, e i e j = δ ij (d.h.: e e =, e e 2 =, etc.). (285) Eine Basis {e,e 2,e 3 } mit diesen Eigenschaften heißt orthonormierte Basis oder ON Basis. Für einen beliebigen Vektor a R gilt wieder a = a e + a 2 e 2 + a 3 e 3, (286) mit neuen Komponenten a, a 2 und a 3. (Wir wollen aber der Einfachheit halber die Striche sogleich wieder fortlassen.) Diese sind jetz leicht zu berechnen. So gilt etwa a e = (a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) e = a (e e }{{} ) + a 2 (e 2 e ) + a }{{} 3 (e 3 e ) = a }{{}. (287) Entsprechend findet man a e 2 = a 2 und a e 3 = a 3. Allgemein gilt also a i = a e i (i =, 2, 3). (288) Das Skalarprodukt a b läßt sich nun auf besonders einfache Weise durch die Komponenten der Spaltenvektoren a und b von a bzw. b ausdrücken; wegen e i e j = δ ij ergibt sich a b = (a e + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b e + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = a b (e e ) + a b 2 (e e 2 ) a 3 b 3 (e 3 e 3 ) = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3.(289) 5

4 Bsp. c: Drei zueinender senkrechte Polynome im Vektorraum P 2 (R) sind etwa e (x) =, e 2 (x) = 3(2x ), e 3 (x) = 5(6x 2 6x + ). (29) Für die Polynome aus Bsp. a findet man (Übungen!): a(x) = e (x) 2 e 2(x) + 3 e 3(x), b(x) = 23 6 e (x) + Ihr Skalarprodukt ergibt sich jetzt nach obiger Formel zu (a, b) = = e 2(x) + 5 e 3(x).(29) = 7 2. (292) 5.3 Allgemeine Definition Def.: Es sei V ein beliebiger Vektorraum über dem Körper K {R, C}. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung (, ): V V K mit folgenden Eigenschaften (a, b, c V, λ, µ K): (S) Hermitezität (Charles Hermite, 822 9), (S2) Linearität im zweiten Argument, (S3) Positive Definitheit, (b, a) = (a, b) ; (293) (a, λb + µc) = λ(a, b) + µ(a, c) ; (294) (a, a), (295) wobei (a, a) = dann und nur dann gilt, wenn a =. Bem.: Mit (S) und (S2) ist ein Skalarprodukt im ersten Argument antilinear, (λa + µb, c) = λ (a, c) + µ (b, c). (296) Im Fall K = R ist das Skalarprodukt nach (S) kommutativ, (a, b) = (b, a) und in beiden Argumenten linear. Def.: Der Betrag (oder die Länge ) eines Vektors a V wird definiert als a := (a, a). (297) Zwei Vektoren a, b V heißen zueinander orthogonal, wenn gilt Eine Basis B = {e,..., e n } von V heißt ON-Basis, wenn gilt (a, b) =. (298) (e i, e j ) = δ ij. (299) Bem.: Der Nullvektor V ist zu jedem Vektor a V orthogonal. Zwei orthogonale Vektoren a, b V sind genau dann linear unabhängig, wenn a b. 5

5 5.3. Standard-Skalarprodukt im R n Def.: Das Standard-Skalarprodukt zweier Spaltenvektoren a, b R n wird definiert als a b a b.. := a b + a 2 b a n b n a k b k. (3) a n b k= n Mit diesem Standard Skalarprodukt ist die Standardbasis {e,..., e n } des R n, e =., e 2 =.,..., e 2 =., (3) zugleich eine ON Basis, e i e j = δ ij, (i, j =,..., n). Der Betrag von a R n ist a := a a a 2 + a a 2 n. (32) Sind die Vektoren a, b R n beide verschieden vom Nullvektor, gilt also a, b >, so läßt sich ein eindeutiger Winkel γ (mit γ π) zwischen ihnen definieren durch cosγ := a b a b a b = a b cosγ. (33) Zwei zueinander orthogonale Vektoren a, b R n (mit a b = ), schließen den Winkel γ = π ein, sofern keiner von ihnen der Nullvektor ist. 2 Satz: Eine Familie {a,..., a k } R n \{} aus paarweise zueinander orthogonalen Vektoren a,..., a k ist linear unabhängig. Im Fall k = n ist sie also eine Basis des R n, während der Fall k > n nicht auftreten kann. Bsp.: Eine orthogonale Basis des R 3 ist etwa 2 B = 2,,. (34) Durch Normierung wird daraus eine ON-Basis, 2 B = 2,, 5 5. (35) 52

