Lösung zur Übung 6. Die Umkehrfunktion zur sinus hyperbolicus Funktion y = sinh(x) ist die area sinus hyperbolicus Funktion y = ar sinh(x).

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1 zur Übung 6 Aufgabe ) Die Umkehrfunktion zur sinus hyperbolicus Funktion y = sinh(x) ist die area sinus hyperbolicus Funktion y = ar sinh(x). a) Man zeige: y(x) = ar sinh(x) = ln(x + x + ) durch einsetzen der Umkerhfunktion in die Ausgangsfunktion Es gilt das Sprichwort Alle Wege führen nach Rom in diesem Fall gehen wir nur nicht nach Rom sondern zeigen euch zwei Wege diese Aufgabe gelöst werden kann. Wir beginnen mit der Einsetzen der Umkehrfunktion in die Ausgangsfunktion. In diesem Zusammenhang definieren wir den sinus hyperbolicus als Augangsfunktion. Beim Einsetzen der Umkehrfunktion in die Ausgangsfunktion erhält man als Ergebnis y=x. sinh(x) = y =/(e x e x ) () Das x ersetzen wir nun durch die Umkehrfunktion Dann bringen wir mal alles auf den gleichen Nenner. y =/(e ln(x+ x +) e ln(x+ x +) ) () =/(x + x + x + x + ) () =/ (x + x + ) x + x + =/ x + x x + + x + x + x + =/ x + x x + x + x + ( x x + ) x + =/ x + x + () (5) (6) (7) Nachdem wir nun eine Reihe von Termen kürzen bleibt unser gesuchtes x übrig. Aus dem Werk Liber parabolarum von Alanus ab Insulis y =x (8)

2 q.e.d. Nachdem wir diese abgearbeitet haben, kümmern wir uns darum, die durch das Bilden der Umkehrfunktion zu erzeugen. Wie vorhin gehen wir vom sinus hyperbolicus aus. sinh(x) = y =/(e x e x ) (9) y =e x e x (0) An dieser Stellen substituieren wir ein wenig: e x = t. Das ist zwar eigentlich nicht nötig, aber man erkennt die Zusammenhänge schneller. y =t t () Da benutzten wir doch gerne die pq-formel. Dann substituieren wir doch mal zurück. yt =t () t + yt + =0 () t, =y ± y + () e x, =y ± y + (5) Nach der Rücksubstitution erkennen wir deutlich, dass nur die positive Sinn macht, da die Exponentialfunktion immer größer null ist. e x =y + y + (6) Dann werfen wir noch einen Logarithmus drauf und haben die gesuchte. Jetzt tauschen wir noch die Variable und fertig ist die Welt. b) x = ln(y + y + ) (7) y = ln(x + x + ) (8) Bestimmen Sie den Funktionsbereich der Funktion y(x) = ar sinh(x). Der Definitionsbereich Für alle x R ist x + > x. Daraus folgt, dass sich der Definitonsbereich des ar sinh(x) über den gesamten Bereich der reellen Zahlen erstreckt.

3 Aufgabe ) Wie kann man durch passendes Logarithmieren der Funktionen y(x) = A x a und y(x) = A a x und Anpassung der Abszissen- und Ordinatenskalierung lineare Graphen bilden? Solch eine Aufgabe lösen wir am besten, indem wir die genannten Funktionen einfach logarithmieren. log(y) = log(a) + a log(x) (9) log(x) = log(a) + x log(a) (0) Statt des dekadischen Logarithmus hätte man jeden x-beliebigen wählen können, aber für die folgende Bilder ist der dekadische einfach handlicher. Bei der ersten Funktion muss sowohl die Ordinate als auch die Abzisse logarithmiert werden, um eine lineare Darstellung zu erhalten. Diese Gerade besitzt den Ordinatenabschnitt log(a) und die Steigung a. Im Fall der zweiten Funktion reicht das Logarithmieren der Ordinate aus. In diesem Fall ist der Ordinatenabschnitt wieder log(a) die Steigung dagegen wird durch den Ausdruck log(a) dargestellt. Beide Graphen werden in der folgenden Abbildung dargestellt. Abbildung : Darstellung der beiden Funktionen mit logarithmierten Achsen

4 Aufgabe ) Wie lauten die Umkehrfunktionen folgender Funktionen? a) y(x) = x + x + x + Zunächst erkennen wir, dass hier ein Polynom vorliegt, das sich als Binom dritter Potenz darstellen lässt. y(x) = x + x + x + () = (x + ) () Da wir die Umkehrfunktion von y(x) suchen, müssen wir nach x umformen, um eine Funktion x(y) zu erhalten. Dazu erzeugen wir nun erstmal die dritte Wurzel, da wir den Exponenten vom x weg bekommen wollen. Wir erhalten als Die Umkehrfunktion lautet also: b) y(x) = ( x ) 5 + y = x + () y (x) = x(y) = y () y(x) = x (5) y(x) = ( x ) 5 + y = ( x ) 5 5 (y ) 5 = x (y ) 5 = x ( ) (y ) 5 = x (y ) 5 = x Wir können das Ergbnis unter der Wurzel noch auflösen x = y 5 + 0y 0y + 80y 80y + Die Umkehrfunktion lautet also: y(x) = (x ) 5 Fertig.

5 Aufgabe ) Berechnen Sie den folgenden Wert der Umkehrfunktion arcsin: arcsin Ein paar Werte sollte man wissen. Zumindest die Werte zwischen 0 und π/, bzw. von 0 bis 90 sollten wir wissen. Die restlichen Werte bestimmen wir daraus. Der Definitionsbereich des Arkussinus erstreckt sich von [, ] somit liegt die angegebene Zahl im Bereich und kann ohne weiteres bestimmt werden. Da der Sinus punktsymmetrisch zum Ursprung ist können wir unser Wissen auf den Bereich von 90 bis 90 oder π/ bis π/ erweitern. ( ) Tabelle : Der Arkussinus für ein gewählte Winkel Winkel Arkussinus Aus der Tabelle entnehmen wir, dass zu dem gesuchten Wert der Winkel 5. Alternativ dazu lautet der positive Winkel 5. CC-BY-SA.0 Mario Krieg / Martin Labus 5