6 5.3.2 Unitäres Standard-Skalarprodukt im C n Wir betrachten nun den Vektorraum C n aller Spaltenvektoren aus je n komplexen Zahlen. Def.: Für zwei komplexe Vektoren a, b C n wird das (unitäre) Standard-Skalarprodukt erklärt durch a b a b.. := a b a n b n a k b k. (36) a n b k= n Bem. : In dieser Definition werden beim ersten Argument a die komplex-konjugierten Komponenten gewählt, damit auch im Komplexen das Skalarprodukt eines Vektors a mit sich selbst grundsätzlich reell und nicht-negativ ist, a a (mit a a = a = ), a := a a. (37) Bsp.: a a i 2 i i i 2 i i = ( i ) i + (2 + i )(2 i ) + (3 4 i )(3 + 4 i ) = = 3. (38) Bem. 2: Das unitäre SP ist nicht kommutativ sondern hermitesch, b a = ( a b ). (39) Es ist zwar im zweiten Argument linear, jedoch im ersten antilinear, ( λa + µb ) c = λ ( a c ) + µ ( b c ). (3) Bem. 3: Mit den Einschränkungen a, b, c R n und λ, µ R geht das unitäre SP in das kommutative und in beiden Argumenten lineare reelle SP über. Bsp.: Ein Skalarprodukt zweier Elemente des C 3 ist etwa i + i a b i 2 3 i = ( i )( + i ) + 2(2 3 i ) + (3 4 i )(3 + 4 i ) i = ( i ) + (4 6 i ) + 25 = 3 7 i. (3) Def.: a, b C n heißen zueinander orthogonal, wenn gilt a b =. Bem.: Ein Winkel γ zwischen zwei komplexen Vektoren a, b C n wird nicht erklärt. 53

7 5.4 Unitäre und hermitesche Matrizen 5.4. Transponierte und adjungierte Matrix Def.: Die zu einer (n n)-matrix A transponierte Matrix A T ergibt sich durch Spiegelung der Elemente von A an der Diagonalen, ( A T ) ij = ( A ) ji (i, j =,..., n). (32) Im Fall A T = A heißt A symmeterisch. Die zu A adjungierte Matrix A ergibt sich, wenn man in A T alle Elemente komplex konjugiert, ( A ) ij = ( A T) ij = ( A ) ji (i, j =,..., n). (33) Bsp.: Eine (3 3)-Matrix, ihre Transponierte und ihre Adjungierte sind etwa i i i 4 7 i 4 7 A = 4 5 6, A T = 2 5 8, A = i i 6 9.(34) Unitäre und orthogonale Matrizen Def.: Eine Matrix U M(n n, K), mit K {R, C}, heißt unitär, wenn gilt In Fall K = R heißt eine unitäre Matrix auch orthogonal. U = U. (35) Satz: Für eine Matrix U M(n n, K) sind folgende Aussagen äquivalent: (a) U ist unitär. (b) Die Spalten von U sind paarweise orthogonal. (c) Die Zeilen von U sind paarweise orthogonal. Beweis: Wir zeigen nur, wie aus (b) die Unitarität (a) folgt. Dazu berechnen wir das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von U U, ( U U ) = u ij ik u kj = k= u ki u kj = δ ij. (36) k= 54

8 Im letzten Schritt wurde die Voraussetzung benutzt, daß die i-te und j-ten Spalte von U zueinander orthogonal sind. Damit ist gezeigt, daß U U =, also U = U ist, q.e.d. Um den Beweis des Satzes zu vervollständigen, müssten wir noch zeigen, daß (c) aus (a), und (b) aus (c) folgt. Bsp.: Hier sind zwei unitäre Matrizen: U = i i 2, U 2 = , (37) Die zweite von ihnen ist orthogonal. Man verifiziere jeweils, daß gilt U U =. Satz: Jeder Eigenwert λ einer unitären Matrix U hat den Betrag λ =. Beweis: Es genügt, zu zeigen, daß der Bildvektor y = U x (38) den gleichen Betrag hat wie der Urvektor x, also y = x. Dazu berechne wir y 2 = y y = yi y i = i= ( ) ( ) u ij x j u ik x k = i= j= k= ( u iju ik )x jx k. (39) j= k= i= Die letzte Klammer ist das Skalarprodukt δ jk der j-ten mit der k-ten Spalte von U, y 2 = δ jk x j x k = j= k= x j x j = x 2, q.e.d. (32) j= Bsp.: Mit dem charakteristischen Polynom χ U (λ) = (λ 2 +)( λ) hat die unitäre Matrix U = (32) die Eigenwerte λ =, λ 2 = i und λ 3 = i. Zur Interpretation bemerken wir, daß die Spalten von U die Bilder y i = U x i der Standard-Basisvektoren x i sind, = U, = U, = U. (322) Offensichtlich beschreibt U gerade eine 9 Drehung um die x 3 Achse. Daher kann es nur einen reellen Eigenvektor (und dessen Vielfache) geben, und zwar zum Eigenwert λ =, nämlich die Drehachse. 55

6 Vektorräume mit Skalarprodukt

6 Vektorräume mit Skalarprodukt 6 Vektorräume mit Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit gestattet uns zu definieren, wann zwei bzw. drei Vektoren kollinear bzw. komplanar sind. Wir sind aber noch nicht in der Lage, die

Mehr

Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009

Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009 I. (4 Punkte) Gegeben sei die Menge Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 9 G := { a c b a, b, c R }. (a) Zeigen Sie, dass G zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe

Mehr

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen

2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung

Mehr

3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit

3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit 3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53

Mehr

4 Matrizenrechnung. Beide Operationen geschehen also koeffizientenweise. Daher übertragen sich die Rechenregeln von K(m n, k).

4 Matrizenrechnung. Beide Operationen geschehen also koeffizientenweise. Daher übertragen sich die Rechenregeln von K(m n, k). 4 Matrizenrechnung Der Vektorraum der m n Matrizen über K Sei K ein Körper und m, n N\{0} A sei eine m n Matrix über K: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = = (a ij) mit a ij K a m a m2 a mn Die a ij heißen die

Mehr

Kapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren

Kapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren Kapitel 1 Vektoren und Matrizen In diesem Kapitel stellen wir die Hilfsmittel aus der linearen Algebra vor, die in den folgenden Kapiteln öfters benötigt werden. Dabei wird angenommen, dass Sie die elementaren

Mehr

Lineare Algebra für Physiker 11. Übungsblatt

Lineare Algebra für Physiker 11. Übungsblatt Lineare Algebra für Physiker 11. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 01 Prof. Dr. Matthias Schneider./. Juli 01 Dr. Silke Horn Dipl.-Math. Dominik Kremer Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) (a) Welche

Mehr

9 Eigenwerte und Eigenvektoren

9 Eigenwerte und Eigenvektoren 92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl

Mehr

9 Eigenwerte und Eigenvektoren

9 Eigenwerte und Eigenvektoren 92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung

Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Mathematischer Vorkurs für Physiker und Naturwissenschaftler WS 2014/2015 Grundbegriffe der Linearen Algebra Viele physikalische Größen (Geschwindigkeit,

Mehr

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen

35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Motivation Wir haben gesehen, dass lineare Abbildungen sich durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren ausdrücken lassen Mithilfe von Matrizen können wir

Mehr

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen

Mehr

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

4 Lineare Abbildungen und Matrizen Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt

Mehr

P AP 1 = D. A k = P 1 D k P. = D k. mit P 0 3

P AP 1 = D. A k = P 1 D k P. = D k. mit P 0 3 Matrixpotenzen In Anwendungen müssen oft hohe Potenzen einer quadratischen Matrix berechnet werden Ist die Matrix diagonalisierbar, dann kann diese Berechnung wie folgt vereinfacht werden Sei A eine diagonalisierbare

Mehr

Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015

Inhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015 Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler

Mehr

7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt

7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 121 7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt 71 Vorbemerkungen Standard Skalarprodukt siehe Kap 21, Skalarprodukt abstrakt siehe Kap 34 Norm u 2 u, u

Mehr

EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME In diesem Abschnitt wiederholen wir zunächst grundlegende Definitionen und Eigenschaften im Bereich der Matrizenrechnung, die wahrscheinlich bereits in Ansätzen

Mehr

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion

Mehr

Lineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Lineare Algebra. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching October 2, 207 Erinnerung Definition. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung, : E n E n E, v, w v, w = n k= v

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und

Mehr

A = ( a 1,..., a n ) ii) Zwei Matrizen sind gleich, wenn die Einträge an den gleichen Positionen übereinstimmen. so heißt die n n Matrix

A = ( a 1,..., a n ) ii) Zwei Matrizen sind gleich, wenn die Einträge an den gleichen Positionen übereinstimmen. so heißt die n n Matrix Matrizen Definition: i Eine m n Matrix A ist ein rechteckiges Schema aus Zahlen, mit m Zeilen und n Spalten: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Die Spaltenvektoren dieser Matrix seien mit a,, a n bezeichnet

Mehr

Euklidische und unitäre Vektorräume

Euklidische und unitäre Vektorräume Euklidische und unitäre Vektorräume In allgemeinen Vektorräumen gibt es keine Möglichkeit der Längenmessung von Vektoren und der Winkelmessung zwischen zwei Vektoren. Dafür ist eine zusätzliche Struktur

Mehr

Euklidische und unitäre Vektorräume

Euklidische und unitäre Vektorräume Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 5 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe. Skalarprodukt und Orthogonalität.a) Bezüglich des euklidischen

Mehr

Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n

Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr. Holger Cartarius. Matrizen. a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a m,1 a m,2 a m,n Universität Stuttgart Physik und ihre Didaktik PD Dr Holger Cartarius Matrizen Matrizen: Ein rechteckiges Zahlenschema der Form a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A a m,1 a m,2 a m,n (a) nennt man eine

Mehr

Lineare Algebra II 8. Übungsblatt

Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.

Mehr

BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2

BC 1.2 Mathematik WS 2016/17. BC 1.2 Mathematik Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra. b 2 Zusammenfassung Kapitel II: Vektoralgebra und lineare Algebra 1 Vektoralgebra 1 Der dreidimensionale Vektorraum R 3 ist die Gesamtheit aller geordneten Tripel (x 1, x 2, x 3 ) reeller Zahlen Jedes geordnete

Mehr

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10

Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9-10 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Dezember Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 9- Übungsblatt

Mehr

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen

Orthonormalisierung. ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Wir setzen Orthonormalisierung Wie schon im Falle V = R n erwähnt, erhalten wir durch ein Skalarprodukt eine zugehörige Norm (Länge) eines Vektors und in weiterer Folge eine Metrik (Abstand zwischen zwei Vektoren).

Mehr

Unter einem reellen inneren Produktraum verstehen wir einen Vektorraum V über

Unter einem reellen inneren Produktraum verstehen wir einen Vektorraum V über 9 Innere Produkte In diesem Kapitel betrachten wir immer Vektorräume über dem Körper der reellen Zahlen R oder dem Körper der komplexen Zahlen C. Definition 9.1: Sei V ein Vektorraum über R. Ein inneres

Mehr

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016,

Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016, Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 6, 6.7.6 Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und Sätze aus der Vorlesung korrekt zu formulieren

Mehr

4.4 Hermitesche Formen

4.4 Hermitesche Formen 44 Hermitesche Formen Wie üblich bezeichnen wir das komplex konjugierte Element von ζ = a + bi C (a, b R) mit ζ = a bi Definition 441 Sei V ein C-Vektorraum Eine hermitesche Form (HF) auf V ist eine Abbildung

Mehr

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2

Mehr

und Unterdeterminante

und Unterdeterminante Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,

Mehr

und Unterdeterminante

und Unterdeterminante Zusammenfassung: Determinanten Definition: Entwicklungssätze: mit und Unterdeterminante (streiche Zeile i & Spalte j v. A, bilde dann die Determinante) Eigenschaften v. Determinanten: Multilinearität,

Mehr

10.2 Linearkombinationen

10.2 Linearkombinationen 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 25): Lineare Algebra und analytische Geometrie 2 2. (Frühjahr 29, Thema 3, Aufgabe 3) Gegeben sei die reelle 3 3 Matrix 4 2 A = 2 7 2 R 3 3. 2 2 a)

Mehr

Lösungsskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 2015

Lösungsskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 2015 sskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 5 Aufgabe I. Es sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e und M {x G x x e}. Zeigen Sie: (a) Ist G kommutativ, so ist M eine Untergruppe von G. (b)

Mehr

2 Die Algebra der Matrizen

2 Die Algebra der Matrizen Die Algebra der Matrizen Ein Hauptziel der Vorlesung zur Linearen Algebra besteht darin, Aussagen über die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme zu machen Etwa ob das Gleichungssystem x y + z 1 x + y

Mehr

10 Unitäre Vektorräume

10 Unitäre Vektorräume 10 Unitäre Vektorräume Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 98 10 Unitäre Vektorräume Die Theorie komplexer Vektorräume mit Skalarprodukt folgt denselben Linien wie die Theorie reeller Vektorräume mit Skalarprodukt;

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der

Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Die Einheitsvektoren des Koordinatensystems K sind die Spalten der 7 Aus dem Beispiel lässt sich ablesen (und auch beweisen, siehe Mathematikvorlesung): Folgerung: Drehmatrizen haben die Determinante. Folgerung: Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen, das heißt D = D

Mehr

(also ) Oft wird Zusammenhang zwischen und mit einem Index angedeutet, z.b. wird der Eigenvektor v. durch gekennzeichnet.

(also ) Oft wird Zusammenhang zwischen und mit einem Index angedeutet, z.b. wird der Eigenvektor v. durch gekennzeichnet. L7 Diagonalisierung einer Matrix: Eigenwerte und Eigenvektoren Viele Anwendungen in der Physik: z.b. Bestimmung der - Haupträgheitsmomente eines starren Körpers durch Diagonalisierung des Trägheitstensors

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen

Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen a) Es ist < x, y > α + + β β ( + α) und y α + + β α + + ( + α) (α + α + ) 6 α + α, also α, ± 5 + ± 9 4 ± 3 Es gibt also Lösungen: α, β

Mehr

6 Vektorräume mit Skalarprodukt

6 Vektorräume mit Skalarprodukt 6 Vektorräume mit Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind oder drei Vektoren in einer Ebene liegen. Reale Vektoren im physikalischen

Mehr

5 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit

5 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit ME Lineare Algebra HT 2008 99 5 Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit 5.1 Ein Beispiel zur Motivation Als einfachstes Beispiel eines dynamischen Systems untersuchen wir folgendes Differentialgleichungssystem

Mehr

, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.

, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }. 154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =

Mehr

Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10)

Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Kapitel 15: Eigenwerte und -vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 5. November 2009) Diagonalisierbarkeit

Mehr

Das innere Produkt von zwei Vektoren in V entspricht dem standard Skalarprodukt ihrer Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von V.

Das innere Produkt von zwei Vektoren in V entspricht dem standard Skalarprodukt ihrer Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von V. L5.6 Orthogonale und unitäre Matrizen (invertierbare Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen) Reelles inneres Produkt in -Vektorraum [siehe L3.1b]: 'reeller Vektorraum' (i)

Mehr

6 Hauptachsentransformation

6 Hauptachsentransformation 6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten

Mehr

4 Lineare Abbildungen und Matrizen

4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4.1 Lineare Abbildungen Definition 4.1. Es seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v V und λ K gilt Beispiel 4.2. L1 f(u + v) = f(u) + f(v),

Mehr

1 Die Jordansche Normalform

1 Die Jordansche Normalform Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 4/5 A Die Jordansche Normalform Vierter Tag (9.03.205) Im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme

Mehr

Zusammenfassung und Beispiellösungen. zur Linearen Algebra

Zusammenfassung und Beispiellösungen. zur Linearen Algebra Zusammenfassung und Beispiellösungen zur Linearen Algebra Inhaltsverzeichnis TI Taschenrechner Funktionen für Matrizen... n*m Matrix... Diagonal und Dreiecksmatrix... Transponierte der Matrix A (AT)...

Mehr

L5.6 Symmetrische, hermitesche, orthogonale und unitäre Matrizen (Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen)

L5.6 Symmetrische, hermitesche, orthogonale und unitäre Matrizen (Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen) L5.6 Symmetrische, heresche, orthogonale und unitäre Matrizen (Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen) In diesem Kapitel kommen Matrizen in Zusammenhang Skalarprodukt vor.

Mehr

7 Diracs Bracket-Notation

7 Diracs Bracket-Notation 7 Diracs Bracket-Notation 71 Entwicklungen nach Eigenfunktionen 711 Oszillator-Eigenfunktionen Die Oszillator-Eigenfunktionen Φ n (x), Φ n (x) = N n H ( x) n e x 2 /2a 2, N n = a 1 2 n n! πa (n = 0, 1,

Mehr

Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektoren und Matrizen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Vektoren (a) Einführung (b) Linearkombinationen (c) Länge eines Vektors (d) Skalarprodukt (e) Geraden

Mehr

Quadratische Formen. und. Symmetrische Matrizen

Quadratische Formen. und. Symmetrische Matrizen Quadratische Formen und Symmetrische Matrizen 1 Ouverture: Lineare Funktionen von R n nach R 1 2 Beispiel: n = 2 l : (x 1, x 2 ) T 0.8x 1 + 0.6x 2 = < x, g > mit g := (0.8, 0.6) T. Wo liegen alle x = (x

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn

Mehr

Lösung zu Serie 18. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink

Lösung zu Serie 18. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink Lineare Algebra D-MATH, HS 201 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 18 1. Sei V,, ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum. Zeige, dass zu jeder Sesquilinearform f : V V C eine eindeutige lineare Abbildung

Mehr

Mathematik I. Vorlesung 18. Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen. µ λ = dim(eig λ (ϕ))

Mathematik I. Vorlesung 18. Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen. µ λ = dim(eig λ (ϕ)) Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 18 Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen Satz 18.1. Es sei K ein Körper und es sei V ein endlichdimensionaler K- Vektorraum.

Mehr

Matrix. Unter einer (m n)-matrix (m, n N) über einem Körper K versteht man ein Rechteckschema. a m,1 a m,2 a m,n. A = (a i,j ) = Matrix 1-1

Matrix. Unter einer (m n)-matrix (m, n N) über einem Körper K versteht man ein Rechteckschema. a m,1 a m,2 a m,n. A = (a i,j ) = Matrix 1-1 Matrix Unter einer (m n)-matrix (m, n N) über einem Körper K versteht man ein Rechteckschema a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = (a i,j ) =.... a m,1 a m,2 a m,n Matrix 1-1 Matrix Unter einer (m n)-matrix

Mehr

C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =

C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w = 1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition

Mehr

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.

1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. 1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 205/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 3 3. (Herbst 997, Thema 3, Aufgabe ) Berechnen Sie die Determinante der reellen Matrix 0 2 0 2 2

Mehr

Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2)

Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl 10.3, 11.2) Lineare Abbildungen (Teschl/Teschl.3,.2 Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die mit den Vektoroperationen Addition und Multiplikation mit Skalaren verträglich ist. Formal:

Mehr

Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen

Lineare Algebra. 1 Lineare Abbildungen Lineare Algebra Die lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches u. A. zur Beschreibung geometrischer Abbildungen und diverser Prozesse und zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit Hilfe

Mehr

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG

Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG P Grohs T Welti F Weber Herbstsemester 25 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 8 Aufgabe 8 Basen für Bild und Kern Gegeben sind die beiden 2 Matrizen:

Mehr

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht

Definitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben

Mehr

5. Übung zur Linearen Algebra II -

5. Übung zur Linearen Algebra II - 5. Übung zur Linearen Algebra II - en Kommentare an Hannes.Klarner@Fu-Berlin.de FU Berlin. SS 2. Aufgabe 7 5 A := 2. 3 2 (i) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von A. (ii) Ist A diagonalisierbar?

Mehr

Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen

Musterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können

Mehr

Ferienkurs - Lineare Algebra. Hanna Schäfer. Merkinhalte

Ferienkurs - Lineare Algebra. Hanna Schäfer. Merkinhalte Technische Universität München, Fakultät für Physik Ferienkurs - ineare Algebra Hanna Schäfer 03. März 04 0. inearität. f : M N, x : y = f(x) Merkinhalte. f(x + λy) = f(x) + λf(y), x, y V, λ K 3. ineare

Mehr

Vektorräume. Stefan Ruzika. 24. April Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz

Vektorräume. Stefan Ruzika. 24. April Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 3: Vektorräume 24. April 2016 1 / 20 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume Erinnerung:

Mehr

1 Euklidische und unitäre Vektorräume

1 Euklidische und unitäre Vektorräume 1 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt betrachten wir reelle und komplexe Vektorräume mit Skalarprodukt. Dieses erlaubt uns die Länge eines Vektors zu definieren und (im Fall eines reellen

Mehr

7.2 Die adjungierte Abbildung

7.2 Die adjungierte Abbildung 7.2 Die adjungierte Abbildung Definition 7.2.1 Eine lineare Abbildung f : V K heißt lineares Funktional oder Linearform. (Diese Definition gilt für beliebige K-Vektorräume, nicht nur für innere Produkträume.)

Mehr

8 Lineare Abbildungen und Matrizen

8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen Wir beschäftigen uns nun mit Abbildungen zwischen linearen Räumen. Von besonderem Interesse sind Abbildungen, die die Struktur der linearen Räume

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Musterlösungen zur Linearen Algebra II Übungsklausur Aufgabe. Sei A R 3 3. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? a Ist det(a =, dann ist A eine orthogonale Matrix. b Ist A eine orthogonale Matrix,

Mehr

11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION

11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION 11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION 1 Basen werden zu unterschiedlichen Zwecken benutzt: Um lineare Abbildungen in ihrer Matrixdarstellung zu vereinfachen, um die Dimension von Vektorräumen und ihren Unterräumen

Mehr

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November

Lineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzugen zur Vorlesung: Der Vollständigkeit

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Musterlösungen zur Linearen Algebra II Weihnachtszettel Aufgabe. Welche der folgenden Matrizen 3 0 0 A = 0 4, B = 3, C = 0 0 0 6 0 0 0 sind über R und welche über C diagonalisierbar? Bestimmen Sie dazu

Mehr

Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010

Mehr

1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D

1 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D Vektoren, Vektorräume, Astände: D Definition: Die Menge aller (geordneten Paare reeller Zahlen (oder allgemeiner: Elemente eines elieigen Körpers, als Spalten geschrieen, ezeichnen wir als Vektoren: R

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

6. Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf

6. Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Streicher Dr. Sergiy Nesenenko Pavol Safarik SS 5. 9. Mai 6. Übungsblatt zur Mathematik II für Inf, WInf Gruppenübung Aufgabe G (Standardskalarprodukt Sei v, e R und es

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,

Mehr

1 Definitionen: 6 Punkte gesamt

1 Definitionen: 6 Punkte gesamt ANTWORTEN zum KOLLOQIUM zur Einführung in die Lineare Algebra Hans G. Feichtinger Sommersemester 2014 Fr., 25. Juli 2014, 10:00, Fakultät f. Mathematik Punktezahl: (1) 6 (2) 9 (3) 5 (4) 10 TOTAL (von 30):

Mehr

Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1

Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1 Übungen zu Lineare Algebra und Geometrie 1 Andreas Čap Sommersemester 2015 Wiederholung grundlegender Begriffe (1 Bestimme Kern und Bild der linearen Abbildung f : R 3 R 3, die gegeben ist durch f(x, y,

Mehr

Viele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung

Viele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele

Mehr

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors

& sind die Vektorkomponenten von und sind die Vektorkoordinaten von. A x. a) Der Betrag eines Vektors Einführu hnung Was ist ein Vektor? In Bereichen der Naturwissenschaften treten Größen auf, die nicht nur durch eine Zahlenangabe dargestellt werden können, wie Kraft oder Geschwindigkeit. Zur vollständigen

Mehr

11. Vorlesung. Lineare Algebra und Sphärische Geometrie.

11. Vorlesung. Lineare Algebra und Sphärische Geometrie. 11. Vorlesung. Lineare Algebra und Sphärische Geometrie. In dieser Vorlesung behandeln wir eine geometrische Anwendung der linearen Algebra. Insbesondere betrachten wir orthogonale Abbildungen. 1. Orthogonale

Mehr

ist über C diagonalisierbar.

ist über C diagonalisierbar. Prüfungsaufgaben A 1. (10 Punkte) Kreuzen Sie direkt auf de Aufgabenblatt an, ob die Behauptungen WAHR oder FALSCH sind. Sie üssen Ihre Antworten nicht begründen! Für jede richtige Antwort gibt es 1 Punkt.

Mehr

Lineare Algebra. 12. Übungsstunde. Steven Battilana. stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching

Lineare Algebra. 12. Übungsstunde. Steven Battilana. stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching Lineare Algebra 12. Übungsstunde Steven Battilana stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching December 14, 2017 1 Erinnerung: Determinanten, Orthogonale/unitäre Matrizen Sei A R 2 2, dann kann die Inverse

Mehr

4 Lineare Abbildungen Basisdarstellungen

4 Lineare Abbildungen Basisdarstellungen 4 Lineare Abbildungen Basisdarstellungen (4.1) Seien V,W endlich dimensionale K-Vektorräume, und sei T : V W linear. Sei {v 1,...,v } Basis von V und {w 1,...,w M } Basis von W. Sei T (v j ) = M a kj w

Mehr

4 Eigenwerte und Eigenvektoren

4 Eigenwerte und Eigenvektoren 4 Eigenwerte und Eigenvektoren Sei V {0} ein K Vektorraum und f : V V K linear. Definition: Ein Eigenwert von f ist ein Element λ K, für die es einen Vektor v 0 in V gibt, so dass f(v) = λ v. Sei nun λ

Mehr

Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure

Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de

Mehr

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 8 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 9. Juni.

Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 8 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 9. Juni. Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 8 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 9. Juni http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Hermitesche

Mehr

Geometrische Deutung linearer Abbildungen

Geometrische Deutung linearer Abbildungen Geometrische Deutung linearer Abbildungen Betrachten f : R n R n, f(x) = Ax. Projektionen z.b. A = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 die senkrechte Projektion auf die xy-ebene in R 3. Projektionen sind weder injektiv

Mehr

Lineare Abbildungen und Matrizen

Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen Seien V und W K-Vektorräume mit dimv = n und dimw = m Im folgenden wollen wir jeder m n Matrix eine lineare Abbildung V W zuordnen, und umgekehrt jeder linearen Abbildung

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 0/06 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung... und ein guter Lehrer kann auch einem schlechten Schüler was beibringen Beziehung zwischen Eigenräumen Wir

Mehr